vecto và ứng dụng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.. 9 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.. trong đó S, p ,R, r ,ha, hb, hc là diện tích,nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoạ

KHAI THÁC TỪ BÌNH PHƯƠNG CỦA

0

MA MB+ +MC ³ uuur uuur uuuur

TRẦN VĂN HẬU

GV THPT số 1 Quảng Trạch

(MA MBuuur uuur uuuur+ +MC) ³0 (*) trong đó M là một điểm tuỳ ý nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, BA = c Đẳng thức xảy ra khi M º G (trọng tâm tam giác) Ta khai thác BĐT trên theo hai hướng tích vô hướng sau

A/ SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG DẠNG : 2 2 ( )2

2 u vr r=uuru +urv - -uur uuru v

Tacó:(MA+MB+MC)2 ³0Û MA2+MB2+MC2+2.MA.MB+2.MB.MC+2.MC.MA³0

Lúc này : OA = AB = OC = R, nên BĐT (*) trở thành : a2 + b2 + c2 £ 9R2

(1) + dụng hệ thức sin, thay a=2RsinA ; b=2RsinB; c=2RsinC ,vào (1) ta có

4

+ Áp dụng BĐT Bunhiacovski ,từ (1) có

3

1 (a+b+c)2 £ a2 + b2 + c2 £ 9R2

Þ

3

1

(a+b+c)2 £ 9R2 Þ 4R2

(sinA + sinB + sinC)2 £ 27R2

Þ sinA + sinB + sinC £ 3 3

2 (3) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

+Tiếp tục vận dụng các hệ thức lượng tam giác và các BĐT Cauchy ,Bunhiacovski từ (1) suy ra

2

R

2 9

4

R

S

2

2 2 2

2

R

+ + £ ç ÷è ø (6) ; 2p£3 3R (7) : 2S£3 3 R r (8)

sinBsinC (1 – cosA) + sinCsinA (1 – cosB) +sinAsinB (1 – cosC) £

8

9

(9)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

trong đó S, p ,R, r ,ha, hb, hc là diện tích,nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp ,độ dài các đường cao phát xuất từ đỉnh A,B,C của tam giác ABC

II/ Khi M º I : (tâm đường tròn nội tiếp tam giác, bán kính r)

Từ (*): a2+b2+c2£3(MA2+MB2+MC2)Þ a2

+ b2 + c2 £ 3(IA2

+ IB2 + IC2) (10) + Gọi E là tiếp điểm cạnh AC với đường tròn tâm I nội tiếp tam giác Xét tam giác AIE vuông tại E có:

2

sin 2

r A

IE

IB =

2 sinB

r

; IC =

2 sinC

r

Thay IA, IB, IC các biểu thức trên vào (10)

I

A

E

÷÷

÷

÷ ø

ö çç

ç ç è

æ

+ +

£ + +

2 sin 1 2 sin 1 2 sin

1 3

2 2

2

2 2 2 2

C B

A r

c b a

2 2

2 sin

1 2 sin

1 2 sin

1

r

c b

a C B

A

+ +

³ +

2

3

2

ø

ö ç è

æ

= + +

³

r

p r

c b a

2

3

p

è ø (11) Đẳng thức xảy ra khi

tam giácABC đều

+Tương tự thay IA2

= r2 + (p – a)2 , IB2 = r2 + (p – b)2 , IC2 = r2 + (p – c)2 vào (10)

Þ 2(a2 + b2 + c2) ³ 3p2

– 9r2 (12) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

+Tiếp tục khai thác trong mọi tam giác ABC ta luôn có

cotgA + cotgB + cotgC ³ 3 3

8

è ø. (12);

p £ R + r (13) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

III/ Khi M º G : (trọng tâm tam giác )

Từ (*) a2 + b2 + c2 £ 3(MA2

+ MB2 + MC2) Þ a2

+ b2 + c2 = 3(GA2 + GB2 + GC2 ) (14) +Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các trung tuyến đi qua A, B, C

Thay GA =

a m

3

2 , GB =

b m

3

2 , GC =

c m

3

2 vào (14) ta có đẳng thức

2 2 2

4 a +b +c (15)

+ Ta có a2 + b2 + c2 £ 9R2

; a2+b2+c2³ 2 2

3

4 ) (

3

1 a+b+c = p

m +m +m £ 27 2

4 R (16) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

8

m m m £ R (17) +Từ (15) ta có :

4

27 sin

sin sin

3 4

3 3

1

R C

B A

R c

b a m

m m m

m

2

9

R m m m m m

2 9

1 1

+ +

³ + +

Þ (18) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Từ (*) : a2 + b2 + c2 £ 3 (MA2

+ MB2 + MC2) Þ a2

+ b2 + c2 £ 3(HA2

+ HB2 + HC2) (19)

+Giả sử tam giác ABC có ba góc nhọn

Vì tam giác ABC nhọn nên trực tâm H nằm trong tam giác ABC

Giả sử A’, B’, C’ là chân các đường cao AH, BH, CH xuống các cạnh BC, AC, AB

Xét tam giác HA’C vuông tại A’ ta có

cos 2 sin

cos sin

' ' sin

'

C R B

C AC B

CA CHA

CA

Tương tự ta cũng có: HB = 2RcosB, HC = 2RcosC

H

B

C A'

B' C'

Thay các giá trị HA, HB, HC vào (19) ta có a2 + b2 + c2 £12R2

(cos2A+cos2B+cos2C) Þ

3

1

(a+b+c)2 £ 12R2

(cos2A+cos2B+cos2C)

Þcos2A + cos2B + cos2C ³ 2

3

p R

2

1 2

1 2

S

c h S

b h S

a

1

; 2

1

; 2

r h h

1 1 1

Từ (19) : a2 + b2 + c2 £ 3(HA2

2 2 2 2

HC HB

HA h

h h

S

c b a

+ +

£ + +

3

2 2

HC HB

HA h

h h

S

c b a

+ +

£

÷÷

ø

ö çç

è

æ

+

Þ HA2 + HB2 + HC2 ³ 2 2

3

S r

è ø . (21) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

+Giả sử tam giác ABC nhọn Gọi A’, B’, C’, là chân đường cao AH, BH, CH lần lượt xuống các

cạnh BC, CA, AB ta có:

ABC AHB ABC

AHC ABC

BHC

S

S S

S S

S

'

' '

'

'

= +

+

CC

HC BB

HB AA

HA

S cHC bHB aHA CC

HC BB

HB

AA

' '

3(HA2 + HB2 + HC2)2 ³ (a2

+ b2 + c2)( HA2 + HB2 + HC2) ³ (aHA + bHB +cHC)2

= 16S2

Þ HA2 + HB2 + HC2 ³ 4

3S. (22) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Mời các bạn tiếp tục khai triển (*) theo hướng

B/ SỬDỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG DẠNG: u vr r =uur uru v .cos( )uur uuru v,

Khai triễn BĐT (*) :

OC OB

2

- (23)

IC IB

IA+ + =IA2 +IB2 +IC2 -2IA.IB.cosC-2IB.IC.cosA-2IC.IA.cosB

Ta có các bài toán sau:

+Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có :

2

(24)

+Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau, trong đó A, B, C là 3 góc của một tam giác

( )

sin sin sin

25 2

Lời giải: (24)

Gọi N là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh AB ta có:

I A

B

N

IA = =

2

sin A

IN

2 sin A

r

; Tương tự :

IB =

2

sin B

r

; IC =

2 sinC

r

C

Và chú ý:

2 sin ) 2 90 cos(

) 2 180

cos(

cos

IB IA

C IB

IA B A IB

IA AIB IB

IA IB

-Tương tự: IB IC=

2 sin IC A IB

- ; IC IA=

2 sin IA B IC

BĐTÛ

÷

÷

÷

÷ ø

ö ç

ç ç ç è

æ

+ +

-÷

÷

÷

÷ ø

ö ç

ç ç ç è

æ

+ +

£

2

sin 2 sin 2 sin

2

sin 2 sin 2 sin

2

sin 2 sin 2

sin 2

2 sin 1 2

sin 1 2

sin

1

2 2

2

2

B A

C C

A

B C

B

A r

C B

A r

2 sin 1 2 sin 1 2

sin

1

2 2

2

³ +

+

C B

A

÷

÷

÷

÷ ø

ö ç

ç ç ç è

æ

+ +

2

sin 2 sin 2 sin

2

sin 2 sin 2 sin

2

sin 2 sin 2 sin

B A

C C

A

B C

B

A

(a)

÷

÷

÷

÷ ø

ö ç

ç

ç

ç

è

æ

+ +

2

sin 2 sin 2 sin

2

sin 2 sin 2 sin

2

sin 2 sin

2 sin

B A

C C

A

B C

B

A

÷

÷

÷

÷ ø

ö ç

ç ç ç è

æ

+ +

2 sin 1 2 sin 1 2 sin

1

C B

Từ (a) và (b) ta có:

÷

÷

÷

÷ ø

ö ç

ç ç ç è

æ

+ +

³ +

+

2 sin 1 2 sin 1 2 sin

1 2 2 sin 1 2

sin 1 2

sin

1

2 2

Đẳng thức xãy ra khi tam giác ABC đều

Lời giải (25)

ø

ö ç

è

2

sin 2

sin 2

÷

÷

÷

÷ ø

ö ç

ç ç ç è

æ

+ +

÷ ø

ö ç

è

2 sin 1 2

sin 1 2

sin

1 2

sin 2

sin

2

sin

2 2

C B

A

÷

÷

÷

÷ ø

ö ç

ç

ç

ç

è

æ

+ +

³

2 sin 1 2 sin

1 2

sin

1

2

C B

ø

ö ç

è

2

sin 2

sin 2

Đẳng thức xãy ra khi tam giác ABC đều

2 sin 1 2

sin 1 2

sin

1 2

sin 2

sin 2

sin

2 2

2

=

÷

÷

÷

÷ ø

ö ç

ç ç ç è

æ

+ +

÷ ø

ö ç

è

C B

A

C B

A

Khi và chỉ khi tam giác ABC đều

*Mặt khác, giả sử M, N, P là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC (có tâm I bán

kính r) với các cạnh AB, BC, CA ta sẽ có:

0 £ (IM+IN+IP)2 =3r2 -2r2(cosA+cosB+cosC)

Vậy trong mọi tam giác ABC ta có :

cosA + cosB + cosC £ 3

2. (26) , cosA.cosB.cosC £ 1

8 (27) Bài toán thay lời kết :

Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có :

6cosA.cosB.cosC + sin2A + sin2B + sin2C £ 3 (28)

Lời giải

Gọi A’, B’, C’, lần lượt là trung điểm BC, CA, AB

và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác,vì tam giác

nhọn nên O nằm trong tam giác ABC ta có:

' ' '

OC OB

+ OB‘2 + OC‘2)2 ³ 2 OB’

.OC’.cosA + 2 OA’.OC’.cosB + 2 OA’.OB’.cosC

Mặt khác ta có:OA’= OB.cos¼BOA' = OB.cosA Hay OA’ = R.cosA Tương tự ta có: OB‘ = RcosB, OC‘ = RcosC

A + sin2B + sin2C £ 3 (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều

*Bài toán trên cần chứng minh: cosA.cosB.cosC £ 1

8 và sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C £ 9

4

rồi suy ra kết quả trên thì không thể ngắn hơn

(MAuuur uuur uuuur+MB+MC) ³0 chúng ta lại “khám phá”

ra cách giải bài này Điều đó chứng tỏ toán học rất lạ! Toán học có ở quanh ta, mong các bạn

tiếp tục khai thác bình phương của một tổng Vectơ khác để “khám phá” ra điều mới, hấp dẫn

hơn /

O

A

B

C A'

B'

C'