Bài tập minh họa:Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:... Chú ý: Nếu hệ số của x3có chứa tham số m thì phải xét trường hợp hệ số bằng 0 trước---Bài tập minh họa: Bài 3:
Trang 1-ÔN LUYỆN THI ĐẠI HỌC M -ÔN TOÁN
Giáo viên: Ngô Khánh -
Chuyên đề1:
HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
2016 -2017 Học sinh :
Lớp :
Lịch học :
2015-2016
Trang 2-Chuyên đề1 : Hàm số và các vấn đề liên quan
• Vấn đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
A) Tóm tắt lý thuyết: f có đạo hàm trên (a;b)
1) f đơn điệu trên (a;b) và liên tục trên đoạn [ ]a b; hoặc các nữa khoảng
[a b; ) ; (a b; ] thì f đơn điệu trên các tập tương ứng.
2) f , g liên tục & đơn điệu ngược nhau ( hoặc1 hàm đơn điệu, 1 hàm hằng) trên K mà phương trình f(x) = g(x) có nghiệm trên K thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên K.
3) f đơn điệu trên K thì với ∀u v K; ∈ : f u( )= f v( )⇔ =u v
B) Phân dạng toán và phương pháp giải:
Dạng1: Tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số
Cách giải: Lập BBT
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm các khoàng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
1)
1
h y x
Trang 3Bài tập minh họa:
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
Trang 4Chú ý: Nếu hệ số của x3có chứa tham số m thì phải xét trường hợp hệ số bằng 0 trước
-Bài tập minh họa:
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
Từ đó sử dụng tính sử dụng tính đơn điệu hoặc lập BBT hàm số f(x) trên D
ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập minh họa:
Bài4: Sử dụng tính đơn điệu, chứng minh các BĐT sau:
Trang 5a)
dat cuc tri tai x
'( ) 0'( )
Trang 6-Bài tập minh họa:
Bài 6: Tìm cực trị (nếu có) của mỗi hàm số sau:
5 3
- Hàm số (bậc 3) không có cực trị ⇔ pt y : ' ax = 2 + bx c + = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ ⇔ 0 m ?
Chú ý:
- Nếu hệ số của x3có chứa tham số m thì phải xét trường hợp hệ số bằng 0 trước.
- Nếu phương trình y’ = 0 có dạng đặc biệt thì ta tìm hai nghiệm x x1; 2theo
m rồi cho x1 ≠ x2 suy ra điều kiện của m để hàm số có cực trị; lúc này
Bài tập minh họa:
Bài 7:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mỗi hàm số sau có cực trị:
Trang 7Cách giải:
- Hàm số có 2 cực trị ⇔ m ? (1).
- Điều kiện yêu cầu thêm ⇔ m ? (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra điều kiện của m
Bài tập minh họa:
Bài 10:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
d y=x + m− x − mx m+ có hoành độ các điểm cực trị đều nhỏ hơn 2
Bài 11: m? để đồ thị hàm số y=x3+3x2+mcó 2 điểm cực trị A; B sao cho
góc ·AOB=1200
Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại x0
Cách giải: Thường dùng điều kiện đủ thứ hai:
Trang 8Bài tập minh họa:
Bài 12:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
Cách giải:
- Tìm điều kiện của m đề hàm số có cực trị ( 2 cực trị) ( Xem dạng 7)
- Tìm phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị :
+ Chia y cho y’ ta biểu diễn được y ở dạng : y = ( x M + N y P ) ' + x + Q + Lý luận suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
Bài 14: m? để đồ thị hàm số y= − +x3 3mx2+m có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ( ) :d x+8y−74 0=
Dạng11 : Cho hàm số dạng trùng phương y = ax4+ bx2+ c có chứa
Trang 9Chú ý: Nếu hệ số a có chứa m thì xét trường hợp a = 0 trước.
Bài tập minh họa:
Bài 15:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:
a) Hàm sốy mx= 4+(m2−9)x2+10 có đúng 3 cực trị * m∈ −∞ − ∪( ; 3) (0;3)b) Hàm sốy mx= 4+(m2−9)x2+10 có đúng 1 cực trị.
Dạng12 : Cho hàm số dạng trùng phương y = ax4+ bx2+ c có chứa tham số m Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có 3 cực trị đồng thời thỏa mãn thêm điều kiện nào đó.
Cách giải:
+ D = R
+ Lý luận:
- Hàm số có 3 cực trị m? (1)
- Điều kiện yêu cầu thêm m? (2)
Lấy giao các điều kiện (1) và (2) ta được giá trị m cần tìm.
Bài tập minh họa:
Bài 10:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:
Trang 10b) Đồ thị hàm số y x = 4− 2 mx2+ − m 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
- Cách2: Đánh giá (thường dùngsinu ≤1;cosu ≤1;A2≥0;Cauchy, )
B) Phân dạng toán và phương pháp giải:
Dạng 13 : Tìm GTLN, GTNN của 1 hàm số trên tập D cho trước Cách giải:
ymax; số nhỏ nhất là ymin ( Không cần lập BBT).
Bài tập minh họa:
Bài16: Tìm gtln, gtnn (nếu có) của mỗi hàm số sau:
Trang 11Dạng 14 : Các bài toán thực tế liên quan đến GTLN, GTNN.
Các bài toán nói trên thường có dạng:
Tìm đại lượng thứ nhất để đại lượng thứ hai đạt GTLN ( hoặc GTNN)
Cách giải:
+ Gọi x là đại lượng thứ nhất, tìm điều kiện của x, ta được đ/kiện (*) + Gọi y là đại lượng thứ hai, tính y = f(x) = ?x
Bài toán thành tìm x thỏa đ/k(*) để y đạt GTLN (hoặc GTNN).
Bài tập minh họa:
Bài18:
a) Trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, hỏi hcn có kích thước thế nào thì diện tích của nó nhỏ nhất?
b) Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 2cm; chiều dài 4cm
Cắt bỏ 4 góc 4 hình vuông bằng nhau để gấp và dán thành một cái hộp không nắp Tìm cạnh hình vuông bị cắt để thể tích cái hộp lớn nhất.
c) Cho tam giác đều ABC cạnh a; dựng hình chữ nhật MNPQ có M; N trên cạnh BC, P & Q lần lượt nằm trên cạnh AC & AB Xác định vị trí của điểm
Trang 12-+ Lớn hơn mọilớn hơn max
+ Nhỏ hơn mọinhỏ hơn min
+ Có lớn hơn lớn hơn min
+ Có nhỏ hơn nhỏ hơn max
+ Pt có nghiệmm nằm giữa min và max
Chú ý:
Nếu trên D hàm số không có min, max thì lập BBT; dựa BBT chọn m
Bài tập minh họa:
Bài 19: Cho hàm số f x ( ) = mx2+ 2 mx − 3
a) Tìm m? để pt ( ) 0 f x = có nghiệm x ∈ [ ] 1;2 * 3 1
8 ≤ ≤ m b) Tìm m? để bpt ( ) 0 f x ≤ nghiệm đúng với mọi x ∈ [ ] 1;4 * 1
8
m ≤ c) Tìm m? để bpt ( ) 0 f x > có nghiệm x ∈ − [ 1;3 ] * ( ; 3) ( ; 1 )
22
m m
Trang 13Bài tập minh họa:
Bài21: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
khoảng cách từ đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Dạng17: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f x ( )
Cách giải: Thực hiện lần lượt 3 bước sau:
Bước1: Miền xác định
Bước2: Lập bảng biến thiên, gồm 3 bước nhỏ:
o Tính các giới hạn đặc biệt, suy ra các tiệm cận đứng và ngang
( đối với hàm bậc1/bậc1)
o Tính y’, tìm nghiệm của y’(nếu có)
o Lập bảng biến thiên, dựa vào BBT chỉ ra các khoảng đơn điệu và
Bài tập minh họa:
Bài22: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
Trang 141
x
h y x
= +
Dạng18 : Các bài toán về quan hệ giữa số nghiệm của phương trình hoành độ và số điểm chung của hai đồ thị.
Bài tập minh họa:
Bài28: Gọi d là đường thẳng đi qua A (3;20) và có hàm số góc m Tìm điều
kiện của m để (d) cắt (C):y=x3− +3x 2tại 3 điểm phân biệt
Bài 29: Tìm m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị (C )của hàm số
+ tai 2 điểm A&B sao cho AB ngắn nhất
Dạng19 : Viết pttt với đồ thị (C) của hàm số y=f(x)
-Trong công thức (1) để viết pttt cần biết 3 số là x y f x , tuy nhiên0; ; '( )0 0
chỉ cần biết một số thì có thể suy ra 2 số còn lại theo sơ đồ:
0 0; 0 '( )0
x ↔ y x ↔ f x = k ( với k là hệ số góc của tiếp tuyến tạiM x y0( 0; 0))
Bài tập minh họa:
Trang 15Baì 31: Cho hàm số y= − −x3 3x2+3 ( )C
-a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết pttt với (C) tại điểm uốn.Tìm giao điểm của tt này với Oy.
c) Viết pt tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1
d) Tìm tiếp tuyến (d’) song song với (d).
f) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng : d y mx = + 3 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt (0;3), , A B C sao cho các tiếp tuyến tại B & C
vuông góc với nhau
g) A, B là hai điểm phân biệt nằm trên (C) có hoành độ lần lượt là a, b Tìm điều kiện của a, b và biểu thức liên hệ giữa chúng để các tiếp tuyến tại A &
B song song với nhau
a) Viết pttt (d) tại điểm M0 có hoành độ x0 bất kỳ nằm trên (C).
b) Tiếp tuyến (d) cắt hai tiệm cận tại A&B Chứng minh M0 là trung điểm của đoạn thẳng AB.
c) Tìm các tiếp tuyến của (C) chắn trên 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1
d) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng : d y mx = cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt , A B sao cho các tiếp tuyến tại A & B song
song với nhau.
Trang 17B) Phương pháp giải toán:
Bài27: Bìện luận theo tham số msố điểm chung của đường thẳng(dm y mx) = +4mvà đường cong (C ):y x 2
Trang 18a) Vẽ đồ thị hàm số y=x4−2x2−3
-b) Chọn m để pt x4−2x2− =3 mcó 6 nghiệm phân biệt.
Baì toán 4: Viết pttt với đồ thị (C) của hàm số y=f(x)
A) Tóm tắt lý thuyết:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f x ( ) tại điểm M x y0( 0; 0) ( )∈ C là:
y y− 0 = f x'( )( 0 x x− 0 ) (1)
Chú ý: -Trong công thức (1) để viết pttt cần biết 3 số là x y f x , 0; ; '( )0 0
tuy nhiên chỉ cần biết một số thì có thể suy ra 2 số còn lại theo sơ đồ:
0 0; 0 '( )0
x € y x € f x = k ( với k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M x y0( 0; 0)
B) Phương pháp giải toán:
Baì 31: Cho hàm số y= − −x3 3x2+3 ( )C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết pttt với (C) tại điểm uốn.Tìm giao điểm của tt này với Oy.
c) Viết pt tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1
d) Tìm tiếp tuyến (d’) song song với (d).
f) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng : d y mx = + 3 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt (0;3), , A B C sao cho các tiếp tuyến tại B & C
vuông góc với nhau
g) A, B là hai điểm phân biệt nằm trên (C) có hoành độ lần lượt là a, b Tìm điều kiện của a, b và biểu thức liên hệ giữa chúng để các tiếp tuyến tại A &
B song song với nhau
a) Viết pttt (d) tại điểm M0 có hoành độ x0 bất kỳ nằm trên (C).
b) Tiếp tuyến (d) cắt hai tiệm cận tại A&B Chứng minh M0 là trung điểm của đoạn thẳng AB.
c) Tìm các tiếp tuyến của (C) chắn trên 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1
d) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng : d y mx = cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt , A B sao cho các tiếp tuyến tại A & B song
song với nhau.
Trang 19Bước1: Miền xác định
Bước2: Lập bảng biến thiên, gồm 3 bước nhỏ:
o Tính các giới hạn đặc biệt, suy ra các tiệm cận đứng và ngang
( đối với hàm bậc1/bậc1)
o Tính y’, tìm nghiệm của y’(nếu có)
o Lập bảng biến thiên, dựa vào BBT chỉ ra các khoảng đơn điệu và
cực trị ( nếu có)
Bước3:Vẽ đồ thị, gồm 3 bước nhỏ:
o Tìm các điểm đặc biệt (là các điểm mà dựa vào đó ta vẽ được đồ thị),
đối với hàm bậc 3 phải tìm điểm uốn.
o Vẽ đồ thị
o Nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.
2) Các bài toán liên quan: Chỉ xoay quanh các nội dung liên quan đến 3 loại hàm số trên, đó là các nội dung : Đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến tại 1 điểm, tiệm cận( đứng và ngang), tìm những điểm trên đồ thị có tính chất cho trước, tương giao giữa 1 đường thẳng và một trong 3 đồ thị của các hàm số nêu trên,…
a Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn *y= − +3x 4
b Tìm M thuộc ( C) mà tiếp tuyến tại M có
Trang 20c Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ 0 *(1;1);(-1;-1)
Bài 2: Cho đường cong bậc 3 : y = x3 – 3x2 +3mx +3m +4 ( Cm)
c m? đồ thị của h/số có 2 điểm cực trị thoả
+2 điểm cực trị nằm về 2 phía Oy *m<0
+ 2điểm cực trị nằm về 1 phía Oy *0< <m 1
+2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đ/t x = 1 *m<1
+2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục Ox (tức Cm cắt Ox tại 3 điểm p/biệt hay
pt y = 0 có 3 nghiệm p/biệt ) *− ≠ <3 m 0
Trang 21+ 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x − 8 y + 127 0 = *m=6
+OA vuông góc với OB (O gốc toạ độ ; A,B là 2 điểm cực trị ) * m=0
4) Sự tương giao
a m? ( Cm)
+ Có với Ox 3 điểm chung ( 2 đ /chung ,1 đ /chung)
b.m? để (Cm)
+ Cắt Ox tại 3 điểm p/biệt có hoành độ âm
+Cắt Ox tai 3 điểm p/biệt có hoành độ lập thành csc
+Cắt đt y = mx + m tai 3 điểm p/biệt có hoành độ lập thành 1csc
c m? (Cm) cắt đ/thẳng (d) y = 2x + 2 tại 3 điểm p/biệt M (-1;0) & N; P sao cho :
+ NP = 1
+ Các tt’tại N & Pvuông góc nhau
d m? để t/tuyến với (Cm) tại điểm có h/độ x = 1vuông góc với đt x + 6y – 6 = 0
5 Đối xứng
a m? ( Cm) nhận điểm I (1;-4) làm tâm đ/xứng
b m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ O
c m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua I(0;-3)
* Hàm trùng phương: y= f x( )=ax4+bx2+c a( ≠0)
Bài 3: Cho hàm số y = x4 -2x2 -1(C)
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/số
b Viết p/t tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với tia Ox
c Viết p/t tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến // đt y = 24x
b Biện luận theo m số cực trị của họ (Cm)
c Xác định m sao cho (Cm) cắt Ox tai 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thànhmột csc Xác định cấp số cộng này
d m ? (Cm) có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Trang 221 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Các vấn đề về tiếp tuyến
a Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox
b Viết pt tiếp tuyến // đt 1 10
9
y= x+
c Tìm điều kiện của tham số k để (C) có 2 tiếp tuyến cùng có h/s góc bằng k
d Tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc (C) cắt 2 tiệm cận tại A&B.Chứng minhrằng M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi ( I là giao điểm
2 tiệm cận)
e Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cách gốc tọa độ O một khoảngcách bằng 1
3.Sự tương giao
a.Gọi ( )∆ là đ/thẳng qua O(0;0)& có h/s góc k Tìm k để :
+( )∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
+( )∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A , B sao cho ABmin
+( )∆ cắt(C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 10
+( )∆ cắt(C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho k1 + k2 lớn nhất với k1 ; k2
lần lượt là các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A & B
+( )∆ cắt(C) tại A, B sao cho O là trung điểm AB
+( )∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác CABbằng 2 với C (0;2)
b Gọi (dm): y = x + m Biệm luận theo m số điểm chung của (dm) & (C) Khi(dm) cắt (C) tại 2 điểm phận biệt M & N Chứng minh rằng các trung điểm I củađoạn thẳng MN luôn nằm trên một đường thẳng cố định.Tìm phương trình đườngthẳng đó
c P (-2;3) thuộc (C) Tìm Q thuộc (C) sao cho tam giác OPQvuông tại O
4 Khoảng cách
a Chứng minh tích các k/cách từ 1 điểm M thuộc (C) đến 2 t/cận là 1 hằng số
Trang 23b.Tìm M thuộc (C) có tổng các k/cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất (có tổng cáck/cách đến 2 tiệm cận 17?
f Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)sao cho k/cách của chúng là nhỏ nhất
5.Biện luận theo tham số m số nghiệm của p/trình
a.2x+ =1 m x+1 b .2 1
1
x m
x + =+
a CMR với m≠1, mọi đ/cong (Hm) đều đi qua 1 điểm cố định và tại điểm đómọi đường cong đều có chung 1 tiếp tuyến
b m? h/s đồng biến trên khoảng (0;+∞)
c m? tiếp tuyến tại giao điểm của (Hm) với Ox chắn trên 2 trục tọa độ một tamgiác có diện tích bằng 2
C) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( Trích từ các đề thi đại học)
Bài7: Cho hàm số y = − − + x4 x2 6 Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến vuông gócvới đường thẳng 1
1 6
y = x − Bài8: Cho hàm số y = − − + x4 x2 6 có đồ thị (C) Gọi A, B, C là 3 điểm cực trịcủa ( C)
1) Tìm tọa độ điểm:
a) E trên trục hoành sao cho tam giác ABE vuông tại B
b) F trên trục hoành sao cho ∠AFC bằng 1200
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) biết:
a) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1
1 6
y = x −
Trang 24-b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6 x + 2013
Bài9:Tìm điểm M thuộc đồ thị ( ) : 2 1
− để tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại
điểm M tạo với đường thẳng ( ) d ' : 2 x y − + = 10 0 một góc 0
Bài11:Cho hàm số y x = +3 mx m + + 1 (m là tham số thực) Viết phương trìnhtiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị với trục Oy Tìm m
để tiếp tuyến nói trên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.Bài12: Cho hàm số ( 3 m 1 ) x m2 m
C y x = + + + x x những điểm mà tiếp tuyến (t) với
đồ thị tại đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ I
Bài14: Cho hàm số 2
1
x y x
= + có đồ thị là (C) Tìm trên đồ thị (C) những điểm M,
sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại 2 điểm phân biệt A,B màtam giác AOB có diện tích bằng 1
4
Bài15: Cho hàm số
1
x y x
= + có đồ thị là (C) Tìm trên đồ thị (C) những điểm M,
sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại điểm phân biệt A,B sao chotam giác AOB có diện tích bằng 2
Bài16: Cho hàm số 2 3
2
x y x
+
=
− có đồ thị là (C) Tìm tất cả các tham số m để
đường thẳng (d) : y = 2 x m + cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại
đó song song với nhau