Chủ đề 01 : khảo sát hàm số

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1; ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC Quý

TÀI LIỆU CỦA KYS – ÔN THI THPT 2018

CHỦ ĐỀ 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

MỤC LỤC

NỘI DUNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 9

NỘI DUNG 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 14

NỘI DUNG 3: GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ 22

NỘI DUNG 4: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 28

NỘI DUNG 5: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 36

NỘI DUNG 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 42

NỘI DUNG 7: TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 44

NỘI DUNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A Tóm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định lý 1: Cho hàm số yf (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)0 với mọi xK

b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)0 với mọi xK

 [ f(x) đồng biến trên K]  [f '(x)0 với mọi xK]

 [ f(x) nghịch biến trên K]  [f '(x)0 với mọi xK]

 [ f '(x)0 với mọi xK]  [ f(x) không đổi trên K]

2) Định lý 2: Cho hàm số yf (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x 0 với mọi xKthì hàm số f (x) đồng biến trên K

b) Nếu f ' x 0 với mọi xKthì hàm số f (x) nghịch biến trên K

c) Nếu f ' x 0 với mọi xKthì hàm số f (x) không đổi trên K

 [ f '(x)0 với mọi xK]  [ f(x) đồng biến trên K]

 [ f '(x)0 với mọi xK]  [ f(x) nghịch biến trên K]

3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số yf (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x 0 với mọi xKvà f ' x 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3  m 0

Ví dụ 2 Cho hàm số y x 33mx23(m21)x2m3 Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

x x

x 0 1 '( )

f x 0 ( )

Bài 4: Cho hàm số  

 

23

mx y

x m Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

mx y

x m Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh

Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys

Group học tập chất lượng cho học sinh:Gia Đình Kyser

NỘI DUNG 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x'( )0 0

2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc 1

Giả sử hàm số y f x liên tục trên khoảng ( ) a b; chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng a; x0

và x b0; Khi đó

a) Nếu f x'( ) 0 với mọi x a x; 0 và f x'( ) 0 với mọi x x ; b0

thì hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f x'( ) 0 với mọi x a x; 0 và f x'( ) 0 với mọi x x ; b0

thì hàm số ( )f x đạt cực đại tại điểm x0

3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a b; chứa điểm x0, f x'( )0 0 và f có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0 Khi đó

a) Nếu f ''( )x0 0 thì hàm số f x đạt cực đại tại điểm ( ) x0

b) Nếu f ''( )x0 0 thì hàm số f x đạt cực tiểu tại điểm ( ) x0

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị)

♣ Hàm số có ba điểm cực trị y'0 có ba nghiệm phân biệt

(1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

03

3

m m m m

a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0 y x'( )0 0 Giá trị của tham số m

b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y thử lại Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1 '

hoặc quy tắc 2

x 2 '

Bảng biến thiên

x 14 2 '

Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

y' 0 có hai nghiệm dương phân biệt

03

m P

m S

51

42

12

m m

m m x

y x mx (1), với m là tham số thực Cho điểm A(2;3) Tìm m để đồ thị

hàm số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

Bài 5: Cho hàm số y  x3 3x23(m2 1)x3m21 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các

điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

2

Bài 6: Cho hàm số y x 42mx2 m22 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của

đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông

NỘI DUNG 3: GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định nghĩa: Giả sử hàm số yf x  xác định trên tập hợp D

 Số M được gọi là GTLN của hàm số yf x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn

 Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì

ta hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của nó

 Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự

2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa)

Dấu "=" xảy ra khi ab

 Với ba số a, b, c không âm a, b, c0 ta luôn có: a b c 3 3

abc a b c 3 abc3

Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình

Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng yf x 

 Tập xác định của hàm số được định nghĩa là:

+ Trường hợp 1: Với y 1 thì (2) có nghiệm x 0

+ Trường hợp 2: Với y 1 thì (2) có nghiệm 0

♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:

 1 2yy cos x 1 sin x ycosx sinx 1 2y (2) (dạng a cos x bsin x c  )

Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích)

 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:

Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn  a; b thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó

 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số yf x  trên miền D, ta lập BẢNG

BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả

 Phương pháp riêng:

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần lập

bảng biến thiên của nó Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a b; và có đạo hàm trên khoảng  a b; ,

có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu '( ) 0f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc  a b; thì ta có quy

tắc tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn  a b; như sau:

 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn  a b;

 Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn  a b;

4'

II Đổi biến (đặt ẩn phụ)

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin2x cosx 1

♥ Vậy minx D y 2 2; maxx D y 2

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC

Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh

Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys

Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser

NỘI DUNG 4: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Bài toán tổng quát

Trong mp(Oxy) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số: 1

2

(C ) : y f(x)(C ) : y g(x)

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 )

Chú ý 1:

* (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2:

* Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

x

O O

O

)(C1

)(C2

)(C1

)(C2

)(C1

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

x 1 có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng (d): y  x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

♦ C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (1) có ba nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

m m m

t2 (3m 4)t m2 0 (2)

♦ C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt (1) có bốn nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm dương phân biệt

50

43

m m

450

m m

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

450

m m

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị

Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

2 CÁC VÍ DỤ

2

mx y

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

Theo định lý Viet ta có:

1 2

1 2

3212

2

m

♦ C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (1) có ba nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

9 4( 2) 0

m m

1742

m m

t2 (3m 4)t m2 0 (2)

♦ (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt (1) có bốn nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm dương phân biệt

43

m m

450

m m

m t

m

m

C BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y 2x 1

x 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y 3x m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

Đáp số: 1

11

m m

m m

x 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  x m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho AB 26

x 2 có đồ thị là (C) Chứng minh rằng đường thẳng  

1

2 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt ,A B Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất

Đáp số: m2

Bài 9*: Cho hàm số  



2x 4y

x 1 có đồ thị là (C) Chứng minh rằng đường thẳng y 2x m luôn cắt (C)  tại hai điểm phân biệt ,A B Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất

Đáp số: m4

Bài 10*: Cho hàm số 2 1

1

x y x

NỘI DUNG 5: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm M (x ;y ) (C)0 0 0 

Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng:

yy0 k x x0 hay y f '(x )(x x ) f(x ) 0  0  0

Trong đó: x0: hoành độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0 = f(x0) k: hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức: k = f'(x0)

1

x y

x có đồ thị là C Viết phương trình tiếp tuyến của C tại các giao

điểm của C và đường thẳng y x 3

♣ Phương trình tiếp tuyến tại A là y 3 y'(0)(x 0) y x 3

♣ Phương trình tiếp tuyến tại B là y 1 y'(2)(x 2) y x 1

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y x 3 và y x 1

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình: f x'( )0 k, từ đó suy ra y0  f x( )0 =?

Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: yy0 k x x0 ta sẽ được pttt cần tìm

2

x y

x có đồ thị là C Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5

Chú ý: Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như: tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng () có phương trình dạng: y = ax + b thì hệ số góc của () là:

♦ Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là k 9

♦ Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k 9 y x'( )0 9

3x02 6x0 9 0

0

0

13

a

b ax

Ví dụ 2: Cho hàm số 2

2

x y

x có đồ thị là C Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) :y x 2

Bài giải:

2

y x

♦ Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là k 1

♦ Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k 1 y x'( 0) 1

2

0

4

12

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y x 1 và y x 7

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x A ;y A )

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm M0(x0;y0)( )C

( ) :d y f x'( )(xx ) f x( ) (*)

Bước 2: Định x0 để (d) đi qua điểm A(xA;yA) Ta có:

(d) đi qua điểm A(xA;yA) y A f x'( )(0 x Ax0) f x( )0 (1)

Bước 3: Giải pt (1) tìm x0 Thay x0 tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm

x y

A A A

)(:

)(C y f x

x có đồ thị là C Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A 6;5

22

x y

x là tiếp điểm và là tiếp tuyến với C tại M 0

♦ Phương trình : y y0 y x'( )(0 x x 0)

0

0 2

0

0

06

NỘI DUNG 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG

Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hồnh độ giao điểm của (C1):y = f(x) và (C2):y = g(x)

Bài tốn: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng: f x m * Phương pháp:

Bước 1: Xem (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) là đồ thị cố định ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox và cắt Oy tại M(0;m)

C y f x

y m

Bước 2: Vẽ (C) và () lên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của () và (C)

Từ đĩ suy ra số nghiệm của phương trình (*)

)(C2

Khi đó số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của C và

♦ Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt cắt C tại ba điểm phân biệt

NỘI DUNG 7: TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Định nghĩa: Cho hàm số y f x( ) xác định trên tập D

Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy , tập hợp (C) tất cả các điểm có toạ độ ) x f x; ( ) với xD được gọi là đồ thị của hàm số y f x( )

♦ Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa x0;

♦ Giải phương trình tìm x0, suy ra y0 f x 0 M x y 0; 0

3

x y

x có đồ thị là C Tìm điểm M thuộc đồ thị C sao cho khoảng cách từ

Bài giải:

♦ Đồ thị C có tiệm cận đứng 1:x 3 0 và tiệm cận ngang 2:y 3 0

♦ Gọi M x y0, 0 C với 0

0 0

3

x y

x

0

0

163

♦ Vậy có hai điểm thỏa đề bài là M1 1;1 và M2 7;5

1

x y x

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC

Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh

Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys

Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser