Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI o0o -NGUYỄN MINH PHƯƠNG TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Toán Tin LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

o0o

-NGUYỄN MINH PHƯƠNG

TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Toán Tin

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGÀNH: TOÁN TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO

Hà Nội - 2014

Mục lục

Lời cảm ơn iii

Mở đầu iv

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt ix

Chương 1 Kiến thức bổ sung 1

1.1 Biến đổi Fourier 1

1.1.1 Định nghĩa 1

1.1.2 Tính chất 2

1.1.3 Bổ đề Riemann-Lebesgue 2

1.2 Tích chập Fourier 3

1.2.1 Định nghĩa tích chập Fourier 3

1.2.2 Định lí về tích chập Fourier 3

1.2.3 Tính chất đại số của tích chập Fourier 3

1.2.4 Đẳng thức Parseval’s 4

1.3 Phép biến đổi Fourier Cosine và Sine 4

1.3.1 Một số định nghĩa 4

1.3.2 Tính chất biến đổi Fourier Cosine và Sine 5

1.3.3 Định lí tích chập biến đổi Fourier Cosine 6

1.4 Ví dụ 6

Chương 2 Phép biến đổi Laplace và ứng dụng thực tế 10

2.1 Phép biến đổi Laplace 10

2.1.1 Định nghĩa 10

2.1.2 Tính chất 11

2.1.3 Định lý Tauberian 13

2.1.4 Bổ đề Watson 14

2.2 Ứng dụng về phép biến đổi Laplace 14

2.2.1 Phương trình vi phân cấp hai 15

2.2.2 Dao động điều hòa không chịu tác động môi trường 16

2.2.3 Dòng điện và điện tích trong mạch điện đơn giản 18

2.2.4 Phương trình vi phân với độ trễ 22

2.2.5 Phương trình vi- tích phân 24

Chương 3 Tích chập suy rộng đối với Fourier-Laplace và ứng dụng 26

3.1 Một số tích chập đã biết 26

3.2 Định nghĩa, định lí trên các không gian hàm 28

3.3 Tính chất toán tử 35

3.4 Phương trình và hệ phương trình tích phân 39

3.5 Phương trình vi - tích phân 44

Tài liệu tham khảo 53

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để luận vănnày được hoàn thành, cũng như giúp tôi ngày càng khắc sâu niềm đam

mê nghiên cứu khoa học toán học

Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đàotạo Sau Đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo mọi điềukiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.Tôi xin được cảm ơn sự dạy dỗ, chỉ bảo và quan tâm của các thầy côcủa Viện Toán ứng dụng và Tin học trong suốt thời gian tôi theo học

và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ môn Toán cơ bản của Viện Toán ứngdụng và Tin học nơi tôi đang theo học, đã tạo điều kiện thuận lợi chotôi có cơ hội học tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn anh, chị và các em trong nhóm seminargiải tích do PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo chủ trì đã có những trao đổihữu ích giúp cho luận văn được hoàn thiện hơn

Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè vàđồng nghiệp, những người luôn động viên khích lệ giúp tôi hoàn thànhluận văn này Xin chân thành cảm ơn

Học viên: Nguyễn Minh PhươngLớp: 12BTT-KH

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Tích chập đối với biến đổi tích phân được nghiên cứu rất sớm vào đầunhững năm của thế kỉ 20, như là tích chập đối với biến đổi Fourier(xem[4,13,17]), biến đổi Laplace(xem[2,4,12,17,28-31]), biến đổi Mellin(xem[12,17]), biến đổi Hilbert(xem [4,5]), biến đổi Fourier Cosine và Sine(xem [7,9,17,19]) và Các loại tích chập này có nhiều ứng dụng quantrọng trong xử lý ảnh, phương trình vi phân, phương trình tích phân,bài toán truyền nhiệt ngược(xem [4-6,12,15-17,25,28-30])

Các phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò đặc biệt quantrọng trong đó bản thân phép biến đổi Fourier cũng ra đời từ bài toánthực tế, khi Fourier nghiên cứu quá trình truyền nhiêt

Phép biến đổi Fourier có dạng ( xem [3,27])

Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập đối với các phépbiến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ 20 Tích chậpđầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi Fourier, cụthể là tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier códạng như sau (xem [18])

Fg](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1(R)

Trong năm 1998, trong [8] tác giả giới thiệu phương pháp chung nhấtđược định nghĩa bởi tích chập suy rộng đối với hàm trọng γ với 3 biếnđổi tích phân tùy ý K1, K2 và K3 sao cho đẳng nhất thức nhân tử hóathỏa mãn như sau:

K1[f ∗ g](y) = γ(y)(Kγ 2f )(y)(K3g)(y)

Ý tưởng này đã mở ra nhiều nghiên cứu mới và nhiều tích chập mới vớitính chất xuất hiện trong [9], nhưng cho đến nay chỉ có một loại tíchchập đối với biến đổi Laplace xác định như sau(xem [4,31]):

ở đây L kí hiệu biến đổi Laplace

(Lf )(y) =

Z ∞ 0

Với những lí do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để viết luận văn vớitên gọi " Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu các phép biến đổi tích phânkiểu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các nhóm phép biến đổiFourier, Fourier Cosine và Laplace Chúng tôi nghiên cứu các tính chấttoán tử tích phân được xây dựng trong không gian L1(R+) Từ đó, chúngtôi đưa ra ứng dụng cụ thể để đánh giá nghiệm của các bài toán phươngtrình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi- tích phân có nghiệmdưới dạng đóng

3 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp chính của luận văn là chúng tôi sử dụng các kĩ thuật phépbiến đổi tích phân, các kĩ thuật phép biến đổi Fourier, Fourier Cosine,Fourier Sine và Laplace để giải các bài toán về phương trình và hệ phươngtrình tích phân, phương trình vi -tích phân

4 Nội dung của luận văn

Trong luận văn này chúng tôi đưa ra 3 chương như sau:

Chương 1: Kiến thức bổ sung Mục đích chính là nhắc lại các kiến thức

cơ bản nhất về định nghĩa phép biến đổi Fourier, các tính chất cơ bảncủa chúng; tiếp đến là định nghĩa về tích chập Fourier, có tìm hiểu vềđịnh lí và tính chất đại số của tích chập Fourier, đẳng thức Parseval’s ;ngoài ra còn tìm hiểu cụ thể về định nghĩa biến đổi Fourier Cosine vàSine, từ đó đưa ra các tính chất của biến đổi Fourier Cosine và Sine Vớicác kiến thức cốt lõi như trên chúng ta sẽ tìm hiểu một số ví dụ minhhọa để khắc sâu kiến thức Kiến thức của chương cũng là nền tảng đểnghiên cứu sâu ở chương 3

Chương 2: Phép biến đổi Laplace và ứng dụng thực tế Trong chươngnày chúng ta nghiên cứu hai vấn đề đó là phép biến đổi Laplace và ứngdụng; thông qua phép biến đổi Laplace chúng ta nhắc lại các loại địnhnghĩa về Laplace xuôi và ngược, từ đó đưa ra các tính chất của chúng;bên cạnh đó cũng không thể không nhắc đến định lí kinh điển là định líTaberian và bổ đề Watson Vì vậy , các ứng dụng thực tiễn cho chúng

ta thấy được rằng việc vận dụng kiến thức về phép biến đổi Laplace làrất hữu ích và nó là nền tảng cho nhiều lĩnh vực trong thực tế Nội dungcủa chương 2 chính là cơ sở để vận dụng cho chương 3

Chương 3: Tích chập suy rộng đối với Fourier-Laplace và ứng dụng.Trong chương này chúng ta nghiên cứu sâu về các tích chập Fourier-Laplace, đưa ra các định nghĩa, định lí và hệ quả về các tích chập, nhắclại một số tích chập đã biết; từ đó nghiên cứu các phương trình và hệ

phương trình tích phân có nghiệm dưới dạng đóng Trên cơ sở nghiên cứucác chương 1,2 ở trên, chúng tôi đã tìm ra hướng nghiên cứu để giải đượcbài toán về phương trình vi- tích phân có nghiệm dưới dạng đóng và kếtquả này đã được hội đồng phản biện của tạp chí khoa học Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội đánh giá tốt và chuẩn bị được đăng bài trên tạp chí.

Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, trườngĐại học Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS NguyễnXuân Thảo Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏithiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn Xinchân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 05 tháng 09 năm 2014

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

·) tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y đối với phép

biến đổi Fourier Sine(· ∗

1·) tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier Sine

và Fourier Cosine(· ∗

2·) tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier Cosine

và Fourier Sine(·∗ ·)γ tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy đối với phép

Chương 1

Kiến thức bổ sung

Trong chương này, chúng ta dẫn ra một số kiến thức cơ bản đối vớicác phép biến đổi Fourier, Fourier Cosine, Fourier Sine và tích chập biếnđổi Fourier Cosine liến quan đến luận văn

1.1 Biến đổi Fourier

Đây thường gọi là phép biến đổi Fourier phức Điều kiện đủ đối với biếnđổi Fourier của hàm f (x) là khả tích tuyệt đối trên (−∞, ∞) Tốc độhội tụ của tích phân (1.1)dẫn đến hàm f (x) khả tích tuyệt đối Trênthực tế tốc độ hội tụ của tích phân liên quan tới k.

1.1.2 Tính chất

Tính chất thứ nhất Nếu F{f(x)} = F (k) thì

+) Dịch chuyển F{f(x − a)} = e−ikaF{f(x)}

+) Thang đo F{f(ax)} = 1

|a|F (ka)+) Liên hợp F{f(−x)} = F{f(x)}

+) Tịnh tiến F{eiaxf (x)} = F (k − a)

Tính chất thứ hai Nếu f (x) là hàm khả vi ,liên tục trên từng đoạn vàkhả tích tuyệt đối thì

1.2.2 Định lí về tích chập Fourier

Nếu F{f(x)} = F (k) và F{g(x)} = G(k) thì

F{f(x) ∗ g(x)} = F (k)G(k)hoặc tương tự

trong đó α và β là hằng số.

+) Đồng nhất f ∗√

2πδ = f =√

2πδ ∗ f 1.2.4 Đẳng thức Parseval’s

Định nghĩa biến đổi Fourier Cosine Giả sử f (x) là hàm số chẵn

và mở rộng hàm số Cosine trong công thức (1.3) ta có

∞

Z

0

cos kxf (x)dx

trong đó, Fc là toán tử của phép biến đổi Fourier Cosine

Định nghĩa biến đổi Fourier Sine Giả sử f (x) là hàm số lẻ và mở

rộng hàm số Sine trong công thức (1.3) ta có

∞

Z

0

sin kxf (x)dx

trong đó, Fs là toán tử của phép biến đổi Fourier Sine

1.3.2 Tính chất biến đổi Fourier Cosine và Sine

Tính chất thứ nhất Nếu Fc{f (x)} = Fc(k) và Fs{f (x)} = Fs(k) thì

Fc{f (ax)} = 1

aFc

ka

, a > 0

Fs{f (ax)} = 1

aFs

ka

, a > 0Tính chất thứ hai Nếu Fc{f (x)} = Fc(k) và Fs{f (x)} = Fs(k) thì có

Fc{f0(x)} = kFs(k) −

r2

πf (0)

Fc{f00(x)} = −k2Fc(k) −

r2

πkf (0)

1.3.3 Định lí tích chập biến đổi Fourier Cosine

idξ

hoặc tương đương

idξ

idξ

hoặc tương đương

= √12π exp

f (x) = g(x) + (f ∗ h)(x)

Áp dụng biến đổi Fourier hai vế của phương trình trên và theo định lí

2πF(g ∗ l)(x)

lấy ngược Fourier ta được

số ví dụ minh họa Chương này cũng là nền tảng để nghiên cứu sâu chochương cuối của luận văn Nội dung chương 1 được lấy trong tài liệu [4]

2.1 Phép biến đổi Laplace

Định nghĩa biến đổi Laplace ngược

Trong đó, c là hằng số thực phù hợp và F (s) là hàm giải tích biến phức

s trên nửa phải mặt phẳng với phần thực s > a (xem [4])

2.1.2 Tính chất

Định lý 1 (Định lý Heaviside dời đầu tiên theo s)

Nếu L{f(t)} = F (s) thì L{e−atf (t)} = F (s + a), ở đó a là hằng sốthực

Định lý 2 (Định lý Heaviside dời thứ hai theo t)

Nếu L{f(t)} = F (s) thì L{f(t − a)H(t − a)} = e−asL{f(t)} =

Giả sử L{f(t)} = F (s) khi đó L{f(at)} = 1

|a|F (sa) , a 6= 0Định lý 4 (Tính chất tuyến tính của Laplace)

Cho α, β và ∃L{f(t)}(s), L{g(t)}(s) Khi đó:

L{αf(t) + βg(t)}(s) = αL{f(t)}(s) + βL{g(t)}(s), với mọi s

Định lý 5 (Phép biến đổi Laplace của đạo hàm bậc cao)

Nếu L{f(t)} = F (s) thì

L{f0(t)} = sL{f(t)} − f(0) = sF (s) − f(0)

L{f00(t)} = s2L{f(t)} − sf(0) − f0(0) = s2F (s) − sf (0) − f0(0)Hơn nữa:

Đối với phép biến đổi Laplace ngược ta có định lý khai triển hàmHeaviside

Nếu F (s) = P (s)Q(s) ở đó P (s), Q(s) đều là những hàm đa thức chứabiến s và bậc của hàm Q(s) cao hơn bậc của hàm P (s) thì

L−1{P (s)Q(s)} =

s→∞[sn+1F (s) − snF (s) − − sf(n−1)(0)] = f(n)(0)(2.6)Định lý 2 (Định lý về giá trị cuối cùng)

Nếu F (s) = P (s)Q(s) ở đó P (s), Q(s) đều là những hàm đa thức chứabiến s và bậc của hàm Q(s) cao hơn bậc của hàm P (s) và nếu tất

cả nghiệm của phương trình Q(s) = 0 có phần thực âm trừ phi một

Ở đó |Rn+1(t)| < A.tn+1 với 0 < t < T và A là hằng số thì biến đổiLaplace F (s) có khai triển gần đúng:

2.2 Ứng dụng về phép biến đổi Laplace

" Phương trình vi phân cơ bản có trong hầu hết lý thuyết Vật lý Lýthuyết về âm thanh trong các môi trường khí, lỏng, rắn; nghiên cứu về

sự đàn hồi, quang học, tất cả các công thức về phương trình vi phân đềuxây dựng dựa trên các quy luật tự nhiên mà có thể được kiểm chứngthông qua các thí nghiệm."

Bernhard Riemann

2.2.1 Phương trình vi phân cấp hai

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 cho bởi công thức sau:

d2x

dt2 + 2pdx

dt + qx = f (t), t > 0 (2.11)Với điều kiện ban đầu: x(t) = a,dxdt = x0(t) = b tại t = 0 trong đó p, q, a, b

2.2.2 Dao động điều hòa không chịu tác động môi trườngPhương trình vi phân về dao động có sự xuất hiện của lực bên ngoài

F f (t) là:

d2x

dt2 + ω2x = F f (t) (2.12)trong đó ω là tần số, F là hằng số

Với điều kiện ban đầu: x(t) = a, x0(t) = U tại t = 0 trong đó a, U làhằng số

Lấy Laplace của phương trình (2.12) hai vế cùng với điều kiện ban đầu

trong đó A = (a2 + Uω22)1/2 và φ = tan−1(ωaU )

Nghiệm (2.14) bao gồm 2 biểu thức Biểu thức thứ nhất đại diện cho dữliệu ban đầu và được mô tả là dao động tự do với biên độ A, pha banđầu φ và tần số ω được gọi là tần số riêng của dao động Biểu thức thứhai phát sinh thêm lực bên ngoài, đại diện cho dao động cưỡng bức Đểkiểm chứng một số trường hợp của nghiệm (2.14) chúng ta sẽ chọn cáctrường hợp sau đây:

(i) Không có hàm cưỡng bức

Nghiệm (2.14) trở thành: x(t) = A cos(ωt − φ)

Đây là đại diện cho dao động điều hòa đơn giản nhất với biên độ A, tần

số ω và pha ban đầu φ

(ii) Ổn định hàm cưỡng bức, f(t) =1

Nghiệm (2.14) trở thành: x − ωF2 = A cos(ωt − φ) − ωF2 cos ωt

Đặc biệt, khi U = 0 cho ra biểu thức: x − ωF2 = (a − ωF2) cos ωt

Đây tương ứng dao động tự do với tần số riêng ω và biểu thị sự thay đổitrạng thái cân bằng từ gốc tới điểm ωF2

(iii) Tuần hoàn hàm cưỡng bức, f (t) = cos ωot

Biến đổi nghiệm tìm được:

x(t) = a cos ωt + U

ω sin ωt +

F(ω2

o − ω2)(cos ωt − cos ωot) (2.15)

x(t) = A cos(ωt − φ) + F

(ω2

o − ω2)cos ωot (2.16)trong đó A =



và daođộng cưỡng bức với chu kì 2πω

o



mà giống như ngoại lực tuần hoàn Nếu

ωo > ω thành phần lực cưỡng bức bị thay đổi pha một góc π Nói cáchkhác, dao động của lực cưỡng bức trong pha hoặc 180o ngoài pha với

ngoại lực tăng dần khi ω >, < ωo.

Khi ω = ωo thì kết quả (2.15) có thể viết lại:

x(t) = a cos ωt + U

ω sin ωt +

F(ωo+ ω)

" sinn12(ω − ωo)t

osin

= A cos(ωt − φ) + F t

2ω sin ωottrong đó A = (a2 + Uω22)1/2 và φ = tan−1(ωaU )

Đây rõ ràng là nghiệm được chỉ ra rằng biên độ của dao động cưỡng bức

tăng theo t Do đó, nếu tần số riêng bằng tần số cưỡng bức, dao động

trở nên vô hạn và trong vật lý không thích điều này Đây chính là hiện

tượng cộng hưởng và tần số ω = ωo được gọi là tần số cộng hưởng Có

thể nhấn mạnh rằng tại thời điểm xảy ra cộng hưởng các giải pháp thuộc

về toán học là không hợp lệ với khoảng thời gian lớn do đó trong vật lý

là phi thực tế Trong hầu hết các dao động, loại dao động phù hợp được

giải quyết bao gồm phân ly và hiệu ứng phi tuyến

2.2.3 Dòng điện và điện tích trong mạch điện đơn giản

Dòng điện trong mạch điện gồm có điện cảm L, điện trở R, điện dung

C đặt với sức điện động E(t) được điều khiển bởi phương trình:

LdI

dt + RI +

1C

t

Z

0

trong đó L, R, C là các hằng số và I(t) là dòng điện mà liên quan đến

sự tích tụ của điện tích Q(t) trên tụ điện tại thời điểm cho bởi:

Lấy Laplace hai vế của phương trình cùng với điều kiện ban đầu ta được:

I(s) = 1

L

sE(s)(s2 + RLs + CL1 ) =

1L

(s + k − k)E(s)(s + k)2 + n2 (2.20)trong đó, k = 2LR, ω2 = LC1 , n2 = ω2 − k2

lấy ngược Laplace đưa ra dòng điện I(t) có 3 trường hợp sau:

= 1L

t

Z

0

E(t − τ )(1 − kτ )e−kτdτ, (2.22)với ω2 = k2,

= 1L

sin nt, n2 = ω2 − k2 > 0 (2.24)

= Eot

L exp



− Rt2L

sinh mt, m2 = ω2 − k2 < 0 (2.26)

Ta quan sát thấy rằng, nghiệm trong trường hợp điện trở nhỏ hoặc giảm

ít, việc mô tả sự giảm bởi dòng điện hình Sine với biên độ phân rã Trongthực tế tốc độ giảm phụ thuộc vào tỉ lệ với RL khi đó con số cho ra rấtlớn, sự yếu đi của dòng điện là rất nhanh Tần số dao động của dòngđiện là: n =

Trong trường hợp cuối 4LR22 > CL1 tương ứng với điện trở cao hoặc sự giảmlớn Dòng điện liên quan trong trường hợp này có công thức:

I(s) =

EoωoL

{(s + k)2 + n2}(s2 + ω2

o)

Sử dụng quy luật tách phân số lần lượt được:

(s2 + ω2

o)

#

(2.27)

trong đó A, B, C ≡ (ω(ω2−ω2 −ω2,2kω2 )+4k2,2kω2 ω 22) Lấy ngược laplace của (2.27) và giả

sử nghiệm I(t) có 3 nghiệm riêng biệt phụ thuộc ω2 >=< k2

Nghiệm đối với trường hợp điện trở nhỏ (ω2 > k2) là:

I(t) = A1sin(ωot − φ1) + A2e−ktcos(nt − φ2) (2.29)trong đó

A21 = E

2 o

Trong trường hợp đặc biệt, ω2 = k2, lấy Laplace ngược thì dòng I(t)được lấy từ công thức (2.27) là:

I(t) = A1sin(ωot − φ1) +

EoωoL

[Ae−kt − (Ak + B)te−kt] (2.30)

Kết quả khẳng định rằng thành phần giao thời của mạch điện sẽ mất

đi theo hàm số mũ khi t → ∞ Cuối cùng, dòng điện dao động ổn địnhđược thiết lập trong mạch và biểu diễn dạng hình Sine Trường hợp, tìmnghiệm liên quan đến điện trở cao(ω2 < k2) có thể tìm chính xác theo(2.27) như sau:



= 1L

dE dt

E



2.2.4 Phương trình vi phân với độ trễ

Trong nhiều vấn đề, một hàm số chưa biết x(t) phát sinh có liên quantới giá trị của nó tại thời điểm khác nhau t − τ Đây là vấn đề chúng taquan tâm đầu tiên về phương trình vi phân có công thức:

dx

trong đó, a là hằng số và f (t) là giá trị hàm được cho Phương trìnhkiểu này được gọi là phương trình vi phân độ trễ Nói chung, vấn đề giátrị ban đầu của những phương trình dạng này có liên quan đặc biệt tớihàm x(t) trong khoảng to − τ ≤ to, và những dữ kiện đó đủ để xác địnhhàm x(t) với t > to Từ phương trình(2.31) chúng ta có thể giải bằngbiến đổi Laplace khi to = 0 và x(t) = xo với t ≤ 0 Nhìn vào điều kiệnban đầu, chúng ta viết: x(t − τ ) = x(t − τ )H(t − τ ) Do đó phương trình(2.31) tương đương:

dx

dt + ax(t − τ )H(t − τ ) = f (t) (2.32)lấy Laplace 2 vế của phương trình (2.32) ta có:

sX(s) − xo + a exp(−τ s)X(s) = F (s)hoặc

n

exp(−nτ s)Lấy ngược Laplace ta được nghiệm:

n

exp(−nτ s)

#