Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f'x không xác định hoặc bằng 0.. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị... Trường hợp tam thức có hai nghiệm phân biệt:
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1: ĐẠO HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG.
1 Đạo hàm
1.1 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa:
B1: Cho x0 số gia ∆x và tính ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0)
B2: Lập tỉ số: ∆∆x y
B3: Tìm giới hạn: x y
0
∆
→
∆
lim
1.2 Phương trình tiếp tuyến:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)) là:
y - y 0 = f'(x 0 )(x - x 0 )
1.3 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
1.3.1 y = c ⇒ y' = 0
1.3.2 y = x ⇒ y' = 1
1.3.3 y = xn⇒ y' = n.xn-1 (n ≥ 2, n ∈ N).
1.3.4 y = x⇒ y' = x R
x 2
+
∈
1.4 Các quy tắc tính đạo hàm:
1.4.1 (u + v -w)' = u' + v' - w'
1.4.2 (k.u)' = k.u'
1.4.3 (u.v)' = u'.v + u.v', (u.v.w)' = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'
1.4.4
v
v u v
u v
u
2
' '
' . −
=
−
=
v
v v
1
2
' '
1.4.5 y'x = y'u.u'x
1.5 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (u=u(x)
( ) x α '= α . xα−1
x
x
1
2
1
−
=
( ) 2 x
1
x '=
( ) u α '= u ' α . uα−1
u
u u
1
2
' '
−
=
( ) 2 u
u u
' '
=
(sinx)' = cosx
(cosx)' = - sinx
(sinu)' = u'.cosu (cosu)' = - u'.sinu
Trang 2(tgx)' = 1 + tg 2 x =
x
2
1
cos
(cotgx)' = - (1 + cotg 2 x) =
x
2
1
sin
−
(tgu)' = u'(1 + tg 2 u) =
u
u 2
cos
'
(cotgu)' = - u'.(1 + cotg 2 u) =
u
u 2
sin
'
−
( ) e x '= ex
( ) a x '= ax ln a
( ) e u '= u'. eu
( ) a u '= u'. au ln a
( ln x )'= x 1
( loga x )'= xln1 a ( ) u ' u u'
ln =
( u ) u u a
' '
1.6 Đạo hàm cấp cao:
f (n) (x) = (f (n - 1) (x))' (n ≥ 2)
1.7 Vi phân:
dy = y'dx hay df(x) = f'(x) dx
2 Ứng dụng của đạo hàm:
2.1 Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến:
2.1.1 Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
+ Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến
trên khoảng đó
+ Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó
2.1.2 Điểm tới hạn:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 thuộc khoảng (a;b) Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f'(x) không xác định hoặc bằng 0.
2.2 Tìm cực đại và cực tiểu:
2.2.1 Quy tắc I:
B1: Tìm f'(x)
B2: Tìm các điểm tới hạn (giải phương trình f'(x) = 0.)
B3: Xét dấu của đạo hàm
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
2.2.2 Quy tắc II:
B1: Tìm f'(x)
Trang 3B2: Tìm các điểm tới hạn xi (i = 1, 2, 3…)(giải phương trình f'(x) = 0.) B3: Tính f''(x)
B4: Từ dấu của f"(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi theo dấu hiệu
II (Nếu f''(xi) > 0 thì xi là điểm cực tiểu Nếu f''(xi) < 0 thì xi là điểm cực đại.)
2.2.3 Bổ sung quy tắc xét dấu:
+ Quy tắc xét dấu nhị thức bậc nhất: "Trái trái, phải cùng"
+ Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai:
Trường hợp tam thức có hai nghiệm phân biệt: "Trong trái, ngoài cùng"
Trường hợp tam thức vô nghiệm hay có nghiệm kép: "Luôn cùng dấu với hệ số a"
2.3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
Quy tắc tìm max [ ] ( )
;
x f
b
;
x f
b
B1: Tìm các điểm tới hạn x1, x2, …, xn của f(x) trên đoạn [a;b] B2: Tính f(x1), f(x2), …, f(xn), f(a), f(b)
B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
M = max [ ] ( )
;
x f
b
;
x f
b a
2.4 Tìm các khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị:
2.4.1 Tìm các khoảng lồi, lõm:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a;b).
+ Nếu f''(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi
trên khoảng đó
+ Nếu f''(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó
2.4.2 Tìm điểm uốn của đồ thị:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có
đạo hàm đến cấp 2 trong lân cận đó Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua x 0 thì điểm M0(x0, f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
2.5 Tìm tiệmcận:
2.5.1 Tiệm cận đứng:
Nếu = ∞
→
) (
lim f x
x0
x thì đường thẳng d có phương trình x = x0 là một tiệm cận của đồ thị (C)
2.5.2 Tiệm cận ngang:
Nếu y0
x
x
f =
∞
→
) (
lim thì đường thẳng d có phương trình y = y0 là một
tiệm cận của đồ thị (C)
Trang 42.5.3 Tiệm cận xiên:
Đường thẳng (d): y = ax + b là một tiệm cận của đồ thị (C) khi và chi khi:
[ f x ax b ] 0
x
= +
−
+ ∞
→
) (
) (
lim (d là tiệm cận xiên bên phải của (C))
hay [ f x ax b ] 0
x
= +
−
− ∞
→
) (
) (
lim (d là tiệm cận xiên bên trái của (C))
hay [ f x ax b ] 0
x
= +
−
∞
→
) (
) (
(Trong đó: a = f x x
x
) (
lim
∞
x
−
∞
→
) (
* CÁCH KHÁC:
Nếu hàm số đã cho là hàm hữu tỉ (bậc tử > bậc mẫu), chia đa thức ta
được y = ax + b + P(x) Chứng minh [ f x ax b ] 0
x
= +
−
∞
→
) (
) (
tiệm cận của đồ thị (C)
