PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

---PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ALý Thuyết : * Vectơ và các phép toán về vectơ trong không gian Oxyz 1Vectơ, tọa độ của vectơ, tọa độ của một điểm, tích vô hướng của hai vectơ và

-PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A)Lý Thuyết :

* Vectơ và các phép toán về vectơ trong không gian Oxyz

1)Vectơ, tọa độ của vectơ, tọa độ của một điểm, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất :

Được xây dựng tương tự như trong mặt phẳng Oxy, chỉ khác là ở mặt phẳng Oxy các công thức chỉ có mặt 2 thành phần là hoành độ và tung độ , còn trong không gian Oxyz thì các công thức có mặt 3 thành phần là hoành độ tung độ và cao độ

Ví dụ:

Trong mpOxy có a r = ( a a1; 2) ; b r = ( b b1; 2)thì a b a b r r = 1 1+ a b2 2.

Trong mpOxyz có a r = ( a a a1; ;2 3) ; b r = ( b b b1; ;2 3)thì a b a b r r = 1 1+ a b2 2+ a b3. 3

…………

2)Tích có hướng của hai vectơ trong không gian và ứng dụng :

-Định nghĩa : Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ a r = ( a a a1; ;2 3) ; b r = ( b b b1; ;2 3)thì tích có hướng của 2 vectơ trên là một vectơ kí hiệu là  a b r r ;  (hay a b r r ∧ ) và có tọa độ

là :

a

a b

r r

- Tính chất

-a r

a b

 

⇔  r r  = r

-  a b r r ;  vuông góc với các vectơ a b r & r.

-   a b r r ;  =  a b r r sin ϕ

- Ứng dụng :

+ Ứng dụng 1: Kiểm tra hai vectơ cùng phương ( không cùng phương ) ; 3 vectơ đồng phẳng ( không đồng phẳng ) :

- a r

⇔   a b r r ;   = 0 r

- a b c r r r ; ;

đồng phẳng ⇔   a b c r r r r ;   = 0

+ Ứng dụng 2: Tính diện tích hình bình hành ; tam giác:

ShbhABCD =   uuur uuur AB AD ;   ; 1 ; .

2

ABC

S∆ =   AB AC  

uuur uuur

+ Ứng dụng 3: Tính thể tích hình hộp ; hình tứ diện:

' ' ' '

'

1

6

ABCD A B C D

ABCD

uuuuur uuur uuur uuur uuur uuur

* Phương trình mặt phẳng trong không gianOxyz

1)Trong không gian Oxyz mặt phẳng(α ) qua điểm M x y z0( ; ; );0 0 0

có vet tơ pháp tuyếnn r

( ; ; ) A B C

phương trình tổng quát của mp

2) Chú ý:

rồi áp dụng công thức (1)

- Hai vectơ u v r r ;

không cùng phương mà các đường thẳng chứa 2 vectơ đó song song hoặc nằm trong mp ( ) α thì n r =    u v r r ;  là một vec tơ pháp tuyến của mp ( ) α

- Đặc biệt mp cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0);C(0;0;c) thì pt mặt phẳng(ABC) được viết nhanh hơn:

1

a+ + =b c ( Pt mp theo đoạn chắn)

- mp (Oxy)có pt z=0; mp (Oyz)có pt x=0 mp (Oxz)có pt y = 0

• Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz.

1)Đường thẳng (d) qua M x y z0( ; ; )0 0 0 có vectơ chỉ phương u r = ( ; ; ) a b c có:

- PTTS là:

0

0

0

= +





 = +



( Từ PTTS khử t có PTCT)

-2)Chú ý : Để viết phương trình của một đường thẳng cần biết một điểm và một

vec-tơ chỉ phương(Cách 1) hoặc tìm hai điểm (Cách 2), hoặc tìm 2 mp cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng đó (Cách 3)

• Vị trí tương đối

1)Các khái niệm:

- Hai bộ số ( ; ; ) A B C1 1 1 và (A2;B2;C2 ) được gọi là tỉ lệ với nhau nếu tồn tại một số thực

0

Nếu hai bộ số ( ; ; ) A B C1 1 1 và (A2;B2;C2 ) trên tỉ lệ nhau ta kí hiệu:A1 :B1 : C1 = A2 :

.

5 :10 :15 1: 2 : 3( 5);0 :1: 2 0 : : 1( ).

-Tính chất : Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi hai bộ tọa độ của chúng tỉ lệ

- Để xét vị trí tương đối của hai đối tượng hình học ( hai mp; 2 đt ; 1đt và 1mp) ta thường dựa vào quan hệ giữa các vectơ đặc trưng của chúng ( Đường thẳng đặc trưng bởi VTCP ; mặt phẳng đặc trưng bởi VTPT ) hoặc dựa vào số nghiệm của hệ phương trình của chúng để xét Ta có kết quả như sau:

2) Vị trí tương đối giữa 2 mp:

A x B y C z D

A x B y C z D

α β

Ta có :

A B C1: 1: 1≠ A B C2: 2: 2 ⇔ ( ) α cắt( ) β

A = B = C ≠ D ⇔ ( ) // ( ) α β

A = B = C = D ⇔ ( ) ( ) α ≡ β

3) Vị trí tương đối của 1 đường thẳng và một mặt phẳng:

- Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số :

0

0

0

.

= +



 = +



 = +



(1) và mp( ) α có

- Để xét vị trí tương đối của(d) và ( ) α ta giải hệ (1) và(2) bằng cách thế x;y;z theo t

ở (1) vào(2) ta có phương trình ẩn t; nếu phương trình có 1 nghiệm t duy nhất thì (d) cắt ( ) α ; nếu phương trình vô nghiệm thì (d)//( ) α , nếu phương trình có nghiệm t thì tùy ý thì (d) nằm trong ( ) α

- Ta có thể dựa vào VTCP u r = ( ; ; ) a b c của đường thẳng(d) và VTPT n r

= (A;B;C)

- Nếu u r

thì cắt (d) cắt ( ) α

- Nếu u r

vuông góc với n r

trên (d) Nếu M0∉ ( ) ì (d)//( ); α th α nếuM0∈ ( ) α thì (d) nằm trong( )) α

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

- Trong kg(O xyz) cho:

-Đường thẳng(d1) qua điểm M1 và có VTCP u ur1

-Đường thẳng (d2) qua điểm M2 và có VTCPu uur2.

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trên ta sử dụng kết quả sau:

; & dôi môt cùng phuong

ur uur uuuuuur

ur uur ur uuuuuur r

1 2

1 1 2

cùng phuong //

& không cùng phuong

u u

u M M



⇔ 



  =

⇔ 



ur uuuuuuur

ur uur r

ur uuuuuuur r

1 2

không cùng phuong

& cat nhau

; & dông phang

u u



⇔ 



  ≠

⇔ 



ur uur uuuuuuur

ur uur r

ur uur uuuuuuur

& chéo nhau ; ; không dông phang

; 0

⇔

ur uur uuuuuuur

ur uur uuuuuuur

*Góc:

1)Góc giữa hai đường thẳng: cos ϕ = c os( ; ) u u ur uur1 2

*Khoảng cách:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A x y z ( ;A A; ) và ( ;A B x y zB B; )B :

( B A) ( B A) ( B A)

2) K/cách từ điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 đến mp( ) : α Ax By Cz D + + + = 0:

d M

0 0

;

d M d

u

=

r uuuuur

r

và đường thẳng(d2) qua điểm M2; có VTCP u uur2

Khoảng cách giữa hai đường thẳng trên được tính theo công thức:

1 2

1 2

( ; )

;

d d d

u u

=

uur uur uuuuuuur

ur uur

Chú ý:

Ngoài công thức trên ta có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách:

-Tính độ dài đoạn vuông góc chung

- Tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai và song song với đường thẳng thứ nhất

- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

5) Khoảng cách giữa 2 hình song song (2đt // ; 2mp // ; đt // mp) bằng khoảng cách từ

1 điểm bất kì trên hình thứ nhất đến hình kia

*Mặt cầu:

1) Mặt cầu có tâmI a b c ( ; ; ); bán kỉnh R có phương trình là:

( x a − ) + − ( y b ) + − ( z c ) = R

A + B + C − > D đều là phương trình của mặt cầu có tâm I ( − − − A B C ; ; ); bán

3) Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

- Cho mặt cầu (S) : ( x a − )2+ − ( y b )2+ − ( z c )2 = R2có tâm I a b c ( ; ; ); bán kính

− THI d : > ⇔ R ( ) và ( ) α S không có điểm chung

− TH 2 : d = ⇔ R ( ) ( ) α ∩ S ={ } H ( Ta nói ( ) α tiếp xúc với (S) tại H ( Lúc

− TH 3: d < ⇔ R giao của ( ) α và (S) là đường tròn(C) có tâm H, bán kính

B Các dạng bài tập:

* Dạng 1: Vec tơ, tích có hướng, tích vô hướng, ứng dụng:

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A (1;0;3); B( 2;3; 4); C(2; 1;0) − −

ABC ; suy ra độ dài đường cao CH của tam giác

b) Cho D(4; 2;-1) Chứng minhA B C D , , , là 4 đỉnh của 1 tứ diện Tính thể tích của tứ diện đó ; suy ra độ dài đường cao DK của tứ diện

c) Tìm điểm M nằm trên trục Ox sao cho

min

uuur uuur uuuur uuuur

Bài 2 : Tứ diện ABCD có: A (0;1; 1); (2;0;1); (2; 1;3); − B C − D Oy ∈

Biết tứ diện có thể tích bằng 5 Tìm tọa độ D

-Bài 3 : Tam giác ABC có A (1; 2; 1); (2; 1;3); ( 4;7;5) − B − C −

Tìm độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với

(1;0;1); ( 2;1;3); (1; 4;0)

a)Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y, z để điểm M(x;y;z) thuộc mp(ABC)

b)Tìm trực tâm H của tam giác ABC

c) Tìm tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

* Dạng 2: Cách lập phương trình 1 mặt phẳng

A x x− +B y y− +C z z− = ; khai triển có PTTQ.

-Nếu mp cắt 3 trục tọa độ tại A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c) thì dùng pt:

1

a+ + =b c (P/t mp theo đoạn chắn)

Bài 5 :Nêu cách lập phương trình của mp( ) α trong mỗi trường hợp sau Ở mỗi trường hợp hãy cho ví dụ cụ thể và giải

a) Qua 3 điểm

b) Qua 1 điểm và chứa 1 đường thẳng

c) Qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

d) Qua 1 điểm và vuông góc với 2 mp

e) Qua 1 điểm và song song với 2đt

f) Qua 2 điểm và vuông góc với 1 mp

g) Chứa 1 đường thẳng và vuông góc với 1mp

h) Chứa 1 đt và song song với 1 đt.( Hai đt này chéo nhau)

i) Qua giao tuyến của 2 mp và thỏa 1 trong các điều kiện sau:

I) Qua 1 điểm 2) Vuông góc với 1 mp

* Dạng 3: Cách lập phương trình 1 đường thẳng.

PP:Thông thường dùng một trong 3 cách:

Cách 1: Tìm 1 điểm và VTCP, suy ra PTTS hoặc PTCT(nếu có).

Cách 2: Tìm 2 điểm thuộc đường thẳng, đưa về Cách 1.

Cách 3:Tìm phương trình của 2 mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng cần lập phương trình, từ 2 phương trình đó cho 1 biến bằng t, tính 2 biến còn lại theo t, ta có PTTS của đường thẳng.

Bài 6: Nêu cách lập phương trình của đường thảng (d) trong mỗi trường hợp sau Ở

mỗi trường hợp hãy cho ví dụ cụ thể và giải:

a) Qua 1 điểm và biết vec tơ chỉ phương ( hoặc song song với 1đt)

b) Qua 2 điểm

-c) Qua 1 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng ( Từ đó tìm được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng và điểm đối xứng của điểm đó qua mặt phẳng đã cho) d) Qua 1 điểm; cắt và vuông góc với 1 đường thẳng ( Từ đó tìm được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên đường thẳng và điểm đối xứng của điểm đó qua đường thẳng đã cho)

e) Qua 1 điểm; cắt 1 đường thẳng và vuông góc với 1đt

f) Là hình chiếu vuông góc của 1đt lên 1 mp

g) Qua giao điểm của đt và mp ; nằm trong mặt phẳng đã cho và vuông góc với đt đã cho

h) Cắt 2đt chéo nhau và song song với 1 đường thẳng thứ3

i) Nằm trong 1mp và cắt 2 đt ( Hai đt này cắt mp tai 2 điểm khác nhau)

k) Là đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau ( 2 cách)

*Dạng 4: Cách lập phương trình một nặt cầu và các bài toán liên

quan.

PP: -Thường tìm tâm I(a;b;c)& bán kính R, phương trình mặt cầu là:

(x a− ) +(y b− ) + −(z c) =R

- Đối với mặt cầu qua 4 điểm ta thường thay tọa độ 4 điểm vào phương trình dạng

A,B,C,D.

Bài 7: Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a)Biết tâm I(1;-2;3) và bán kính R = 5 ;

b)Biết tâm I(-1;-2;5) và qua điểm M(2;4;-6);

c)Có đường kính AB với A(4;-2;3); B(3;-6;0);

d)Tâm O(0,0,0) tiếp xúc với m/p : 2x + y - 2z = 0 ;(hoặc đt (d):x = 2t ;y = t + 2 ; z =

3 – t)

e)Qua 4 điểm A(1;1;0); B(3;1;-1); C(1;1;2); D(1;-1;2)

f)Qua 3 điểm A(-2;4;1); B(3;1;-3); C(-5;0;0) và có tâm nằm trên mặt phẳng : 2x + y –

z + 3 = 0 ;

g)Qua điểm A(1;2;0) và tiếp xúc với mặt phẳng :x – 2y – 2z + 1 = 0 tại điểm

M(1;0;0);

h)Có tâm nằm trên đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

− − + =



 + − + =

( ) α : 2 x y + − 2 z + = 1 0;& ( ) β : 3 y − = 2 0

Bài 8: Lập p/trình tiếp diện của mặt cầu (S):( ) (2 ) (2 )2

a)Biết tiếp điểm M(-1;2;6)

b)Biết tiết diện song song với mặt phẳng: 3x +2y -1 = 0

-c) Biết tiết diện chứa trục Ox

sau , nếu chúng cắt nhau thì tìm tâm, bán kính của đường tròn giao tuyến :

b) (S) :x2+ y2+ − z2 6 x + 4 y − 2 z = 86; ( ) α : 2 x − 2 y z − + = 9 0

Bài 10: Cho A(6;-2;3) ; B(0 ;1;6); C (2 ;0;-1); D(4 ;1 ;0)

a)Chứng minh A ; B ; C ;D là 4 đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện

b) Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ; tìm tâm và bán kính của nó.

c) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 11:Cho mặt cầu(S): (x-1)2 + (y+3)2 +x2 = 25 và mp (α ): 3x – 4y -20 =0

* Dạng 5: Giải toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ.

Bài 22: Bằng phương pháp tọa độ , hãy giải bài toán sau:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Chứng minh đường chéo AC’ vuông góc với mp(AB’D’).

b) Chứng minh giao điểm của đường chéo A C’ với mp (AB’D’)là trọng tâm của tam giác AB’D’.

c) Tính khoảng cách giữa 2 mp (AB’D’)và mặt phẳng(C’BD)

d) Tính góc giữa mp (DA’C) và mặt phẳng(ABB’A’)

trung điểm của CC’.

a) Tính thể tích tứ diện BAA’M theo a & b.

b) Xác định tỉ số a

b để 2 mặt phẳng (A’BD) và ( MBD) vuông góc nhau

TOÁN TỔNG HỢP, TOÁN THI:

Bài 13 :

a) Tính góc giữa 2 mp (P)&(Q) cùng đi qua điểm I(2;1;-3) biết (P) chứa trục Oy & (Q) chưa trục Oz.

b) Tìm M thuộc Ox cách đều 2 mp trên.

Bài 14 : A (1; 4;5), (0;3;1), (2; 1;0) & ( ) : 3 B C − P x − 3 y − 2 z − = 15 0 Tìm M thuộc (P) sao cho MA2+ MB2+ MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.

1 3

2

1 2

= +



 = +



 = − +



.

a) C/m (d) & (d’) chéo nhau.

b) Tính d(d;d’).

c) A;B là 2 điểm cố định trên d có AB= 117 ; C di động trên d’.

Tìm giă trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC.

Bài 16 :Cho 2 đường thẳng(d):

2 1 2

= +



 = −



 =



và (d') là giao tuyến của 2 mặt

phẳng x + 2 z − = 2 0 ( ); α y − = 3 0 ( ) β

a) Chứng minh(d), (d’) chéo nhau Hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d) và (d’).

b) Viết phương trình tổng quát và mặt phẳng cách đều (d), (d’).

(D2).

b) Tìm tọa độ các giao điểm H, K của (d) với (D1), (D2).

Bài 17:Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng :

1Chứng minh rằng (d),(d’) cắt nhau Viết ptrình mp ( ) α chứa (d), (d’).

2 Viết phương trình 2 phân giác của góc tạo bởi (d), (d’)

Bài 18 :Trong không gian với hệ tọa độ Đê các cho 2 đường

1

1 2

α β

= +



-a) Viết p/trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng( ( ) ∆1 và song song với 2

( ) ∆

b) Cho điểm M (2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ( ) ∆2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất

Bài 19 : Cho d là giao tuyến của 2 mp (P): 2x – y – 11 = 0 và (Q): x – y

– z + 5 = 0 và ( ): x-5 2 6

a) Tìm vectơ chỉ phương của (d).

b) Chứng minh (d), ( ) ∆ cùng nằm trong một mặt phẳng Viết phương

trình mặt phẳng đó

Bài 20 : Cho 2 đường thẳng :

1

( ) :

−

a) Chứng minh 2 đt trên song song.

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa (D1), (D2).

c) Tính khoẳng cách giữa (D1), (D2).

−

Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d) Tính MN.

− và M(4;-3;2).

Tìm tọa độ hình chiếu M lên (d).

Bài 23 : Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) và

−

a)Chứng minh đường thẳng (d) và đường thẳng AB đồng phẳng

b)Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IA+IB nhỏ nhất

Tìm M thuộc mp ( ) α sao cho MP MQ − đạt giá trị lớn nhất

2 0 ( )

x y z

x y z

α β

+ + − =



∆  − + − =

+ MB bé nhất

Bài 26 :Cho 2 điểm A(-1;3;-2), B(-9;4;9) và mặt phẳng (P): 2x – y + z +

1 =0

Tìm điểm K thuộc mp (P)sao cho KA + KB bé nhất

Bài 27 :Cho A(1;3;-2), B(13;7;-4) và phương trình mặt phẳng :

( ) α : x − 2 y + 2 z + = 9 0

a) Tìm hình chiếu H của A lên mp ( α ).

b) Tìm I thuộc mp ( ) α sao cho IA + IB bé nhất.

c) Cho K(5;-1;1) Chứng minh AIHK là hình tứ diện Tính thể tích tứ diện AIHK.

Bài 28 :Trong Oxyz cho hình chóp S ABCD có đáy BCD là hình thoi,

AC cắt BD taị gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0;1; 0), S(0; 0;2 2 ) Gọi

M là trung điểm của canh SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM.

b) Giả sử mp ( ABM) cắt đường thẳng SD tại N Tính thể tích hình chóp S.ABM.

Bài 29 : Trong k/gian Oxyz cho A(0;-1;2) và 2 đường thẳng có phương

trình:

1

2

= +



a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với ( ),( ) ∆1 ∆2 b) Tìm M ∈∆1, N ∈∆2 sao cho 3 điểm A; M; N thẳng hàng.

−

a) Viết phương trình hình chiếu của ( ) ∆ lên mặt phẳng ( α ):

3 0

x y z + + + = .

b) Tìm M thuộc ( ) ∆ sao cho khoảng cách từ M đến α bằng 1

-Bài 31 : Lập phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1)cắt đường thẳng:

( ) : 5 4 3 20 0

d



 − + − =

Bài 32 : Cho ( ) : S x2+ y2+ − z2 2 x + 4 y + 2 z − = 3 0 ;

( ) : 2 P x y − + 2 z − = 14 0 a) Viết pt mp(Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có b/kính bằng 3.

b) Tìm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất.

Bài 33 :Cho tứ diện với đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)

a) Viết pt mp(ABC)

b) Tìm độ dài đường cao hạ từ D của tứ diện ABCD.

c) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho

MA MB MC MD uuur uuur uuuur uuuur + + + = 4

Viết phương trình tập hợp đó.

Bài 34 :Trong không gian O xyz cho I(2; 3; 1) và đường thẳng d là giao

tuyến của hai mp:

 5 3 x x − 4 4 y y z + + 3 z 8 0 20 0 =

 − + − =



a) Tìm VTCP v r

của đường thẳng (d) Suy ra phương trình mp (P) qua I

và vuông góc (d)

b) Tính khoảng cách từ I đến (d) Suy ra phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho (S) cắt (d) tại A, B thỏa AB = 10.

; (d ) :

a) Viết p/t các mặt phẳng tiếp xúc với (S) đồng thời song song với (d1), (d2).

b) Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( ) ∆ qua tâm I của (S) cắt

(d1), (d2).

Bài 36 : Cho S(0; 0; 1), A(1; 1; 0) Hai điểm M(m; 0; 0 ), N(0; n; 0) với

m, n thay đổi sao cho m + n = 2 và m > 0 , n > 0