Ma trận (toán học) 123456

Ma trận là một mảng chữ nhật chứa các số hoặc những đối tượng toán học khác, mà có thể định nghĩa một số phép toán như cộng hoặc nhân trên các ma trận.[5]Hay gặp nhất đó là ma trận trên

Ma trận (toán học)

MỤC LỤC i

Mục lục

1.1 Độ lớn 2

2 Lị sử 2 3 Ký hiệu 3 4 Các phép toán cơ bản 4 4.1 Phép cộng, nhân một số với ma trận, và ma trận chuyển vị 4

4.2 Nhân ma trận 5

4.3 Phép toán hàng 6

4.4 Ma trận con 6

5 Phương trình tuyến tính 7 6 Biến đổi tuyến tính 7 7 Ma trận vuông 8 7.1 Các loại thường gặp 8

7.1.1 Ma trận chéo và ma trận tam giác 9

7.1.2 Ma trận đơn vị 9

7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 9

7.1.4 Ma trận khả nghịch và nghịch đảo của nó 9

7.1.5 Ma trận xác định 9

7.1.6 Ma trận trực giao 10

7.2 Các tính toán chủ yếu 10

7.2.1 Vết 10

7.2.2 Định thức 10

7.2.3 Ma trận nghịch đảo 12

7.2.4 Vectơ riêng và trị riêng 12

8 Khía cạnh tính toán 12 9 Phân tí ma trận 13 10 Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa 14 10.1 Ma trận với các phần tử mở rộng 14

10.2 Mối liên hệ với ánh xạ tuyến tính 15

10.3 Nhóm ma trận 15

10.4 Ma trận rỗng 16

11 Ứng dụng 16 11.1 Lý thuyết đồ thị 16

11.2 Giải tích và hình học 17

ii MỤC LỤC

11.3 Lý thuyết xác suất và thống kê 18

11.4 Đối xứng và các biến đổi trong vật lý học 19

11.5 Tổ hợp tuyến tính của các trạng thái lượng tử 19

11.6 Dao động riêng 20

11.7 ang hình học 20

11.8 Điện tử học 20

12 am khảo 20 13 am khảo 24 13.1 am khảo về vật lý 26

13.2 am khảo về lịch sử 26

14 Liên kết ngoài 26 15 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép o văn bản và hình ảnh 28 15.1 Văn bản 28

15.2 Hình ảnh 28

15.3 Giấy phép nội dung 28

.

.

.

Trongtoán học, ma trận là một mảngchữ nhật[1]—cácsố,ký hiệu, hoặcbiểu thức, sắp xếp theo hàng và cột[2][3]—

mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước Từng ô trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục.

phép quaycácvectơtrong không gian ba chiều là một phép biến đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một

ma trận quayR: nếu v làvectơ cột(ma trận chỉ có một cột) miêu tảvị trícủa một điểm trong không gian, tích

của Rv là một vec tơ cột miêu tả vị trí của điểm đó sau phép quay này Tích của hai ma trận biến đổi là một ma

trận biểu diễnhợpcủa hai phép biến đổi tuyến tính Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của các

hệ phương trình tuyến tính Nếu làma trận vuông, có thể thu được một số tính chất của nó bằng cách tínhđịnhthứccủa nó Ví dụ, ma trận vuông làma trận khả nghịch nếu và chỉ nếuđịnh thức của nó kháckhông anniệmhình họccủa một phép biến đổi tuyến tính là nhận được (cùng với những thông tin khác) từtrị riêng vàvec tơ riêngcủa ma trận

Có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học Trong mỗi nhánh củavật lýhọc, bao gồmcơ học cổ điển,quang học,điện từ học,cơ học lượng tử, vàđiện động lực học lượng tử, chúng được

sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, như chuyển động củavật rắn Trongđồ họa máy tính, ma trận được

sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình 2 chiều Tronglý thuyết xác suấtvàthống kê, cácma trận ngẫu

2 2 LỊCH SỬ

nhiênđược sử dụng để miêu tả tập hợp các xác suất; ví dụ, chúng dùng trong thuật toánPageRankđể xếp hạngcác trang tronglệnh tìm kiếmcủaGoogle.[4]Phép tính ma trậntổng quát hóa các khái niệm tronggiải tíchnhư

đạo hàmvàhàm mũđối với số chiều lớn hơn

Một nhánh chính củagiải tích sốdành để phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán ma trận, một chủ

đề đã hàng trăm năm tuổi và là một lĩnh vực nghiên cứu rộng ngày nay.Phương pháp khai triển ma trậnlàmđơn giản hóa các tính toán cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của các

ma trận đặc biệt, nhưma trận thưa(sparse) vàma trận gần chéo, giúp giải quyết những tính toán trongphươngpháp phần tử hữu hạnvà những tính toán khác Ma trận vô hạn xuất hiện trongcơ học thiên thểvà lý thuyếtnguyên tử Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận biểu diễn các toán tử đạo hàm, mà tác dụng đến

chuỗi Taylorcủa mộthàm số

Ma trận là một mảng chữ nhật chứa các số hoặc những đối tượng toán học khác, mà có thể định nghĩa một số

phép toán như cộng hoặc nhân trên các ma trận.[5]Hay gặp nhất đó là ma trận trên mộttrườngF là một mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô hướng của F.[6][7]Bài viết này đề cập đến các ma trận thực và phức, tức là các ma

trận mà các phần tử của nó là nhữngsố thựchoặcsố phức Những loại ma trận tổng quát hơn được thảo luận ởbên dưới Ví dụ, ma trận thực:

Ma trận chỉ có một hàng gọi làvectơ hàng, và những ma trận chỉ có một cột gọi làvectơ cột Ma trận có cùng

số hàng và số cột được gọi làma trận vuông Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là

ma trận vô hạn Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận màkhông có hàng hoặc không có cột, goi làma trận rỗng

Cramerđưa raquy tắc của ôngvào năm 1750

uật ngữ trong tiếng Anh “matrix” (tiếngLatinlà “womb”, dẫn xuất từmater—mẹ[12]) do James JosephSylvester

nêu ra vào năm 1850,[13]khi ông nhận ra rằng ma trận là một đối tượng làm xuất hiện một số định thức mà ngàynay gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của những ma trận nhỏ hơn thu được từ ma trận ban đầu bằng cáchxóa đi các hàng và các cột Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã định nghĩa trong bài báo trước về “Ma trận” là một mảng chữ nhật chứa các phần tử, mànhững định thức khác nhau có thể đưa ra định thức của ma trận mẹ.[14]

phương trình tuyến tính độc lập Năm 1858 Cayley công bố Hồi ký về lý thuyết ma trận[15][16]trong đó ông nêu

ra và chứng minhđịnh lý Cayley-Hamilton.[9]

Nhà toán học người Anh Cullis là người đầu tiên sử dụng ký hiệu ngoặc hiện đại cho ma trận vào năm 1913 và

ông cũng viết ra ký hiệu quan trọng A = [a,] để biểu diễn một ma trận với a, là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ

j.[9]

á trình nghiên cứu định thức xuất phát từ một số nguồn khác nhau.[17]Các bài toánsố họcdẫnGaussđi tớiliên hệ các hệ số củadạng toàn phương, những đa thức có dạng x2+ xy − 2y2, vàánh xạ tuyến tínhtrong khônggian ba chiều với ma trận.Eisensteinđã phát triển xa hơn các khái niệm này, với nhận xét theo cách phát biểuhiện đại rằng tích ma trận là không giao hoán.Cauchylà người đầu tiên chứng minh những mệnh đề tổng quát

về định thức, khi ông sử dụng định nghĩa như sau về định thức của ma trận A = [a,]: thay thế lũy thừa a kbằng

a trongđa thức

bài báo Vorlesungen über die eorie der Determinanten của Kronecker [19] và Zur Determinantentheorie của

Weierstrass,[20] cả hai đều được công bố vào năm 1903, lần đầu tiên đã coi định thức theo cách tiên đề hóa,ngược lại so với cách tiếp cận cụ thể ở những lần trước đó như trong công thức của Cauchy

Nhiều định lý ban đầu chỉ phát biểu cho các ma trận nhỏ, ví như định lý Cayley–Hamilton được chứng minhcho ma trận 2×2 như Cayley chỉ ra trong luận án của mình, và bởiHamiltoncho ma trận 4×4.Frobenius, dựatrên cácdạng song tuyến tính, đã tổng quát định lý sang mọi kích thước (1898) Cũng vào cuối thế kỷ 19phươngpháp khủ Gauss–Jordan(tổng quát hóa cho trường hợp đặc biệt đó làphép khử Gauss) do nhà trắc địaWilhelmJordannêu ra Trong đầu thế kỷ 20, ma trận đã đạt tới vai trò trung tâm trong đại số tuyến tính,[21]một phầnnhờ ứng dụng của nó trong phân loại hệ thốngsố siêu phứctrong thế kỷ trước

Sự khởi đầu củacơ học ma trậndo các nhà vật lýHeisenberg,BornvàJordannêu ra đã dẫn tới nghiên cứu về

ma trận có vô hạn hàng và cột.[22]Later,von Neumannđã thiết lập lênphát biểu toán học của cơ học lượng tử,bằng cách phát triển xa hơn các khái niệm củagiải tích hàmnhưtoán tử tuyến tínhtrongkhông gian Hilbert,

mà, nói sơ lược, tương ứng vớikhông gian Euclide, nhưng có vô hạn hướng độc lập

4 4 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN

Ký hiệu cụ thể cho ma trận rất đa dạng, với một số xu hướng viết phổ biến cho nó Ma trận thường được ký hiệu

bằng chữ cái viết hoa (như A trong ví dụ trên), trong khi với chữ cái viết thường có hai chỉ số viết dưới (ví dụ

a11, hay a₁,₁) biểu diễn cho phần tử của ma trận Ngoài cách sử dụng ký hiệu chữ viết hoa cho ma trận, nhiều tác

giả sử dụng kiểu viết nhấn mạnh cho từ, mà phổ biến là cách viết đậm (không nghiêng), để phân biệt ma trậnvới những đối tượng toán học khác Một cách ký hiệu khác là sử dụng cách viết hai đường gạch dưới chân của

từ ký hiệu, mà có hoặc không có cách viết đậm, (ví dụ A ).

Phần tử trong hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A đôi khi được viết thành i,j, (i,j), hoặc phần tử thứ (i,j) của ma

trận, và cách viết hay gặp nhất đó là a,, hay a Cách ký hiệu khác cho phần tử của ma trận là A[i,j] hayor A,.

Ví dụ, phần tử (1,3) trong ma trận A là 5 (cũng được viết là a13, a₁,₃, A[1,3] hoặc A₁,₃):

ỉnh thoảng, các phần tử của ma trận có thể được xác định theo một công thức như a, = f (i, j) Ví dụ, mỗi phần

tử của ma trận A dưới đây được xác định bằng a = i − j.

Trong trường hợp này, chính ma trận được xác định theo công thức đó, với cách viết trong dấu ngoặc vuông

hoặc ngoặc đơn mở rộng Ví dụ, ma trận ở trên được ký hiệu là A = [i-j], hoặc A = ((i-j)) Nếu ma trận có kích

thước m × n, công thức đề cập ở trên f (i, j) là đúng cho bất kỳ i = 1,…, m và bất kỳ j = 1,…, n Có thể viết tách

biệt kích thước của ma trận, hoặc sử dụng cách viết m × n như là chỉ số dưới Ví dụ, ma trận A ở trên bằng 3 × 4

và có thể viết ký hiệu là A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1,…, 4), hay A = [i − j]₃×₄.

Một số ngôn ngữ lập trình sử dụng cách viết những mảng có hai chỉ số (hay mảng của mảng) để biểu diễn ma

trận m-×-n Một số ngôn ngữ lập trình bắt đầu ma trận bằng cách đánh số chỉ số của mảng tại 0, như trong trường hợp mảng m-×-n được đánh số bằng 0 ≤ i ≤ m − 1 và 0 ≤ j ≤ n − 1.[23]Bài viết này tuân theo cách quy ướcthường gặp trong toán học với chỉ số bắt đầu bằng 1

Tập hợp mọi ma trận dạng m-×-n ký hiệu là 𝕄(m, n).

Có một số phép toán cơ bản tác dụng lên ma trận, bao gồm cộng ma trận, nhân một số với ma trận, chuyển vị, nhân hai ma trận, phép toán hàng, và ma trận con.[25]

4.1 Phép cộng, nhân một số với ma trận, và ma trận chuyển vị

Những tính chất tương tự đối với số thực có thể mở rộng ra đối với phép toán ma trận Cộng hai ma trận có tínhchấtgiao hoán, hay tổng của các ma trận không phụ thuộc vào thứ tự của phép tính:

Minh họa tích ma trận AB của hai ma trận A và B.

Phép nhân hai ma trận được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên

phải Nếu A là một ma trận m-x-n và B là một ma trận n-x-p, thì ma trận tích AB là ma trận m-x-p với các phần

tử được xác định theotích vô hướngcủa hàng tương ứng trong A với cột tương ứng trong B:

[AB]i,j = A i,1 B 1,j + A i,2 B 2,j +· · · + A i,n B n,j=∑n

Phép nhân ma trận thỏa mãn quy tắc (AB)C = A(BC) (tính chất kết hợp), và (A+B)C = AC+BC cũng như C(A+B)

= CA+CB (luật phân phốitrái và phải), khi kích thước của các ma trận tham gia vào phép nhân thỏa mãn yêucầu của tích hai ma trận.[28] Tích AB có thể xác định trong khi BA không nhất thiết phải xác định, tức là nếu

A và B lần lượt có số chiều m-x-n và n-x-k, và m ≠ k ậm chí khi cả hai tích này đều tồn tại thì chúng không

nhất thiết phải bằng nhau, tức là

6 4 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN

AB ≠ BA,

hay phép nhân ma trận không có tínhgiao hoán, một đặc điểm khác với các trường số (hữu tỉ, thực, hay phức)

mà tích của các số không phụ thuộc vào thứ tự của các số thực hiện trong phép nhân Ví dụ về nhân hai ma trậnkhông có tính giao hoán:

Bên cạnh phép nhân ma trận thông thường như đã miêu tả, có một số phép toán tác dụng lên ma trận ít gặp mà

có thể coi như là phép nhân ma trận, ví dụ nhưtích Hadamardvàtích Kronecker.[29]Chúng xuất hiện khi giảiphương trình ma trận, nhưphương trình Sylvester

4.3 Phép toán hàng

Có ba loại phép toán hàng:

1 cộng hàng, tức là cộng các hàng lại với nhau

2 nhân hàng, tức là nhân mọi phần tử trong hàng với một hằng số khác 0;

3 chuyển hàng, thay đổi vị trí hai hàng cho nhau trong ma trận;

Các phép toán này được áp dụng trong một số lĩnh vực, bao gồm giảiphương trình tuyến tínhvà tìm ma trậnngược

4.4 Ma trận con

Ma trận con của một ma trận nhận được bằng cách xóa bất kỳ các hàng và / hoặc các cột.[30][31][32]Ma trận con

được ký hiệu là Mij với i là dòng bị xóa, j là cột bị xóa Ví dụ, từ ma trận 3 x 4, chúng ta có thể tạo ra ma trận con

Ma trận con ính là một ma trận con vuông thu được bằng cách xóa đi một số hàng và cột Mỗi tác giả có một

cách định nghĩa khác nhau eo một số tác giả, ma trận con chính là một ma trận con mà tập chỉ số hàng cònlại bằng tập chỉ số cột còn lại.[34][35]Một số tác giả khác định nghĩa ma trận con chính là một trong những ma

trận con có k hàng và cột đầu tiên, đối với một số giá trị k, là những ma trận còn lại sau khi xóa hàng hoặc/và

cột;[36]loại ma trận con này còn được gọi là ma trận con ính trước (leading principal submatrix).[37]

Ma trận được dùng để viết gọn và nghiên cứu phương trình tuyến tính cũng như hệ phương trình tuyến tính Ví

dụ, nếu A là một ma trận mxn, x là vectơ cột (ma trận n×1) của n biến x1, x2,…, x, và b là một vectơ cột m×1,

thì phương trình ma trận

Ax = b

là tương đương với hệ phương trình tuyến tính

A₁,₁x1+ A₁,₂x2+… + A₁,x = b1

…

A,₁x1+ A,₂x2+… + A,x = b.[38]

Ma trận và phép nhân ma trận cho thấy những đặc điểm cơ bản của chúng khi liên hệ với biến đổi tuyến tính,

cũng còn gọi là ánh xạ tuyến tính Một ma trận thực mxn A đại diện cho phép biến đổi tuyến tính R n→ Rmánh

xạ mỗi vectơ x trong Rnvào tích (hay ma trận) Ax, mà là một vectơ trong Rm Ngược lại, mỗi biến đổi tuyến tính

f : R n→ Rm đại diện bởi một ma trận duy nhất A mxn: một cách tường minh, phần tử (i, j) của A là tọa độ thứ

i của f (e), với e = (0,…,0,1,0,…,0) làvectơ đơn vịvới một trong vị trí thứ j và 0 ở những vị trí khác Ma trận A được nói là biểu diễn cho ánh xạ tuyến tính f, và A được gọi là ma trận biến đổi của f.

có thể coi như là biến đổi củahình vuông đơn vịthành mộthình bình hànhvới các đỉnh của nó nằm tại (0, 0),

(a, b), (a + c, b + d), và (c, d) Hình bình hành trong ảnh bên cạnh thu được bằng cách nhân A với mỗi vectơ cột

] Những vectơ này xác định lên đỉnh của hình vuông đơn vị sau phép biến đổi

Bảng sau liệt kê một số ma trận thực 2 × 2 găn với ánh xạ tuyến tính của R2 Hình màu lam ban đầu được ánh

xạ thành hình màu lục Điểm gốc (0,0) được đánh dấu là điểm màu đen

Đặttương ứng 1-1giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính, phép nhân ma trận tương ứng vớiphép hợpcác ánh xạ:[39]

nếu một ma trận kxm B biểu diễn cho một ánh xạ tuyến tính khác g: R m→ Rk , thì hợp của g ∘ f biểu diễn bằng

BA vì

(g ∘ f )(x) = g(f (x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.

Phương trình cuối cùng là hệ quả từ tính kết hợp của phép nhân ma trận

Hạng của ma trậnA là số lớn nhất các vectơ hàngđộc lập tuyến tínhcủa ma trận, mà cũng bằng số lớn nhất cácvectơ cột độc lập tuyến tính của nó.[40]Tương đương với hạng của ma trận làchiều Hamelcủaảnhcủa ánh xạ

tuyến tính biểu diễn bởi A.[41] Định lý hạng và số chiều của hạchnói rằng số chiều củahạch(kernel) ma trậncộng với hạng của nó bằng số cột của ma trận.[42]

7.1 Các loại thường gặp

7.1 Các loại thường gặp 9

7.1.1 Ma trận chéo và ma trận tam giác

Nếu mọi phần tử của A ở bên dưới đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi làma trận tam giác trên Tương tự,

nếu mọi phần tử của A ở bên trên đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi là ma trận tam giác dưới Nếu mọi

phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì A được gọi làma trận chéo

Nó là một ma trận vuông bậc n, và cũng là trường hợp đặc biệt của ma trận chéo Nó là ma trận đơn vị bởi vì khi

thực hiện nhân một ma trận với nó thì vẫn thu được ma trận đó:

AI = IA = A với ma trận A bất kỳ mxn.

7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch

Ma trận vuông A bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức là A = AT, làma trận đối xứng Nếu A là bằng với phần trừ của chuyển vị của nó, i.e., A = −AT, thì A được gọi làma trận đối xứng lệch(skew-symmetric matrix) Đốivới ma trận phức, ma trận đối xứng thường được thay bằng khái niệmma trận Hermite, mà thỏa mãn A∗= A, với dấu sao ký hiệu cho liên hợp của ma trận chuyển vị, tức là lấy chuyển vị của A sau đó lấy liên hợp phức các

phần tử của ma trận chuyển vị

eođịnh lý phổ(spectral theorem), ma trận đối xứng phần tử thực và ma trận Hermite phần tử phức có mộtcơ

sở riêng; nghĩa là mỗi vectơ có thể biểu diễn thànhtổ hợp tuyến tínhcủa các vectơ riêng Trong cả hai trườnghợp, mọi trị riêng của ma trận đều có giá trị thực.[43]Định lý này có thể tổng quát hóa cho trường hợp ma trận

vô hạn chiều, xembên dưới

Ma trận đối xứng n×n được gọi là xác định dương(tương ứng xác định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ

khác 0 x ∈ Rndạng toàn phươngxác định bởi

Q(x) = xTAx

10 7 MA TRẬN VUÔNG

chỉ nhận các giá trị dương (tương ứng chỉ nhận các giá trị âm; nhận cả giá trị âm và giá trị dương).[46]Nếu dạngtoàn phương chỉ nhận giá trị không âm (tương ứng chỉ nhận giá trị không dương), ma trận đối xứng được gọi làbán xác định dương (tương ứng bán xác định âm); và ma trận không xác định chính xác khi nó không là ma trậnbán xác định dương hoặc ma trận bán xác định âm

Ma trận đối xứng là xác định dương nếu và chỉ nếu mọi trị riêng của nó có giá trị dương, hay ma trận là bán xácđịnh dương và khả nghịch.[47]Bảng bên phải chỉ ra hai khả năng cho ma trận 2x2

Ma trận xác định A cho phép thu đượcdạng song tuyến tínhkhi nó kết hợp hai vectơ khác nhau:

BA (x, y) = xTAy.[48]

7.1.6 Ma trận trực giao

Ma trận trực giao là ma trận vuông với các phần tửthựcsao cho các cột và hàng là nhữngvectơ đơn vị trực giao

(nghĩa là vectơtrực chuẩn) Hay nói tương đương, ma trận A trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó

Vết của ma trậntr(A) của một ma trận vuông A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của nó Trong khi

phép nhân ma trận không có tính giao hoán, thì vết của tích hai ma trận là độc lập với thứ tự nhân của hai matrận:

Định thức det(A) hay |A| của ma trận vuông A là một số chứa đựng những tính chất nhất định của ma trận này.

Ma trận là khả nghịchnếu và chỉ nếuđịnh thức của nó khác 0.Giá trị tuyệt đốicủa định thức ma trận trực giao

bằng diện tích (trong R2) hoặc thể tích (trong R3) của ảnh của hình vuông đơn vị (hay hình lập phương đơn vị),trong khi dấu của nó tương ứng với hướng của ánh xạ tuyến tính tương ứng: định thức là dương nếu và chỉ nếuhướng được bảo toàn

Định thức của ma trận 2 x 2 cho bởi công thức

Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức ma trận:

det(AB) = det(A) • det(B).[50]

Khi cộng bội một số lần của một hàng bất kỳ vào một hàng khác, hoặc cộng bội một số lần của một cột bất kỳvào một cột khác, sẽ không làm thay đổi định thức Hoán vị hai hàng hoặc hai cột làm ảnh hưởng tới định thứcbằng cách nhân nó với −1.[51]Sử dụng những quy tắc này, ma trận vuông bất kỳ có thể chuyển thành một matrận tam giác dưới (hoặc trên), mà đối với các ma trận tam giác, định thức của nó bằng tích của các phần tử trênđường chéo chính; phương pháp này mang lại một cách tính định thức của ma trận vuông bất kỳ

Cuối cùng,khai triển Laplacebiểu diễn định thức trong số hạng của cácphần phụ đại số, nghĩa là định thức củacác ma trận nhỏ hơn.[52]Khai triển này có thể dùng để đưa ra định nghĩa theo phương pháp đệ quy đối với địnhthức (mà bắt đầu bằng định thức của ma trận 1 x 1, mà nó có một phần tử duy nhất, hay thậm chí định thức của

ma trận 0 x 0, định nghĩa bằng 1), mà có thể coi như tương đương với công thức Leibniz Ứng dụng của địnhthức bao gồm việc giải hệ phương trình tuyến tính sử dụngquy tắc Cramer, với thương của hai định thức củahai ma trận liên quan bằng giá trị của biến cần tìm trong hệ phương trình.[53]Khai triển Laplace cho ma trận bất

kỳ như sau:

|A| =∑n

j=1 a i,j |C i,j | =∑n

i=1 a i,j |C i,j |

|C i,j | = (−1) (i+j) |M i,j |

Các tính chất của định thức:

12 8 KHÍA CẠNH TÍNH TOÁN

|A| = |AT|

Đảo vị trí 2 dòng của ma trận sẽ làm định thức của ma trận đổi dấu

Nhân một dòng của ma trận với n sẽ làm giá trị định thức tăng lên n lần

ay thế một dòng của ma trận bằng cách nhân một dòng khác của ma trận với n rồi cộng với dòng

đó không làm thay đổi giá trị định thức

Nếu một dòng của ma trận là tích của một dòng khác với n thì định thức của ma trận bằng 0

Đa thức pA trong biến vô định (indeterminate variable) X cho bằng cách khai triển định thức det(XI−A) được

gọi làđa thức đặc trưngcủa A Nó là mộtđa thức lồi(monic polynomial) cóbậcn Do vậy phương trình đa thức

pA(λ) = 0 có nhiều nhất n nghiệm khác nhau, hay là các giá trị riêng của ma trận.[56]Chúng có thể nhận giá trị

phức ngay cả khi các phần tử trong A là thực eođịnh lý Cayley–Hamilton, pA(A) = 0, tức là, kết quả của sự

thay thế chính ma trận vào đa thức đặc trưng của chính nó sẽ thu đượcma trận rỗng

Tính toán các tính chất liên quan tới ma trận có thể dùng nhiều kỹ thuật khác nhau Nhiều vấn đề được giảiquyết bằng cả những thuật toán trực tiếp hoặc bằng phương pháp lặp Ví dụ, có thể tìm vectơ riêng của một matrận vuông bằng cách tínhdãycác vectơ xhội tụvề một vectơ riêng khi n tiến tớivô tận.[57]

Để có thể chọn thuật toán thích hợp hơn cho mỗi vấn đề cụ thể, điều quan trọng là xác định được cả tính chínhxác và hiệu quả của mọi thuật toán khả dĩ Phạm vi nghiên cứu những vấn đề này được gọi là đại số tuyến tínhbằng số (numerical linear algebra).[58]Với những vấn đề về phương pháp tính khác, hai khía cạnh chính đó là

độ phức tạp của thuật toán (complexity of algorithm) và sự ổn định bằng số (numerical stability) của chúng.Xác định độ phức tạp của thuật toán có nghĩa là tìm chặn trên hoặc ước lượng có bao nhiêu thao tác cơ bản nhưphép cộng và nhân vô hướng cần thiết để thực hiện một số thuật toán, ví dụ như phép nhân hai ma trận Ví dụ,

tính tích của hai ma trận bậc n x n sử dụng định nghĩa ở trên cần n3phép nhân, do bất kỳ n2phần tử của tích,