Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biển đổi tích phân hartley fourier và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -ĐỖ THỊ HOÀNG ÁNH TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HARTLEY FOURIER SINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-ĐỖ THỊ HOÀNG ÁNH

TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG ĐỐI VỚI

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HARTLEY

FOURIER SINE VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN MINH KHOA

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

sine 71.1.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine 81.1.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine

và giải phương trình vi phân đạo hàm riêng 101.2 Phép biến đổi tích phân Hartley 121.2.1 Định nghĩa các phép biến đổi Hartley 121.2.2 Các tính chất của các phép biến đổi Hartley 131.3 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 151.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier

cosine 151.3.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier cosine 15

2.1 Định nghĩa tích chập suy rộng 192.2 Các tính chất của tích chập suy rộng 192.3 Áp dụng 26

2.3.1 Các bổ đề bổ trợ 262.3.2 Một lớp phương trình tích phân dạng chập 272.3.3 Một lớp hệ phương trình tích phân kiểu đa chập 28

Một số ký hiệu dùng trong luận

Lời cảm ơn

Hoàn thành luận văn, từ đáy lòng mình em xin gửi tới thầy

TS Nguyễn Minh Khoa sự hàm ơn sâu sắc Em cũng xin được gửilời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Toán, phòngsau Đại học Đại Học Khoa Học – Đại Học Thái Nguyên đã giảngdạy, tạo điều kiện giúp đỡ em

Đồng thời xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tận tìnhgiúp em hoàn thành quá trình học tập và viết luận văn

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 1 tháng 08 năm 2013

Học viên

Đỗ Thị Hoàng Ánh

vi ứng dụng của tích chập Ngoài trừ tích chập suy rộng đối với haiphép biến đổi tích phân Fourier Sine, Fourier Cosine được Sneldoncông bố năm 1951 [5] thì phải đợi đến gần hai thập kỷ trở lại đâytích chập suy rộng mới được xây dựng bởi các tác giả Nguyễn XuânThảo, Nguyễn Minh Tuấn, Nguyễn Minh Khoa, Yakubovich

Tích chập , tích chập suy rộng có nhiều ứng dụng lý thú trongmột số lĩnh vực của khoa học kỹ thuật và toán học [2, 5, 9, ] Một

số tích chập đã biết được dùng trong luân văn Tích chập của haihàm f, g ∈ L(R) đối với phép biến đổi Fourier Cosine [9]

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày định nghĩa, các tính chất của các phép biến đổi tíchphân Fourier Sine, Hartley và nêu các ví dụ áp dụng Xây dựng vànghiên cứu tích chập suy rộng mới đối với các phép biến đổi tích

phân Fourier Sine, Hartley và ứng dụng để giải phương trình, hệphương trình tích phân dạng chập.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các phép biến đổi tích phân, tích chập suy rộng củacác phép biến đổi tích phân Fourier Sine, Hartley và ứng dụng vàogiải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập

4 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phép biến đổi tích phân, lý thuyết phương trìnhtích phân và các kết quả của giải tích, giải tích hàm

• Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập có hàm trọng củaV.A Kakichev, Nguyễn Xuân Thái và lý thuyết trong các bàibáo của Nguyễn Minh Khoa để xây dựng và nghiên cứu tíchchập và các ứng dụng của chúng

5 Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Các phép biến đổi tích phân Hartley, Fouriersine

Nhắc lại định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép biếnđổi tích phân Hartley, Fourier sine và đưa ra một số ví dụ áp dụng.Chương 2: Tích chập suy rộng

Xây dựng và nghiên cứu các tính chất của tích chập và đưa raứng dụng giải phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập

Chương 1

Các phép biến đổi tích phân

Hartley, Fourier sine

1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier sine

1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine

Định nghĩa 1.1 Cho f ∈ L(R+), hàm Fsf được xác định bởi

ˆ

f (y) = (Fsf )(y) =

r2π

Z +∞

0

f (x) sin yx dx (1.1)

là phép biến đổi Fourier sine của hàm f

Ta có công thức nghịch đảo sau

f (x) = (Fsf )(X) =ˆ

r2π

(Fsf )(y) =

r2π

Z +∞

0

e−αxdx

= 12i

r2π

Z +∞

0

[e−(α−iy)x− e−(α+iy)x]dx

= 12i

r2π

π.m

Z a 0

sin yxdx

=

r2

Z +∞

0

g(x) sin yx dx

= α(Fsf )(y) + β(Fsg)(y)

Vậy Fs là toán tử tuyến tính.

Tính chất 1.2 Với a > 0 đặt fa(x) = f (ax), khi đó ta có:

(Fsfa)(y) = 1

a(Fsf )

ya



Chứng minh

(Fsfa)(y) =

r2π

Z +∞

0

f (ax)dx

= 1a

r2π

= 1a

r2π



Tính chất 1.3 (Biến đổi Fourier sine của đạo hàm)

Giả sử f (x) liên tục và khả tích tuyệt đối trên (0, +∞), f0(x) liêntục từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn và f (x) → 0 khi x → +∞.Khi đó

Fs(f0(x))(y) = −y(F cf (x))(y)

Chứng minh Lấy tích phân từng phần ta có

Fs(f0) =

r2π

π[f (x) sin yx

πyf (0).

Chứng minh Ta có:

Fc(f00) =

r2π

h

f (x) cos yx

πf (0)

i

Từ đây ta nhận được điều phải chứng minh

1.1.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine và

giải phương trình vi phân đạo hàm riêng

ii) u(x, 0) = P (x), (P (x) là hàm phân bố nhiệt độ ban đầu)

Ở đây ta giả thiết thêm là hàm u cùng với các đạo hàm theo biến xcủa nó tiến tới 0 khi x → +∞

Lời giải bài toán

Áp dụng biến đổi Fourier sine vào hai vế (1.3) ta có

nhsin kx.∂u

∂x

i

n[cos kx.u]

(Fsf )(y)

≤ √12π.

1

√2πkf kLp(R+).2

r2

πkgkLq(R)

=

√2

π√

πkf kLp(R+)kgkLq(R).Định lý 2.7 được chứng minh xong

2.3 Áp dụng

Ta áp dụng tích chập suy rộng (2.1) để giải một lớp phương trìnhtích phân và một lớp hệ phương trình tích phân dạng chập Trướckhi đi giải các lớp phương trình và hệ phương trình này ta đưa ramột số kết quả bổ trợ Việc chứng minh các kết quả này tương tựnhư Định lý 2.2

3 f )(y) = (Fsf )(y)(H2g)(y), ∀y ∈ R

Bổ đề 2.3 Giả sử f ∈ L(R+), g ∈ L(R) khi đó tích chập suy rộng

H1(g ∗

4f )(y) = (Fsy)(H1g)(y), ∀y ∈ R

(H1f )(y) + λ cos aysigny(Fsϕ)(|y|)(H2ψ)(y) = (H1h)(y), y ∈ R

Do đó

(H1f )(y)[1 + λ cos ay(Fsϕ)(|y|).(Fsg)(|y|)] = (H1h)(y)

Nhờ Bổ đề 2.6 ta lại có

(H1f )(y)[1 + λ cos ay.Fc(ϕ ∗

2g1)(|y|)(Fcg2)(|y|)] = (H1h)(y)

Áp dụng Định lý Wiener - Lévy [1], tồn tại một hàm l ∈ L(R) để

Dễ thấy f ∈ L(R) Định lý được chứng minh

2.3.3 Một lớp hệ phương trình tích phân kiểu đa chập

Ở đây λ1, λ2 là hằng số phức, ϕ, h ∈ L(R+); ψ, k ∈ L(R); f, g là các

ẩn hàm, và

θ1(x, t) = 1

2√2π[G(x−t−a)−G(x+t−a)+G(x−t+a)−G(x+t+a)]

θ2(x, t) = 1

2√2π[f (x + t) + f (x − t) − f (−x + t) + f (−x − t)]

f (y) = h(y) − λ1[ϕ ∗γ

H,Fs(k ∗

3 p)](y) − [h ∗

H1,H2,H3l](y)+ λ1[(ϕ ∗γ

λ2(H1f )(y)H2ψ(y) + (H1g)(y).(H1y)(y) = (H1f )(y)

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính này ta có

Điều này dẫn tới

Kết luận

Những kết quả chính của luận văn

1) Trình bày định nghĩa, các tính chất của các phép biến đổi tíchphân Fourier sine và Hartley đồng thời nêu một số áp dụng

2) Xây dựng tích chập suy rộng mới đối với hai phép biến đổi tíchphân Fourier sine và Hartley đồng thời ứng dụng giải một sốlớp phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập

Những hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn là nghiên cứucác phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và bất đẳng thức tíchphân dạng chập trên cơ sở tích chập vừa nhận được

Tài liệu tham khảo

[1] N.I.Achiezer, Lectures of Approximation theory, Science lishing House, Moscow, 1965,pp.157 - 162

Pub-[2] F.D.Garkhov and Yu.I.Cherski, The equation of Convolutiontype, Moscow, Nauka, 1978 (in P.215), Moscon

for constructing generalized integral convolutions,Izv.Vyssh.Uchebn.Zaved.Mat.,1988, no 1, 31 - 40

[4] Nguyen Minh Khoa, On the convolutions of Fourier type forms, Acta Math, Vietnam, 36(2011), 283 - 298

trans-[5] I.N.Sneddon, The use of Integral transforms, MC Graw - Hill,NewYork, 1972

[6] Nguyen Xuan Thao, V.A.Kakichev and Vu Kim Tuan, On thegeneralized convolutions for Fourier cosine and sine transforms,East - West J.Math, 1 (1998), 85 - 90

[7] Nguyen Xuan Thao, Nguyen Minh Khoa, On the generalizedconvolution with a Weight - Function for the Fourier, Fouriercosine and sine transforms Integral Transforms Spec Funct,11(2006), 637 - 685

[8] Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa, Agenezalized convolution with a weight function for the Fouriercosine and sine transforms, Easct, Calc Appl Anal, 7(2004),

323 - 337

[9] E.C.Tichmarch, Introduction to the Theory of Fourier Integrals,Chelsea Publishing Co, New York, 1980.

[10] Nguyen Minh Tuan and Phan Duc Tuan Generalized tions relative to the Hartley transforms with applications, Sci,Math Japan 10(2009), 77 - 89

Ka -và nghiên cứu tính chất tích chập Ka -và đưa ứng dụng giảiphương trình,... nghĩa, tính chất phép biến đổi tíchphân Fourier sine Hartley đồng thời nêu số áp dụng

2) Xây dựng tích chập suy rộng hai phép biến đổi tíchphân Fourier sine Hartley đồng thời ứng dụng giải sốlớp... 2

Tích chập suy rộng< /h2>

Tiếp tục hướng nghiên cứu Nguyễn Xuân Thảo, V.A kichev Vũ Kim Tuấn, Nguyễn Minh Khoa tích chập suy rộng? ?ối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier