Ph´epbiˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan d´ong vai tr`o quan tro.ng trong to´an ho.c c˜ung nhu.. 2 phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆankiˆe’u t´ıch chˆa.p v`a cho minh ho.a biˆe’u diˆe˜n nghiˆe.m cu’a phu.o
Trang 1Mu c lu c
Mo.’ dˆ` u a 2
C´ac k´y hiˆe.u d`ung trong luˆa.n ´an 11
L`o.i ca’ m o.n 13
Chu.o.ng1 T´ıch chˆ a.p c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o i ph´ep biˆe´n dˆ o’i t´ıch phˆ an 15 1.1 T´ıch chˆa.p c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier cosine 16 1.2 T´ıch chˆa.p c´o h`am tro.ng d ˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n d ˆo’i t´ıch phˆan Fourier sine 32 Chu.o.ng2 T´ıch chˆ a.p suy rˆo.ng dˆo´i v´o i hai ph´ep biˆe´n dˆ o’i t´ıch phˆ an 41 2.1 T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier cosine v`a Fourier sine 41
2.2 T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier sine v`a Fourier cosine 59
2.3 T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier v`a Fourier sine 71
2.4 T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier v`a Fourier cosine 80
Chu.o.ng3 T´ıch chˆ a.p suy rˆo.ng dˆo´i v´o i ba ph´ep biˆe´n dˆ o’i t´ıch phˆ an 92 3.1 T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng c´o h`am tro.ng d ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n d ˆo’i t´ıch phˆan Fourier, Fourier cosine v`a Fourier sine 93
3.2 T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier cosine, Fourier v`a Fourier sine 108
3.3 T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng Fourier sine, Fourier v`a Fourier cosine 126
Kˆe´t luˆa.n 142
T`ai liˆe.u d˜a cˆong bˆo´ 144
T`ai liˆe.u tham kha’o 145
Trang 2Mo ’ dˆ ` u a
Ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan l`a mˆo.t trong nh˜u.ng vˆa´n dˆe` quan tro.ng cu’a gia’i t´ıchto´an ho.c v`a du.o c ph´at triˆe’n liˆen tu.c trong suˆo´t gˆa` n mˆa´y tr˘am n˘am qua Ph´epbiˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan d´ong vai tr`o quan tro.ng trong to´an ho.c c˜ung nhu trongnhiˆ`u l˜ınh vu c khoa ho.c tu nhiˆen kh´ac, d˘a.c biˆe.t l`a trong viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´anediˆ`u kiˆe.n ban dˆae ` u v`a diˆe`u kiˆe.n biˆen cu’a phu.o.ng tr`ınh vi phˆan, phu.o.ng tr`ınhda.o h`am riˆeng, phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan v`a c´ac b`ai to´an cu’a vˆa.t l´y to´an C´acph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan l`a nh˜u.ng cˆong cu c´o hiˆe.u lu c dˆe’ chuyˆe’n c´ac to´an tu.’
vi phˆan, to´an tu.’ da.o h`am riˆeng, to´an tu.’ t´ıch phˆan vˆe` c´ac b`ai to´an do.n gia’nho.n C´o thˆe’ n´oi trong l´o.p nh˜u.ng ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan phˆo’ biˆe´n nhˆa´t, c´o
´
u.ng du.ng rˆo.ng r˜ai nhˆa´t th`ı c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i Fourier, Fourier cosine v`a Fouriersine ra d`o.i s´o.m nhˆa´t Fourier viˆe´t xong cˆong tr`ınh vˆ` ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆaneFourier v`ao n˘am 1807, nhu.ng do su ho`ai nghi cu’a c´ac nh`a to´an ho.c lˆo˜i la.c th`o.i
bˆa´y gi`o nhu Lagrange, Poisson, Laplace, nˆen pha’i dˆe´n n˘am 1815 cˆong tr`ınhkhai s´ang cho l´y thuyˆe´t c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan cu’a Fourier m´o.i du.o c cˆong
bˆo´ L´y thuyˆe´t vˆ` ph´ep biˆe´n dˆo’i Fourier cu’a ˆong du.o c thai ngh´en, ra d`o.i v`aeph´at triˆe’n trong qu´a tr`ınh nghiˆen c´u.u qu´a tr`ınh vˆ` truyˆee `n nhiˆe.t Diˆe`u n`aynhu mˆo.t minh ch´u.ng thuyˆe´t phu.c cho su g˘a´n kˆe´t gi˜u.a c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıchphˆan cu’a to´an ho.c v´o.i nh˜u.ng l˜ınh vu c ngo`ai to´an ho.c ngay t`u thuo.’ khai sinh.C`ung v´o.i su ph´at triˆe’n cu’a l´y thuyˆe´t c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan, mˆo.t hu.´o.ngph´at triˆe’n m´o.i cu’a l´y thuyˆe´t c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan l`a t´ıch chˆa.p cu’a c´acph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan xuˆa´t hiˆe.n v`ao khoa’ng dˆa` u thˆe´ ky’ 20
C´ac t´ıch chˆa.p du.o c nghiˆen c´u.u dˆa` u tiˆen l`a t´ıch chˆa.p cu’a ph´ep biˆe´n dˆo’iFourier [44], t´ıch chˆa.p cu’a ph´ep biˆe´n dˆo’i Laplace [40, 44], t´ıch chˆa.p cu’a ph´epbiˆe´n dˆo’i Mellin [40] v`a sau d´o l`a c´ac t´ıch chˆa.p cu’a c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i Hilbert[16, 44], ph´ep biˆe´n dˆo’i Hankel [20, 51], ph´ep biˆe´n dˆo’i Kontorovich - Lebedev[20], ph´ep biˆe´n dˆo’i Stieltjes [43], t´ıch chˆa.p dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i Fourier cosine[40] T´ıch chˆa.p cu’a c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan c´o nh˜u.ng ´u.ng du.ng l´y th´utrong t´ınh to´an t´ıch phˆan, t´ınh tˆo’ng cu’a chuˆo˜i, gia’i c´ac b`ai to´an Vˆa.t l´y to´an,phu.o.ng tr`ınh vi phˆan da.o h`am riˆeng, phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan, hˆe phu.o.ng tr`ınh
Trang 3t´ıch phˆan, l´y thuyˆe´t x´ac suˆa´t v`a xu.’ l´y a’nh [2, 5, 8, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 19,
f (x)eiyxdy, y ∈ R
ta c´o ph´ep biˆe´n dˆo’i ngu.o c
f (x)e−iyxdy
T´ıch chˆa.p dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier F cu’a 2 h`am f v`a g du.o cx´ac di.nh trˆen R x´ac di.nh nhu sau [12, 35, 40, 44, 53]
Trang 4T´ıch chˆa.p cu’a hai h`am f v`a g dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ınh phˆan Laplace L c´oda.ng [40, 52]
L(f ∗
Lg)(y) = (Lf )(y)(Lg)(y), ∀y > 0 (0.6)
O’ dˆay ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Laplace du.o c x´ac di.nh bo.’i [12, 35, 40, 52].
xsh(πx)
hΓ
γ1(y) = sin y cu’a 2 h`am f v`a g dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier sine Fs[20, 31]
(f γ∗1
F s
g)(x) = 1
2√2π
Z +∞
0
f (x)[g(x + 1 + t) + g(|x + 1 − t|) sign (x + 1 − t)
Trang 5+ g(|x − 1 + t|) sign (x − 1 + t)+g(|x − 1 − t|) sign (x − 1 − t)]dt.
(0.7)V´o.i t´ıch chˆa.p n`ay ta c´o d˘a’ng th´u.c nhˆan tu.’ h´oa
Fs(f γ∗1
F s
g)(y) = sin y(Fsf )(y)(Fsg)(y), ∀y > 0 (0.8)
O’ dˆay F. s ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier sine
(Fsf )(y) =
r2π
du.D˘a’ng th´u.c nhˆan tu.’ h´oa cu’a t´ıch chˆa.p n`ay l`a
v´o.i Jν l`a h`am Bessel loa.i mˆo.t [5] Nhu d˜a biˆe´t t´ıch chˆa.p cu’a c´ac ph´ep biˆe´n
dˆo’i t´ıch phˆan d˜a t`ım du.o c ´u.ng du.ng khi gia’i b`ai to´an to´an thu c tˆe´ Gˆa` n dˆay
mˆo.t sˆo´ nh`a to´an ho.c d˜a nghiˆen c´u.u ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan kiˆe’u t´ıch chˆa.p kiˆe’uMellin, kiˆe’u Fourier, kiˆe’u Kontovich - Lebedev [7, 26, 49, 50] Trong l´y thuyˆe´tv`anh di.nh chuˆa’n ph´ep to´an t´ıch chˆa.p du.o c du.a v`ao v´o.i tu c´ach l`a ph´ep nhˆanc´ac phˆ` n tu.a ’ C´ac phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan kiˆe’u t´ıch chˆa.p t`ım du.o c nh˜u.ng ´u.ngdu.ng l´y th´u v`a d˜a c´o nhiˆe`u cˆong tr`ınh khoa ho.c g˘a´n v´o.i nh˜u.ng ´u.ng du.ng n`ay[13, 14, 28, 39, 42, 45, 47] Nh`o c´ac t´ıch chˆa.p v´o.i h`am tro.ng ra d`o.i m`a b´u.ctranh vˆ` t´ıch chˆa.p dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan du.o c phong ph´u ho.n.eTuy nhiˆen v´o.i su bˆo’ sung cu’a l´o.p t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng, nhiˆe`u diˆe`u l´y th´u trongl˜ınh vu c n`ay m´o.i du.o c ph´at hiˆe.n
Trang 6T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng cu’a hai h`am dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan kh´acnhau du.o c nh˘a´c dˆe´n kh´a s´o.m, v´ı du nhu trong [40] D´o l`a t´ıch chˆa.p suy rˆo.ngcu’a hai h`am f v`a g dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier sine v`a Fouriercosine [40].
G1(f ∗
3 g)(y) = (G2f )(y)(G3g)(y), ∀y > 0
Trang 7o.’ dˆay
(Gif )(x) = 1
2πiZ
k3 v`a k(x) l`a c˘a.p nhˆan liˆen ho p [21]
N˘am 1998, Kakichev V.A v`a Nguyˆe˜n Xuˆan Tha’o d˜a du.a ra phu.o.ng ph´apkiˆe´n thiˆe´t dˆe’ x´ac di.nh t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng dˆo´i v´o.i 3 ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan bˆa´tk`y v´o.i h`am tro.ng γ(y) m`a dˆo´i v´o.i ch´ung luˆon c´o d˘a’ng th´u.c nhˆan tu.’ h´oa thenchˆo´t
K1(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kγ 2f )(y).(K3g)(y)
Trang 8Tu tu.o.’ ng v`a k˜y thuˆa.t cu’a phu.o.ng ph´ap n`ay mo.’ du.`o.ng cho mˆo.t sˆo´ t´ıch chˆa.psuy rˆo.ng m´o.i tiˆe´p tu.c xuˆa´t hiˆe.n O’ dˆay ta nhˆa.n thˆa´y r˘a`ng nˆe´u K. 1 = K2 = K3t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng tro.’ th`anh t´ıch chˆa.p c´o h`am tro.ng cu’a mˆo.t ph´ep biˆe´n dˆo’it´ıch phˆan C`on nˆe´u K1 = K2 6= K3 ta c´o t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng m´o.i du.o c cˆong bˆo´
gˆ` n dˆay nhu.: t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Stieltjes,aHilbert v`a Fourier cosine [29]; t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i H[22] v`a mˆo.t sˆo´ t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng kh´ac Ch˘a’ng ha.n nhu t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng dˆo´iv´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier cosine v`a ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fouriersine [30] du.o c x´ac di.nh bo.’i
6 g)(y) = γ3(y).(K−1f )(y).(Fsg)(y), ∀y > 0 (0.14)
o.’ dˆay K−1 l`a to´an tu.’ Kontorovich - Lebedev nghi.ch da’o [5]
T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng v´o.i h`am tro.ng γ4(y) = sin y
ysh(πy) dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n
dˆo’i t´ıch phˆan Fourier sine, Kontorovich - Lebedev v`a ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆanFourier cosine [32]
Trang 9c´o d˘a’ng th´u.c nhˆan tu.’ ho´a
Fs(f γ∗4
7 g)(y) = γ4(y).(K−1f )(y).(Fcg)(y), ∀y > 0
Ta nhˆa.n thˆa´y trong khi t´ıch chˆa.p dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan luˆongiao ho´an kˆe´t ho p, th`ı diˆe`u d´o n´oi chung khˆong c`on d´ung cho c´ac t´ıch chˆa.psuy rˆo.ng Xˆay du ng v`a nghiˆen c´u.u c´ac t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng thu c su c´o ´y ngh˜ıakhoa ho.c trong l˜ınh vu c l´y thuyˆe´t t´ıch chˆa.p v`a phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan Dˆayl`a hu.´o.ng nghiˆen c´u.u m´o.i lˆoi cuˆo´n su quan tˆam cu’a nhiˆe`u nh`a to´an ho.c du.o.ngda.i Ch´ung tˆoi d˜a cho.n hu.´o.ng nghiˆen c´u.u cu’a luˆa.n ´an l`a xˆay du ng v`a nghiˆenc´u.u t´ıch chˆa.p, t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier,Fourier cosine, Fourier sine Do t´ınh chˆa´t khˆong giao ho´an cu’a c´ac t´ıch chˆa.psuy rˆo.ng nˆen c´o c´ac t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng kh´ac nhau cho 2 ho˘a.c 3 ph´ep biˆe´n dˆo’it´ıch phˆan kh´ac nhau Ngo`ai ra ch´ung tˆoi d˜a ´u.ng du.ng th`anh cˆong c´ac t´ıchchˆa.p m´o.i dˆe’ gia’i phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan
Nˆo.i dung cu’a luˆa.n ´an, ngo`ai phˆa` n mo.’ dˆ` u, phˆaa ` n kˆe´t luˆa.n gˆo`m c´o 3 chu.o.ng.Chu.o.ng 1 Xˆay du ng c´ac t´ıch chˆa.p v´o.i h`am tro.ng m´o.i dˆo´i v´o.i 1 trong 2 ph´epbiˆe´n biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier cosine, Fourier sine, du.a ra ´u.ng du.ng gia’iphu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan kiˆe’u t´ıch chˆa.p v`a biˆe’u diˆe˜n nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınhtruyˆ`n nhiˆe.t theo cˆong th´u.c cu’a t´ıch chˆa.p tu.o.ng ´u.ng.e
C´ac t´ıch chˆa.p m´o.i d˜a du.o c xˆay du ng v`a nghiˆen c´u.u o.’ dˆay l`a: T´ıch chˆa.p c´oh`am tro.ng dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier cosine; T´ıch chˆa.p c´o h`amtro.ng dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier sine
Chu.o.ng 2 Xˆay du ng v`a nghiˆen c´u.u c´ac t´ınh chˆa´t cu’a c´ac t´ıch chˆa.p suy
rˆo.ng m´o.i dˆo´i v´o.i 2 trong 3 ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier, Fourier cosine,Fourier sine Nghiˆen c´u.u cˆa´u tr´uc ph´ep to´an nhˆan chˆa.p, nˆeu mˆo´i liˆen hˆe v´o.ic´ac t´ıch chˆa.p d˜a biˆe´t Du.a ra c´ac ´u.ng du.ng gia’i hˆe 2 phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆankiˆe’u t´ıch chˆa.p v`a cho minh ho.a biˆe’u diˆe˜n nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh truyˆe`nnhiˆe.t theo cˆong th´u.c t´ıch chˆa.p tu.o.ng ´u.ng
C´ac t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng m´o.i d˜a du.o c xˆay du ng v`a nghiˆen c´u.u o.’ dˆay l`a:T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fouriersine v`a Fourier cosine T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n
dˆo’i t´ıch phˆan Fourier cosine v`a Fourier sine T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng dˆo´i v´o.i c´ac
Trang 10ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier v`a Fourier sine T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng c´o h`amtro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier v`a Fourier cosine.
Chu.o.ng 3 Xˆay du ng v`a nghiˆen c´u.u c´ac t´ıch chˆa.p suy rˆo.ng m´o.i, mo.’ rˆo.ngho.n dˆo´i v´o.i 3 ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan riˆeng biˆe.t l`a Fourier, Fourier cosine,Fourier sine Nghiˆen c´u.u cˆa´u tr´uc cu’a ph´ep to´an nhˆan chˆa.p, nˆeu mˆo´i liˆen hˆe.v´o.i c´ac t´ıch chˆa.p d˜a biˆe´t Du.a ra c´ac ´u.ng du.ng gia’i mˆo.t sˆo´ l´o.p hˆe 2 v`a hˆe 3phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan kiˆe’u t´ıch chˆa.p m´o.i c`ung v´o.i viˆe.c biˆe’u diˆe˜n nghiˆe.m cu’aphu.o.ng tr`ınh truyˆ`n nhiˆe.t theo cˆong th´u.c cu’a t´ıch chˆa.p tu.o.ng ´u.ng C´ac t´ıchechˆa.p suy rˆo.ng m´o.i d˜a du.o c xˆay du ng v`a nghiˆen c´u.u o.’ dˆay bao gˆo`m: T´ıch chˆa.psuy rˆo.ng c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier, Fouriercosine v`a Fourier sine; T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng v´o.i h`am tro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n
dˆo’i t´ıch phˆan Fourier cosine, Fourier v`a Fourier sine; T´ıch chˆa.p suy rˆo.ng c´oh`am tro.ng dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier sine, Fourier v`a Fouriercosine
Trang 11C´ ac k´ y hiˆ e.u d` ung trong luˆ a.n ´an
C´ac khˆong gian h`am du.o c d`ung trong luˆa.n ´an
• L(R+) l`a tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac h`am f x´ac di.nh trˆen (0, +∞) sao cho:
Trang 12C´ac h`am tro.ng du.o c d`ung trong luˆa.n ´an
Trang 13L` o.i ca ’ m o.n
Dˆo´i v´o.i mˆo.t cˆa.u ho.c tr`o nho’ ho.c tˆa.p v`a l´o.n lˆen o.’ v`ung so.n cu.´o.c cu’a mˆo.t tı’nhmiˆ`n trung trong kh´oi lu.e ’ a cu’a cuˆo.c kh´ang chiˆe´n chˆo´ng M˜y c´u.u nu.´o.c oanh liˆe.tcu’a dˆan tˆo.c, du.o c bu.´o.c v`ao gia’ng du.`o.ng Khoa To´an tru.`o.ng Da.i ho.c Tˆo’ngho p H`a Nˆo.i l`a mˆo.t niˆe`m vinh ha.nh l´o.n Dˆa´t nu.´o.c v`u.a tra’i qua kh´oi lu.’a cu’achiˆe´n tranh t`an khˆo´c, cuˆo.c sˆo´ng pha’i du.o.ng dˆa` u v´o.i nhiˆe`u kh´o kh˘an th´achth´u.c, nhu.ng ch´ung tˆoi d˜a du.o c c´ac thˆa` y cˆo, d˘a.c biˆe.t l`a c´ac thˆa` y cˆo o.’ khoato´an da.y dˆo˜, truyˆe`n thu cho kiˆe´n th´u.c v`a yˆeu qu´y hˆe´t m`ınh Tˆo´t nghiˆe.p da.iho.c kh´a tˆo´t trong ho`an ca’nh nhu vˆa.y, ch´ung tˆoi la.i tiˆe´p bu.´o.c nh˜u.ng ngu.`o.ithˆ` y d´ang k´ınh cu’a m`ınh, mang trong tr´ai tim m`ınh ngo.n lu.’a cu’a dam mˆe v`aanhiˆe.t huyˆe´t nghiˆen c´u.u khoa ho.c m`a c´ac thˆa` y cˆo d˜a th˘a´p s´ang Mu.`o.i n˘amsau, n˘am 1995 tˆoi c´o du.o c vinh du tro.’ la.i ngˆoi tru.`o.ng l´o.n thˆan yˆeu cu’a m`ınhv`a ta.i la.i dˆay du.o c su da.y dˆo˜ hu.´o.ng dˆa˜n tˆa.n t`ınh, chu d´ao cu’a c´ac thˆa` y cˆo,c´ac gi´ao su h`ang dˆ` u cu’a dˆa´t nu.´o.c, tˆoi d˜a ho`an th`anh xuˆa´t s˘a´c luˆa.n v˘an Tha.cas˜y v´o.i diˆe’m sˆo´ 10 v`a du.o c dˆe` nghi chuyˆe’n tiˆe´p nghiˆen c´u.u sinh
Ba’y n˘am sau ba’o vˆe luˆa.n v˘an Tha.c s˜y, tˆoi la.i du.o c tro.’ la.i di tiˆe´p con du.`o.ng d˜acho.n cu’a m`ınh, ho`an th`anh luˆa.n ´an Tiˆe´n s˜y To´an ho.c chuyˆen ng`anh gia’i t´ıch.Nh˜u.ng ng`ay th´ang tuyˆe.t v`o.i n`ay dˆo´i v´o.i ba’n thˆan, tˆoi vˆo c`ung x´uc dˆo.ng,ca’m k´ıch gu.’ i t´o.i c´ac thˆ` y cˆo o.a ’ khoa to´an, o.’ ph`ong sau da.i ho.c v`a nh`a tru.`o.ngl`ong biˆe´t o.n chˆan th`anh v`a sˆau s˘a´c
D˘a.c biˆe.t t`u trong tˆam kha’m, tˆoi xin b`ay to’ l`ong biˆe´t o.n sˆau n˘a.ng t´o.i c´acThˆ` y GS TSKH Nguyˆea ˜n V˘an Mˆa.u, PGS TS Nguyˆe˜n Xuˆan Tha’o C´ac Thˆa` yd˜a d`anh cho tˆoi su hu.´o.ng dˆa˜n nhiˆe.t t`ınh, tˆa.n tˆam v`a truyˆe`n da.t cho tˆoi nhiˆe`ukinh nghiˆe.m qu´y b´au trong nghiˆen c´u.u khoa ho.c
Tˆoi xin chˆan th`anh ca’m o.n GS TSKH Pha.m K`y Anh, GS TS Nguyˆe˜nH˜u.u Du., PGS TS Ho`ang Quˆo´c To`an, GS TS Phan V˘an Ha.p, PGS TSKHDinh Nho H`ao, GS TSKH V˜u Kim Tuˆa´n, GS TSKH Lˆe H`ung So.n, PGS
TS Trˆ` n Huy Hˆo’, PGS TS H`a Tiˆe´n Ngoa.n, PGS TS Nguyˆe˜n Thu’y Thanh,aPGS TS Nguyˆ˜n Minh Tuˆa´n, PGS TS Nguyˆee ˜n Ca’nh Lu.o.ng, TS Trˆa` n D´u.cLong, TS Nguyˆ˜n V˘an Ngo.c, d˜a gi´up d˜o v`a chı’ gi´ao cho tˆoi nhiˆe`u ´y kiˆe´n qu´ye
Trang 14b´au C´ac kˆe´t qua’ t`u trong luˆa.n ´an d˜a du.o c b´ao c´ao ta.i Xˆemina gia’i t´ıch da.i
sˆo´ cu’a tru.`o.ng DHKHTN, Da.i ho.c quˆo´c gia H`a Nˆo.i, Xˆemina phu.o.ng tr`ınh da.oh`am riˆeng DHKHTN - DHQG H`a Nˆo.i; Xˆemina cu’a khoa to´an tin DHBK H`a
Nˆo.i, Xˆemina gia’i t´ıch Da.i ho.c Thuy’ lo i; Hˆo.i tha’o liˆen tru.`o.ng - viˆe.n vˆe` phu.o.ngtr`ınh vi t´ıch phˆan v`a ´u.ng du.ng (15 - 16 th´ang 5 n˘am 2004-Ba V`ı); Hˆo.i tha’oquˆo´c tˆe´ to´an sinh th´ai mˆoi tru.`o.ng (27-29 th´ang 9 n˘am 2004) Ha Long, Hˆo.inghi khoa ho.c - DHKHTN n˘am 2004; Hˆo.i nghi quˆo´c tˆe´ lˆa` n th´u II vˆ` gia’i t´ıchetr`u.u tu.o ng v`a ´u.ng du.ng (4-9 th´ang 6 n˘am 2005 - Quy Nho.n); Hˆo.i nghi quˆo´c tˆe´
vˆ` to´an ho.c ´u.ng du.ng I CAM H`a Nˆo.i 2004; Hˆo.i nghi to´an ho.c tru.`o.ng Da.i ho.ce
su pha.m H`a Nˆo.i th´ang 9 n˘am 2005; Hˆo.i nghi Khoa ho.c DHTL (th´ang 11 n˘am2004); Hˆo.i tha’o phu.o.ng tr`ınh vi - t´ıch phˆan v`a ´u.ng du.ng Ba V`ı 15-16 th´ang
12 n˘am 2005; Hˆo.i nghi khoa ho.c - cˆong nghˆe lˆa` n th´u XVI - Da.i ho.c giao thˆong
vˆa.n ta’i th´ang 11 - 2005 Hˆo.i nghi quˆo´c tˆe´ to´an trong mˆoi tru.`o.ng t`u n˘am 2006
- Ba V`ı; Hˆo.i nghi khoa ho.c DHKHTN - DHQG H`a Nˆo.i n˘am 2006; Hˆo.i nghi.khoa ho.c lˆa` n th´u 20, Da.i ho.c B´ach khoa H`a Nˆo.i th´ang 10 n˘am 2006; Hˆo.i nghi.quˆo´c tˆe´ lˆ` n th´a u 14 gia’i t´ıch ph´u.c h˜u.u ha.n v`a vˆo ha.n chiˆe`u (Huˆe´ 2006)
Tˆoi xin du.o c b`ay to’ l`ong biˆe´t o.n chˆan th`anh dˆe´n Ban gi´am dˆo´c Da.i ho.cQuˆo´c gia, Ban gi´am hiˆe.u Tru.`o.ng Da.i ho.c Khoa ho.c tu nhiˆen H`a Nˆo.i, KhoaSau da.i ho.c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i, Ph`ong Sau Da.i ho.c Da.i ho.c KHTN H`a
Nˆo.i, Ban chu’ nhiˆe.m khoa To´an Co - Tin ho.c Da.i ho.c Khoa ho.c tu nhiˆen H`a
Nˆo.i, Bˆo mˆon Gia’i t´ıch Da.i ho.c KHTN H`a Nˆo.i d˜a ta.o mo.i diˆe`u kiˆe.n thuˆa.n lo icho tˆoi ho`an th`anh luˆa.n ´an cu’a m`ınh
Tˆoi xin trˆan tro.ng ca’m o.n Ban gi´am hiˆe.u tru.`o.ng Da.i ho.c giao thˆong vˆa.nta’i H`a Nˆo.i, Ph`ong tˆo’ ch´u.c c´an bˆo., Ban chu’ nhiˆe.m khoa khoa ho.c co ba’n, Bˆo
mˆon Gia’i t´ıch, Da.i ho.c Giao thˆong Vˆa.n ta’i H`a Nˆo.i v`a c´ac dˆo`ng nghiˆe.p d˜a gi´upd˜o ta.o diˆe`u kiˆe.n thuˆa.n lo i cho tˆoi ho.c tˆa.p v`a nghiˆen c´u.u
H`a Nˆo i, ng`ay 20 th´ang 06 n˘am 2007
Nghiˆen c´u.u sinh
Nguyˆ˜n Minh Khoae
Trang 15Chu.o.ng 1
Dˆ` u thˆe´ ky’ 20 c´ac t´ıch chˆa.p dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i Fourier, Fourier cosine du.o canghiˆen c´u.u C´ac t´ıch chˆa.p n`ay c´o h`ang loa.t t´ınh chˆa´t l´y th´u v`a dˆo`ng th`o.i du.o c
su.’ du.ng nhiˆe`u trong l´y thuyˆe´t x´ac suˆa´t, l´y thuyˆe´t v`anh giao ho´an di.nh chuˆa’n,gia’i t´ıch h`am, gia’i t´ıch sˆo´, xu.’ l´y a’nh N˘am 1967 lˆ` n dˆaa ` u tiˆen loa.i t´ıch chˆa.pv´o.i h`am tro.ng dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan du.o c V A Kakichev du.a ra v`anghiˆen c´u.u v`a nhˆa.n du.o c t´ıch chˆa.p v´o.i h`am tro.ng γ1(y) = sin y dˆo´i v´o.i ph´epbiˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier sine [20] Xˆay du ng, nghiˆen c´u.u c´ac t´ıch chˆa.p m´o.i
dˆo´i v´o.i mˆo.t ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan n´oi chung v`a mˆo.t trong ba ph´ep biˆe´n dˆo’it´ıch phˆan Fourier, Fourier sine, Fourier cosine n´oi riˆeng l`a mˆo.t cˆong viˆe.c dˆa` ykh´o kh˘an D´o c˜ung ch´ınh l`a l´y do m`a cho dˆe´n nay, d`u d˜a ho.n mˆo.t thˆe´ ky’ trˆoiqua nhu.ng sˆo´ lu.o ng c´ac t´ıch chˆa.p dˆo´i v´o.i mˆo.t ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan l`a c`onqu´a ´ıt Dˆay c˜ung l`a diˆ`u thˆoi th´e uc ch´ung tˆoi t`ım kiˆe´m, xˆay du ng v`a nghiˆenc´u.u 2 t´ıch chˆa.p v´o.i h`am tro.ng m´o.i dˆo´i v´o.i mˆo.t trong hai ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıchphˆan Fourier cosine, Fourier sine C´ac t´ıch chˆa.p n`ay c´o d˘a’ng th´u.c nhˆan tu.’h´oa quan tro.ng sau
K(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y)γ
v´o.i K ∈ {F, Fs, Fc} Cˆa´u tr´uc cu’a ph´ep to´an nhˆan chˆa.p du.o c nghiˆen c´u.u v`a
mˆo´i liˆen hˆe v´o.i c´ac t´ıch chˆa.p d˜a biˆe´t du.o c du.a ra C´ac ´u.ng du.ng gia’i phu.o.ngtr`ınh t´ıch phˆan kiˆe’u t´ıch chˆa.p du.o c nghiˆen c´u.u c`ung v´o.i viˆe.c biˆe’u diˆe˜n nghiˆe.mcu’a phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n nhiˆe.t theo cˆong th´u.c t´ıch chˆa.p tu.o.ng ´u.ng.e
Trang 161.1 T´ıch chˆ a.p c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch
phˆ an Fourier cosine
1.1.1 Di.nh ngh˜ıa v`a c´ac t´ıch chˆa´t cu’a t´ıch chˆa.p
D- i.nh ngh˜ıa 1.1.1 T´ıch chˆa.p c´o h`am tro.ng γ5(y) = cos y cu’a hai h`am f, g
dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆan Fourier cosine du.o..c cho bo.’i
(f γ∗5
15g)(x) = 1
2√2π
Trang 17Z
1−t
g(|u|) du +
+∞
Z
t−1
g(u) du
15g)(x) ... [2].Nhˆa.n x´et 1.1.2 Di.nh l´y Wiener - L´evy vˆa˜n d´ung cho f l`a biˆe´n dˆo’i Fouriercosine ho˘a.c biˆe´n dˆo’i Fourier sine cu’a mˆo.t h`am thuˆo.c L(R+)
X´et phu.o.ng tr`ınh... phˆan Fourier sine l`a giao ho´an,
kˆe´t ho..p v`a phˆan phˆo´i
Ch´u.ng minh Ta ch´u.ng minh t´ıch chˆa.p v´o.i h`am tro.ng dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’iFourier sine. .. vi cu’a ph´ep to´an t´ıch chˆa.p c´o h`am tro.ng dˆo´i v´o.i ph´ep biˆe´n dˆo’i t´ıch phˆanFourier cosine khˆong gian c´ac h`am thuˆo.c L(R+)
Di.nh l´y du.o c ch´u.ng minh