Dao ham va ung dung

Nói chung,việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp.Bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những quy tắc tính đạo hàm,nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được quy v

Trang 1

Nói chung,việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp.Bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những quy tắc tính đạo hàm,nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được quy về tính đạo hàm của những hàm số đơn giản hơn

Để tiện cho việc diễn đạt,kể từ bài này,ta sẽ sử dụng kí hiệu J để chỉ tập con của R gồm một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng

1 Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số

ĐỊNH LÍ 1

Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J thì hàm số và

cũng có đạo hàm trên J,

Ghi chú Các công thức có thể viết gọn là và

Chứng minh

a) Tại mỗi điểm ,ta có

*

b) Kết luận này được chứng minh tương tự

Nhận xét

Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số : Nếu các hàm số có đạo hàm trên J thì trên J ta có

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng

Giải

Trên khoảng ta có

Vậy

Trang 2

a) Tính nếu

b) Cho hai hàm số và Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên R Chứng minh rằng với mọi x thuộc R,ta có

2 Đạo hàm của tích hai hàm số

Định lí 1 có thể nói gọn là : Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số bằng tổng (hay hiệu) các đạo hàm của hai hàm số đó.

Liệu điều tương tự có xảy ra đối với tích của hai hàm số hay không?

Định lí sau sẽ trả lời câu hỏi đó

ĐỊNH LÍ 2

Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J

thì hàm số cũng có đạo hàm trên J,và ;

Đặc biệt,nếu k là hằng số thì

Ghi chú Các công thức trên có thể viết gọn là và

Chứng minh

Đặt Ta sẽ tìm đạo hàm của f tại một điểm x tùy ý thuộc J

Khi biến số nhận số gia =u(x + \Delta x)-u(x) \Rightarrow u(x + \Delta x)=u(x) + \Delta u [/ct]

Ta sẽ sử dụng các đẳng thức trên để tính đạo hàm của hàm số f

*

Để ý rằng

Trang 3

,

Cách tính đạo hàm như sau đúng hay sai,tại sao?

Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số trong mỗi trường hợp sau :

Giải

a)

a) Chứng minh rằng nếu các hàm số u,v và w có đạo hàm trên J

thì hàm số f xác định bởi (với mọi ) cũng có đạo hàm trên J và

3 Đạo hàm của thương hai hàm số

Sử dụng định nghĩa,ta cũng chứng minh được định lí về đạo hàm của thương hai hàm số

ĐỊNH LÍ 3.

Nếu hai hàm cố và có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số

cũng có đạo hàm trên J và

Trang 4

Ghi chú Công thức trên có thể viết gọn là

Chứng minh hệ quả dưới đây

HỆ QUẢ

b) Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi x thuộc J thì trên J ta có

Ghi chú Công thức thứ 2 trong hệ quả trên có thể viết gọn là

Ví dụ 3 Tính đạo hàm của hàm số ,nếu :

Giải

a) Áp dụng định lí thứ 3 (ở đây và ),ta có

b) Áp dụng hệ quả của định lí 3 (ở đây ),ta có

Chọn kết quả đúng trong các kết quả cho sau đây

(A) ;

(D)

4 Đạo hàm của hàm số hợp

a) Khái niệm của hàm số hợp

Trang 5

Ví dụ 4 Cho hai hàm số và ,trong đó và

Nếu trong , ta thay biến số u bởi u(x) thì được

Ta gọi g là hàm số hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u.

Một cách tổng quát, ta có khái niệm hàm số hợp như sau (ở đây ta chỉ xét các hàm số được cho bởi biểu thức)

Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x),ta được biểu thức với biến x

Khi đó,hàm số với được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian

Trong định nghĩa trên,tập xác định của hàm số hợp là tập các giá trị của x sao cho biểu thức

có nghĩa

b) Các tính đạo hàm của hàm số hợp

ĐỊNH LÍ 4

a) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm và hàm số có đạo hàm tại điểm

b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J

Ghi chú Công thức thứ hai trong định lí trên còn được viết gọn là

Ví dụ 5 Đối với hàm số được nêu trong ví dụ 4, ta tính đạo hàm của nó như sau:

Trang 6

Do và

Có thể xem hàm số này là hàm số hợp của hàm số và hàm số trung gian

Do đó nếu hàm số có đạo hàm trên J thì ta áp dụng định lí 4 để tính đạo hàm của hàm số hợp

(còn viết là ) như sau :

;

Ghi chú Công thức nêu trong hệ quả q được viết gọn là

Tương tự,ta xét hàm số

a) Tìm hàm số f sao cho hàm số là hàm số hơp của hàm số f và hàm số trung gian b) Chứng minh rằng nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số

cũng có đạo hàm trên J và

HỆ QUẢ 2

Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi

thì hàm số có đạo hàm trên J,và

Ghi chú Công thức nêu trong hệ quả 2 được viết gọn là

Ví dụ 6

GHI NHỚ

a) Đạo hàm của một hàm số thường gặp (ở đây )

Trang 7

c) Đạo hàm của hàm số hợp (ở đây ):

Các dạng bài liên quan:

Trắc nghiệm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân Đạo hàm và ứng dụng

Một số bài tập

Baì 70950

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

Chọn một đáp án dưới đây

< - Click để xem đáp án

Baì 68518

Tìm đạo hàm cấp n của

Baì 68517

Tính đạo hàm cấp n của :

Trang 8

A

B

C

D

Baì 68149

Baì 68148

Vi phân của hàm số: bằng biểu thức nào sau đây?

Baì 68147

Cho hàm số Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của x không âm là:

Trang 9

A B

Baì 68146

Baì 68145

Cho hàm số Chọn mệnh đề đúng:

A Vì f(0) = 0 nên

B Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0, nên không tồn tại

D Vì

Baì 68144

Cho hàm số: Phương trình đồ thị (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1 là:

Trang 10

Baì 68143

Chọn mệnh đề đúng:

A Vì 2 là hằng số nên

B Với thì

C Với x>2 thì

D Hàm số không có đạo hàm tại điểm

Đạo hàm cấp hai

Hiển nhiên, cũng là một hàm số có đạo hàm và đạo hàm của nó là

Ta gọi đó là đạo hàm cấp hai của hàm số ban đầu

Một cách tổng quát,ta có định nghĩa sau đây

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số f có đạo hàm Nếu cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm f và kí hiệu là ,tức là

còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f.Đạo hàm cấp hai của hàm số còn được kí hiệu là

Ví dụ 1.Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau

Giải

Trang 11

Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số

a) ; b)

2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Ta đã biết : Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình thì vận tốc tại thời điểm của chất

nhỏ ( khác 0) thì càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm

Trong cơ học,giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm (hay gia tốc tại thời điểm ) của chât điểm đó,va được kí hiệu là

Do đó, ta có thể phát biểu ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai như sau :

Gia tốc (tức thời) tại thời điểm của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình bằng đạo hàm cấp hai của hàm số tại thời điểm ,tức là

Gia tốc tại thời điểm đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó

Ví dụ 2.

(Phương trình này gọi là phương trình dao động điều hòa)

Khi đó,vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là

Gia tốc tức thời tại thời điểm t là

Phương trình chuyển động của một chất điểm là (S tính bằng mét (m),t tính bằng giây (s) ).Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm

3 Đạo hàm cấp cao

Trang 12

Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm số f còn được kí hiệu lần lượt là và

Nếu là một hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số kí hiệu f, kí hiệu

Tương tự, đạo hàm cấp n của một hàm số được định nghĩa bằng quy nạp như sau :

Nếu là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là

Đạo hàm cấp n của hàm số còn được kí hiệu là

Ví dụ 3

b) Đối với hàm số ,ta có :

Quan sát ví dụ 3b) và cho biết khẳng định sau đúng hay sai : Nếu thì

Các dạng bài liên quan:

Trắc nghiệm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân Đạo hàm và ứng dụng

Một số bài tập

Baì 70950

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

Trang 13

Baì 68518

Tìm đạo hàm cấp n của

Baì 68517

Tính đạo hàm cấp n của :

A

B

C

D

Baì 68149

Trang 14

A B

Baì 68148

Vi phân của hàm số: bằng biểu thức nào sau đây?

Baì 68147

Cho hàm số Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của x không âm là:

Baì 68146

Trang 15

Baì 68145

Cho hàm số Chọn mệnh đề đúng:

A Vì f(0) = 0 nên

B Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0, nên không tồn tại

D Vì

Baì 68144

Cho hàm số: Phương trình đồ thị (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1 là:

Baì 68143

Chọn mệnh đề đúng:

A Vì 2 là hằng số nên

B Với thì

C Với x>2 thì

D Hàm số không có đạo hàm tại điểm

Tiêu đề	Đạo hàm và ứng dụng
Trường học	Trường Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	bài viết
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	757,5 KB