Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên khoảng 1; 2 A.. Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định: 2 A.. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên ℝ.
Trang 1Tröôøng THPT Nguyeên Bưnh Khieđm, ÑaĩcLaĩc Giaùo vieđn: Leđ Vaín Tieân
LUYEÔN THI ÑÁI HÓC MOĐN TOAÙN Chuyeđn ñeă ÖÙNG DÚNG CỤA ÑÁO HAØM
Phaăn: Haøm soâ ñôn ñieôu
I PHÖÔNG PHAÙP TÌM KHOẠNG ÑÔN ÑIEÔU CỤA HAØM SOÂ:
1) Tính ñáo haøm y’ = f’(x)
2) Tìm nghieôm cụa f’(x) hoaịc caùc ñieơm tái ñoù f’(x) khođng xaùc ñònh
3) Laôp bạng xeùt daâu f’(x) (bạng bieân thieđn) ñeơ keât luaôn
BAØI TAÔP:
1) Tìm khoạng ñoăng bieân, nghòch bieân cụa caùc haøm soâ sau:
a) y = x3 – x +1 b) y = - x3 – 3x + 5 c) y = x4 – 2x2 + 3
d) y =
x 1
1 3x
1
2
−
− x
x2
1
x
+ h)
1 5
y
x
=
−
100
x y
x
=
x y x
=
−
6 6
o) y = x−63 x2
2) Xaùc ñònh m ñeơ haøm soâ y = (m – 3)x - sinx nghòch bieân tređn ℝ
HD: Haøm soâ nghòch bieân tređn ℝ ⇔ y’ = m – 3 – cosx ≤ ∀ ∈ℝ0 x Ñaịt t = cosx, ñieău kieôn | t| ≤ 1
Ta caăn tìm m ñeơ f(t) = - t + m – 3 ≤ 0∀ ∈ −t [ 1; 1]
Ta coù f(t) = - t + m – 3 0≤ ∀ ∈ −t [ 1; 1]⇔f( 1) 0− ≤ ⇔m 2 0− ≤ ⇔m 2≤
3) Tìm m để hàm số : y =
-3
1
x3 + (m - 1)x2 + (m + 3)x - 4 đồng biến trên (0, 3) HD: Haøm soâ ñoăng bieân tređn khoạng (0; 3) ⇔y’= - x2 + 2(m – 1)x + m +3 ≥ ∀ ∈0 x (0; 3)
⇔y’ coù hai nghieôm x1; x2 thoûa maõn x1 ≤ 0≤ 3≤ x2⇔ 1f(0) 0 m -3 0 12
m
4) Tìm m để hàm số y =
-3
1
mx3 - (m +1)x2 + 3(m + 2)x +
3
1
luođn luođn đồng biến tređn ℝ
HD: Haøm soâ ñoăng bieân tređn ℝ ⇔y’ = -mx2 -2(m +1)x + 3(m + 2) ≥ ∀ ∈ℝ0 x
+ Tröôøng hôïp m = 0 ta coù y’ = -2x + 6 khođng theơ lôùn hôn baỉng 0 vôùi mói x
− >
5) Tìm m để y =
1 x
m x
x2
−
+
−
đồng biến trên (3, +∞) HD: Ta coù y = 2x -1 + m 1
x 1
−
− Haøm soâ ñoăng bieân tređn khoạng (3; +∞) ⇔ y' = 2(x - 1) (m 1)2 2 0 x (3; + )
(x - 1)
3
II Aùp dúng tính ñôn ñieôu giại toaùn:
1) Chöùng minh BÑT f(x) > g(x) tređn khoạng (a; b)
Phöông phaùp: Ta xeùt haøm h(x) = f(x) – g(x) tređn (a; b)
- Neâu haøm h(x) ñoăng bieân tređn (a; b) thì h(x) > h(a) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
- Neâu haøm h(x) nghòch bieân tređn (a; b) thì h(x) > h(b) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
Baøi taôp: Chöùng minh caùc baât ñaúng thöùc sau:
Trang 21) tgx > sinx, 0 < x <
2
π
HD: Xét hàm số f(x) = tgx – sinx trên khoảng (0;
2
π
)
Có f’(x) = 12 cos
cos x− x > 0 ⇒ f(x) là hàm đồng biến trên (0;
2
π
)⇒ f(x) > f(0) = 0 ⇒ tgx > sinx 2) ln(1+ x) < x với ∀x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = ln(1 + x) – x trên (0; + )∞
3) cosx > 1-
2
x2 với ∀x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = cosx +
2
x2
- 1 trên (0; + )∞ 4) xα- 1 > α(x – 1) với α ≥2, x > 1 HD: Xét hàm số f(x) = xα -α(x – 1) – 1 trên (1; + )∞
5) x -
6
x3
< sinx với x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = x -
6
x3
- sinx trên (0; + )∞ 6) ex > 1 +
2
x2 với x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = ex -
2
x2
- 1 trên (0; + )∞ 2) Giải pt trình f(x) = 0, bpt f(x) > 0
Phương pháp: - Xét tính đơn điệu của hàm số f(x)
- Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ta có:
1) f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2
2) f(x1) < f(x2) ( hoặc f(x1) > f(x2) ) ⇔ x1 < x2 ( hoặc x1 > x2) Bài tập: Giải các phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:
1) 2x < 32
x
+ >
+
là hàm NB trên ℝ Có f(2) = 1 ⇒ f x( )> f(2)⇒ <x 2 Tập nghiệm bpt T = (- ; 2)∞
2) 2x = 6 – x HD: Xét hai hàm số ( ) 2
( ) 6
x
f x
Ta có ( ) đồng biến trên
( ) nghịch biến trên
f x
g x
ℝ
ℝ và (2) 4
(2) 4
f g
=
=
⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất
2 2
2
2x y : Xét pt 2x 2 1.Tương tự: ta có y 1 Xét hàm số f(t) = t +
3)
x
y t có f t t nên hàm số đồng biến trên
t
−
Nếu x > y thì f(x) > f(y) ⇒ 2y2 > 2x2⇒ y > x vô lí
Tương tự nếu y > x thì f(y) > f(x) ⇒ x > y vô lí
Vậy x = y Thay x = y vào một trong hai phương trình ta có x = y = 1
x y
∈
Xét hsố f(t) = cotgt - t trên (0; ) π
⇔
2
tgx tgy x y
x y
∈
HD: Xét f(t) = tgt – t
6) Chứng minh rằng phương trình x3 -3x + c = 0 không thể có hai nghiệm trong đoạn [0; 1]
3) Aùp dụng định lí Lagrange: Hàm f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b)
thì tồn tại một số c ∈ (a; b) sao cho f b( ) f a( ) '( )
f c
b a
−
=
− 1) Cho 0 < a < b Chứng minh rằng: b a lnb b a
< < HD: xét hàm số f(x) = lnx trên [a; b]
2) Cho 0 < a < b <
2
tgb tga
< − < HD: xét hàm f(x) = tgx trên (0; )
2
π
3) Hãy tìm trên đồ thị hàm số f(x) = x3 – x những điểm tại đó tiếp tuyến song song với dây cung nối các điểm có hoành độ là 10 và 12 HD: Áp dụng ĐLí Lagrăng ta có
Trang 3f f
−
−
Phaăn: Cöïc trò haøm soâ
I PHÖÔNG PHAÙP TÌM CÖÏC TRÒ CỤA HAØM SOÂ SOÂ y= f(x)
Caùch 1: - Tìm TXÑ cụa haøm soâ vaø tính y’ Tìm caùc ñieơm x0 maø y’baỉng 0 hoaịc khođng xaùc ñònh
- Laôp bạng bieân thieđn - Neâu f’(x) ñoơi daâu töø döông sang ađm khi x qua x0 thì x0 laø ñieơm cöïc ñái
- Neâu f’(x) ñoơi daâu töø ađm sang döông khi x qua x0 thì x0 laø ñieơm cöïc tieơu
Caùch 2: - Tìm TXÑ cụa haøm soâvaø tính y’, y’’
- Tìm nghieôm x0 cụa phöông trình y’= 0 - Neâu f’’(x0) < 0 thì x0 laø ñieơm cöïc ñái
- Neâu f’’(x0) > 0 thì x0 laø ñieơm cöïc tieơu
II BAØI TAÔP
1) Tìm cöïc trò cụa caùc haøm soâ sau:
a) y = 2x3 +3x2 -36x -10 ; b) y = x4 + 2x2 – 3 ; c) y = x +
x
1; d) y = x3(1 – x)2;
1
y
x
=
− ; f) y=2 3+ 3 x2; g) y=(7−x)3 x+5 ; h)
2 10
x y
x
=
− ; 2) Tìm cöc trò cụa caùc haøm soâ sau: söû dúng daâu hieôu II
a)y = x3 + 4x ; b) y = xe-x ; c) y = x2lnx; d) y =
2 x
5 4x
x2 +
+ + ;
e) y= cos2x -1 ; f) y = sinx + cos2x ; g) y =
2
x x
e
1) Tìm m để hàm số y =
3
1x3 + mx2 + (m + 6)x - (2m + 1) có cöïc ñái, cöïc tieơu
2) Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx2 - (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
HD: HS ñát CT tái 2
, (2) ,, (2)
0
1 0
y
m y
>
3) Xaùc ñònh a ñeơ haøm soâ y = asinx +
3
1 x ñát cöïc trò tái x =
3
π 4) Xaùc ñònh p vaø q ñeơ haøm soâ y = x2 +px +q ñát cöïc tieơu tái x = 1
Baøi taôp traĩc nghieôm
1 Bieât raỉng coù hai giaù trò cụa m ñeơ haøm soâ y = x3 -(m + 2)x2 + (1 -m)x + 3m - 1 ñát cöïc trò tái x1, x2
maø |x1 - x2| = 2 Toơng hai soâ ñoù laø:
2 Ñieơm cöïc tieơu cụa haøm soâ y ln x2
x
= laø:
A 12
1
3 Bieât ñoă thò haøm soâ f(x) 1x3 2x2 mx 3
3
= − + + coù hai ñieơm cöïc trò thaúng haøng vôùi ñieơm O, thì m thuoôc khoạng:
4 Ñoă thò haøm soâ f(x) x2 3x 5
x 2
= + coù hai ñieơm cöïc trò naỉm tređn ñöôøng thaúng y = ax + b ta coù a.b baỉng:
5 Bieât raỉng ñoă thò haøm soâ y x2 2x m 3
x m
=
+ coù moôt ñieơm cöïc trò thuoôc ñt y = x + 1, ñieơm cöïc trò coøn lái laø:
Trang 4
6 Biết hàm số f(x) = asinx + bcosx +x (0 x 2 đạt cực trị tại x = và )
3
π
7 Điểm cực đại của hàm số y xe− x 2
= gần nhất với số nào dưới đây:
8 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mln(x + 2) + x2 - x có hai điểm cực trị trái dấu
9 Giá trị của m để hàm số y = x4 + mx3 - 2x2 - 3mx + 1 có ba điểm cực trị là:
4
3
≠ ±
10 Biết hàm số y = eax.sinx (0 x )đạt cực trị tại x =
4
π
< < π thì điểm cực tiểu của hàm số là:
4
π
11 Hàm số f(x) x2 4x 1
x 1
= + có hai điểm cực trị x1 và x2, ta có x1 + x2 bằng:
12 Cho hàm số y 2ex
x 1
= + Mệnh đề nào sau đây đúng
A Hàm số đồng biến với x > 1 B Hàm số đồmg biến trên ℝ
C Hàm số nghịch biến với x < 1 D Các kết luận A, B, C đều sai
13 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên khoảng (1; 2)
A y= x2 - 4x + 5 B y x 2
x 1
−
=
2
y
x 1
=
3
14 Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định:
2
A Cả (I), (II) và (III) B Chỉ (I) và (II) C Chỉ có (I) và (III) D Chỉ có (II)
15 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên ℝ
A y= cotgx B y = - x4 - x2 - 1 C y x 5
x 2
+
=
2
=
16 Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định:
2
+
+
A Chỉ có (I) B Chỉ có (II) C Cả (I), (II) và (III) D Chỉ (I) và (II)
17 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên ℝ
x 2
+
= + D y = x4 + x2 + 1
18 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên khoảng (1; 3)
A y 1x2 2x 3
2
3
C
2
y
x 1
+ −
=
x 1
−
=
−
19 Cho hàm số f(x) = -2x3 + 3x2 + 12x - 5 Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai
A Hàm số giảm trên khoảng (-3; -1) B Hàm số tăng trên khoảng (-3; -1)
C Hàm số giảm trên khoảng (2; 3) D Hàm số tăng trên khoảng (-1; 2)
Trang 5
20 Bất đẳng thức a b
lna ln b> đúng với mọi a, b thoả mãn a < b và a, b thuộc khoảng:
21.Hàm số f(x) = x4 - 6x2 + 8x + 1 cóù bao nhiêu điểm cực trị
22 Hàm số y a 1x3 ax2 (3a 2)x
3
−
2
23 Hàm số f(x) = x3 có bao nhiêu điểm tới hạn
2 4 Giá trị m để hàm số f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x đạt cực đại tại x = 1 là
25 Cho hàm số f(x) = xlnx Hàm số f(x) đồng biến trong các khoảng nào sau đây
26 Cho hàm số f(x) = 3x+1
1 - x Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng
A Tăng trên ℝ B Tăng trên hai khoảng (−∞; 1 ; 1;) ( + ∞)
C Giảm trên khoảng (0; 2) D Giảm trên khoảng ℝ
27 Hàm số f(x) = |x| có bao nhiêu điểm cực trị
28 Cho hàm số f(x) = x + x + 12
x + 1 Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai
A.Giá trị cực đại bằng -3 B Điểm M(0; 1) là điểm cực tiểu
C Điểm N(-3; -2) là điểm cực đại D Hàm số đạt cực đại tại x = -2
29 Giá trị m để hàm số f(x) x2 2x m
x 1
=
− đạt một cực đạivà một cực tiểu là:
30 Hàm số f(x) x4 2x2 6
4
= − + có bao nhiêu điểm cực tiểu
31 Xét hàm số f(x) = 2x2 - 5x + 3 trên [0; 4] Số c thoả mãn định lí Lagrange áp dụng vào hàm số là:
32 Hàm số f(x) = x + x - 12
x + 1 có bao nhiêu điểm cực trị
Phần: Giá trị lớn nhất, gía trị nhỏ nhất
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN
Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’
- Lập bảng biến thiên: Nếu trên (a; b) hàm số chỉ có một cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá trị cực đại (cực tiểu) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
• Chú ý: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghịch biến thì không có
GTLN, GTNN trên khoảng đó
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Trang 6a) y = 4 - x2 b) y = 4x3 – 3x4 c) y = x4 + 2x2 – 2
d) y = x2 x 2
+
x
1 x
x2 + + với x > 0 g) y = x + 3x 12
x -1
+
với x < 1
2) Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi bằng 16 cm
HD: - Gọi một kích thước là x, điều kiện 0 < x < 8 ⇒ Diện tích là S(x) = x( 8 – x)
- Tìm x∈(0; 8) để S(x) lớn nhất ĐS: x = 4 cm
3) Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất, biết diện tích bằng 48cm2
HD: - Gọi x là một kích thước của hình chữ nhật, điều kiện x > 0
- Chu vi của hình chữ nhật làP x( ) 2(x 48)
x
- Tìm x∈(0; +∞) để P(x) nhỏ nhất ĐS: Hình vuông có cạnh bằng 4 3 m
4) Người ta dùng tấm kim loại để gò một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước Hãy xác định kích thước của hình trụ để vật liệu ít tốn nhất
HD: - Gọi bán kính đáy hình trụ là x, x > 0 ⇒ Chiều cao hình trụ là V2
x
π
- Diện tích toàn phần của hình trụ là S(x) = 2 2 2V
x x
π + ĐS: x = 3
2
V
π
Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’
- Tìm các cực trị thuộc [a; b] của hàm số Giả sử các điểm cực trị là x1, x2,…xn
- Tính f(x1), f(x2)….f(xn) và f(a), f(b), so sánh Rồi kết luận
• Chú ý: - Nếu hàm số f(x) tăng trên [a; b] thì Maxy = f(b) và miny = f(a)
- Nếu hàm số f(x) giảm trên [a; b] thì Maxy = f(a) và miny = f(b)
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a) y= 2x3 + 3x2 – 12x + 1 trên đoạn [-1; 5] b) y = 1 + 4x + x2 trên đoạn [-1; 3];
c) y= 5 −4x trên đoạn [-1; 1] d) y= sin2x – x trên [ ]
2
;
0 π e) y= 4x2 16x 34
+
− trên đoạn [-1; 4] g) y= sin2x - 2sinx trên đoạn [- ; ]
2 π π
h) y = x + cos2x trên đoạn [0; ]
4
l) y= cos2x + x trên đoạn [ ]
2
; 2
π π
n) y =
x
x
ln2
trên đoạn [1; e3] 2) Tìm GTLN, GTNN hàm số y= 3+x+ 6−x− (3+x)(6−x) ĐS: miny = 3 2 9
2
− , maxy = 3
3) Tìm GTNN hàm số y= x2−2x−3 2+ x+1 ĐS: miny = -1 tại x = -1
II SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ TÌM GTLN, GTNN
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trê n [a; b]bằng điều kiện có nghiệm của phuơng trình:
Ta thực hiện: - Xem phương trình f(x) – y = 0 là phương trình ẩn x
- Tìm điều kiện để phương trình ẩn x có nghiệm trên [a; b]
1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: ) 2 1 ;
1
x
+
=
2
x
+
=
1
x
1
ax b
x
+
Trang 73) Tìm GTLN, GTNN hàm số y=
2 x cos
+ sin
cosx 2
( Đề thi vào Cao Đẳng Kinh tế Kỹ thuật 2005).
4) Tìm GTLN, GTNN hàm số y=
1 sinx sin
1 sinx
2
+ +
+
Bài tập trắc nghiệm
1.Hàm số y 4 x= 2−2x 3 2x x+ + − 2 đạt GTLN tại hai giá trị x1, x2 Ta có x1.x2 bằng:
2 Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x 1
+
= + + Thì M - m gần nhất với số nào:
3 Giá trị lớn nhất của hàm số y = sinx + cosx là:
4 Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số y 2x2 24x 5
x 1
=
+ , trong các mệnh đề sau hãy tìm mệnh đề đúng:
A.M = 2; m = 1 B M = 0, 5; m = - 2 C M = 6; m = 1 D M = 6; m = - 2
5 Hàm số y = 2ln(x+1) - x2 + x đạt GTNL tại x bằng:
6 Hàm số f(x) = 2cos2x + x, với 0 x
2
π
≤ ≤ đạt GTNL tại x bằng:
A
7 Phương trình x3 + tgx = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc [ ; ]−π π :
8 Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R Chu vi hình chữ nhật lớn nhất khi tỉ số MN
MQ bằng:
9 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4] là:
A.GTLN bằng 15; GTNN bằng 8 B GTLN bằng 15; GTNN bằng -41
C GTLN bằng 40; GTNN bằng -41 D GTLN bằng 40; GTNN bằng 15
10 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = tg x-3 1 +2, 0< x < là một phân số tối giản a.
π
11 Trong hệ toạ độ Oxy cho parabol (P): y = 1 - x2 Một tiếp tuyến của (P) di động có hoành độ dương cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A và B Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi hoành độ của điểm M gần nhất với số nào dưới đây:
12 Cho hàm số y = sin4x - cos2x Tổng GTLN và GTNN của hàm số là:
A 5
4
4
13 Xét lập luận sau: Cho hàm số f(x) = ex(cosx - sinx + 2) với 0 x≤ ≤ π
(I) Ta có f'(x) = 2ex(1 - sinx) (III) Hàm số đạt GTLN tại x
2
π
= (II) f'(x) = 0 khi và chỉ khi x
2
π
= (IV) Suy ra f(x) e , x≤ 2π ∀ ∈(0; π)
N M
Trang 8Laôp luaôn tređn sai töø ñoán naøo:
14 Giaù trò lôùn nhaât vaø giaù trò nhoû nhaât cụa haøm soâ y = sinx + cosx laø:
A.GTLN baỉng 2; GTNN baỉng 0 B GTLN baỉng 2; GTNN baỉng -2
C GTLN baỉng 2; GTNN baỉng - 2 D GTLN baỉng 1; GTNN baỉng -1
15 Giaù trò nhoû nhaât cụa haøm soâ y = x3(x - 4) laø:
16 Giaù trò lôùn nhaât cụa haøm soâ y= 3 2x x− − 2 laø:
18 Trong taât cạ caùc hình chöõ nhaôt coù cuøng dieôn tích S, chu vi hình chöõ nhaôt coù chu vi nhoû nhaât laø:
19 Gói M laø giaù trò lôùn nhaât vaø m laø giaù trò nhoû nhaât cụa haøm soâ y = |- x3+3x2 - 3| tređn ñoán [1; 3] Thì M + m gaăn nhaât vôùi soâ naøo:
20 Giaù trò lôùn nhaât, giaù trò nhoû nhaât cụa haøm soâ ( ) ( )
2
x 2
x
+
Phaăn: Tính loăi loõm vaø ñieơm uoân cụa ñoă thò
I. Toùm taĩt lyù thuyeât
Cho haøm soâ y = f(x) coù ñoă thò laø (C) xaùc ñònh tređn khoạng (a; b)
1) Ñoă thò (C) loăi tređn khoạng (a; b) ⇔ f’’(x) < 0 vôùi ∀x ∈(a;b)
2) Ñoă thò (C) loõm tređn khoạng (a; b) ⇔ f’’(x) > 0 vôùi ∀x ∈(a;b)
3) Ñieơm M0(x0; f(x0)) laø ñieơm uoân⇔ f’’(x) ñoơi daâu khi x qua x0.
II. Baøi taôp
1) Tìm khoạng loăi loõm vaø ñieơm uoân cụa ñoă thò caùc haøm soâ sau:
x
4 x
x2
+
−
2) Chöùng minh raỉng haøm soâ y = 3x2 – x3 loõm trong khoạng (−∞;1) loăi trong khoạng (1; +∞)vaø ñieơm uoân coù hoaønh ñoô baỉng 1
3) Xác định a và b để điểm I(2; - 6) là điểm uốn của đồ thị hàm số: y = ax3 + bx2 + x - 4
4) Xác định m để điểm M(- 1; 2) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = mx3 + 3mx2 + 4
5) Cho hàm số: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3x - 5 Định m để:
a) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (- 5; 2) b) Đồ thị hàm số có điểm uốn với hoành độ x0 > m2 - 2m - 5 6) Tìm a để đồ thị hàm số y = x4 - ax2 + 3
a) Có hai điểm uốn b) Không có điểm uốn nào
7) Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 - 9x +5 tiếp tuyến tại điểm uốn cóhệ số góc nhỏ nhất
8) Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = 22x 1
+ + + có ba điểm uốn thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua các điểm uốn
9) Xác định a và b để đồ thị hàm số: y= x4 + 8ax3 +3(1+ 3a)x2.- 4 có hai điểm uốn mà hoành độ thỏa mãn bất
Trang 9phỉång trçnh <0
−
−
−
2
2
x 4x 5
2x x
Bài tập trắc nghiệm
1.Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - mx2 + 3 có hai điểm uốn ta có:
2 Giá trị m để đồ thị hàm số y = mx3 - 6x2 +1 nhận điểm I(1; - 3) là điểm uốn là:
3 Cho hàm số y = x3 - 2x2 - x + 9, có đồ thị (C) Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
A.Điểm uốn là trung điểm của đoạn nối cực đại và cực tiểu của (C) B Đồ thị (C) luôn luôn lồi
C Đồ thị (C) có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu D Đồ thị (C) có một điểm uốn
4 Đồ thị hàm số y x 12
x
+
= có bao nhiêu điểm uốn:
5 Cho hàm số y = lnx Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề sai:
A.Đồ thị hàm số không có điểm uốn B Phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm
C Hàm số có một điểm cực trị D Đồ thị hàm số lồi trên (1; e)
6 Cho hàm số y = f(x) = 2x4 + x2 - 1 Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A.Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (1; 5) B Đồ thị lõm trên khoảng (-2; 1)
C Đồ thị hàm số có một điểm uốn D Đồ thị hàm số có hai điểm uốn
7 Trong các đồ thị của các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có khoảng lồi lõm nhưng không có điểm uốn:
A y x 12
x 1
+
=
+ B.y = x3 +3x2 + 2x + 1 C y x 2
x 3
+
= + D.y = x4 - 2x2 + 1
8 Đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + 9 có bao nhiêu điểm uốn?
9 Đồ thị hàm số y = x4 + 4x2 + 1 có bao nhiêu điểm uốn?
10 Điểm nào sau đây là điểm uốn của đồ thị hàm số y = - x3 + 3x2:
Phần: Tiệm cận của đồ thị
I Lý thuyết cơ bản
1) Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) 0
x
Lim f(x) y
→∞
2) Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x)
0
x x
Lim f(x)
→
3) Đường thẳng y = ax + b, a 0≠ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) ( )
x
→∞
Chú ý: - Cách tìm các hệ số a và b:
x
f(x)
a Lim
x
→∞
x
b Lim f(x) ax
→∞
- Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y ax2 bx c
a'x b'
=
+ ta thực hiện:
+ Chia tử cho mẫu Hàm số viết lại là y Ax B C , A 0
a'x b'
+ + Ta có y = Ax + B là tiệm cận xiên
II Bài tập
1) Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau
a) y 2x 1
x 2
−
=
2 3x
=
1 x
=
x 2
= − +
+ 2) Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
a) y x2 x 1 b) y 2x2+x 1+ c) y x 2 3 d) y x sin x
Trang 103) Cho hàm số y x m 3
m x
− Xác định m để để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số qua điểm A(1; 2) 4) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y 2x22 x 1
= + 5) ) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y x22 x 1
=
Bài tập trắc nghiệm
1.Phương trình các tiệm cận của đồ thị hàm số y 5x 1 3
2x 3
− là:
A.5x - y + 1 = 0 và 2y - 3= 0 B 5x - y + 1 = 0 và 2y + 3 = 0
C 5x - y + 1 = 0 và 2x + 3= 0 D 5x - y + 1 = 0 và 2x - 3 = 0
2 Cho đồ thị (C): y= 3−x3+3x2 Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng
A.(C) Có tiệm cận đứng B (C) Có tiệm cận xiên
C (C) Có tiệm cận ngang D (C) Không có tiệm cận
3 Cho đồ thị (C): y 2x2 3x m
x m
=
− Với giá trị nào thì đồ thị (C) không có tiệm cận đứng?
A.(C) luôn có tiệm cận đứng với mọi m B m = 0; m = 1 C m = 1 D m = 0
4 Cho ba hàm số (I): y 5x
2 x
=
− ; (II): y x2
x 1
= + ; (II): y 2x 2
−
=
− + Hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng x
= 2 làm tiệm cận:
A.(I) và (II) B Chỉ có (I) C Chỉ có (II) D (I) và (III)
5 Đồ thị hàm số y = x4 - x2 + 1 có bao nhiêu đường tiệm cận
6 Cho đồ thị (C): y= 3x3−2x Có tiệm cận xiên là:
7 Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y x2 x 1
x 1
+ +
= + là:
A.y = x và x = -1 B y = x+ 2 và x = 1 C y = x + 1 và x = 1 D y = x và y = 1
8 Đồ thị hàm số y x22 x 1
=
− − + có bao nhiêu đường tiệm cận
9 Số tiệm cận của đồ thị hàm số y 2 2x
=
− − là:
10 Giá trị m để đồ thị hàm số y 2x2 mx 3, m 5
x 1
− có tiệm cận xiên qua gốc tọa độ là:
11 Cho đồ thị (C): y x2
x m
=
− Với giá trị nào của m thì (C) có tiệm cận?
A.Mọi m là số thực B m khác 1 C m = 0 D m khác 0
12 Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y x 2
x 1
+
=
− là:
A.y = 1 và x = -2 B y = 1 và x = 1 C y = -1 và x = -1 D y = -2 và x = 1
“Chúc các em luyện tập đạt kết quả tốt!”
