PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN 2013

3Chú ý : Để viết phương trình của một đường thẳng cần biết một điểm và một vec-tơ chỉ phươngCách 1 hoặc tìm hai điểm Cách 2, hoặc tìm 2 mp cắt nhau theo giaotuyến là đường thẳng đó Cách

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

-A)Lý Thuyết :

* Vectơ và các phép toán về vectơ trong không gian Oxyz:

1)Vectơ, tọa độ của vectơ, tọa độ của một điểm, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất :

Được xây dựng tương tự như trong mặt phẳng Oxy, chỉ khác là ở mặt phẳng Oxycác công thức chỉ có mặt 2 thành phần là hoành độ và tung độ , còn trong không gian Oxyz thì các công thức có mặt 3 thành phần là hoành độ tung độ và cao độ

Ví dụ:

Trong mpOxy có a r = ( a a1; 2) ; b r = ( b b1; 2)thì a b a b r r = 1 1+ a b2 2.

Trong kgOxyz có a r = ( a a a1; ;2 3) ; b r = ( b b b1; ;2 3)thì a b a b r r = 1 1+ a b2 2+ a b3 3

…………

2)Tích có hướng của hai vectơ trong không gian và ứng dụng :

-Định nghĩa : Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ a r = ( a a a1; ;2 3) ; b r = ( b b b1; ;2 3)thì tích có hướng của 2 vectơ trên là một vectơ kí hiệu là  a b r r ;  (hay a b r r ∧ ) và có tọa độ

1

uuur uuur uuur

* Phương trình mặt phẳng trong không gianOxyz

1)Trong không gian Oxyz mặt phẳng(α) qua điểm M x y z0( ; ; );0 0 0

có vet tơ pháp tuyếnn r

- mp (Oxy)có pt z = 0; mp (Oyz)có pt x = 0 mp (Oxz)có pt y = 0

• Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz.

1)Đường thẳng (d) qua M x y z0( ; ; )0 0 0 có vectơ chỉ phương u r = ( ; ; ) a b c có:

-PTCT là: x x0 y y0 z z0 ( abc 0)

.2)Nếu hai mp: ( ) : A x+B y+C z+D =0 (1) α1 1 1 1 1

( ) : A x+B y+C z+D =0 (2) α2 2 2 2 2

cắt nhau theo giao tuyến (d) thì điều kiện cần và đủ để M(x;y;z) thuộc đường thẳng (d) là tọa độ của M thỏa hệ hệ gồm hai phương trình (1)&(2) (Trong một số sách tham khảo, hệ đó được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng (d), chúng ta không được dùng khái niệm này)

3)Chú ý : Để viết phương trình của một đường thẳng cần biết một điểm và một

vec-tơ chỉ phương(Cách 1) hoặc tìm hai điểm (Cách 2), hoặc tìm 2 mp cắt nhau theo giaotuyến là đường thẳng đó (Cách 3)

• Vị trí tương đối

1)Các khái niệm:

- Hai bộ số ( ; ; ) A B C1 1 1 và (A2;B2;C2 ) được gọi là tỉ lệ với nhau nếu tồn tại một số thực0

t ≠ sao cho các số hạng tương ứng của bộ này gấp t lần các số hạng tương ứng của

bộ kia Khái niệm trên có thể sử dụng cho bộ n số bất kì ( n ≥ 2)

Nếu hai bộ số ( ; ; ) A B C1 1 1 và (A2;B2;C2 ) trên tỉ lệ nhau ta kí hiệu:A1 :B1 : C1 = A2 :

-Tính chất : Hai vectơ cùng phương ⇔ hai bộ tọa độ của chúng tỉ lệ

- Để xét vị trí tương đối của hai đối tượng hình học ( hai mp; 2 đt ; 1đt và 1mp) ta thường dựa vào quan hệ giữa các vectơ đặc trưng của chúng ( Đường thẳng đặc trưngbởi VTCP ; mặt phẳng đặc trưng bởi VTPT ) hoặc dựa vào số nghiệm của hệ phương trình của chúng để xét Ta có kết quả như sau:

2) Vị trí tương đối giữa 2 mp:

- Trong kg(O xyz) cho hai mp: 1 1 1 1

3) Vị trí tương đối của 1 đường thẳng và một mặt phẳng:

- Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số :

0

0

0

.

Để xét vị trí tương đối của(d) và ( ) α ta giải hệ (1) và(2) bằng cách thế x;y;z theo t

ở (1) vào(2) ta có phương trình ẩn t; nếu phương trình có 1 nghiệm t duy nhất thì (d) cắt ( ) α ; nếu phương trình vô nghiệm thì (d)//( ) α , nếu phương trình có nghiệm t thì tùy ý thì (d) nằm trong ( ) α

- Ta có thể dựa vào VTCP u r = ( ; ; ) a b c của đường thẳng(d) và VTPT n r

= (A;B;C) của mp ( ) α để xét vị trí tương đối của chúng như sau:

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: - Trong kg(O xyz) cho:

-Đường thẳng(d1) qua điểm M1 và có VTCP u ur1

-Đường thẳng (d2) qua điểm M2 và có VTCPu uur2.

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trên ta sử dụng kết quả sau:

& không cùng phuong

& cat nhau

; & dông phang

1)Góc giữa hai đường thẳng: cos ϕ = c os( ; ) u u ur uur1 2

2)Góc giữa hai mặt phẳng: cos ϕ = cos( ; n n ur uur1 2

3)Góc giữa đt và mặt phẳng: sin ϕ = cos( ; ) u n r r

3) Cho đường thẳng(d) đi qua điểm A, có VTCP u r

và điểm M0 Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng (d) được tính theo công thức:

0 0

Khoảng cách giữa hai đường thẳng trên được tính theo công thức:

-Tính độ dài đoạn vuông góc chung

- Tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứađường thẳng thứ hai và song song với đường thẳng thứ nhất

- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

5) Khoảng cách giữa 2 hình song song (2đt // ; 2mp // ; đt // mp) bằng khoảng cách từ

1 điểm bất kì trên hình thứ nhất đến hình kia

*Mặt cầu:

1) Mặt cầu có tâmI a b c ( ; ; ); bán kỉnh R có phương trình là:

( x a − ) + − ( y b ) + − ( z c ) = R 2) Mọi phương trình dạng: x2+ y2+ + z2 2 Ax + 2 By + 2 Cz D + = 0

với điều kiện : A2+ B2+ C2− > D 0đều là phương trình của mặt cầu có tâm I ( − − − A B C ; ; ); bán kính R = A2+ B2+ A2− D

3) Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

- Cho mặt cầu (S) : ( x a − )2+ − ( y b )2+ − ( z c )2 = R2có tâm I a b c ( ; ; ); bán kính

R và mặt phẳng ( ) α :Ax By Cz D + + + = 0.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mp( ) α và d là khoảng cách từ tâm I của m/c đến mp( ) α ; tức là d =IH ; xảy ra 3 trường hợp :

− THI d : > ⇔ R ( ) và ( ) α S không có điểm chung

− TH 2 : d = ⇔ R ( ) ( ) α ∩ S ={ } H ( Ta nói ( ) α tiếp xúc với (S) tại H ( Lúc này H được gọi là tiếp điểm; ( ) α được gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) )

− TH 3: d < ⇔ R giao của ( ) α và (S) là đường tròn(C) có tâm H, bán kính

( ; ) ( )

Ax By Cz D M

* Dạng 1: Vec tơ, tích có hướng, tích vô hướng, ứng dụng:

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A (1;0;3); B( 2;3; 4); C(2; 1;0) − −a) Chứng minh A B C , , là 3 đỉnh của 1 tam giác Tính diện tích của tam giác ABC ; suy ra độ dài đường cao CH của tam giác

b) Cho D(4; 2;-1) Chứng minhA B C D , , , là 4 đỉnh của 1 tứ diện Tính thể tích của tứ diện đó ; suy ra độ dài đường cao DK của tứ diện

c) Tìm điểm M nằm trên trục Ox sao cho

min

uuur uuur uuuur uuuur

Bài 2 : Tứ diện ABCD có: A (0;1; 1); (2;0;1); (2; 1;3); − B C − D Oy ∈

Biết tứ diện có thể tích bằng 5 Tìm tọa độ D

Bài 3 : Tam giác ABC có A (1; 2; 1); (2; 1;3); ( 4;7;5) − B − C −

Tìm độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với

(1;0;1); ( 2;1;3); (1; 4;0)

a)Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y, z để điểm M(x;y;z) thuộc mp(ABC)

b)Tìm trực tâm H của tam giác ABC

c) Tìm tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

* Dạng 2: Cách lập phương trình 1 mặt phẳng

7

b) Qua 1 điểm và chứa 1 đường thẳng

c) Qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

d) Qua 1 điểm và vuông góc với 2 mp

e) Qua 1 điểm và song song với 2đt

f) Qua 2 điểm và vuông góc với 1 mp

g) Chứa 1 đường thẳng và vuông góc với 1mp

h) Chứa 1 đt và song song với 1 đt.( Hai đt này chéo nhau)

i) Qua giao tuyến của 2 mp và thỏa 1 trong các điều kiện sau:

I) Qua 1 điểm 2) Vuông góc với 1 mp

* Dạng 3: Cách lập phương trình 1 đường thẳng.

PP:Thông thường dùng một trong 3 cách:

Cách 1: Tìm 1 điểm và VTCP, suy ra PTTS hoặc PTCT(nếu có).

Cách 2: Tìm 2 điểm thuộc đường thẳng, đưa về Cách 1.

Cách 3:Tìm phương trình của 2 mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng cần lập phương trình, từ 2 phương trình đó cho 1 biến bằng t, tính 2 biến còn lại theo t, ta có PTTS của đường thẳng.

Bài 6: Nêu cách lập phương trình của đường thảng (d) trong mỗi trường hợp sau Ở

mỗi trường hợp hãy cho ví dụ cụ thể và giải:

a) Qua 1 điểm và biết vec tơ chỉ phương ( hoặc song song với 1đt)

b) Qua 2 điểm

c) Qua 1 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng ( Từ đó tìm được hình chiếu vuông góccủa điểm đó lên mặt phẳng và điểm đối xứng của điểm đó qua mặt phẳng đã cho)d) Qua 1 điểm; cắt và vuông góc với 1 đường thẳng ( Từ đó tìm được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên đường thẳng và điểm đối xứng của điểm đó qua đường thẳng đã cho)

e) Qua 1 điểm; cắt 1 đường thẳng và vuông góc với 1đt.

-f) Là hình chiếu vuông góc của 1đt lên 1 mp

g) Qua giao điểm của đt và mp ; nằm trong mặt phẳng đã cho và vuông góc với đt đã cho

h) Cắt 2đt chéo nhau và song song với 1 đường thẳng thứ3

i) Nằm trong 1mp và cắt 2 đt ( Hai đt này cắt mp tai 2 điểm khác nhau)

k) Là đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau ( 2 cách)

*Dạng 4: Cách lập phương trình một nặt cầu và các bài toán liên quan.

Bài 7: Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a)Biết tâm I(1;-2;3) và bán kính R = 5 ;

b)Biết tâm I(-1;-2;5) và qua điểm M(2;4;-6);

c)Có đường kính AB với A(4;-2;3); B(3;-6;0);

d)Tâm ở gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng : 2x + y - 2z = 0 ;(hoặc đt (d):x = 2t ;y

= t + 2 ; z = 3 – t)

e)Qua 4 điểm A(1;1;0); B(3;1;-1); C(1;1;2); D(1;-1;2)

f)Qua 3 điểm A(-2;4;1); B(3;1;-3); C(-5;0;0) và có tâm nằm trên mặt phẳng : 2x + y –

a)Biết tiếp điểm M(-1;2;6)

b)Biết tiết diện song song với mặt phẳng: 3x +2y -1 = 0

c) Biết tiết diện chứa trục Ox

9

Bài 10: Cho A(6;-2;3) ; B(0 ;1;6); C (2 ;0;-1); D(4 ;1 ;0)

a)Chứng minh A ; B ; C ;D là 4 đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện

b) Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ; tìm tâm và bán kính của nó.

c) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 11:Cho mặt cầu(S): (x-1)2 + (y+3)2 +x2 = 25 và mp (α ): 3x – 4y -20 =0

a) Viết pt mặt cầu (S’), đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng( ) α

b) Viết pt mặt phẳng ( ) β song song với mặt phẳng (( ) α và cắt mặt cầu(S) theo giao tuyến là1 đường tròn có diện tích là 16 π

C)TOÁN TỔNG HỢP, TOÁN THI:

Bài 1: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mp(Q):3 x y + − 5 z = 0một góc bằng 600

Bài 25: Trong không gian Oxyz.

a)Lập pt của mp (P) qua M (0;0;1); (3;0;0) N và tạo với mp(Oxy) một góc

3

π.b)Cho A a ( ;0;0); (0;0; ); (0;0; ) B b C c , với a; b; c dương thỏa 2 2 2

3

a + + = b c Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất

a) C/m (d) & (d’) chéo nhau

b) Viết pt mặt phẳng cách đều (d)& (d’)

Bài 3:Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng :

-2 Viết phương trình 2 phân giác của góc tạo bởi (d), (d’)

Bài 4 :Trong Oxyz cho hình chóp S ABCD có đáy BCD là hình thoi, AC cắt BD taị

gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0;1; 0), S(0; 0;2 2) Gọi M là trung điểm của canh SC

a) Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM

b) Giả sử mp ( ABM) cắt đường thẳng SD tại N Tính thể tích hình chóp S.ABM

Bài 5 : Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0); B(1;0;0), D(0;1;0),

A'(0;0;1) Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với ( ),( ) ∆1 ∆2

b) TìmM ∈∆1, N ∈∆2 sao cho 3 điểm A; M; N thẳng hàng

Bài 7 : Lập phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1)cắt đường thẳng:

Bài 9 :Cho tứ diện với đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)

a) Tìm độ dài đường cao hạ từ D của tứ diện ABCD

b) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho

MA MB MC MD uuur uuur uuuur uuuur + + + = 4

11

Viết phương trình tập hợp đó.

-Bài 10 :Trong không gian O xyz cho I(2; 3; 1) và đường thẳng:

của đường thẳng (d) Suy ra phương trình mp (P) qua I và vuông góc (d)

b) Tính khoảng cách từ I đến (d) Suy ra phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho (S) cắt (d) tại A, B thỏa AB = 10

Bài 11 : Cho ( S)0; 0; 1), A(1; 1; 0) Hai điểm M(m; 0; 0 ), N(0; n; 0) với m, n thay

đổi sao cho m + n và m > 0 , n > 0

a) Chứng minh thể tích hình chóp S.OMAN không phụ thuộc vào m, n

b) Tính khoảng cách từ A đến mp (SMN) Từ đó suy ra mặt phẳng(SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định

Bài 12 : Trong không gian O xyz cho mặt cầu có phương trình :

b) Gọi I là tâm mặt cầu (S) Chứng minh I thuộc đường tròn cố định Xác định tọa

độ của tâm và bán kính của đường tròn đó

Bài 14 : Cho 4 điểm A(3; 6;-2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).

a) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện đó

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác địh tọa độ tâm, bán kính mặt cầu này

c) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C Xác định tọa độ tâm và bán kínhcủa đường tròn đó

Bài 15 :Trong không gian O xyz Cho 2 điểm A(2; 3; m), B(0; -1; 2).

a) Viết phương trình mặt cầu (Sm) có đường kinh AB Tìm một điểm cố định khác B của (Sm)

b) Định m để (Sm) tiếp xúc với x’Ox

c) Tìm tâm , bán kính đường tròn giao tuyến.

Bài 17 : 1)Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Tính góc giữa 2mp(A'CB) và (A'CD)

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc O xyz Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ;B(a; 0; 0) D( 0; a; 0), A (0; 0; b) (a >

0, b > 0 ) Gọi M là trung điểm của C C’

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b

b) Xác định tỉ số a

b để 2 mặt phẳng (A

’BD) và (MBD) vuông góc với nhau

Bài 18 :1) Trong O xyz cho hình lăng trụ đứngABC, A1B1C1 Biết A( a; 0; 0), B(-a; 0;0), C( 0; 1; 0), B1(-a; 0; b) a > 0, b > 0

a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a,b

b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4 Tìm a,b để khoảng cách giữa 2đường thẳng B1 C và A C1 lớn nhất

2) Trong O xyz cho 3 điểm A(2; 0; 1), B(1; 1; 0), C(1; 1; 1) và mp (P) : x + y + z – 2

= 0 Viết p/trình mtj cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp(P)

Bài 19 :.Trong không gianO xyz Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ

a) Chuwngsw minh d d1; 2 chéo nhau.

-b) Tìm M ∈ d N d1; ∈ 2 sao cho MN //( ) & α MN = 2

Bài 25 : A (1;1;0), (0; 2;0), (0;0;3) B C

a) Lập pt đường phân giác trong AD của tam giác ABC

b) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Lập pt đường thẳng d3 cắt cả hai đường thẳng trên đồng thời tạo với (P) một góc0

Bài31: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 3 2 1

Bài 32Trong không gian 0 xyz; cho mặt cầu (S) có phương trình:

x + y + + z x − y + z − = và mặt phẳng (P) : 2 x + 2 y z + + = 7 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua A (8;0 23), − nằm trong mặt phẳng(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài 33:Trong không gian ) 0xyz; cho 2 đường thẳng

đi qua A và đường thẳng (d1) đồng thời đường thẳng BC vuông góc với (d2)

Bài 34: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 2 1

Bài 36: Trong không gian Oxyz cho hai đ/thẳng

15

Bài38 :Trong không gian Oxyz cho A(0;2;0); B(0;0;-1) và C thuộc trục Ox Viết

phương trình mp(ABC) biết rằng khoảng cách từ C đến mp(P):2x + 2y – z = 0 bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng đ/thẳng 1

Bài41 : A(-1;1;0); B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua

2 điểm A,B đồng thời khoảng cách từ C đến mp(P) bằng 3

Bài 42:Tam giác ABC có A(3;1;0), B thuộc mpOxy, C nằm trên Oz Tìm B, C sao

cho H(2;1;1) là trực tâm của tam giác

uuur uuur r

Bài44 : Trong không gian Oxyz; cho hai mặt phẳng (P) : x + z -3 = 0,

(Q) : y + z + 5 =0 và điểm A(1; -1; -1) Tìm toạ độ các điểm M trên (P), N trên (Q)sao cho MN vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời A là trung điểm MN

Bài45 : Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu ( ) : S x2+ y2+ − z2 2 x + 6 y − = 15 0

Bài47 : Trong không gian 0xyz; cho mặt phẳng (P) : 3x + 2y –z+ 4= 0 và hai điểm

A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) Gọi I là trung điểm đoạn AB Tìm toạ độ giao điểm của AB vớimặt phẳng(P) và xác định toạ độ điểm K sao cho KI⊥mp (P) đồng thời K cách đều gốc toạ độ O và mp(P)

Bài48 : : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho∆ABC có A(6; -2; 3), B(0; 1; 6, C(2; 0; -1) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC

Bài49 : : Trong không gian toạ độ Oxyz ; cho các điểm A(2; 0; 1),B(1; 2; 2), C(1; 1;

0) và mặt phẳng P : x + y + z – 20 = 0 Xác định toạ độ điểm D thuộc đường

thawmngr AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

17