Bài toán giá trị ban đầu đối với trường thế và trường thế suy rộng

Nhìntừ độ lý thuyếtphương trình đạohàm điều kiện Do ngày nhiều bài toán mới nảy sinh từ tiễn đòi hỏi phải giải quyết nên đã nhiều trìnhnghiên nhằm mở rộng lớp hàm thoả mãn hệ Mởrộng tự n

-Lê Cường

luậnán tiếnsĩ toán

Hà Nội- 2012

-Lê Cường

Tôi xin đoan đây là trình nghiên tôi kết quả luận án là mới và

từng ai bố trongbất kì trìnhnào kết quảviết với GS

TSKH Lê Hùng Sơn và PGS.TS Nguyễn Thành Văn đã giả đồng ý để dùng

trong bảovệ luận án

giả

LêCường

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu tôiđốivới Thầy giáo hướngdẫn

-GS.TSKH.LêHùngSơnvà PGS.TS.Nguyễn CảnhLươngvềnhững bảo,địnhhướng, tạo

điều kiện thuận lợi như là dựa để tôi thể vượt qua những gian khó, những

đã khiến tôi trưởng thành trong tập và đi những đi đầu tiên trong

nghiên khoa Tôixingửilời ơn biệtnhấtđếnGS.TSKH.Wolfgang

ĐH Công nghệ Graz, Cộng hòa Áo và GS TSKH Reissig, ĐH Mỏ và Công nghệ

Freiberg, CHLB về những đi trao đổi và báo khoa tại hai đại trên

Sẽ làthiếusótrấtlớn nếunhư không đến xê-mi-na như giáo sư, đồng

nghiệp trongnhóm nghiên Xin thành ơn xê-mi-na:

+ Xê-mi-na phương pháp trong phương trìnhđạo hàm riêng" dưới sự trì

GS TSKH.LêHùng Sơn,Đại khoa HàNội;

+ Xê-mi-na "Giải - Đại số" dưới sự trì GS TSKH.Nguyễn Văn Mậu, Đại

Khoa Tự nhiên, ĐH Gia HàNội;

+ Xê-mi-na php biến đổi phân" dướisự trì PGS TS.Nguyễn Xuân Thảo,

biệt xin ơn sự bảo tậntình như giúp đỡ quý báu PGS TS.Đặng Văn

Khải,PGS.TS.LêTrọngVinh,PGS.TS.TốngĐìnhQuỳ,PGS.TS.NguyễnThànhVăn,PGS

TS Hà Tiến Ngoạn, PGS.TS Nguyễn ThủyThanh, PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, PGS TS

Nguyễn Xuân Thảo Xin thành ơn sự động viên như những sẻ

đồng nghiệp TS Nguyễn Đăng Tuấn, TS Trịnh Tuân, TS Phan Xuân Thành, TS Lê Đình

Nam, NCS ThS Nguyễn Hưng, NCS ThS Lê Thu Hoài, NCS ThS Bùi Tăng Bảo

và bạntrẻ trong nhómnghiên

Tôi xin trân trọng ơn Ban Giámhiệu, ViệnĐào tạoSau Đại như Phòng Tổ

Tôi xin ơn Ban lãnh đạo như bộ giảng dạy, viên khoa Toán - Tin

ứng dng đâyvàViện Toán ứngdng vàTin ngàynay,trường Đại khoa

Hà Nội đã tạo điều kiện, thu xếp tôi để tôi thuận lợi trong tập và

nghiên

Cuối tôimuốn bày tỏlòng biếtơn sâu tớibố, mẹ,anh, tronggia đình

mình, biệt làvợvà gái yêuquí,nhữngngười đã thông và sẻ mọikhó khăn

tôi suốt nhữngnăm tháng qua để tôi thểhoàn thành luận ánnày

Mở đầu 3

1.1 Giải Clifford 10

1.1.1 Đạisố Clifford 10

1.1.2 Hàm quy nhậngiá trị trongđại số Clifford 12

1.2 Bài toán giátrị ban đầu trongkhônggian liênkết 13

1.2.1 Đặtvấn đề 13

1.2.2 Khônggian trọng vàứng dng 13

1.2.3 Đánhgiá toán tử phân 16

1.2.4 Áp dngnguyên lý ánh xạ giải bàitoán giá trị banđầu 19

Chương2 Bàitoán giátrịban đầu vớidữkiện ban đầu là tơ thế 21 2.1 Cặp toán tử liên kết 22

2.2 Xây dựng toán tử liênkết 27

2.3 Giải bài toán giátrị ban đầu trường hợpdữ kiện ban đầu là tơ thế 37

2.4 Kết luận 2 39

Chương3 Nghiệm bàitoángiá trịban đầu đốivới trường tơ thếsuy rộng 41

3.2 Đánh giá trongđối với tơ thế suyrộng 44

3.3 Xây dựng toán tử liênkết 48

3.4 Sự tồn tại nghiệm bài toán giátrị banđầu đốivới tơ thếsuy rộng 51

4.2 Đánh giá trongđối với hàm quy suy rộng 63

4.3 Bài toán giátrị ban đầu với điều kiện ban đầulà hàm quy suy rộng 64

4.4 Kết luận 4 67

Mở đầu

Lý thuyết hàm hình một biến không nhữngđã đạt tính hoàn và đẹp

đẽ về mặt mà tìm nhiều ứng dng phong phú trong lĩnh rất

nhau toán như trong kỹ thuật Nhìntừ độ lý thuyếtphương trình đạohàm

điều kiện Do ngày nhiều bài toán mới nảy sinh từ tiễn đòi hỏi

phải giải quyết nên đã nhiều trìnhnghiên nhằm mở rộng lớp hàm thoả mãn hệ

Mởrộng tự nhiên đầu tiên đối với hàm hình một biến là lý thuyếthàm

hìnhnhiều biến Theo địnhlý bản Hartogs, một hàm nhiều biến là hình

khivà khi hìnhtheo từngbiến riêng lẻ

với xt hệ elip nhất dạng(xem [20℄, [29℄):

hệ (M − T ) trongΩ G.Moisil vàN đã thiết lập nhiều kết quả tương tự

Năm 1964 V.S Vinogradov lại bố một kết quả "Về một sự tương tự hệ

Riemann" trong khônggian 4 (xem [41℄),hệ đó dạng:

V.S Vinogradov đưara kháiniệm tơu = (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) hìnhtrong Ω ⊂ R 4

và thu kếtquả tương tự nhưđối với hệ (M − T )ởtrên

Khi tăng thêm số phương trình và ẩn số hàm như số biến không gian, nhiều khó

khăn mới xuất hiện nên người ta đã đề xuất một hướng mở rộng Xây dựng lý thuyết

số siêu Tớinay lýthuyếtnày pháttriểnmạnh mẽvà nhiềuứng dngquan

trọng nhờ trình G Moisil [20℄, N [20℄, [29℄, R Fueter [10-12℄,

R Delanghe [4-9℄, F [7℄, F.Sommen [4-5℄,[9℄, B [14-17℄, R P

Giả sử A là một đạisố Cliffordsinh bởi khônggian R m+1 với hệ sở

e 0 , e 1 , , e m Khi đó sở đại số CliffordA là

Tuy nhiên e 0 (hay thể ký hiệu là e φ thuần túy là 1) thì không dạng trên

Như vậy với a ∈ A biểu diễn a = P

A

a A e A với a A ∈ R Khi đó a gọi là một

số Clifford Php nhân phần tử A định theo quy sau: a, b ∈ A,

Khim = 2 thìA ≡ Hlà mộtđại số Quaternion

Năm1986trong [1℄, giảĐặng Văn Khảiđã mởrộnghệ tronggiải

Clifford bằng đưa ra một giả thiết là nếu tồn tại sở e A , e B thỏa mãn điều kiện

eAeB+ eBeA = 0

hàm hìnhnhưng trongkhônggian tổng quáthơn.

Năm 1996, giả Nguyễn Cảnh Lương trong [2℄đã đưa ra điều kiện và đủ để một hệ

phương trìnhvi phân đạo hàm riêng tuyến tính một thểđưa vềmột hệ

Riemannmạnh n bằng php biếnđổituyếntínhkhôngsuybiến Đồngthời đưa

ra điều kiện và đủ để tồn tại một hệ yếu 16 Từ đó khảo sát

tính hàm hìnhtương ứng sinh bởi hệ nàytrong đạisố Clifford

Như ta đã biết, trong tế hiện tượng tự nhiên như nghệ thường

gắnliềnvớimộtphươngtrìnhtiếnhóahaynói làmộtbàitoángiátrịbanđầu: Cần

tìm điều kiện để bàitoán giá trị banđầu sau nghiệm:

( ∂u

∂t = Lu u(x, 0) = ϕ(x).

Nói ta giải quyết bài toán trên trong một lớp hàm thỏa mãn một

điều kiện nào đó Một trong những kết quả quen là định lý

điển [42℄ Định lý này ra rằng bài toán giá trị ban đầu luôn giải nếu nó xt trong

lớp hàm giải là điều kiện ban đầu phải lớp hàm giải và

là dựatrên sự khai triểnthành luỹ thừa hàm giải Tiếp theo đó nhiều

giả đã tiến minh như tìm nhữngkỹ thuật minh mớiđể

minh địnhlý nàyvà đồngthời để mở rộngđịnhlý trường hợptổngquát hơn

Năm1985 W.Walter [42℄ đã dùng bổ đề M Nagumo [21℄ mà trong đó một tính

gọilà tính "đánhgiá trong- (interiorestimates)" sup trọngđể

Tiếptheo W [30-38℄, đưara dùng khônggian hàm trọng

để giảibàitoángiátrị banđầudựa trênmộtkỹ thuậtgọilà"kỹ thuật toántử liênkết

- pair operators)" Bằng kỹ thuật này W đã mở rộng bài toán giá trị

banđầukiểu lớphàm giải suyrộng.Năm2003,LêHùngSơn

vàW trong[23℄đã đưa ramột điều kiện vàđủđể một toán tửvi phân

vậy điềukiện nàyđã môtảđầyđủ dạngtoán tửvi phân Imàbàitoán giátrịban đầu

Trongnhữngnăm gầnđây giảnhư W LêHùngSơn,Nguyễn CảnhLương,

Nguyễn Thành Văn và một số giả [23-25℄, [40℄, đã giải quyết bài toán giá trị

ban đầu trong một số trường hợp lớp hàm hình trong đại số Quaternion và

trong đạisố Clifford

div u + (a, u) = 0, rot u + [u ì b] = 0,

với a, b là tơ ph vào x và u = u(t, x), với x ∈ Ω ⊂ R 3

Trong [28℄ giả

E Obolashvili đã minh sự tồn tại nghiệm bản hệ Riezs suy rộng bằng php

biến đổi phân Fourier với trường hợpa, b là tơ hằng số nghiệm tương ứng

hệ trên là hàm tính tương tựnhư hàm hình, thếthìbài toán giá trị

ban đầu kiểu giải quyết và kết quả tương tự như định lý

điển không? Vấn đề này trong [31℄ giả W đã đưa ra

điều kiện đủ để một toán tử L dạng

liên kết với toán tử vi phân sinh bởi hệ Riezs và sử dng thang để minh sự

tồn tại và duy nhất nghiệm bài toán giá trị ban đầu Còn đối với toán tử vi phân sinh

bởi hệ Riezs suy rộng giả W trong[32℄, mới minh sự tồn tại và duy

nhất nghiệm bài toán giá trị ban đầu trườnghợp a = b = const bằng sửdngthang Vì thế, nghiên một hệ thống vàtiến tớihoànthiện

dngtrong tế.Và đểtiếp kết quả giảnhư đã nêutrên, trongluận án

xt một trường hợp biệt toán tử mở rộng trong giải Clifford

Luận án này nhằm nghiên bài toán giá trị ban đầu và mở rộng định lý

Kowalevskaia lớp hàm thỏa mãn hệ Riezs và hệ Riezs suy rộng hệ trên

và tơ thế suy rộngtương ứng; Hơn nữa tìm kháiquát hệ trên trong lớp

hàm nhận giá trị trong đại số Clifford Luận án đã thành trong mở rộng định lý

C-K lớp hàm thỏa mãn hệ Riezs vàhệ Riezs suyrộng; Cũng như đã tỏ

hệ Riezs suy rộng một trường hợp thể thể như là một trường hợp riêng

hàm nhận giá trị trong đại số Quaternion: Du + Hu = 0 trong đó D là toán tửtrong giải Quaternion Đối với hệ Riezs thì tỏ rằng đó là một trường hợp riêng

một lớp hàm thỏa mãn một dạng mở rộng toán tử trong giải

Clifford.Bằng sử dng toán tử vi phân liên kết, giả luận ánđã mởrộngđịnh lý

điển

Đối tượngvà phạmvinghiên

giả nghiên bài toán giá trị ban đầu và mở rộng định lý

trường tơ và lớp hàm giải Clifford Xây dựng toán tử liên kết đối với

toán tử Riezs vàRiezs suy rộng trongR 3 Thiếtlập đánh giá trong toán tử Riezs vàRiezs suy rộngvà một dạng mở rộng toán tử trong giải Clifford

Từ đó đưa rađiều kiện để bàitoán giá trị banđầu giải

xây dựngthành toán tửliên kết(Định lý 2.1.1;Định lý3.4.1) vàthiếtlập

đánh giá trong (Định lý 3.2.1), (Định lý 4.3.1), góp phần hoàn lý thuyết về

bài toán giá trị ban đầu vàmở rộngđịnh lý - Kowalevskaia trường thếvà trong

giải Clifford(Định lý2.3.1;3.3.1; 4.3.1).Vềmặtứngdngbàitoán giátrịbanđầu

ápdngrộngrãitrongnhiềulĩnh nhau khoa nghệ,địavậtlý,thủykhí

động

Kết luận án

Luận ánnày gồm4

Chương 1: khái niệm bản, bao gồm khái niệm bản về giải Clifford,

Quaternion, phươngpháp dùng khônggian trọng để giải bàitoán giá trị ban đầu

Chương 2: Nghiên bài toán giá trị ban đầu mà dữ kiện ban đầu là nghiệm hệ

Riezs hàm đó gọi là tơ thế) Đưa ra điều kiện và đủ toán tử liên kết

với trường tơ thế, từ đó bài toán giá trị ban đầu giải duy nhất và mở rộng định lý

đốivới trường tơ thế

Chương3:Nghiên bàitoángiátrịbanđầumàdữkiệnbanđầulànghiệm hệRiezs

suy rộng hàm là thànhphần trường tơ thếsuy rộng) Lýthuyếtvềhệ Riezs suy

rộng là một tương tự lý thuyếtVekua trong giải Quaternion Sau đó bằng kỹ thuật

toán tử liên kết" đưa ra điều kiện giải bàitoán giá trị ban đầu đối với trường

tơ thếsuy rộng

Chương4: Xt bài toán giá trị ban đầu màdữ kiện ban đầu là nghiệm một dạng suy

rộng toán tử tronggiải Clifford Chứngminh tính đánh

giá trong lớp hàm nói trên từ đó nêu điều kiện đảm bảo bàitoán giá trị ban đầu

nghiệm duy nhất

kếtquả luận án trìnhbàytrong trìnhliênquanđếnluận

án

Chương 1

Trong nàysẽtrìnhbàyvề kháiniệm bảnvềgiải Clifford,Quaternion

như kiến thiết để giảibài toán giá trịban đầu trongkhông gian liên kết

1.1 Giải Clifford

1.1.1 Đạisố Clifford

Đại số Clifford gọilà đạisố hình rấtnhiềuứng dng tronghình

như trong vật lý lý thuyết khởi tạo bởi giả W K Clifford, là mở rộng khái niệm

xây dựng trên khônggian Rm+1 sở là e0, e1, e2, , em Khi

Tuy nhiên e 0 (hay thể ký hiệu là e φ thuần túy là 1) thì không dạng trên.

Hiển nhiên ta dim A = 2 m

Như vậy với a ∈ A biểu diễn a = P

A

a A e A với a A ∈ R.Khi đó a gọi làmột số Clifford Phpnhân phần tử A địnhtheo quy

p(j, B)ởđâyp(j, B) = {i ∈ B|i < j}, A△B = (A\B)∪(B\A)

Dễ dàng minh rằngphpnhân này tính kếthợpnhưngkhônggiao hoán

e2 1 = e2 2 = (e1e2)2 = −e0.

1.1.2 Hàm quy nhận giátrịtrong đại số Clifford

giả nhaukhinghiên tính hàm nhậngiátrị trongđạisố Cliffordthường

= −∂ 2

Hàmf (x) ∈ C 1 (Ω, A ) gọilà quytrongmiềnΩnếuta ∂f = 0 Df = 0.

Khiđóhàm quy tính tương tựnhưhàm hìnhmộtbiến lýthuyết

phân , v.v Với trường hợp hàm nhận giá trị trong Quaternion thì khi đó nếu Ω

là một miềntrong R3 thì khiđó hàm f (x) địnhtrong Ωnhận giátrị trong H thểviếtdướidạng

với x = (x 1 , , x n ) là một điểm không gian R n, t là biến thời gian và vế phải L

trong(1.1) làmột hàm liên theo biến nó Bàitoán (1.1) và(1.2)tương đươngvới

nghiệm Một số nghiên đã ra điều kiện đủ vế phải để toán tử (1.4) điểm

bấtđộng vàdo đó bài toán giátrị ban đầu (1.1), (1.2)là giải

u (0, x) = 1

x

Hàm giá trị ban đầu một kỳ dị tại điểm x = 0 là một điểm biên Ω Nghiệm bài

toán giá trị ban đầu là u (t, x) = 1

x − t ra rằngđiểm kỳ dịtại điểmbiên thể vàobên trongmiền Ω theo sự thay đổi thời gian Nódẫn đến hạn khoảngthời gian

mà trên đó tồn tại nghiệm Điểm x gần biên thì khoảng thời gian thể

nhỏ Nói nghiệm bàitoángiá trịban đầu(1.1), (1.2)(nghĩalàđiểm bấtđộng

toán tử (1.4)) tồn tại trên một miền nón trên Ω Để xây dựng miền nón này, ta phải

đo khoảng từ mộtđiểm x ∈ Ω tớibiên Với này,xt mộtphp vt trên Ω

bằngmột họ miền Ω s, 0 < s < s 0, thoả mãn điều kiện sau:

M.Đểxâydựngkhônggian phùhợp hàm số địnhtrên miềnnónM

trongkhônggianx,xtB(Ω)làmột khônggian hàm địnhtrênmiềnΩ(giớinội) trên mặt phẳng x Địnhnghĩa nó là k ã k B(Ω) (trong trườnghợp thông thường

B(Ω)

i) Nếu Ω ′ ⊂ Ω ′′ thì B(Ω ′′ ) nhúng trong B(Ω ′ ), nghĩa là thu hẹp hàm u ∈ B(Ω ′′ )

Xt Ω s, 0 < s < s 0, là một vt một miền giới nộiđã trong R n Kýhiệu B(Ω s )

bởiB s và trênB s sẽ ký hiệu làk ã k s.Với mỗi điểm˜t < ηs 0 định, giaodiện

M với mặtphẳng t = ˜ ttrong khônggian t, x bởi:

Chứng minh Chú ýrằng bấtđẳng d (t, x) ≥ δ > 0 địnhmột tập đóng M δ

Với điểm(t, x) trongM δ, địnhnghĩa (1.27) ta lượng:

1.2.3 Đánh giá toántử phân

Toán tử(1.4) định với hàm u = u(t, x) đạohàm một ∂ x j tồntại

vàliên Giả sử rằngmột hàm u = u(t, x) như vậy vào khônggian B ∗ (M) Chúng

ta sẽ trả lời hỏivới điều kiện nào thìảnh U = U (t, x) vào B ∗ (M) Xtkhônggian B(Ω) đã nóiđến ởtrên

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử rằng Ω ′ là một miền nào đấy Ω ′′ với khoảng dương

dist(Ω ′ , ∂Ω ′′ ) tớibiên Ω ′′

Khiđó một hàm u ∈ B(Ω ′′ ) gọi là hàm thỏamãn đánhgiátrong (interior estimates) một nếu ∂ x j u vào B(Ω ′ ) và

∂ x j u B(Ω ′ ) ≤ c 3

dist (Ω′, ∂Ω′′) kukB(Ω ′′ ) (1.11)

điều đó, tagiả sử rằngLuthoả mãn điều kiện sau:

i)LΘ liên

ii) Chuẩn kLΘk s làgiới nội vàdo đó kLΘk ∗ làhữu hạn;

iii)Lu thoả mãn điều kiện

kLu − Lvk s ≤ A 0 ku − vk s + X

j

Aj ∂x ju − ∂x jv s

Sử dng(1.8) và (1.13),điều kiện áp dng v = Θsuy ra:

c 4 = s 0 A 0 + 4c 3

c 1 X

Cuối giả sử rằng kφk s, 0 < s < s 0 là giới nội Khi đó kφk ∗ là hữu hạn và

ảnhU (t, x) địnhbởi (1.4) đánh giáqua mệnh đề sau

j

A j ku − vk ∗ 1

d2(t, x)

1.2.4 Ápdng nguyên lý ánhxạ giải bài toángiátrịban đầu

Mệnh đề 1.2.3 và 1.2.4 đúng trong trường hợp giả thiết u(t, x) ∈ B ∗ (M) và v(t, x) ∈

B ∗ (M) thoả mãn tính đánh giátrong một

Hiển nhiên không phải bất kỳ phần tử B ∗ (M) thỏa mãn yêu trên Để ápdng lượngnày, taphải tìmmộttập đóng B ∗ (M) màtrênđó giảthiếtnày là đúng Một trong những tập thể thỏa mãn yêu trên định như một

tập tất nghiệm phương trình ℓu = 0.Ký hiệu:

B ∗ ℓ (M) = {u(t, x) ∈ B ∗ (M) : ℓu(t, ) = 0 với mỗit}

Cầnnhấnmạnhrằngℓ phảilàmột toántử với hệsố khôngph vào t.Điềukiện (1.11) thể kiểmtra bằng sử dngmột đánh giá trong nghiệm

phương trình vi phân với B ℓ

∗ (M) là đóng trong địnhlý Weierstrassvề sự hội t

đốivớinghiệm phương trình Đểáp dngnguyênlý ánhxạ toán tử(1.4) phải

là ánh xạ khônggian B ℓ

Định nghĩa 1.2.5 Xt L là một toán tử vi phân một ph vào t, x, u = u(t, x) và

đạohàm một∂ x u,vớiℓ làmộttoántửviphân ph vào biến khônggianx j

với hệ sốkhôngph vàothời giant.Khiđó Lvà ℓ gọilà toántử liênkếtnếu L ánh xạ không gian nghiệm phương trìnhℓu = 0 vào nó vớimỗi t định

nghĩalà ℓu = 0ko theo ℓ(Lu) = 0

ℓ

Định nghĩa 1.2.7 Không giannghiệm phươngtrình ℓu = 0 gọi là khônggian liênkết

Theo Mệnh đề 1.2.4, toán tử phân tương ứng (1.4) là nếu ηs 0 miền

M đủ nhỏ, do đó địnhlý sau minh:

Địnhlý1.2.8 Giảsử rằngL, ℓlà một toántửliênkết.Hơn nữa,giả sửrằng nghiệm

ℓu = 0thoảmãn điều kiện đánh giátrong một Khiđó bài toángiá trị banđầu:



∂ t u = Lu u(0, ) = φ

làgiải vớidữ kiện banđầuφ thoảmãn điềukiện ℓφ = 0 Hơnnữa, nghiệmu = u(t, x)

thoảmãn điều kiện ℓu(t, ) = 0 vớimỗi t

Chú ý rằng điều kiện ℓu = 0 thể xem như định luật bảo toàn phương trìnhtiến hoá (1.1) Định lý 1.2.8 thể áp dng hai khả năng sau: Trường hợp ℓ

khi đó ta phải tìm toán tử liên kết L; Tuy nhiên nếu L tathể tìm toán tử ℓ sao bài toán giá trị ban đầu với hàm giá trị ban đầu φ thoả mãn

ℓφ = 0 thể giải Điểm bắt đầu Định lý 1.2.8là bài toán

điển Với toán tử L biến hàm hình thành hàm hình, và hàm giá trị ban

đầu φ là hình, nghĩa là điều kiện ℓu = 0là hệ M Nagumo làngười đầutiênsử dngviết lạidướidạng phân(1.3) để giảibàitoán

điển Sử dngdạng phân này,W Walterđã giải bàitoán điển

bằngnguyênlýánhxạ trongkhônggian hàm hìnhvới mỗit.Trongtrườnghợp hình, ta không giảthiếtvt miềnΩtrongkhônggianz bằngmộthọ miền Ω s,vàtrọngsốd(t, z) thể địnhnghĩa nhưkhoảng

d(x) một điểmz đếnbao ∂Ω.W Walterđã địnhnghĩa trọngsố:

ởđây ϕ là tơ thếđã Llà toán tử vi phân nhất động lên tơ mà

ánh xạtất tơ thếvào nó Nghiệm bài toán xây dựngbằng phương

pháp xấp xỉ liêntiếp Dãy nghiệm xấpxỉ liên tiếp hộit đều trong K ì [0, T ], ởđây K

là một tập bất kì miền bị G ⊂ R 3

và T > 0 Nói T ph vào

K Nghiệm xây dựng là một tơ thế đối với mỗi t Trong quá trình giải bài

nêu điềukiện đủtoán tửviphân Lliênkếtvớitoántửvi phânsinh bởihệ RiezsđãNói vẫn mô tả hết tất toán tử vi phân L, sao bài toán ban

đầu đã nêulà giải 2 là nghiên bàitoán giá trị banđầu dạng

, sao bài toán (1.2), (1.3) là giải

đối với mỗi tơ thế ϕ(x) và sử dng phương pháp trọng để giải bàitoán giá trị banđầu đã

Dễ thấy,u = (u 1 , u 2 , u 3 ) làmột tơ thếkhi vào khi ℓu = 0 Giảsử G là một miền bịtrong R 3 Xt toán tử L nêu trên với phần tử b k

ij , c ij , d i , i, j = 1, 2, 3

ma trận B k , C, D là hàm khả vi liên đến hai đối với biến không gian

x 1 , x 2 , x 3 và khảvi liên đốivới t.Kí hiệu

C = [C1, C2, C3], Bk = [B1k, B2k, B3k] ∀k = 1, 3

∂x 2 −

∂b 3 21

∂x 1 = c 23 ,

∂b 1 21

∂x 3 −

∂b 1 31

∂x 2 +

∂b 3 33

∂x 2 −

∂b 3 23

∂x 3 −

∂b 3 31

∂x1 = c33− c11.

∂x j ∂x i =

∂u 2 k

; ∂

2 u 1

∂x 2 3

; ∂

2 u 2

∂x 2 1

; ∂

2 u 2

∂x 2 3

; ∂

2 u 3

∂x 2 1

; ∂

2 u 3

∂x2 2

Saukhi tÝnh to¸n ta nhËn

∂x 2 1

+ b 3 32 − b 2 22 + b 3 23 + b 2 33
∂ u 2

2

∂x 2 3

∂x 2 1

+ b 3 13 − b 2 12
∂ 2 u 2

∂x 2 3

−

− b 3 21 + b 1 23
∂ 2 u 3

∂x 2 1

+ b 2 13 + b 3 12
∂ 2 u 3

∂x 2 2

+ b 1 21 − b 3 23
∂ 2 u 1

∂x 2 3

,

m 3 = b 1 31 − b 2 32
∂ 2 u 1

∂x 2 2

+ b 1 31 + b 3 11 + b 1 13 − b 3 33
∂ 2 u 1

∂x 2 3

− b 1 32 + b 2 31
∂ 2 u 2

∂x 2 1

+ b 3 12 + b 2 13
∂ 2 u 2

∂x 2 3

+

+ b 1 11 − b 3 31 − b 1 33 − b 3 13
∂ 2 u 3

∂x 2 1

+ b 2 12 − b 3 13
∂ 2 u 3

∂x 2 2

∂x 2 1

+ b 2 22 − b 3 32 − b 3 23 − b 2 33
∂ 2 u 3

∂x 2 2

∂x 2 +

∂b 1 31

∂x 3 −

∂b 3 13

∂x 1 −

∂b 3 23

∂x 2 −

∂b 3 33

∂x 3 + c 11 − c 33

 ∂u 1

∂x1+ +  ∂b1

∂x 2 −

∂b 1 23

∂x 1 +

∂b 3 11

∂x 2 −

∂b 3 21

∂x 1 − c 23

 ∂u 1

∂x 3 + + +  ∂b 2

13

∂x 2 −

∂b 2 23

∂x 1 +

∂b 3 12

∂x 2 −

∂b 3 22

∂x 1 +

∂b 3 33

∂x 1 −

∂b 3 13

∂x 3 − c 31 − c 13

 ∂u 1

∂x 1 + +  ∂b 1

13

∂x 3 −

∂b 1 33

∂x 1 +

∂b 3 11

∂x 3 −

∂b 3 31

∂x 1 + c 11 − c 33

 ∂u 1

∂x 3 + +  ∂b 2

12

∂x 3 −

∂b 2 32

∂x 1 +

∂b 3 33

∂x 1 −

∂b 3 13

∂x 3 − c 13

 ∂u 2

∂x 2 + +  ∂b 2

22

∂x 3 −

∂b 1 32

∂x 2 +

∂b 2 21

∂x 3 −

∂b 2 31

∂x 2 − c 31

 ∂u 1

∂x2+ +  ∂b1

(*) Điều kiệnđủ Giả sử điều kiện (i), (ii), (iii) và (iv) định lý thỏa mãn Từ

(i) dẫn đến S = T = 0 Do(iii),ta m i = 0, i = 1, 2, 3, 4.Sử dng điều kiện (ii)và (iv),

ta nhận n i = 0, i = 1, 2, 3, 4.Nghĩa là M = N = 0 Như vậy

ℓ(Lu) = M + N + S + T = 0 với mọi tơ thế

(*)Điềukiện Giảsử toán tửLliênkếtvới toán tửℓ,nghĩa lànếuℓu = 0 thìℓ(Lu) = 0

Ta sẽ 14 tơ thế như sau tiên u (1) = (0, 0, 0), khi đó từ (2.6) ta rútgọn thành S Vì ℓ(Lu) = 0 nên S = 0 Điều này nghĩa là D là tơ thế Tiếp theo

u (2) = (a, a, a), ∀a là hằng số không Từ (2.6) dẫn đến T = 0, tỏ tất

ma trận C là tơ thế Ta điều kiện (i) Bây giờ ta u (3) = (x 1 , 0, −x 3 ); u (4) = (x 2 , x 1 , 0); u (5) = (x 3 , 0, x 1 ); u (6) = (0, x 2 , −x 3 ); u (7) = (0, x 3 , x 2 )

thì (2.6) dẫn đến N = 0 Như vậy ta điều kiện (ii) và (iv) Cuối

u (8) = (x 2 2 − x 2 1 , 2x 1 x 2 , 0); u (9) = (x 2 3 − x 2 1 , 0, 2x 1 x 3 ); u (10) = (2x 1 x 2 , x 2 1 − x 2 2 , 0); u (11) = (2x 1 x 3 , 0, x 2 1 − x 2 3 ); u (12) = (0, x 2 3 − x 2 2 , 2x 3 x 2 ); u (13) = (0, 2x 3 x 2 , x 2 2 − x 2 3 ); u (14) = (x 3 x 2 , x 1 x 3 , x 2 x 1 ), từ (2.6) ta nhận M = 0 Do đó ta điều kiện (iii) Điều này kết

minhđiều kiện

2.2 Xây dựngtoán tử liên kết

Từ điều kiện (i),(ii), (iii) và(iv), taxây dựng dạngtường minh toán tử L Từđiều

kiện (iii) ta tất 15 phươngtrình đốivới hàm b k

ij

b2 12+ b2 21+ b1 22− b1 11 = 0

∗Lấyphươngtrình(3)trừphươngtrình(4)vàsử dngphươngtrình(10) tathu phươngtrình(8).

∗Lấyphươngtrình(5)trừphươngtrình(6)vàsử dngphươngtrình(12) tathu phươngtrình (7) Vậy ta bỏ phương trình (7), (8)và (9) Ta lại 12 điều kiện từ (1)→

(6)và (10) → (15) Tasuy ra:

∂x 3 −

∂b 1 21

∂x 2 −

∂b3 33

∂x 3 −

∂b 2 22

∂x 2 +

∂b 1 21

∂x 2 + c 22 − c 33 = 0.Tiến hànhrútgọn hệ 20 phương trình trênta

∗) phương trìnhtrùng nhau: (8)≡ (16);(10) ≡ (14);(9) ≡ (15);(6)≡ (18);

∗) phươngtrình là tổ hợp phương trình Từ phương trình (10) vàphương trình

∂x 3 −

∂b 1 21

∂x 2 −

∂b3 33

phương trình(7)là tổ hợp haiphương trình(1) và(4).Cuối ta 12 điều kiện và

matrận C thểbiêu diễn dướidạng

C =

" a(x) −b(x) −c(x) b(x) a(x) −d(x) c(x) d(x) a(x)

# , với x = (x 1 , x 2 , x 3 ).

Thay phần tử ma trận C vừa tìm ở trên vào 12 điều kiện ta

∂x 1 +

∂b 1 31

∂x 3 −

∂b 3 33

∂x 3 −

∂b 1 21

∂x 2 −

∂b 3 33

∂x 1 ,

∂b 1 11

∂x 2 ,

∂b 1 11

∂x 3 ,

∂b 1 21

∂x 1 ,

∂b 1 21

∂x 2 ,

∂b 1 21

∂x 3 ,

∂b 1 31

∂x 1 ,

∂b 1 31

∂x2 Khi

Hiển nhiên là ẩn hàm tìm thỏa mãn định lý về đạo hàm hai hỗn

hợp.Saukhilấyđạohàm haitheo biến khuyếtrồiđồngnhất,rútgọntathu

∂x 2 ∂x 3 +

∂ 2 b 3 33

+ ∂

2 b 3 33

∂x2 3

lại điều kiện

Kết hợp tất điều kiện a(x), b(x), c(x), d(x) lại ta a, b, c, d là hằng số Khi

đó hệ điều kiện (A) lại

∂x 1 ∂x 3 = 0

Do ta đã

∂b 1 31

∂x 1 = c(x) +

∂b 3 33

∂x 1, kết hợp với điều kiện c = const nên phương trình thứ baluôn đúng Tương tự do

∂x 2 =

∂b3 33