............................................................................................................................................................................................................................
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN LAI VUNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2015 – 2016
Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 13/06/2016
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi có 02 trang, gồm 6 câu)
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Cho biểu thức A = n n( 5) ( n3)(n2) (với n là số tự nhiên) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị của n
b) Cho x, y, z là các số tự nhiên Chứng minh biểu thức
4
B x xy x y z xz y z là một số chính phương
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Cho biểu thức P4x24x5 Chứng minh P > 0 với mọi giá trị của x
b) Giải bất phương trình: 3 2
2
x x
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức 2 3 4
7 12
N
với 3 x 4
b) Cho x y, là hai số bất kì thỏa mãn điều kiện 2 2
x y xy xy x Tính giá trị của biểu thức
2
:
N
Câu 4 (4,0 điểm)
a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km Một người đi từ A đến B rồi từ B trở
về A hết tất cả 4 giờ 25 phút Tính quãng đường nằm ngang? Biết rằng cả lúc đi lẫn lúc về thì: vận tốc lên dốc là 10 km/h; vận tốc xuống dốc là 20 km/h; vận tốc trên đường nằm ngang là 15 km/h
b) Cho a b, là hai số thực dương bất kì thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M
Trang 2Câu 5 (4,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân?
b) Cho tam giác ABC vuông tại A Biết rằng 5
6
AB
AC , đường cao AH=30cm Tính HB, HC
Câu 6 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N
a) Chứng minh rằngCM DN a2
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB Chứng minh rằng MKN= 900 c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất ?
- HẾT -
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 3PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN LAI VUNG
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN
I HƯỚNG DẪN CHUNG:
1 Học sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó
2 Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi
3 Điểm toàn bài tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm
II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:
1
a) Cho biểu thức A = n n( 5) ( n3)(n2) (với n là số tự nhiên) Chứng
minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị của n 1,0
b) Cho x, y, z là các số tự nhiên Chứng minh
4
B x xy xyz xz y z là một số chính phương 2,0
4
B x xyxz x xyxzyz y z Đặt 2
2 2
2 2 2
B x xy xzyz là số chính phương 0,5
2
a) Cho biểu thức 2
P x x Chứng minh P > 0 với mọi giá trị của
P2x 12 4 0 với mọi giá trị của x 0,5
b) Giải bất phương trình: 3 2
2
x x
x
Vậy tập nghiệm của bpt: S x R 7 x 2
0,5
Trang 4Câu Nội dung Điểm
3
a) Rút gọn biểu thức 2 3 4
7 12
N
Vì 3 x 4 nên x 3 x 3; x 4 4 x 0,5
2
3 4
7 12
N
3 4
3 4
b) Cho x y, là hai số bất kì thỏa mãn điều kiện x2 9y2 4xy 2xy x 3
Tính giá trị của biểu thức
2
- 25 - 2
: -10 25 - - 2
N
2
5
N
x x
2
0,5
8
3
4
a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD,
đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km Một người đi từ A đến B rồi từ
B trở về A hết tất cả 4 giờ 25 phút Tính quãng đường nằm ngang? Biết
rằng cả lúc đi lẫn lúc về thì: vận tốc lên dốc là 10 km/h; vận tốc xuống
dốc là 20 km/h; vận tốc trên đường nằm ngang là 15 km/h
2,0
- Gọi quãng đường nằm ngang CD là x (0 < x < 30; km) 0,5
Thì tổng quãng đường lên dốc và xuống dốc AC + DB là: 30 – x 0,5
- Kể cả lúc đi và lúc về thì:
+ Quãng đường nằm ngang dài: 2x
+ Quãng đường lên dốc dài: 30 – x
+ Quãng đường xuống dốc dài: 30 – x
0,25 0,25 0,25
- Lập được phương trình: 2 30 30 4 5
- Trả lời: Quãng đường nằm ngang dài 5 km 0,25 b) Cho a b, là hai số thực dương bất kì thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
M
2,0
1 a b 1 a b
M
2 b 2 a
M
8 a b 4 a b
Vì
b a ; a b 2
ba nên M 8 2 4.2 M 18 0,5
Vậy GTNN của M = 18 1
2
a b
Trang 5Câu Nội dung Điểm
5
a) Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D, E, M theo thứ tự là trung
điểm của AB, AC, BC Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang
M
E D
H
C B
A
Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC
/ /
Mặt khác tam giác AHC vuông tại H và HE là đường trung tuyến nên:
HE AC 1
2
DM là đường trung bình của tam giác ABC nên:
DM AC 2
2
Từ (1) và (2) suy ra: DM = HE
Hình thang DEMH có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang
cân (đpcm)
0,5
b) Cho tam giác ABC vuông tại A Biết rằng 5
6
AB
AC , đường cao AH = 30cm Tính HB, HC
2,0
A
Chứng minh: ABH CAH AB AH
5 30
36
6 CH CH cm
Từ ABH CAH AH BH BH HC. AH2
0,5
2 302
25 36
AH
CH
Trang 6Câu Nội dung Điểm
6
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc
cạnh AD sao cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng
CD theo thứ tự ở M, N
3,0
- Ta có : AB // MN
DN
BA FD
AF BE
CE BA
CM
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB Chứng minh rằng MKN= 900 1,0
- Ở câu a ta có
DN
AB AB
CM
nên
DN
DA CB
CM
- Do đó CMB đồng dạng DAN (c.g.c) nên CMB= DAN 0,5
Suy ra CMB+ DNA= 900.Vậy MKN= 900 0,25 c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất? 1,0
- Độ dài MN nhỏ nhất CM + DN nhỏ nhất 0,25
mà CM.DN = a2 là không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất CM = DN 0,25
- Khi đó CM2 = a2 , CM = DN = a ; nên độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi
và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD 0,5
-Hết -
a A
D
B
N
K
