Đại số ôn thi đại học

2 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNHA.PHƯƠNG PHÁP GIẢI ςα〈ν 〉ε◊ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, TAM THỨC BẬC HAI I.. Phương pháp giải phương trình bậc hai... ςα〈ν 〉ε◊ 3: PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠN

Trang 1

2 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

ςα〈ν 〉ε◊ 1:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, TAM THỨC BẬC HAI

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :

( ) ( )

2

ax + bx + c = 0 1 a 0≠

Dạng

1 Phương pháp giải phương trình bậc hai.

Biệt thức ∆ = b - 4ac2 (hay ∆' = b' - ac2 với b ' = b

2)

- Nếu ∆ < 0 thì (1) vô nghiệm

- Nếu ∆ = 0 thì (1) có nghiệm số kép: x = x = -1 2 b

2a (hay

b'

x = x =

-a )

- Nếu ∆ > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt:

1, 2

-b

x =

2a

± ∆ (hay

1, 2

-b' '

x =

a

Đặc biệt:

- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x = 1; 1 x = 2 c

a

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x = -1; 1 2

c

x =

-a Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 thì 2 ( ) ( )

ax + bx + c = a x - x x - x

2 Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai 2

ax + bx + c = 0 có hai nghiệm

x1, x2 thì 1 2

b

S = x + x =

-a và 1 2

c

P = x x =

a

II DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI :

Phương pháp xét dấu:

f x = ax + bx + c a 0≠ .

Biệt số : 2

= b - 4ac

∆

TH 1: < 0∆

+∞

TH 2: = 0∆

x −∞ x1= x2

+∞

f(x) cùng dấu a 0

cùng dấu a

TH 3: > 0∆

x −∞ x1 x2

+∞

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0

cùng dấu a

Trang 2

ςα〈ν 〉ε◊ 2:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

I ĐỊNH LÝ BEZOUT :

P x = a x + a x +L + a x + a x a ≠0 . Các số a , a , , a , a0 1 L n-1 n là các hệ số

α là nghiệm của đa thức P x khi ( ) Pα = 0 và khi đó ( ) P x chia( ) hết cho x - α

II SƠ ĐỒ HORNER :

Chia đa thức : ( ) n n-1

P x = a x + a x +L + a x + a cho x - α , ta được:

P x = x - α b x + b x + + b x + bL Trong đó b , i i∈{0, 1, 2, L , n} được xác định bởi sơ đồ Horner :

x a0 a1 a2 L an-2 an-1

an

α b0 b1 b2 L bn-2 bn-1

bn

Với b = a và 0 0 bα b + bi = × i - 1 i với i∈{1, 1, 2, , nL }

III ĐỊNH LÝ VIET :

1 Nếu phương trình bậc ba ax + bx + cx + d 03 2 = có ba nghiệm x1, x2, x3

thì:

1 2 3

b

x + x + x =

-a c

x x + x x + x x =

a d

x x x =

-a











2 Nếu phương trình bậc bốn ax + bx + cx + d 03 2 = có bốn nghiệm x1,

x2, x3, x4 thì:

1 2 3 4

b

x + x + x + x = -

a

c

x x + x x + x x + x x + x x + x x =

a d

x x x + x x x + x x x + x x x

-a e

x x x x =

a











ςα〈ν 〉ε◊ 3:

PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA TUYỆT ĐỐI

Trang 3

I PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :

Dạng 1: A = B A = B

A = -B



Dạng 2:

B 0

A = B A = B

A = -B

≥







Lưu ý: Ta có rhể xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối sau đó

giải phương trình trên từng khoảng

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :

Dạng 1: A < B ⇔ A < B 2 2

Dạng 2: A < B ⇔ - B < A < B

Dạng 3: A > B A > B

A < -B



Lưu ý: Ta có rhể xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối sau đó

giải bất phương trình trên từng khoảng

ςα〈ν 〉ε◊ 4:

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA CĂN THỨC

I PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC :

Dạng 1: 2n

2n

B 0

A = B

≥



⇔ 

Dạng 2: 2n 2n A 0 hay B 0( )

A = B

⇔ 

Dạng 3: 2n+1A = 2n+1B ⇔ A = B

Dạng 4:

A 0

B 0

A + B = C

C - A + B

2

≥



 ≥



⇔ 

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC :

Dạng 1:

2

B > 0

A < B A 0

A < B







Dạng 2: A > B B < 0 hay B 02

≥

Dạng 3: A > B B 0

A > B

≥



⇔ 

Trang 4

Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN Dạng 1: 1 1 1

A x+ B y = C





A + A + B + B ≠0

D = = A B - A B

D = = C B - C B

D = = A C - A C

- Nếu D = 0 thì hệ có duy nhất một nghiệm:

x

y

D

x = D D

y = D











- Nếu

D = 0



 hoăïc thì hệ vô nghiệm.

- Nếu D = D = D = 0 thì hệ có vô số nghiệm.x y

Dạng 2: Đối xứng loại 1 : ( )

( )

f x, y = 0

g x, y = 0





( ) ( ) ( ) ( )

f x, y = f y, x

g x, y = g y, x





Đặt : S = x + y

P = x y



 (điều kiện

2

S ≥4P)

Ta được hệ : ( )

( )

F S, P = 0

E S, P = 0





 ta tìm được S, P.

Khi đó x, y là nghiệm của phương trình : 2

X - SX + P = 0

Dạng 3: Đối xứng loại 2 : ( )

( )

f x, y = 0 (1)

f y, x = 0 (2)





Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được : (y - x h x, y) (× ) =0 ⇔

( ) ( ) ( )

y = x a

h x, y = 0 b





Kết hợp : ( ) ( )

( ) ( )

a b







và 1 và 1

Trang 5

PHƯƠNG TRÌNH, BẤ T PHƯƠNG TRÌNH BẬ C HAI

Bài 1 Cho phương trình : x + 2xcos + 1 + sin = 0 2 α α (α∈[- 2; π π 2] )

a) Định α để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa 2 2

+ = 8

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 2

y = +

x x Bài 2 Cho phương trình : 2x - 2sin - 1 x + 6sin2 ( α ) 2α −sinα−1 = 0 (α∈[0; 2π] )

a) Định α để phương trình có nghiệm

y = x + x

2

12 12x - 6mx + m 4 = 0 m 0

m

a) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa

x +x + 2 x + x < 0

y = x + x Bài 4 Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 ( )

2

1

x + mx + = 0 m 0

Định m để 4 4

x + x đạt giá trị nhỏ nhất Bài 5 Định m để hệ phương trình :

x + y + xy m

x + y m

=



x + xy + y m + 1

x y + xy m

=



 có ít nhất một nghiệm (x; y thỏa x > 0 và y >) 0

c) 2 2

x + xy + y m

x + y xy 1 2m

=



d)

x y - 4y + my

y x - 4x + mx

 =

 =

Trang 6

Bài 6 Chứng minh hệ phương trình ( )

2 2

a 2x y +

y

a 0 a

2y x +

x





có một nghiệm duy nhất

Bài 7 Chứng minh hệ phương trình

2

x 4xy + y m

y 3xy = 4

Bài 8 Định m để phương trình :

2m + 3 x - m + 5 x - 4m - 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện (3x - 1 3x - 11 ) ( 2 )<25

2m + 3 x - m + 3 x + m + 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện

x x > và 2 2

x +x <3

2x - 3m + 1 x + m + m = 0 có hai nghiệm thỏa mãn bất phương trình x - mx - 3m - 1 02 ≥

Bài 9 Định m để bất phương trình :

a) x - 2mx + 2 x - m + 2 > 0 có tập nghiệm là ¡ 2

b) x + 2 x - m + m + m - 1 02 2 ≤ có nghiệm.

c) 3 - x - m > x có ít nhất một nghiệm âm.2

Bài 10 Định m để :

a) Hệ bất phương trình

2 2

x 7x - 8 0

m x + 1 > 3 + 3m - 2 x





b) Hệ bất phương trình

2

2x 3x - 2 0

x - m m + 1 x + m 0



c) Hệ bất phương trình

2 2

x 6x + 7 + m 0

x + 4x + 7 - 4m 0

đoạn trên trục số có độ dài bằng 1

Bài 11 Định m để :

a) Các nghiệm của phương trình x - 2x - m + 1 = 0 đều ở giữa hai2 2

nghiệm của phương trình 2 ( ) ( )

x - 2 m + 1 x - m m - 1 = 0 b) Mỗi phương trình trong hai phương trình x + 3x + 2m = 0 và2 2

x + 6x + 5m = 0 đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của mỗi phương trình có đúng một nghiệm của phương trình kia

x - 4mx + m + 1 x - 4mx + 1 = 0 có nghiệm

b) 2 ( )2

2

m

x + x + 1 =

x + x + 1 có nghiệm

Trang 7

c) ( )

2

x + + 1 - 3m x + + 3m = 0

+ + 1 - m = 0

1 + 2x + x 1 + x có nghiệm

a) mx - x + 1 - m < 0 có tập nghiệm là 2 (0; 1 )

b) ( 2 ) 2 ( )

m + m - 2 x - m + 5 x - 2 < 0 nghiệmđúng với mọi số thực x∈[ ]0; 1

m + 1 x + 3mx + m + > 0

8 có tập nghiệm giao với (1; +∞) khác rỗng

x + x - 2x + m = 0 có nghiệm

mx - 2 m - 1 x + 2 = mx - 2 có nghiệm duy nhất

2x - 3x - 2 = 5m - 8x - 2x có nghiệm duy nhất

d) ( )2

x - 1 = 2 x - m có bốn nghiệm phân biệt

-2x + 10x - 8 = x - 5x + m có bốn nghiệm bằng nhau

Bài 1 Giải các phương trình sau đây :

a) (x + 3 10 - x) 2 =x - x - 122

7x + 7x x > 0

28

c) x + 3x + 12 =(x + 3) x2+1

5x + 3x + 3x - 2 + 3x -

e)

2

3x - 3x + 1 1 2x - 1 1

2x - 1 +x = x + 2x - 1 Bài 2 Giải các phương trình sau đây :

a) 2x + 8x + 6 + x - 1 = 2x + 2 2 2

b) 2x - 3 + 5 - 2x - x + 4x - 6 = 0 2

c) 2x - 1 + 19 - 2x = 62

10x - x - 24

x + 5

x - 16 + x + 4 =

x + 11 x + 4 e) x + 4 + x - 4 = 2x - 12 + 2 x - 16 2

Trang 8

a) 3 ( 2)3 2

x + 1 - x =x 2 - 2x

b) 3x + 6x + 16 + x + 2x = 2 x + 2x + 4 2 2 2

c) 1 + x x - 242 =x - 1.

d) 1 + 2x 1 - x2 2

2x 1

e) x + 2 + 2 x + 1 + x + 2 - 2 x + 1 = x + 5

2 Bài 4 Giải các hệ phương trình sau :

a) x + 5 + y - 2 7

x - 2 + y + 5 7





=

b)

x + x + y + 1 + x + y + x + y + 1 + y 18

x + x + y + 1 - x + y + x + y + 1 - y 2





=

c)

x xy + y xy 78









d) 2x + y - x - y 22 2 2

x + y + x - y 4





=

e)

3 x - y x - y

x + y x + y + 2





=

Bài 5 Giải các bất phương trình sau đây :

a) 2x - 1 + 4 2x + 1≥

4 x + 1 < 2x + 10 1 - 2x + 3

c) 2x + 6x + 1 x + 12 >

x x - 4 - x + 4x x - 2+ < 2

e) (x + 1 + x + 13 ) ( 2 )+ 3x x + 1 0>

a) 5 + 4x - x2 + 3 - x2 ≥2

b) x - 1 x - 3+ ≥ 2x - 10x + 162

c)

2

x

x + 1 1 - x 2 -

4

d) 3 x 3 2x + 1 7

2x

2 x

e) 2 x - 16( 2 ) 7 - x

+ x - 3

x - 3 > x - 3 Bài 7 Giải các bất phương trình sau đây :

Trang 9

a) x + 2 x - 1 x - 2 x - 1 3

2

1 + 2x - x + 1 - 2x - x ≥2 x - 1 2x - 4x + 1

c) 1 - x + x2 + 3 - x2 ≤ 8 - 2x

d) 7x + 7+ 7x - 6 2 49x + 7x - 42 181 - 14x+ 2 <

e) x + 3x + 22 + x + 6x + 5 2 ≤ 2x + 9x + 72

a) 4x + 2x + 12 − 4x - 2x + 1 2m2 = vô nghiệm

b) 2x + 1 m - x2 = có nghiệm

c) (x - 3 x + 1) ( ) (4 x - 3) x + 1 m

x - 3

d) x + 6 x - 9 x - 6 x - 9 x + m

6

e) x x + x + 12 m= ( 5 - x+ 4 - x) có nghiệm.

Bài 9 Định m để hệ phương trình :

x x y y 1 - 3m





b) x + 1 y + 1 3

x y + 1 y x + 1 + y + 1 x + 1 1 - 3m





c) x + 1 y - 2 m m 0( )

y + 1 x - 2 m



x + 5 y + 3 m





 có nghiệm (x; y thỏa x > 4.)

e)

2

x + 3 y m

y + 5 x x + 5 + 3 - m





a) x - 2≥ x - m m - 2+ vô nghiệm

b) mx - x - 3 m + 1≤ có nghiệm

c) x + 2x + 1 m2 ≤ có nghiệm

x + 3x - 1 m≤ x - x - 1 có nghiệm

e) -4 4 - x 2 + x( ) ( ) ≤x - 2x + m - 182 nghiệm đúng với mọi x∈ −[ 2; 4]

Chuyên đề 12: PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MŨ, LOGARIT A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Vấn đề 1:

PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Dạng cơ bản: với 0 < a≠1

Trang 10

( )

f x

a

b > 0

a = b

f x = log b



⇔ 

Dạng 2: Đưa về cùng cơ số: f x( ) g x( ) ( )

a = a 1 + Nếu 0 < a≠1 thì : ( )1 ⇔f x( ) =g x( )

+ Nếu a thay đổi thì : ( )1 (a > 0 ) ( ) ( )

a - 1 f x g x 0





Dạng 3: Đặt ẩn số phụ: Đặt t = ax, t > 0 Phương trình đã cho tương đương : ( )

t > 0

g t = 0





Dạng 4: Đoán ngiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất.

Vấn đề 2:

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Điều kiện tồn tại log f x là : a ( ) 0 < a 1 f x > 0 ( )

≠





Dạng 1: a ( ) ( ) b

0 < a 1 log f x = b

f x = a

≠



⇔ 

Dạng 2: Đưa về cùng cơ số: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 < a 1

g x 0 log f x = log g x

f x = g x

≠



⇔ 





Dạng 3: Đặt ẩn số phụ: Đặt t = log f x Sau đó giải phươnga ( ) trình đại số theo t

Dạng 4: Đoán ngiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất.

Vấn đề 3:

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng : f x( ) g x( ) ( )

a > a 1

+ Nếu a >1 thì : ( )1 ⇔f x( ) >g x( )

+ Nếu 0 < a < 1 thì : ( )1 ⇔f x( ) <g x( )

Tổng quát:

+ f x( ) g x( ) ( ) ( ) ( )

a > 0 a 1

a > a

a - 1 f x g x 0

∧ ≠





+ f x( ) g x( ) ( ) ( ) ( )

a > 0

a - 1 f x g x 0



Trang 11

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1: log f x > log g x (1)a ( ) a ( )

+ Nếu a >1 thì : ( )1 f x( ) g x( ) 0 g x > 0 ( ) ( ) ( )

f x g x



+ Nếu 0 < a < 1 thì : ( )1 g x( ) ( )f x 0 f x > 0 ( ) ( ) ( )

g x f x





Dạng 2: log f x log g xa ( ) ≥ a ( ) (2)

+ Nếu a >1 thì : ( )2 ⇔f x( ) ≥g x( ) >0

+ Nếu 0 < a < 1 thì : ( )2 ⇔g x( ) ( )≥f x >0

a) 25 - 2 3 - x 5 + 2x - 7 0x ( ) x =

5 - 21 + 7 5 + 21 =2

c) 3x x 3 x - 1( ) x

2 - 6 2 - + 1

2 2

a) 8 3 + 3 2× x × =x 24 + 6x

b) 4 3 - 9 2×x × = ×x 5 6x 2

c) 125 + 50x x =23x + 1

d) 4x - 3x + 2 2 + 4x + 6x + 5 2 =42x + 3x + 7 2 +1

e) x + x + 1 2 3x + 2x + 2 2 1 - x 2

a) 15 + 1 4x2 = x

b) 3 + 5x x =6x + 2

c) 8 3 + 3 2×x × =x 24 + 6x

d) x-1 x - x2 ( )2

2 - 2 = x - 1

e) 2x -x 2 + 12x - x 2 = ×2 7x -x 2

a) ( )log x 2 ( )log x 2

2

2 + 2 + x 2 - 2 =1 + x

log x + 1 + 2 log= 4 - x + log 4 + x

log x - 5x + 6 log + log x - 3

x log× 5x - 2x - 3 + x log 5x - 2x - 3× =x + 2x

Trang 12

e) ( ) 2 2

log 2x + log 2x log x + log log log x = 2

+

x - 1 log 3 log 3+ + 3 = log 11 3 - 9×

log x + 3x + 2 +log x + 7x + 12 = 3 + log 3

log x + x + 1 +log x - x + 1 = log x + x + 1 +log x - x + 1

log 9 + 21x + 4x +log 6x + 23x + 21 = 4

log x - x - 1 log x + x - 1× =log x - x - 1

a) log x + log x log 5 log 2255 3 = 3 × 9

b) log x log7 = 3( x + 2)

c) log x + 2log x 2 log x log x2 7 = + 2 × 7

log x + x + 1 −log x = 2x - x

e)

2

x + x + 3

2x + 4x + 5

10 3+ < 10 3−

b) 4x + x 22 × x + 1 2 + × > × +3 2x 2 x 2x 2 8x + 12

c) x - 8 e4 ×x - 1> x x e( 2×x - 1- 8)

d) 3 + 8 32x ×x + x + 4 − ×9 9 x + 4 > 0

e) 8 3× x + x 4 + 94 x +1≥ 9 x

a) 3x - 4 2 +(x - 4 32 ) x - 2≥1

b) 2 2× + × >x 3 3x 6x −1

c) 16 - 3x x ≤ 4x+9x

d)

x x + 2

2 3 - 2

1

3 - 2

2

1 + x + x

5 + 1 + 2 ≥ 3 5 - 1

log 9 + 1 − >2 log 3 + 7

b)

3

log x - x log 9 log 4log x

2

log x 1 log x 1

0

x - 3x - 4

>

Trang 13

d) 2 ( )

1 1

3 3

log x + 1 log 2x - 3x + 1 >

log x + 3 x - 1− +2log x 0≤ .

5

1

2x - 1 - 1

2

log x + log x - 3 5 log x - 3> .

log 2x + 3x + 2 + 1 log 2x + 3x + 2>

log 2 + +1 log 4 + ≤2 2

x + 1 log x+ 2x + 5 log x + 6 0≥

log x - m + 1 + log mx - x =0 có nghiệm duy nhất

log x + log x - 3 m log x - 3= có nghiệm thuộc nửa khoảng

[32; +∞)

log m x - 5m x + 6 - m log= 3 - m - 1 có tập nghiệm là ¡ Bài 12 Định m để phương trình :

m - 1 log x - 2 - m - 5 log x - 2 + m - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa điều kiện 2 < x1≤x < 42

2

2log 2x - x + 2m - 4m + log x + mx - 2m = 0 có hai nghiệm x1, x2

thỏa điều kiện 2 2

x + x > 1

a) x ( ) x

9 - 2 m + 1 3 - 2m - 3 > 0 có tập nghiệm là ¡

1 + log x + 1 ≥ log mx + 4x + m nghiệm đúng với mọi x∈¡

log 7x + 7 ≥log mx + 4x + m có tập nghiệm là ¡

a) (x - 61 - x)(m - 1 6 - 2 6 + 2m + 1) x × -x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x∈[ ]0; 1 b) 92x - x 2 −2 m - 1 6( ) 2x - x 2 + m + 1 4( ) 2x - x 2 0≥ nghiệm đúng với mọi x thỏa 1

x

2

x + 1

m2 + 2m + 1 3 - 5 + 3 + 5 < 0 nghiệm đúng với mọi x 0≤ Bài 15 Định m để bất phương trình :

( 2 )

lg 2x + m - 1

1

lg m + m - lgx < nghiệm đúng với mọi x∈(0; 2]

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,13 MB