chuyên đề 4-5

BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Việc thiệt lập phương trình mặt phăng được dựa trên các kiên thức cơ bản sau: l/ avà b là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phăng P nêu chúng kh

Bài giảng số 4 và số 5 - BUGQNG THANG VA MAT PHANG

TRONG KHONG GIAN

Cac bai toan về đường thắng và mặt phẳng trong không gian luôn luôn có mặt trong các để thi về môn Toán ở các kì thi vào Đại học và Cao đăng trong những năm gân đây (2002- 2009)

Bài giảng này dé cập đến những van dé sau:

- Thiét lap phuong trinh mat phang

- Thiết lập phương trình đường thang

- Các bài toán xác định điểm va các yếu tổ khác trong hình học không gian

§1 BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Việc thiệt lập phương trình mặt phăng được dựa trên các kiên thức cơ bản sau: l/ avà b là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phăng (P) nêu chúng không cùng phương và giá của chúng song song với (P) hoặc năm trên (P) Khi đó: n= | a.b | là một vectơ pháp tuyên của (P)

4/ Mặt phăng theo đoạn chăn:

B(0:b;0); C(0;0;c) voi a,b,c # 0 cd dang: So Me ⁄⁄

—+—+—=]

a b c

Dưới dạng này ta nói mặt phăng có

phương trình theo đoạn chăn

Cac dang toan co ban

Loại 1: Cac bài toán co ban lập phương

trình mặt phăng:

Các bài toán cơ bản lập phương trình mặt

phang gom các bài toán sau đây:

- Viết phương trình mặt phăng di qua diém

M (Xo, Yo, Zo) va nhan vecto n= (A;B;C) lam

vecto phap tuyén

Phương trình của nó là: A(x—xo) + B(y—yo) + C(Z—Z2) =

- Viết phương trình mặt phăng đi qua ba điểm A B, C không thăng hàng cho

trước

Mat phang can tìm nhận hai vectơ AB, AC làm hai vectơ chỉ phương Khi

đó bài toán quy về: Viết phương trình mặt phăng nhận n= | AB AC | la vecto phap tuyén va di qua A

- Viết phương trình mặt phăng đi qua một điểm A và song song với hai đường thang dj, do

Khi đó bài toán quy vẻ: Viết phương trình mặt phăng qua A và nhận

_*> - -

r ¬

n= | UUs | lam vectơ pháp tuyến ở đây u, us

Ä

tương ứng là các vectơ chỉ phương của dị va db

đ, - Viết phương trình mặt phăng chứa hai đường

thăng song song dị và d› (dị//4))

Lay diém Med,, Neds Bai toán quy ve viet

⁄ : phương trình mặt phăng nhận hai vecto MN, uy củ,

là vectơ chỉ phương của dị) và đi qua điểm M

Ngoài ra còn nhiều bài toán khác có thê quy về các dạng cơ bản trên sau các phép biến đôi đơn giản

Thi du TI: (Dé thi tuyển sinh Dai hoc khôi B— 2008)

Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0:1:2): B(2: -2:]):

C(-2:0;1) Viết phương trình mặt phăng đi qua A B,C

Giai

Mat phang can tim nhận:

1 = AB= (2:-3:1) và u, =AC= (—2;-1;-1) lam cap vecto chi phuong

Do đó vectơ pháp tuyến n của nó là:

spa cản (E3-lllft 2|| -3

n=|u:u, |z 4 2)"|-2

Ub - ¬ = (2;4;-8)//(1.2:-4)

Vay mat phang can tim 6 dang:

I(x ~ 0) +2(y — 1) -4(z- 2) =O xt 2y-4z2+6=0

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Đại học khôi B — 2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0:1:2) và hai đường thăng

Giai Duong thang dị có vectơ chỉ phương u, =(2:1;:—1),

Đường thăng d; có vectơ chỉ phuong u, = (1:-231).

Vi(P) song song với đìị và d› nên nhận u, và u là cặp vectơ chỉ phương

(Chú ý u, và u, không cùng phương) Do đó (P) nhận n n=[uj„u, | làm vectơ pháp tuyến Ta có:

s=[a-;]=|

Mặt khác (P) đi qua AÁ (0;1:2) nên (P) có dạng

-l(x-0)— 3(y~l)—5Œ-2)=0<>x+3y+5z-l3=0

Thi du 3: (Đề thi tuyén sinh Dai hoc khối B — 2005)

Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ ding ABC.A\B,C, với A(0: —3:0); B(4:0:0): C(0:3:0); B.(4:0:4) Gọi M là trung điểm cua A,B Viét phuong trinh mat phăng (P) đi qua A, M và song song voi BC)

Mặt phăng (P) đi qua A, M va song song với BC; nên nhận hai vectơ AM và

BC, làm cặp vectơ chì phương Do vậy vectơ pháp tuyển n của (P) xác định như sau:

Thi du 4: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối D — 2005)

Trong không gian cho hai đường thang:

Như vậy u =Uuy

Mặt khác điểm M (Ì: —2; —1) không thuộc d› (hiển nhiên) do đó dị // d; => đpcm

2/ Cho y = 0 trong hé phuong trinh xac dinh db, ta co:

Rõ ràng (P) đi qua M (1; -2: —1) nên (P) có chương trình:

I5(x—l)+† I(y+2) - 17(z+1) = 0< I5x + Ily— I7z—10 =0

Thi du 3: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối A — 2002)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thăng

Giải Đường thăng d; có vectơ chỉ phương:

Mặt phăng (P) chứa dị song song với d›, nên nhận các vectơ u,;u; làm cặp

vectơ chỉ phương, do đó nó có vectơ pháp tuyến n là:

Viết phương trình mặt phăng (P) đi qua điểm A (1;1;l) và đồng thời vuông góc với cả hai mặt phăng:

(P|): x + 2y + 32+ 4 =0 va (P2): 3x + 2y-—z+1=0

“«

Trong không gian cho đường thăng (d) 7 = = -4 =~ va diem A (1:1:3)

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và vuông góc với d

Giải

Vì (đ) thuộc (P) nên vectơ chi phuong (1: —1;2) d

của d chinh la vecto phap tuyén cua (P)

Do (P) qua A nén (P) co phuong trinh:

I(x — 1) - Wy — 1) + 2(z- 3) = 0

<> x-yt+2z-6=0

Loại 2: Sử dụng phương trình chùm mặt -A

phang dé viét phuong trinh mat phang:

- Gia str cho hai mat phang (P) va (Q) cat nhau:

(P): Aix +Biyy + Cịz + Dị = 0

(Q): Aox + Boy + Coz + Do = 0

Khi đó mặt phăng đi qua giao tuy ến của (P) và (Q) có dạng

viết phương trình mặt phăng trong các bài toán có nội dung

sau: Cho đường thăng dđ viết dưới dang:

Thí dụ 2: (ĐỀ thị ty én sinh Dai hoc khéi D — 2005)

Trong không gian cho hai đường thăng:

Vị (P) chứa đ› nền (P) thuộc “chùm mặt phăng”

a(x +y-z-2)+B(x + 3y -12)=0 (1), voi a? + B >0

1,/d› nên d,// (P) Vì thể dị e (P) nếu như: M(1: ~2; ~1) e (P) (ở đây M e dj)

4 e (P) nên từ (1) ta có phương trình

~2ơœ—l7B=0 (2)

Tir (2) va do a? +B > 0 nén chon B=—2:a =17

Thay lại vào (1) ta có : (P): 15x + lly—17z- 10=0

Nhạn vét: Hãy so sánh với lời giải cũng của thí dụ này trong thí dụ 4, loại Ì,

a(2x-y-1)+B(z-1)=0 <— 2ax-ay+Pz—-a-B=0(1), voi a” +B" >0

Thay lại vao (1) ta co: (P): 2x — y—2z+ =0

Thi du 4: (Dé thi tuyển sinh Cao đăng St pham Quang Ngai — 2006)

Lập phương trình mặt phăng chứa đường thăng:

"|x+2y-z=0

và vuông góc với mặt phăng (Q): x - 2y + 2z~ 10 = 0

Mặt phang (P) chứa (đị) nên nó thuộc chùm:

a(2y +3z-5)+B(x+2y-—x)=0

<=> (2a + B)x +(-a + 2B)y + (3a-B)z—-Sa=0 (1)

œ + >0

vecto phap cua (P) la: n, =(2a + B:—-a + 2B;3a—B) ‘

Vecto phap cua (Q) la: Ne = (1:-2;2) Lo! Z

Do (P) L (Q) > ny,.ng =0

<> 2œ +B+ 2ơ - 4 + 6œ — 2B = 0 © 10œ - 5B=0 <>B= 2œ Thay lại vào (1) ta có: (P);: 4x— 3y +z—5 =0(vì œ? + >0)

Nhan xét: So sanh cách giải trên với cách giải cơ bản sau:

(P) nhận vectơ chỉ phương u, của (đ¡) và vectơ pháp của (Q) làm cặp vectơ chỉ phương

13 J2 -Ì

TlẠ —2

l1 Š Tacs: =| ap

| =\~5;5:5)//(1:1:1):

td —l ]

Vậy vectơ pháp tuyến n của (P) là:

Ta thu lại kết quả trên

Loại 3: Sử dụng phương trình theo đoạn chan dé viet phuong trinh mat phang Phương pháp giải các bài toán này là dựa trực tiếp vào dạng

Viet phuong trinh mat phang (P) biết nó đi qua diém G(1;2;3) va cat cac truc

Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC

Dựa vào công thức xác định tọa độ trọng

tâm của tam giác ta có:

Thi du La:

Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A B, C

sao cho OABC nhận điểm G(1;l;2) là trọng tâm của tứ diện

Giải Giả sử A (a;0;0); B (0;b;0); C (0;0;c) Khi đó (P) có dạng:

Xx Y Z

—+~—+—=ÌlÌ

a b c Theo công thức tính tọa độ trọng tâm của tứ diện ta có:

Xo+XA+Xp, +Xc =4Xec a=4 Yo+YA +Yp +Yc =4yc © b=4 °

Z,+Z4 +Zp +Zc =42zo z=8 Vậy mặt phăng (P) có dạng:

Xuz*+#“-I,

4 4 8 Thi du Ib:

Viét phuong trinh mat phang (P) cắt các truc Ox, Oy, Oz lan luot tai A, B; C sao cho ABC là tam giác đều và có diện tích bằng 243

Viét phuong trinh mat phang (P) qua diém H(2;1;1) va cắt các trục Ox, Oy,

Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trọng tâm của tam giác ABC

= a= 3 Vậy (P) có dạng: St tc=l

6 Nhận vét: Cùng dạng với thí dụ 2, ta có thí dụ sau:

Khoảng cách từ điểm © tới (P) là: h = `:

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

21 x y ,2

+ Néu b= thi (P) cé dang: 42 + 2ï *42

II II 9 Loại 4: Các bài toán khác về thiết lập phương trình mặt phăng:

Nếu như việc thiết lập phương trình mặt phẳng có thể đưa về một trong ba dạng cơ bản trên, thì bài toán có cách giải đơn giản, rõ ràng và hoàn toản có định hướng Nếu như ta gặp một bài toán thiết lập phương trình mặt phăng mà thoạt đầu chưa thấy ngay nó có một trong ba dạng trên thì dựa vào điều kiện dau bài ta cố găng đưa chúng về các dạng cơ bản đó, hoặc sử dụng trực tiếp dạng tông quát của phương trình mặt phăng:

=]

Ax+ By +Cz+D=0

Khi đó ta cân thiết lập một hệ phương trình để tìm A, B, C, D

Thi dul: (Dé thi tu tên sinh Dai hoc khéi A — 2008)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho diém A (2;5;3) và đường thăng

q:X=] _¥ _Z72

1/ Tim toa dé hinh chiéu vuông góc của A trên d

2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P)

là lớn nhất

.“

Giải 1/ Got M là hình chiếu của A trên D Khi đó M=(1+2t; t; 2t—1)

Vì đ có vectơ chỉ phương là: u =(2;1:2)

Nên từ AM.u=0<> 2(2t-1)+(t-5)+2(2t—-]) =

Vậy M = (3:1:4)

2/Ke AH L (P) DoM € (P) vaM e (d) mà (P) chứa (d)

=AH<AM Vậy d(A,(P)) = AH nhận giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

AHEAM <>H=M Lúc đó bài toán trở thành Viết phương trình (P) qua A(2;S;3)

và nhận AM =(I;-4;1) là vectơ pháp tuyến Do đó (P) có dạng:

(x—2) — 4(y—5) + (2-3) =O x-4y+z-3=0

Nhan xét:

1/ Nho co phan a) thi ta quy việc viet phuong trinh (P) vé bai toan co ban (loai 1) 2/ Giả sử bài toán không có câu a) Khi đó bài toán viết phương trình (P) chưa thay ngay thuộc dạng cơ bản nào Dĩ nhiên ta phải tự giải bài toán phy (cau 1) đề đưa nó về dạng cơ ban thứ nhất Cách giai này là hay nhất

3/ Có thể giải cách khác như sau:

Vì d có thể viết lại dưới đạng:

|2y-z+2=0

nên (P) do chứa (đ) nến thuộc chùm mặt phăng Sau:

Ta thu lai két qua trén

Ở đây ta quy bài toán về bài toán cơ bản: Sử dụng phương trình “chùm mặt phăng” để giải bài toán lập phương trình mat phẳng (Dĩ nhiên kết hợp thêm bài toán tìm giá trị lớn nhât của hàm sô)

Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học, Cao đăng khối A — 2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lap phuong ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0:0), D(0;1;0) A”(0;0;1) Viết phương trình mặt phăng chứa AC

và tạo VỚI mặt phăng (Oxy) một góc a, biết cosœ = x

Giải

Giả sử mặt phẳng (P) cần tìm có vectơ pháp n = (œ,,Y)

Lay C =(1;1;0) là điểm mà (P) đi qua khi đó (P) có dạng:

a(x-1)+B(y-1)+yz=0

Vi (P) con qua A’ = (0;0;1) nén ta có:

(Rõ ràng BzZ 0 vì nếu B=0 — œ = 0 mâu thuẫn với œ? + B” >0)

-1 <> 6(a+B) =a? +B" +(a+B)

Từ (1) và (2) suy ra A°C 1L (ABC')

Vay A"'C =(0;2; -2) là vectơ pháp tuyến của Z `\

Mặt khác (ABC) qua A (0;0;0) nên có dạng:

_ 2y—=0)-2(z—-0)=0<>y-z=0

Vậy (ABC’) cé dang: 4x + 4y =O @y-z=0

Cách giải này rất tự nhiên và đơn giản

Thi du 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1:2:0), B (0:4: 0) C (0:0:3) Viết phương trình mặt phăng (P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B và C đến (P) là băng nhau

§2 BÀI TOÁN THIET LAP PHUONG TRINH DUONG THANG

Đường thăng trong không gian được cho dưới ba dạng cơ bản s sau:

(Với giả thiết nếu a = 0 thì x = Xu, b = 0 thi y = 0, c = 0 thi z = Z)

- Phương trinh dưới dạng tham SỐ:

Đường thăng đi qua điểm M (xạ: yo; Zo) va nhan vectơ u = (a; b; c) làm vectơ chỉ phương có dạng tham số

X=X, +at y=y,+bt, với tham sote R

Z=Z,+ct

- Phuong trinh duoi dang tông quát:

Dưới dạng này đường thăng có dạng:

Loại 1: Viết phương trình đường thăng dưới dạng chính tắc:

Đề sử dụng được phương pháp này ta cần biết được:

- Vectơ chỉ phương của đường thăng Điều này sẽ có được ngay nếu biết được hai điểm A, B của đường thăng cân tìm Lúc đó AB sẽ là vectơ chỉ phương của nó Nếu như d // dị thì vectơ chỉ phương của d và d; là như nhau

- Một điểm của đường thăng d (điều này nói chung là luôn luôn có)

Thi du 1: (Dé thi tuyên sinh Đại học khối B — 2007)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) B(—1;2;4) Gọi

G là trọng tâm của tam giác OAB Viết phương trình đường thăng d vuông góc với mặt phăng (OAB) tại G

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối D —- 2006)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A (1;2;3) và hai đường thang:

d, Vay A có vectơ chỉ phương là AB=(I;-3;5) và đi

qua A(1; 2; 3) nên A có phương trình:

x—] _ y—2 _z-3 hay x-l y-2_2z-3

Thi dụ 3: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối B — 2004)

Trong không gian cho điểm A (—4; —2;4) và đường thang

Gọi M là hình chiếu của A trên (đ)

Vậy A chính là đường thăng qua A và M

x+4 y+2 z-4

Ma Thi du 4: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D — 2009)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thăng:

Tacod L A,d 1 n(ởđây n =(1;2;3))

là vectơ pháp tuyến của (P) Từ đó nếu gọi u là vectơ chỉ phương của d, uy là vectơ chỉ phương của A thì:

-E2H-NB Han

x+3 y-l_z-l

Thi dụ Š: (Để thủ tuyển sinh Đại học khối A — 2007)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thăng:

vuông góc với mặt phăng (P) cắt cả dị ch —” 8 4

Do d e (P)) nên AB//n= (7:1:—4), ở đây n là vectơ pháp tuyến của (P)

Thi du 6: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối A — 2005)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thăng:

P ` phương u =(-1;2:1), vậy tọa độ (x; y; Z)

của A được suy ra từ phương trình:

(hay dưới dạng tham số: x = t; y =—l; z = 4+t

Nhán xéi: Do trong vectơ chỉ phương của đường thắng A có một thành phan bang 0, nén ta hay ` viet no dưới dạng tham số

Thi du 7: (Dé thi tuyên sinh Cao đăng Giao thông Van tai — 2005)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm H (1;2; —l) và đường x-3 -*— =< Lập phương trình đường thắng A đi qua H, cắt d và song song với mặt phăng (P): x+y-z+3=0

}+2+1+m=00m = -4

Vậy (Q) có dạng: x + yT— z~ 4 = Ô

Giả sử d¬ (Q)—>=dA=M Vì Me(d)

2/ Xét một bài toán tương tự:

Cho hai đường thăng: