ích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân cosine fourier và ứng dụng

21 2 Tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourier 25 2.1 Tích chập cosine Fourier với hàm trọng trong LR+.. Lời nói đầuTích chập đối với các phép biến đổi tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo

Hà Nội - 2010

Mục lục

1.1 Tích phân Dirichlet 1

1.2 Nhân Fourier 9

1.3 Công thức tích phân Fourier 14

1.4 Định nghĩa phép biến đổi tích phân cosine Fourier và các ví dụ 19 1.5 Các tính chất của phép biến đổi tích phân cosine Fourier 21

2 Tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourier 25 2.1 Tích chập cosine Fourier với hàm trọng trong L(R+) 25

2.2 Tích chập cosine Fourier với hàm trọng trong Lpγ,β(R+) 38

2.3 Các bất đẳng thức tích chập cosine Fourier trong Lp(R+) 43

3 Một số ứng dụng 49 3.1 Giải phương trình đạo hàm riêng 49

3.2 Giải phương trình tích phân 53

3.2.1 Giải phương trình tích phân hệ số hằng số 53

3.2.2 Giải phương trình tích phân hệ số hàm số 57

3.3 Giải hệ phương trình tích phân có hệ số hàm số 603.4 Giải phương trình vi phân thường 63

Lời nói đầu

Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân nói chung, cũng như đối vớiphép biến đổi tích phân cosine Fourier nói riêng, đã được các nhà toán họcnghiên cứu rất sâu rộng và được ứng dụng để giải quyết một lớp lớn các bàitoán như đánh giá tích phân, tính tổng của một chuỗi, tìm nghiệm của cácphương trình toán lý với dạng biểu diễn nghiệm rất gọn đẹp Chẳng hạn,năm 1951, tích chập của hai hàm số f (x) và g(x) đối với phép biến đổi tíchphân Fourier do Sneddon đề xuất [13]

f (t)g(x + t) + g(| x − t |) dt (3)thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fc f ∗

F c

g
(y) = (Fcf )(y) (Fcg)(y) ∀y ∈ R+ (4)Năm 2004, tích chập với hàm trọng γ = cos y của hai hàm số f (x) và g(x)trong không gian L(R+) đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourier, đã

được Nguyễn Xuân Thảo và Nguyễn Minh Khoa [15] nghiên cứu.

f ∗ g
(x) =γ 1

2√2π

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fc f ∗ g
(y) = cos y Fγ cf
(y) Fcg
(y), ∀y ∈ R+ (6)Năm 2010, Nguyễn Thanh Hồng [7], giới thiệu các bất đẳng thức tích chậpcosine Fourier trong không gian Lp(R+) và ứng dụng nó để đánh giá nghiệmcủa một số phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

Hiện nay, việc nghiên cứu và ứng dụng tích chập với hàm trọng đối vớiphép biến đổi tích phân cosine Fourier vẫn còn là vấn đề mang tính thời sựtrong giải tích Toán học Trong luận văn này, dưới sự hướng dẫn của PGS

TS Nguyễn Xuân Thảo em nghiên cứu tích chập với một lớp hàm trọng liênquan đến phép biến đổi tích phân cosine Fourier Luận văn gồm phần lời nóiđầu, 3 chương, kết luận, công trình liên quan đến luận văn, tài liệu thamkhảo Trong đó, nội dung chính của luận văn là chương 2 và chương 3

Chương 1 Phép biến đổi tích phân cosine Fourier, trình bày lại một sốkiến thức cơ bản về tích phân hội tụ, tích phân Dirichlet, nhân Fourier vàcông thức tích phân Fourier, từ đó dẫn đến định nghĩa phép biến đổi tích phâncosine Fourier Nội dung của chương này chủ yếu được viết theo Sneddon I

E [13], tham khảo Titchmarch E C [17] và Debnath L and Debnath D [4].Chương 2 Tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân cosineFourier, nghiên cứu tích chập với một lớp hàm trọng γα(y) = cos αy của haihàm số f (x) và g(x) đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourier trong

không gian L(R+) Đây là loại tích chập tổng quát hơn các tích chập doSneddon [13], Nguyễn Xuân Thảo và Nguyễn Minh Khoa [15] đã nghiên cứu.Phần tiếp theo nghiên cứu tích chập cosine Fourier trong các không gian

Lpγ,β(R+) Phần cuối của chương, dành cho trình bày bất đẳng thức tích chậpcosine Fourier trong Lp(R+) Kết quả chính của phần này và cũng là mộttrong những đóng góp mới của tác giả trong luận văn chính là Định lý 2.7,

Hệ quả 2.2 và Định lý 2.8

Chương 3 Một số ứng dụng Trong chương này, phép biến đổi tích phâncosine Fourier và tích chập với hàm trọng được ứng dụng để giải một sốphương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân.Hơn nữa, nghiệm của các phương trình này cũng được đánh giá một cáchrất hiệu quả bằng cách sử dụng các bất đẳng thức tích chập cosine Fourier.Đóng góp mới của tác giả trong chương này là ứng dụng tích chập với hàmtrọng để giải phương trình tích phân có hệ số hàm số, hệ hai phương trìnhtích phân có hệ số hàm số

Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn XuânThảo - người đã quan tâm, tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin ứng dụng,trường Đại học Bách Khoa Hà Nội cùng các thầy cô tham gia giảng dạy lớpcao học Toán Công nghệ khóa 2008 - 2010 Đồng thời tôi cũng xin chân thànhcảm ơn các anh chị em trong nhóm seminar Giải tích, bộ môn Toán cơ bản,trường Đại học Bách Khoa Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu chotôi trong quá trình hoàn thiện luận văn này

Do thời gian và khả năng còn hạn chế, vì vậy luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo,các bạn và các độc giả quan tâm đến vấn đề này

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Học viên

Tạ Duy Công

• f (x) chỉ có một số hữu hạn cực đại và cực tiểu trong khoảng (a, b)

Rõ ràng, nếu một hàm f (x) liên tục trong khoảng (a, b) và trong khoảng nàychỉ có một số hữu hạn cực đại và cực tiểu thì nó thỏa mãn các điều kiện củađịnh lý Dirichlet trong khoảng này

Trước khi xem xét tích phân của hàm thỏa mãn điều kiện Dirichlet, taxem xét định lý sau đây trong lý thuyết về tích phân hội tụ

Định lí 1.1 Nếu tích phân

Z ∞ 0

f (x) dx







bị chặn với bất kỳ giá trị dương N

Chứng minh Các bằng chứng khẳng định điều này suy ra từ định nghĩa tíchphân hội tụ của các hàm số với cận trên vô hạn như vậy

Z ∞ 0

f (x) dxhội tụ, thì tồn tại một số I xác định và số M sao cho N ≥ M







Z N 0

f (x) dx − I





 < εTrong đó, ε là số dương, bé tùy ý Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau

I − ε <

Z N 0

f (x) dx < I + εĐiều này có nghĩa khi N ≥ M thì







Z N 0

f (x) dx





bằng một số K

Bây giờ, ta chọn số L lớn hơn hoặc bằng ba số K, | I − ε |, | I + ε | Khi đó,bất đẳng thức







Z N 0

f (x) dx





 ≤ L

đúng đối với mọi N Điều này có nghĩa là,







Z N 0

f (x) sin ωx dx

Z b a

f (x) cos ωx dx (1.1)tiến đến 0 khi ω tiến đến vô cùng

Chứng minh Trong khoảng (a, b), lấy theo thứ tự các điểm a1, a2, , ap màtại đó hàm f (x) đạt cực trị, hoặc bị gián đoạn hữu hạn Thay a bởi a0 và bbởi ap+1, ta có

Z b a

f (ar + 0) = lim

y→0f (ar + y), f (ar+1− 0) = lim

y→0f (ar+1 − y)với y dương Vì vậy, ta có thể viết

Z ar+1

ar

f (x) sin ωx dx = f (ar + 0) cos ωar − cos ωξ

ω+ f (ar+1 − 0) cos ωξ − cos ωar+1

ω

ω→∞

Z b a

f (x) sin ωx dx = lim

ω→∞

Z b a

f (x) cos ωx dx = 0

Cách phát biểu khác của định lý như sau:

Định lí 1.3 Nếu f (x) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet trong khoảng (a, b),với 0 ≤ a < b, thì

lim

ω→∞

Z b a

Hơn nữa, theo định nghĩa tích phân hội tụ, tồn tại một số M sao cho N1 >

k cho biến x, ở đó | f (k) − f (0) | nhỏ tùy ý Hơn nữa, ta có được

f (x)sin ωx

x dx +

Z b k

f (x) sin ωx

Cũng như trong trường hợp 1, tích phân thứ hai ở vế bên phải của ( 1.4) dầnđến 0 khi ω dần đến vô cùng Đối với tích phân đầu tiên ở bên vế phải của( 1.4), theo định lý thứ hai về giá trị trung bình, ta có

sin ωx

x dx + f (k)

Z k ξ

sin ωx

x dx

= f (+0)

Z k 0

sin ωx

x dx + [f (k) − f (0)]

Z k ξ

sin ωx

x dxSuy ra

sin ζ

ζ dζ+ [f (k) − f (0)]

Z kω ξω

sin ζ

ζ dζ (1.5)Xét đến số hạng thứ hai của ( 1.5) khi ω → ∞ Vì tích phân

Z ∞ 0

|f (k) − f (0)| < ε

2 LTrong đó, ε bé tùy ý Khi đó





[f (k) − f (0)]

Z kω ξω

f (x)sin ωx

x dx =

1

2π f (+0), b > 0 (1.8)

Từ định lý ở trên dẫn đến định lý sau đây:

Định lí 1.4 Nếu hàm số f (x + u) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong a <

lim

ω→∞

Z b a

f (u)sin ωu

Vì hàm số f (x + u) thỏa mãn điều kiện Drichlet, thay hàm số f (x) bởi hàm

số f (x + u), ta được

lim

ω→∞

Z b a

f (u)sin ωu

f (−u)sin ωu

u du +

Z b 0

f (u)sin ωu

f (−u)sin ωu

u du +

Z b 0

f (u)sin ωu

f (u)sin ωu

u du =

1

2π [f (−0) + f (+0)] (1.10)Tương tự, trong ( 1.10) thay hàm số f (u) bởi hàm số f (x + u), ta có

lim

ω→∞

Z b a

f (x + u) sin ωu

u du =

1

2π [f (x − 0) + f (x + 0)] (1.11)Định lý được chứng minh

1.2 Nhân Fourier

Cho hai hàm số: f (x) là hàm số khả tích trên khoảng (0, ∞) và K(x, y) làhàm số hai biến có bình phương khả tích, nghĩa là

Z ∞ 0

Z ∞ 0

K2(x, y)dx dy = N2 < ∞Khi đó, phép biến đổi tích phân

A {f(x)} = Af(y) =

Z ∞ 0

[α f (x) + β g(x)] K(x, y) dx

=

Z ∞ 0

αf (x) K(x, y) dx +

Z ∞ 0

βg(x) K(x, y) dx

= α

Z ∞ 0

f (x) K(x, y) dx + β

Z ∞ 0

g(x) K(x, y) dx

= αA {f(x)} + β A {g(x)}

Trong ( 1.12), hàm số hai biến K(x, y) gọi là nhân của toán tử tuyến tính,Toán tử A gọi là toán tử biến đổi tích phân hay gọi đơn giản là phép biếnđổi tích phân Af(y) thường được gọi là ảnh của hàm f (x); y gọi là biến củaphép biến đổi

Ta có thể chứng minh toán tử tuyến tính A là duy nhất và nếu tồn tại hàmg(x) sao cho A {f(x)} = A {g(x) } thì với các điều kiện trên suy ra được

f (x) = g(x)

Rất dễ dàng để xác định toán tử tuyến tính ngược A−1 gọi là toán tử ngượccủa toán tử tích phân A sao cho chúng thỏa mãn

A {f(x)} = Af(y) f (x) = A−1{Af(y)}

Bây giờ, nhiệm vụ chính của chúng ta là xác định các toán tử ngược của toán

tử A cụ thể Những nhận xét ở trên cho thấy rằng, với điều kiện nào đó cóthể tìm nghiệm của phương trình tích phân

Af(y) =

Z ∞ 0

dưới dạng sau đây

f (x) =

Z ∞ 0

Af(y) H(x, y) dy (1.14)Công thức ( 1.14) cho phép ta tìm hàm f (x) thông qua phép biến đổi của

nó Ta gọi công thức ( 1.14) là công thức ngược của công thức ( 1.13) Trongtrường hợp đặc biệt, công thức nghiệm ( 1.14) của phương trình ( 1.13) códạng

f (x) =

Z ∞ 0

Af(y) K(x, y) dy (1.15)tức là, khi mối liên hệ giữa hàm và phép biến đổi tích phân của nó đối xứng.Khi đó hàm số K(x, y) được gọi là nhân Fourier Đối với trường hợp đặc biệtnày, ta tìm những điều kiện cần thiết để hàm số K(x, y) là nhân của Fourier.Điều này có nghĩa là có thể tồn tại nhiều công thức ngược Chúng ta chỉ xétđến trường hợp đặc biệt khi nhân K(x,y) là hàm số của một biến

K(x, y) = K(y, x) = K(xy)

vì trường hợp này được sử dụng rộng rãi nhất Các điều kiện để một hàm số

là nhân Fourier sẽ được đưa ra trong định lý sau đây

Định lí 1.5 Để hàm K(xy) là nhân Fourier thì điều kiện cần là phép biếnđổi Mellin K(s) của hàm K(y) thỏa mãn phương trình sau đây

Ở đây, K(s) là phép biến đổi Mellin của hàm K(x) được định nghĩa cụ thểnhư sau

K(s) =

Z ∞ 0

Af(y) ys−1dy =

Z ∞ 0

ys−1dy

Z ∞ 0

f (x) K(xy) dx

=

Z ∞ 0

f (x)dx

Z ∞ 0

ηs−1K(η) dη = x−sK(s)

Do đó

Z ∞ 0

Af(y) ys−1dy = K(s)

Z ∞ 0

f (x) x−sdx (1.18)Đặt

A(s) =

Z ∞ 0

Af(y) ys−1dy F (s) =

Z ∞ 0

f (x) x−sdxNhận thấy A(s) và F (s) là các phép biến đổi Mellin lần lượt của các hàm

Z ∞ 0

Af(y) K(xy) dy

=

Z ∞ 0

Af(y) dy

Z ∞ 0

K(xy) xs−1dx

=

Z ∞ 0

Af(y) y−sdy

Z ∞ 0

K(η) ηs−1dηTheo định nghĩa phép biến đổi Mellin, ta được

F (s) = A(1 − s) K(s)Suy ra

F (1 − s) = A(s) K(1 − s) (1.20)Thay ( 1.20) vào ( 1.19), ta thu được công thức ( 1.16)

K(s) K(1 − s) = 1Định lý được chứng minh!

Bây giờ ta xét ví dụ về một hàm K(x) là nhân của phép biến đổi Mellin vàthỏa mãn điều kiện ( 1.16) ở trên

Xét hàm số K(x) = A cos x với A là một hằng số chưa biết Theo địnhnghĩa, ta có

K(s) = A

Z ∞ 0

xs−1 cos x dx = 1

2A

Z ∞ 0

eixxs−1dx +

Z ∞ 0

eixxs−1dx

Ta đã biết, nếu p là số thực dương thì theo định nghĩa, ta có

Z ∞ 0

e−pxxs−1dx = Γ(s)

ps

Nên

Z ∞ 0

e±ixxs−1dx = e±12 πisΓ(s)

Do đó ta có dược

K(s) = A cos sπ

2
Γ(s)Suy ra

K(1 − s) = A sin sπ

2
Γ(1 − s)Theo điều kiện ( 1.16) để K(x) là nhân Fourier

1 = K(s) K(1 − s) = A2 sin sπ

2
cos sπ

2
Γ(s) Γ(1 − s)Vì

π.Điều này cho biết nghiệm của phương trình

Fc(y) =

r2π

Z ∞ 0

có dạng dưới đây

f (x) =

r2π

Z ∞ 0

Fc(y) cos xydy (1.22)

Rõ ràng, hàm số Fc(y) được xác định bởi ( 1.21) là phép biến đổi tích phâncủa hàm f (x) Nếu nghiệm ( 1.22) là đúng, thì khi đó mối quan hệ giữa hàm

f (x) và biến đổi tích phân Fc(y) của nó là đối xứng, nói cách khác, f (x) làphép biến đổi tích phân của hàm Fc(y) Ta cần chú ý, ngay cả khi K(s) lànhân Fourier vẫn không thể khẳng định công thức ngược ( 1.22) đúng Cáctính toán trên chỉ cho biết về khả năng có hiệu lực của công thức này, nhưngkhông cung cấp bằng chứng về tính chính xác của nó Ta sẽ tiếp tục xem xétvấn đề này trong một số mục sau này

1.3 Công thức tích phân Fourier

dy

Z ∞ 0

f (η) cos yη cos xy dη (1.23)Theo lý thuyết của chuỗi Fourier và nếu hàm f (x) thỏa mãn điều kiện nào đótrong khoảng (0, l) thì có thể biểu diễn hàm số f (x) thành một chuỗi Fourier

f (x) = 1

l

Z l 0

Z l 0

f (η) cos nπη

Chúng ta giả sử nếu l là đủ lớn tích phân

Z ∞ 0

f (η) cosnπη

l dη

= 2δαπ

Chúng ta giả sử rằng chuỗi này hội tụ tới một giới hạn nào đó khi l tiến đến

vô cực, nghĩa là, l → ∞ suy ra, δα → 0 Chúng ta nhận được giới hạn sauđây

2π

Z ∞ 0

dy

Z ∞ 0

f (η) cos yη cos xy dηThay giới hạn này vào ( 1.24), ta được công thức ( 1.23) Tương tự như vậy,nếu đưa vào chuỗi Fourier

Cho l → ∞, ta thu được công thức

Công thức ( 1.25) được thành lập với các giả thiết chung chung đối với hàm

f (x) Bây giờ, từ các dẫn chứng về xây dựng công thức tích phân tổng quát

ở trên, ta sẽ tìm một số điều kiện cho hàm f (x) để công thức ( 1.25) đúngcho một lớp hàm nhất định, nhưng khá rộng và bao gồm hầu hết các hàmthường gặp trong toán học ứng dụng Để giải quyết vấn đề này, dựa trên cáckết quả ( 1.9) và ( 1.10) trong định lý 1.4, ta xây dựng định lý tích phânFourier dưới đây

Định lí 1.6 Nếu f (x) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet trong khoảng −∞ <

Z ∞

0

f (η) dη

Z m 0

cos y(η − x) dy −

Z m 0

dy

Z ∞ 0

cos y(η − x) dy −

Z m 0

dy

Z k 0

f (η) cos y(η − x) dη ++

Z ∞

k

f (η) dη

Z m 0

cos y(η − x) dy −

Z m 0

dy

Z ∞ k

tụ Vì vậy, tồn tại một số K sao cho







Z ∞ k

| f (η) | dη





 < ε2mVới mọi k > K và ε bé tùy ý

dy

Z ∞ k

| f (η) | dη < 1

2ε, k > KTương tự

Z ∞ k

cos y(η − x) dy−

−

Z m 0

dy

Z ∞ 0

cos y(η − x) dy

= lim

m→∞

Z m 0

dy

Z ∞ 0

f (η) cos y(η − x) dη (1.27)Tương tự, ta có

cos y(η − x) dy

= lim

m→∞

Z m 0

dy

Z 0

−∞

f (η) cos y(η − x) dη (1.28)

cos y(η − x) dy

= lim

m→∞

Z m 0

Z ∞

−∞

f (η) dη

Z m 0

cos y(η − x) dy (1.30)Thay ( 1.29) vào ( 1.30), được

1

2[f (x + 0) + f (x − 0)] = limm→∞

1π

Z m 0

dy

Z ∞

−∞

f (η) cos y(η − x) dηTức là

1

2[f (x + 0) + f (x − 0)] =

1π

Z ∞ 0

dy

Z ∞

−∞

f (η) cos y(η − x) dη (1.31)

Công thức ( 1.31) được biết đến như công thức tích phân Fourier Nếu hàm

số f (x) liên tục tại điểm x thì f (x + 0) = f (x − 0) = f (x) Khi đó công thức( 1.31) có dạng sau

f (x) = 1

π

Z ∞ 0

dy

Z ∞

−∞

f (η) cos y(η − x) dη (1.32)

Có hai dạng đặc biệt quan trọng của công thức tích phân Fourier ( 1.31) Nếu

f (x) được định nghĩa trong khoảng 0 < x < ∞, thì có thể mở rộng định nghĩa

của hàm f (x) trong khoảng −∞ < x < 0, bằng cách đặt hàm f (x) = f (−x)với x thuộc khoảng −∞ < x < 0 Trong trường hợp này chúng ta có

Z ∞ 0

dy

Z ∞ 0

f (η) cos y(η − x) dη

+ 1π

Z ∞ 0

dy

Z 0

−∞

f (η) cos y(η − x) dηMà

Z 0

−∞

f (η) cos y(η − x) dη =

Z ∞ 0

f (−η) cos y(−η − x) dη

=

Z ∞ 0

f (η) cos y(η + x) dηSuy ra

Z ∞ 0

dy

Z ∞ 0

f (η) [cos y(η − x) + cos y(η + x)] dη

= 2π

Z ∞ 0

cos yx dy

Z ∞ 0

cos yx dy

Z ∞ 0

f (η) cosyη dη (1.33)Công thức ( 1.33) gọi là công thức tích phân cosine Fourier Quan sát côngthức này, ta nhận thấy

Fc(y) =

r2π

Z ∞ 0

f (η) cos yηdη, y > 0 (1.34)chính là phép biến đổi tích phân của hàm số f (x) và hàm số f (x) được xácđịnh bởi

f (x) =

r2π

Z ∞ 0

Fc(y) cos xydy, x > 0 (1.35)

chính là phép biến đổi ngược của phép biến đổi tích phân ( 1.34) Cũng từcông thức tích phân cosine Fourier trên cho thấy rằng các phép biến đổi tíchphân ( 1.21) và ( 1.22) đúng mà các giả thiết trước đây chỉ đúng đối với mộtlớp các hàm số f (x) nào đó.

1.4 Định nghĩa phép biến đổi tích phân cosine

Fourier và các ví dụ

Bây giờ, xuất phát từ công thức tích phân cosine Fourier và những nhận định

ở trên, ta đưa ra định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier cosine và phépbiến đổi ngược của nó như sau

Định nghĩa 1.1 Phép biến đổi tích phân cosine Fourier của hàm số f (x),được kí hiệu Fc{f (x)} = Fc(y) và được định nghĩa bởi tích phân

Fc{f (x)} = Fc(y) =

r2π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

cos yxFc(y)dy x > 0 (1.37)

Ở đây, Fc là toán tử biến đổi tích phân cosine Fourier và F−1

c là toán tửngược của nó

Rõ ràng, F F−1 = F−1F = 1 là một toán tử tuyến tính và nó chính là mộttoán tử tuyến tính đồng nhất

Ví dụ 1.1 Chứng minh rằng:

Fc{e−ty} =

r2πt

t2 + x2, (t > 0) (1.38)

Ta có

Fc{e−ty} =

r2π

Z ∞ 0

e−ty cos xydy = 1

2

r2π

Z ∞ 0

e−ty eixy + e−ixy
dy

= 12

r2π

Z ∞ 0

e−(t−ix)y

+ e−(t+ix)ydy

= 12

r2π

t

t2 + x2

Ví dụ 1.2 Tìm hàm số u(x) là nghiệm của phương trình sau đây:

Z ∞ 0

u(t) cos tx dt = xθ(1 − x) x > 0 (1.39)Nhân hai vế của phương trình ( 1.39) với

r2

π, ta được:

r2π

Z ∞ 0

u(t) cos tx dt =

r2

π x θ(1 − x), x > 0 (1.40)Tác động toán tử ngược F−1

c vào hai vế của phương trình ( 1.40), ta đượcu(t) =

r2π

Z ∞ 0

r2

x cos tx dx = 2

π

1t

Z 1 0

x cos tx d(tx)

sin tx dx

i

= 2πt

hsin t + 1

i

πt

hsin t + 1

t cos t −

1t

i

= 2π



Fc{f0(x)} = yFs(y) −

r2

Fc{f00(x)} = −y2Fc(y) −

r2

Định lí 1.8 (Định lý tích chập đối với phép biến đổi tích phân cosineFourier)

Nếu Fc{f (x)} = Fc(y) và Fc{g(x)} = Gc(y)

thì Fc{Fc(y)Gc(y)} = √1

2π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

Fc(y)Gc(y) cos kx dy

= 2π

Z ∞ 0

Gc(y) cos yx dy

Z ∞ 0

f (ξ)dξ

Z ∞ 0

cos yx cos yξ Gc(y)dy

= 1

2

r2π

Z ∞ 0

f (ξ)dξ

r2π

Z ∞ 0

[cos y(x + ξ) + cos y(| x − ξ |)]Gc(y)dyHay là

Fc{Fc(y)Gc(y)} = 1

2

r2π

Z ∞ 0

f (ξ)dξ

r2π

Z ∞ 0

cos y(x + ξ)Gc(k)dy+

+

r2π

Z ∞ 0

cos y(| x − ξ |)Gc(y)dy



= √12π

Z ∞ 0

f (ξ)[g(x + ξ) + g(| x − ξ |)]dξĐịnh lý được chứng minh!

f (ξ)[g(x + ξ) + g(| x − ξ |)]dξ

f (ξ)g(ξ)dξ =

Z ∞ 0

f (x)g(x)dx (1.49)

Nếu g(x) = f (x), thì Fc{Gc(y)} = Fc{Fc(y)} Suy ra Gc(y) = Fc(y).Thay vào đẳng thức ( 1.49), ta có:

Z ∞ 0

| Fc(y) |2 dy =

Z ∞ 0

Z ∞ 0

sin yx f (x)dx, y > 0 (1.51)

F−1

s {Fs(y)} = f (x) =

r2π

Z ∞ 0

sin yxFs(k)dy, x > 0 (1.52)Khi đó

Z ∞

0

Fs(y)Gs(y) cos yx dy =

r2π

Z ∞ 0

Gs(y) cos yx dy

Z ∞ 0

f (ξ) sin yξ dξThay đổi thứ tự lấy tích phân, ta có

Z ∞

0

Fs(y)Gs(y) cos yx dy =

r2π

Z ∞ 0

f (ξ) dξ

Z ∞ 0

Gs(y) sin yξ cos yx dy

f (ξ) dξ

r2π

Z ∞ 0

Gs(y)[sin y(ξ + x)+

+ sin y(ξ − x)]dy = 1

2

Z ∞ 0

f (ξ) dξ

r2π

Z ∞ 0

Gs(y) sin y(ξ + x) dξ+

+ 12

Z ∞ 0

f (ξ) dξ

r2π

Z ∞ 0

Gs(y) sin y(ξ − x) dξTheo định nghĩa phép biến đổi tích phân sine Fourier ngược, suy ra

Z ∞

0

Fs(y)Gs(y) cos yx dy =

= 12

Z ∞ 0

Z ∞ 0

Z ∞ 0

f (ξ)[g(ξ + x) + sign(ξ − x)g(| ξ − x |)]dξ (1.55)

Các công thức ( 1.53) và ( 1.55) tương đương với nhau Các công thức nàycũng được gọi là Định lý tích chập của phép biến đổi tích phân cosine Fourier

và sine Fourier

2.1 Tích chập cosine Fourier với hàm trọng

trong L(R+)

Định nghĩa 2.1 Tích chập với hàm trọng γα(y) = cos αy, α ≥ 0 của haihàm f (x) và g(x) đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourier được định

f γ∗ g
(x) =α 1

2√2π



Z ∞ 0

f (t)[g(x + α + t)+

+ g(| x + α − t |) + g(| x − α + t |) + g(| x − α − t) |)]dt (2.1)

Nhận xét: Khi α = 0 thì ( 2.1) trùng với tích chập trong ( 3), khi α = 1 thì( 2.1) trùng với tích chập trong ( 5)

Định lí 2.1 Cho hàm f (x) và g(x) là những hàm liên tục thuộc L(R+) Khi

đó tích chập với hàm trọng γα(y) = cos αy của hai hàm số f (x) và g(x) đốivới phép biến đổi tích phân cosine Fourier cũng thuộc L(R+) và tích chậpnày thỏa mãn tính chất nhân tử hóa

Fc f γ∗ g
(y) = cos αy Fα cf
(y) Fcg
(y), ∀y ∈ R+ (2.2)Chứng minh Ta có,

Z ∞

0

| f γ∗ g
(x) | dx =α 1

2√2π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

| f (t) | |[g(x + α + t)+ g(| x + α − t |) + g(| x − α + t |) + g(| x − α − t |)]|dtdx

2√2π

Z ∞ 0

| f (t) | h

Z ∞ 0

| g(x + α + t) | dx+

Z ∞ 0

| g(| x + α − t |) | dx +

Z ∞ 0

| g(| x − α + t |) | dx+

Z ∞ 0

| g(| x − α − t |) | dxidt (2.3)

| g(| x − α − t |) | dx

=

Z ∞ t+α

| g(u) | du +

Z ∞ 0

| g(u) | du+

+

Z t+α 0

| g(u) | du = 2

Z ∞ 0

| g(u) | du (2.4)Tương tự, với t > α, ta có

Z +∞

0

| g(| x + α − t |) | dx +

Z ∞ 0

| g(| x − α + t |) | dx

=

Z ∞ α−t

| g(| u |) | du +

Z ∞ t−α

| g(u) | du

=

Z ∞ α−t

| g(| u |) | du +

Z ∞ 0

| g(| u |) | du +

Z ∞ t−α

| g(u) | du

=

Z ∞ 0

| g(u) | du +

Z t−α 0

| g(u) | du +

Z ∞ t−α

| g(u) | du

= 2

Z ∞ 0

| g(u) | duTương tự, với 0 < t ≤ α, ta có

Z +∞

0

| g(| x + α − t |) | dx +

Z ∞ 0

| g(| x − α + t |) | dx

=

Z ∞ α−t

| g(| u |) | du +

Z ∞ t−α

| g(| u |) | du

=

Z ∞ α−t

| g(u) | du +

Z 0 t−α

| g(| u |) | du +

Z ∞ 0

| g(u) | du

=

Z ∞ t−α

| g(u) | du +

Z t−α 0

| g(u) | du +

Z ∞ 0

| g(u) | du

= 2

Z ∞ 0

| g(u) | du

| g(| x − α + t |) | dx

= 2

Z ∞ 0

Z ∞ 0

| f (t) | dt

Z ∞ 0

| g(t) | dt < +∞ (2.7)

Do đó,

f γ∗ gα
(x) ∈ L(R+) (2.8)Sau đây, chúng ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa ( 2.2)

Từ

cos αx Fcf
(x) Fcg
(x) = 2

π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

cos αx cos xu cos xv f (u) g(v) dudvvà

cos αx cos xu cos xv =

= 1

4 cos x(u + α + v) + cos x(u + α − v)+

+ cos x(u − α + v) + cos x(u − α − v)

Suy ra

cos αx Fcf
(x) Fcg
(x) =

= 12π

Z ∞ 0

Z ∞ 0

 cos x(u + α + v) + cos x(u + α − v)+

+ cos x(u − α + v) + cos x(u − α − v)f (u)g(v)du dv (2.9)Thay u = y và u + α + v = t, ta có

Z ∞ 0

Z ∞ y+α

cos xt f (y)g(| t − y − α |)dt dy

− 12π

Z ∞ 0

Z y+α 0

cos xt f (y)g(y + α − t)dt dy (2.10)Tương tự, thay u = y và u + α − v = −t, ta có

Z ∞ 0

cos xt f (y)g(t + y + α)dt dy

+ 12π

Z ∞ 0

cos xt f (y)g(t + y + α)dtdy

− 12π

Z ∞ 0

Z 0 α+y

cos xt f (y)g(y + α − t)dtdy

cos x(u + α − v)f (u) g(v)dudv

+ 12π

Z ∞ 0

Z α+y 0

cos xt f (y)g(y + α − t)dtdy (2.11)

Z ∞ 0

cos xt f (y)g(| t − y − α |) + g(t + y + α)dtdy (2.12)Tương tự, thay u = y, u − α + v = t, ta có

Z ∞ 0

Z ∞ y−α

cos xt f (y)g(t − y + α)dtdy

+ 12π

Z ∞ α

Z ∞ y−α

cos xt f (y)g(t − y + α)dtdy

cos xt f (y)g(| t − y + α |)dtdy

+ 12π

Z α 0

Z 0 y−α

cos xt f (y)g(t − y + α)dtdy

− 12π

Z ∞ α

Z y−α 0

cos xt f (y)g(y − α − t)dtdy (2.13)Cũng tương tự, thay u = y và u − α − v = −t, ta có

Z ∞ 0

Z ∞

−α−y

cos xt f (y)g(t + y − α)dt dy