Bài toán vận dụng cao chủ đề 1 KHẢO sát hàm số ỨNG DỤNG có lời giải file word

Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số mChú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m 0, ta có thể chọn m là một số dươngnhư m 3 để làm.. Phương trình 1 có nghiệm th

Chủ đề 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG

Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số yx3 mx5, m là tham số Hỏi hàm số đã

cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị

50

x y x

   vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại0

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)

Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m

Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m 0, ta có thể chọn m là một số dương(như m 3) để làm Tương tự ở trường hợp 3, ta chọn m 3 để làm sẽ cholời giải nhanh hơn

Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y  có hai0nghiệm phân biệt 2

3x 2x m 0 (1)có hai nghiệm phân biệt1

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số

Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ

thị hàm số y x 33x2mx m  2 nằm về hai phía so với trục hoành?

Vậy m 3 thỏa mãn bài toán

Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua

điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số yx3 3mx2 cắt đường tròn tâm

I

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3mx2 cóphương trình : y2mx2

Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 1

2 khi sinAIB 1 AI BI

Gọi H là trung điểm AB ta có: 1 2  , 

Giả sử A x x 1; 1m1 , B x x 2; 2m1 AB 2 x2 x1

Theo giả thiết  2 2

Kết hợp với điều kiện  * ta được m  4 10

Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy4y1.Giá trị

Câu 11: (NGÔ GIA TỰ - VP) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

TH2:   0 m 3 y có hai nghiệm x x x1, 2 2 x1

 Hàm số luôn nghịch biến trên x x 1; 2

Yêu cầu đề bài:

Câu 12: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

m

m m

Mặt khác theo viet ta có x1x2x33 (2) Từ (1) và (2) suy ra x2 1 Tức x 1

là một nghiệm của phương trình trên Thay x 1vào phương trình ta được1

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.

Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho   2  2

1 1 1 1

f f f f e với ,m n là các số tự nhiên và m

n tối giản Tính2

 là phân số tối giản

Giả sử d là ước chung của 20182 và 20181

Vậy m n 2  1

Câu 16: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để đồ thị hàm sốysinxcosx mx đồng biến trên 

Hướng dẫn giải Chọn D.

 với  x sinx cos x

Ta có:   sin cos 2 sin 2

Câu 17: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục

trên đoạn 2;2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới Xác định

giá trị của tham số m để phương trình f x  m có số nghiệm thực nhiềunhất

Hướng dẫn giải Chọn B.

Dựa vào đồ thị ta có đồ thị của hàm số y f x( ) là:

Từ đồ thị ta thấy rằng, với m thỏa 0m2 thì phương trình f x  m có số nghiệm nhiều nhất là 6.

Câu 18: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Hàm số y x2 4x

21

 

2 2 2

m m

Vậy đồ thị hàm số y x 3ax2 bx c và trục Oxcó 3 điểm chung

Câu 20: (CHUYÊN ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số

x y

y t Với x   2;2 thì t   arctan 2;arctan 2

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x 1 tương ứng với

  khi và chỉ khi

4

t  Vậy m 0 thỏa mãn bài toán

Cách 2: Ta có  

2 2 2

11

y x



 

 , TH1: m 0 y0 là hàm hằng nên cũng coi GTLN của nó bằng 0 khi x 1

Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị

lớn nhất tại x 1 trên đoạn 2; 2 khi và chỉ khi

23 4 5

6

+

1 4 -1

-2 -

f(t)

f'(t) t

Ta có: y'm2 m x2 3x 4 m2 m

Đặt f x  x2 3x4  P

Yêu cầu bài toán :

32

2

744

3 2

77

4

3 44

43

2

1 2 2

; 22

1 2 222

m m

m m

m

m m

Ta có:

2 2 2

512 32( )

x y

Câu 26: (NGUYỄN TRÃI – HD) Phương trình 223x.2x1024x 23x3 10x2 x có tổng

các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây

A 0,35 B 0, 40 C 0,50 D 0, 45

Hướng dẫn giải Chọn D

A m 2 hoặc m 3.B m 2 hoặc m 3

C m 3.D m 2 hoặc m 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị  C :

Với x  ta có giao điểm là 0, A0;4 

d cắt  C tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm

phân biệt khác 0

 2

Mà    

 22

Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị m 2

Câu 28: Cho hàm số  sin ,2 0;

Tập xác định: D  Ta có y  1 msinx

Hàm số đồng biến trên   y' 0,  x  msinx  1, x 

Trường hợp 1: m 0 ta có 0 1, x    Vậy hàm số luôn đồng biến trên 

m vl m

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: mmin ( )g x  m2

Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

x y

+) Điều kiện tan xm Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên 0;







  m 2  0 m0;m1

q tối giản và q  Hỏi tổng 0 p q là?

Lập bảng biến thiên của ( )g x trên (1;2) ( ) 2 g x  x 0 x0

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: min ( ) 5

Hàm số đồng biến trên (1;) khi và chỉ khi ( ) 0,g x   x 1 và m 1 (1)

Vì g2(m1)2  0, m nên (1) g x( ) 0 có hai nghiệm thỏa x1x21

Điều kiện tương đương là

2

2 (1) 2( 6 1) 0

3 2 2 0, 21

2

m S

Do đó không có giá trị nguyên dương của mthỏa yêu cầu bài toán

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình

Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m 2.

Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình

Khi đó phương trình đã cho trở thành m t  2 t 5 t2 t 5 m  (1).0

Nếu phương trình (1) có nghiệm t t1 2, thì t1t2 1 (1) có nhiều nhất 1

nghiệm t 1.

Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phươngtrình (1) có đúng 1 nghiệmt 1; 5 Đặt g t( )t2 t 5 Ta đi tìm m đểphương trình ( )g t m có đúng 1 nghiệmt 1; 5 Ta có

Từ bảng biến thiên suy ra  3 m 5 là các giá trị cần tìm.

Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình:

t x Điều kiện: t 1 Phương trình thành: 2

Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất

phương trình: x2 3x  cũng là nghiệm của bất phương trình2 0

Câu 45: Bất phương trình 2x33x26x16 4 x2 3 có tập nghiệm là a b ; 

Hỏi tổng a b có giá trị là bao nhiêu?

So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S [1; 4] a b 5

Câu 46: Bất phương trình x2 2x 3 x2 6x11 3 x x1 có tập nghiệm

a b Hỏi hiệu ;  b a có giá trị là bao nhiêu?

Do đó hàm số đồng biến trên [0;) (1)  f x(  1) f(3 x) x1 3  x2

So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S (2;3]

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số   4 2 3

1

2

y m x  mx chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

TH2: m   1 0 m 1 Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có :

đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm này 

  0

2 1313

2 1313

m m

Do đó x x1 22x1x2  1 3m22m  1 1 3m22m 0

023

m m

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 49: Cho hàm số y x 4 2 1  m x2 2m1 Tìm tất cả các giá trị của tham số

thực mđể hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm sốlập thành tam giác có diện tích lớn nhất

Câu 50: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm số

y x  m x  mx có hai điểm cực trị ,A B sao cho đường thẳng AB

vuông góc với đường thẳng : y x 2

A. 3

2

m m

Kết quả : 1001000 9980001.i Hay : y1001000 9980001. x

Vậy phương trình đt qua 2 điểm cực trị AB là : y m 2 m m12x

Có đt AB vuông góc với đường thẳng y x 2 khi và chỉ khi  m12 1

02

m m





  



Câu 51: Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số: y x 3 3x2 mx2 có

điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình:

 1

y x  d

0.92

m m

Gọi I là trung điểm của AB I1;m

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: 2 6 6  

Câu 52: Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số: 4 2 2 4

ba điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứgiác nội tiếp



  

Kết hợp điều kiện m 1 ( thỏa mãn)

Câu 53: Tìm các giá trị của tham sốmđể đồ thị hàm số: yx4 2mx2 m có ba

điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác cóbán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1

.2

ABC

S  AI BC m m

Chu vi của ABClà: 2p AB BC AC   2 m m 4  m

Bán kính đường tròn nội tiếp ABC là:

2 4

Theo bài ra: 2  4 

2

4 4

So sánh điều kiện suy ra m 2 thỏa mãn

Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m m







 

Câu 55: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật

a

Câu 57: Cho hàm số

22cos cos 1

.cos 1

2 4( )

2( )

3

     Vậy M 1,m0

0 0

Câu 59: Cho hai số thực x0, y0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện





 có đường tiệm cận đứng là x a và đường tiệm

cận ngang là y b Giá trị của số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn m a b  là

Hướng dẫn

Chọn D

Tọa độ điểm M có dạng 0

0 0

2 3

;2

Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra ngay trên đáp án

+ Với m 2, ta giải phương trình bậc ba: 1 3 2 4

3x  x  x 3 thu được 3nghiệm x16.37 ,x2 1,x3 0.62 Ta chọn những giá trị nhỏ hơn cácnghiệm này và kiểm tra điều kiện của bài toán

2 10;

 



 có đồ thị là  C , đường thẳng : d y  x m Với mọi

m ta luôn có d cắt  C tại 2 điểm phân biệt A B, Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ sốgóc của các tiếp tuyến với  C tại A B, Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá trị lớnnhất



 

, nên tiếp tuyến của  C tại A và B có hệ số góc lần

Phương pháp tự luận

 Ta có

 2

31

y x

 



2 13

0 2 0





 có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị

hàm số  C tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường

tròn nội tiếp lớn nhất Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị  C

0 0

23

11

x

x x



   



 Giao điểm của  với tiệm cận đứng là 0

0

51;

1

x A x





 có đồ thị  C Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M

bất kỳ của  C luôn cắt hai tiệm cận của  C tại A và B Độ dài ngắn nhất

m m

Ta có  

2 2

x đối xứng nhauqua đường thẳng :d x 2y 6 0 là

Giả sử  cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , A B Khi đó hoành độ của , A B là

nghiệm của phương trình

h x

x x

Vậy tọa hai điểm cần tìm là 1; 5  và 1; 1 

Câu 70: (CHUYÊN QUANG TRUNG) Để hàm số y x2 mx 1

3

12

m

m m y

m m

2

6 8

43

x

x x

  Lập bảng biến thiên ta thấy hàm

số đạt cực đại tại x 2 nên m 3 ta nhận

 Với

 

2 2

02

21

x

x x

x y  x  y Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P4x2y215xy là

Hướng dẫn giải Chọn C

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 83

Câu 72: (CHUYÊN VINH – L2)Cho hàm số bậc ba yf x  có đồ

thị như hình bên Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

Nhận xét: Đồ thị hàm số y f x m gồm hai phần:

 Phần 1 là phần đồ thị hàm số yf x m nằm phía trên trục hoành;

 Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số yf x m nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

Dựa vào đồ thị của hàm số yf x  đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thịcủa hàm số yf x m Khi đó hàm số y f x m có ba điểm cực trị khi vàchỉ khi đồ thị hàm số yf x m và trục hoành tại nhiều nhất hai điểmchung

Khi đó | ( ) |f x m có bốn nghiệm phân biệt 1 2 3 4

12

d f

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình | ( ) |f x m có bốn nghiệm phân biệt

12

Hướng dẫn giải Chọn C

Xét hàm g t  7t3 70t2147t 36

Do phương trình g t  21t2140 147 0t  có hai nghiệm dương phân biệt và

 0 36 0

g   nên g t  có 3 nghiệm dương phân biệt   0

Do đó f x  0có 6 nghiệm phân biệt

Câu 75: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

Câu 76: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Phương trình 2017sinx sinx 2 cos 2x có bao nhiêu

nghiệm thực trong 5 ; 2017  ?

A.vô nghiệm B 2017 C 2022 D 2023

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có hàm số y2017sinx sinx 2 cos 2x tuần hoàn với chu kỳ T 2

Xét hàm số y2017sinx sinx 2 cos 2x trên 0; 2 

Ta có

cos 2017 ln 2017 cos cos 2017 ln 2017 1

Vậy trên 0;2 phương trình  2017sinx sinx 2 cos 2x có đúng ba nghiệm phân biệt.

Ta có y   , nên trên   0 0; 2 phương trình  2017sinx sinx 2 cos 2x có ba nghiệmphân biệt là 0, , 2 

Suy ra trên 5 ;2017  phương trình có đúng 2017  5 1 2023 nghiệm