Hàm số ôn thi đại học

Hàm số ôn thi đại học

BÀI T P

Bài 1: Tính các gi i h n sau

a)

2 2 3

1

m n x

xx

→

−

−Bài 2: Tính các gi i h n sau

a)

2 0

lim

x

xx

→

3 3 1

2lim

2 1

sin tan

x

xx

→

−

−Bài 7: Tính các gi i h n sau

a)

4 3

1lim

2

x x

xx

1 tanlim

1 sin

x x

xx

3lim

2

x x

xx

→∞

+

−Bài 8: Tính các gi i h n sau

a)

2 0

lim

x bx x

limsin

x x x

lim

x x

x

→

−

ln tan

4lim

sìn

x

xx

1lim

ln 1

x x

C N NH : Trong ph n này ta ph i nh các ki n th c c b n sau

(i) Cho hàm y= f x( ) xác nh trên t p D, xo∈D Khi ó

ππ

Bài 7: Cho f là hàm liên t c trên o n [a;b] và có mi n giá tr c ng là [a;b] Ch ng minh ph ng

Bài 8: Ch ng minh ph ng trình x4− − =x 3 0 có nghi m xo∈(1; 2) và xo> 712

Bài 9: Cho f là hàm liên t c trên o n [a;b] và ,α β là hai s d ng b t k Ch ng minh r ng

ph ng trình f x( ) αf a( ) β f b( )

+

=

+ luôn có nghi m trong o n [a;b]

CHÚ Ý: Hàm f(x) liên t c trên o n [a;b] và f(x) không tri t tiêu trên [a;b] thì f(x) có m t d u nh t

=

−Bài 3: Tính o hàm các hàm sau

1

yx

=

1

xyx

=+

Bài 4: Tính o hàm các hàm sau

a)

1

xy

1 cos

xx

−e) y = 3sin2x – sinx f) y=cos5x g) y=cosx−cos3x

h) y=3sin2x−sin3x i) y=xcosx−sinx k) y=cos sinx 2x

2

1 tan

2

xtany

x

+

=

−Bài 12: Cho hàm

b) Ch ng minh f x′( ) không liên t c t i x = 0

CHÚ Ý: f( ) n =(f( n−1))′,n∈ *

4

xyx

−

=+ , ch ng minh r ng 2(y’)2 = (y – 1)y’’

Bài 19: Cho hàm y= 2x−x2, ch ng minh r ng y3.y’’ + 1 = 0

2

1

xyx

=

− CHÚ Ý: N u ( ) 0,f x′ = ∀ ∈x D thì f là hàm h ng trên D

Bài 24: Ch ng minh r ng n u sinnx+cosnx= ∀ ∈1, x thì n=2

CHÚ Ý: (i) Cho ng th ng (d) G i ϕ là góc h p b i chi u d ng c a tr c Ox v i (d) Khi ó,

Bài 26: Cho ( ) :C y=x2−2x+ L p ph3 ng trình ti p tuy n v i (C)

Bài 28: Cho ( ) :C y= −x lnx Tìm trên (C) nh ng i m mà t i ó ti p tuy n v i (C) cùng ph ng

v i tr c hoành

Bài 29: Cho

3 2

Bài 31: Tìm m th ( ) :C y=x3+x2− có ít ra m t ti p tuy n vuông góc v i 2 ng th ng ( ) :d x+my+2010 0(= m≠0)

−

=

−12)

3 2

4

xy

x

=

4 2 2

=

− 7) y= +x 3x2+ 68) y= 3 x3−3x− 9) 2 y= +x 2x2+ 10) 1 y= +x 8−x2 11) y=x 4− x

12)

ln

xy

Bài 5: Tìm GTLN, GTNN c a các hàm sau:

a) f x( ) 1 4= + x−x2 b)

4

3 3( ) 1

Bài 9: Tìm hình thang cân có di n tích nh! nh t ngo i ti p ng tròn bán kính R cho tr c

Bái 10: Cho hình thang cân ABCD có áy nh! AB và AD=BC=1cm Tính góc x DAB= sao cho hình thang có di n tích l n nh t và tính di n tích ó

=

2 3 31

yx

=+13) y= 1+x2 14) y=x4(12lnx−7) 15) y=ln(x2−1)

1

xy

+

=

2 2

=

=

−Chú ý: Cho hàm s y= f x( ) n u lim( ( ) ( )) 0

yx

=

4 2 3

a) y= x2+2x+ 3 b) y= +x x2−6x+ 6 c) y= 3 x3−3x

(ii) S bi n thiên (+) Tính y′ và gi i ph ng trình y′= 0(+) L p b ng bi n thiên, t! ó suy ra kho ng t%ng, gi m, c c tr (n u có)

B c 3: V& " th

(i) Tìm i m 'c bi t (ii) V& " th theo s ": h t a → ti m c n (n u có) → i m 'c bi t → " th

BÀI T P

Kh o sát s bi n thiên và v" th c a các hàm sau:

1) y=x3+3x2− 2 2) y= −x3−3x2+ 2 3) y= −x3+3x2− 14) y=x3−3x2+ 1 5) y=x3+3x2+ 1 6) y= −(x3+3x2+1) 7) y=2x3+6x2+6x− 1 8) y= −2x3−6x2−6x+ 1 9) y=x3−3x2+3x+ 110) y= −x3+3x2−3x− 1 11) y=x3−3x2+ 4 12) y=(1−x x)( +2)2 13) y=2x3−3x2+ 1 14) y= −x3+3x2−5x+ 2 15) y=x3−3x+ 216) y=x3−3x2−9x+27 17) y=x3+x2−16x+16 18) y=x3−3x2+4x

HÀM H%U T& B C NH'T TRÊN B C NH'T

(ii) " th có hai ti m c n: ng và ngang

(iii) " th i x ng qua giao hai ti m c n

x

−

=+

HÀM H%U T& B C HAI TRÊN B C M(T

BÀI T P

Kh o sát s bi n thiên và v" th c a các hàm sau:

1)

2 3 31

yx

=

2 2xyx

=

2 2 11

yx

=

2 2 32

yx

=+

CHUYÊN 3: M(T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN N KH O

Bài 5: Ch ng minh các b t ng th c sau

C N NH : Hàm f có c c tr (n c c tr ) khi và ch) khi f ′=0 có nghi m (n nghi m) và f ′ i d u khi x qua các nghi m ó

−Bài 5: Tìm α hàm

2sin

yx

αα

(ii) Xét hàm h u t* b c hai trên m t

C N NH : ch ng minh I x y là tâm ( ; )o o i x ng c a " th ( ) :C y= f x( ) ta làm nh sau:

V n 4: T $NG GIAO GI%A HAI TH

D+ng 1: T,-ng giao gi.a hai th ( ) : F y = f x và ( ) ( ) : G y = g x ( )

Bài 1: Tìm m ng th ng (d) c&t hypebol (H) t i hai i m phân bi t Bi t r ng:

a) (d): y=mx+1 và (H):

2 4 32

yx

=+b) (d): y=mx−2m+ và 2

2 2 4( ) :

Bài 3: Cho ng cong ( ) :C y=x3−4x2+ và 4 ng th ng ( ) :d y=mx+ Tìm m (C) và (d): 4

a) C&t nhau t i 3 i m phân bi t

b) C&t nhau t i 3 i m phân bi t có hoành không âm

Bài 5: Cho hàm y=x3−(m+1)x2+(m2+m−3)x−m2+3(Cm) # nh m (Cm) c&t Ox t i:

a) Ba i m phân bi t

b) Ba i m phân bi t có hoành d ng

c) Ba i m phân bi t trong ó có úng hai i m có hoành âm

Bài 6: # nh m (Cm) :y=x3−3mx2+m c&t tr c hoành t i ba i m phân bi t

Chú ý: Cho y= f x( ) ( )C là hàm b c ba Tr c hoành c t (C) t i ba i m phân bi t

Bài 7: # nh m (Cm) :y=x3−x2+18mx−2m c&t Ox t i ba i m phân bi t có hoành d ng

Chú ý: Cho ( ) :C y=ax3+bx2+cx+d a( ≠0) Khi ó, Ox c&t (C) t i ba i m phân bi t có hoành d ng

ad

Bài 13: # nh m (Cm) :y=x3−3x2−9x+m c&t Ox t i 3 i m phân bi t có hoành l p thành

Chú ý: Hoành ti p i m chính là nghi m c a (I) ho'c (II)

Dùng cách 2 khi ph ng trình hoành là b c 2 ho'c có th a c v d ng b c 2 Ngoài ra, dùng cách 1

BÀI T P

Bài 1: Tìm m sao cho:

a) ( ) :d y=m ti p xúc v i

2 3 2 1( ) :

d) ( ) :C y=x3−9x và ( ) :P y= −mx2+9m ti p xúc nhau

Bài 2: Tìm m sao cho:

Bài toán: Bi n lu n s nghi m c a ph ng trình F x m( , ) 0= (*) b ng " th

H, ng gi i: Ta ã bi t “S nghi m c a ph ng trình ( )f x =g x( ) b ng s i m chung c a hai " th ( ) :F y= f x( ) và ( ) :G y=g x( )”, do ó, gi i bài lo i này ta tìm cách bi n i (*) v

d ng ph ng trình hoành giao i m c a nh ng " th thích h p, sau ó v& các " th này r"i t!

Bài 2: Cho hàm 2

1

xyx

=+ có th (H)

=+ có th (H)

B c 2: V& ( ) :C y= f x( ) và các ti p tuy n c a (C) có h s góc k trên cùng m t h tr c

− +

=

− (H) a) Kh o sát hàm s

b) L p ph ng trình ti p tuy n v i (H) bi t ti p tuy n song song v i phân giác góc ph n t

(*) vô nghi m m: Không có " th nào c a h (Cm) qua A

(*) có úng n nghi m: Có úng n ng trong h (Cm) qua A

(*) nghi m úng v i m i m: M i ng cong trong h (Cm) u qua A Ta g i A là i m

− luôn i qua hai i m c nh v i m i m≠ − và 1 m≠ 2

Bài 3: Ch ng minh r ng (Cm) :y=x3+(m−1)x2−2mx+m luôn ti p xúc v i m t i m c nh t i

Bài 5: Cho h ng cong (Cm) :y=x3+(m2+1)x2−4m Tìm trên ( ) :d x= nh ng i m M mà: 2

a) Qua M có duy nh t m t ng cong trong h (Cm) i qua

b) Qua M có hai ng cong trong h (Cm) i qua

c) Qua M không có ng cong nào trong h (Cm) i qua

Bài 6: Cho h (Cm) :xy−2my−2mx+2m2−4m= Tìm nh ng i m M sao cho: 0

a) Có úng m t (Cm) i qua

b) Có úng hai (Cm) i qua

c) Không có (Cm) nào i qua

Bài 7: Tìm trên ( ) :d x=1nh ng i m mà không có th nào c a h

Ph,-ng pháp: tìm qu tích i m M x y th$a i u ki n cho tr( ; ) c ta th c hi n các b c sau:

B c 1: T! i u ki n cho tr c tìm t a M theo tham s , ch ng h n

( ):

Chú ý: I là trung i m o n AB 2

2

A B I

A B I

A B M

b) Ch ng minh r ng các c c tr c a (H) ch y trên cùng m t parabol c nh

V n 9: M(T S BÀI TRONG THI I H0C VÀ CAO 2NG

Bài 1 (Kh i A – 2010 – 2 i m) Cho hàm y=x3−2x2+(1−m x) +m C( m), m là tham s th c

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (H), bi t ti p tuy n ó c&t tr c tung, tr c hoành l n l t

t i hai i m phân bi t A, B và tam giác OAB cân t i g c t a O

Bài 6 (Kh i B – 2009 – 2 i m) Cho hàm y=2x4−4 ( )x C2

a) Kh o sát hàm s

b) V i các giá tr nào c a m, ph ng trình x x2 2−2 =m có úng 6 nghi m th c phân bi t

Bài 7 (Kh i D – 2009 – 2 i m) Cho hàm s y=x4−(3m+2)x2+2 (m Cm), m là tham s th c

b) Ch ng mih r ng m i ng th ng i qua (1; 2)I v i h s góc k (k > - 3) u c&t (C) t i

ba i m phân bi t I, A, B ng th i I là trung i m AB

b) Tìm m ng th ng ( ) :d y= − +x m c&t (H) t i hai i m phân bi t

Bài 14 (Kh i B – 2007 – 2 i m) Cho hàm s y= −x3+3x2+3(m2−1)x−3m2−1(Cm), m là tham s

b) Tìm M∈( )H , bi t ti p tuy n c a (H) t i M c&t Ox, Oy t i A, B và tam giác OAB có di n tích b ng 1

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (H), bi t ti p tuy n vuông góc v i ti m c n xiên c a (H) Bài 18 (Kh i D – 2006 – 2 i m) Cho hàm s y=x3−3x+2( )C

b) Tìm m ng th ng y m= c&t (H) t i hai i m A, B sao cho AB = 1

Bài 24 (Kh i D – 2004 – 2 i m) Cho hàm s y=x3−3mx2+9x+1(Cm), m là tham s

b) Tìm m (Hm) c&t tr c hoành t i hai i m phân bi t có hoành d ng

Bài 26 (Kh i B – 2003 – 2 i m) Cho hàm s y= x3−3x2+m C( m), m là tham s

b) Tìm m ng th ng ( ) :dm y=mx+ −2 2m c&t (H) t i hai i m phân bi t

b) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i (H−1) và hai tr c t a

c) Tìm m (Hm) ti p xúc v i ng th ng ( ) :d y=x