Lịch sử toán học the gioi

lịch sử khoa học thế giớ

Lịch sử toán học

Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân đối

Từtoán họccó nghĩa là "khoa học, tri thứchoặchọc

tập" Ngày nay, thuật ngữ “toán học” chỉ một bộ phận cụ

thể của tri thức - ngành nghiên cứu suy luận vềlượng,

cấu trúc, vàsự thay đổi; làngôn ngữcủavũ trụ.[1]Lĩnh

vực của ngành học về Lị sử Toán học phần lớn là sự

nghiên cứunguồn gốccủa nhữngkhám phámới trong

toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu cácphương

phápvàký hiệutoán học chuẩn trongquá khứ

Trước thời kì hiện đại và sự phổ biến rộng rãi tri thức

trên toànthế giới, các ví dụ trên văn bản của các phát

triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền

cụ thể Cácvăn bản toán họccổ nhất từLưỡng Hàcổ

đại (Mesopotamia) khoảng 1900 TCN (Plimpton 322),

Ai Cập cổ đạikhoảng1800 TCN(Rhind Mathematical

Papyrus),Vương quốc Giữa Ai Cậpkhoảng1300-1200

TCN(Berlin 6619) vàẤn Độ cổ đạikhoảng800 TCN

(Shulba Sutras) Tất cả các văn tự này có nhắc đếnĐịnh

lý Pythagore; đây có lẽ là phát triển toán học rộng nhất

và cổ nhất sausố họccổ đại vàhình học

Nhữngcống hiếncủaHy Lạp cổ đạivới toán học, nhìnchung được coi là một trong những cống hiến quantrọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp vàchất liệu chủ đề của toán học.[2]

Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ vàtrung đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toánhọc thường là sự ngưng trệ hàng thế kỉ Bắt đầu vào

ời kì Phục HưngtạiÝvào thế kỉ 16, các phát triểntoán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới,

đã được thực hiện vớitốc độngày càng tăng, và điềunày còn tiếp diễn cho tớihiện tại

1 Toán học thời sơ khai 1.1 Nguồn gốc

Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽcho thấy một kiến thức về toán học và đothời giandựatrênsao trời Ví dụ cácnhà cổ sinh vật họcđã khámphá ra các mảnhđất thổ hoàngtrong mộthang độngởNam Phiđược trang trí bởi các hình khắc hình học vớithời gian khoảng 70.000 TCN.[3]Cũng cácdi khảo tiền

sửđược tìm thấy ở châu Phi vàPháp, thời gian khoảnggiữa 35000 TCN và 20000 TCN,[4]cho thấy các cố gắng

sơ khai nhằmđịnh lượngthời gian.[5]

Cácbằng chứngcòn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơkhai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vậtđánh dấuchu kì sinh họchàng tháng; ví dụ hai mươitám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trênxươnghoặchòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác Hơn nữa,cácthợ sănđã có khái niệm về một, hai và nhiều cũng như không khi xem xét số bầythú.[6][7]

Xương Ishangođược tìm thấy ở thượng nguồn sôngNil(phía bắcCộng hòa Dân chủ Congo), thuộc thời kì20.000 TCN.Bản dịchthông dụng nhất của hòn đá cho

ta thấy nó là bằng chứng sớm nhất[4]thể hiện mộtdãycácsố nguyên tốvàphép nhân Ai Cập cổ đại Người AiCập vào thiên niên kỉ thứ 5 TCN đã vẽ các bức tranh

về thiết kế hình học và không gian Người ta đã khẳngđịnh các hòn đá tế thần ởAnhvà Scotland từ thiênniên kỉ thứ 3 TCN, bao gồm cả các ý tưởng hình họcnhưhình tròn,hình elípvàbộ ba Pythagoretrong thiết

kế của nó[8].Nền toán học sớm nhất từng biết trongẤn Độ cổ đạinằm vào khoảng3000 TCN-2600 TCNởnền văn minhthung lũng Indus(nền văn minh Harappan) củaBắc Ấn

ĐộvàPakistan, đã phát triển một hệ thốngcác đơn vị1

2 1 TOÁN HỌC THỜI SƠ KHAI

hình trònvàhình tam giáccắt nhau và đồng qui Các

dụng cụ toán học tìm được bao gồm một thước đo cơ số

10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ sò hoạt

động như một chiếccom pađể đo góc trên mặt phẳng

hoặc theo các bội của 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để

đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và một

dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định

hướng Bản viết tay Indus vẫn chưa được giải nghĩa;

do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học

Harappan Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử

học tin rằng nền văn minh này đã sử dụnghệ đếm cơ

số 8và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữachu vicủa

đường tròn đối vớibán kínhcủa nó, do đó tính được số

π.[9]

1.2 Toán học của người Maya

Cùng phát triển với các nền văn minh Trung Mỹ khác,

người Maya sử dụng hệ đếmnhị thập phân(vigesimal)

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 0

Chữ số của người Maya, có số 0

vàhệ ngũ phân(xemchữ số Maya) Hệ ngũ phân trên

cơ sở so sánh với số ngón tay của một bàn tay, còn nhịthập phân là toàn bộ số ngón tay và ngón chân Trongtiếng iche, từ chỉ số 20 là huvinak, có nghĩa là “toànthân” Ngoài ra, người Maya đã phát triển khái niệm

"số 0" vào năm357, sớm hơn châu Âu khoảng gần 900năm Văn bản cổ cho thấy, những người Maya, có nhucầu công việc cộng vào hàng trăm triệu và số ngày lớnđòi hỏi phải có phương cách chính xác để thực hiệnchúng Kết quả tính toán về thiên văn họctheo mộtkhông gian và thời gian dài là cực kỳ chính xác; bản

đồ về sự vận động củaMặt Trăngvà cáchành tinhlàngang bằng hoặc vượt xa các văn minh khác quan sát

vũ trụ bằng mắt thường

Người Maya xác định chính xác độ dài của một nămgồm 365 ngày, thời gianTrái Đấtquay hết một vòngquanhMặt Trời, chính xác hơn rất nhiều lịch được châu

Âu sử dụng vào thời đó (lịch Gregory) Có giả thiết chorằng người Maya đã kế thừa cách tính lịch từ các nềnvăn minh cổ Zapotecs (ở Mont Alban) và Olmecs (ở Laventa và Tres Zapotes) Tuy thế, người Maya lại không

sử dụng độ dài tính toán thời gian một năm vào lịch của

họ Người Maya sử dụng lịch (gọi làlịch Maya) trên cơ

sở năm Mặt Trời với 365 ngày Một năm Mặt Trời đượcchia thành 18 tháng, mỗi tháng có 20 ngày (dùng hệđếm cơ số 20), năm ngày còn lại được đưa vào cuối năm.Các ngày trong tháng được ghi bằng số thứ tự từ 0 đến

19 trước tên tháng (0 đến 4 cho tháng thiếu, cuối năm

có 5 ngày) eo lịch này, các năm nối tiếp nhau khôngngừng, không có năm nhuận Như vậy kết quả là lịch

sẽ bị sai lệch lùi về một ngày trong vòng 4 năm Khi so

Lịch Maya

sánh vớilịch Julius, dùng ở châu Âu từ thờiĐế quốc La

Mãcho đến tậnthế kỷ 16, thì độ sai số cho một ngày là

mỗi 128 năm; với lịch Gregory hiện đại, thì sai số sấp

xỉ một ngày mỗi 3.257 năm

Lị của thầy bói

Ngày xưa, nhữngngười da đỏ iche,IxilvàMamvẫn

dùng lịch Maya truyền thống với một năm có 260 ngày

để dự đoán tương lai Để giải thích vì sao bộ lịch lại

gồm 260 ngày, người ta đã phỏng vấn nhiều thầy bói

ởChichicastenangovàMomstenangovà phát hiện ra

rằng: Việc chọn độ dài của năm này không phải do ngẫu

nhiên mà là do phù hợp với thời gian mang thai củacon

người Hệ đếm 20 cho phép chia một năm 260 ngày

thành 13 tháng, mỗi tháng 20 ngày, kết hợp với một

trong 20 tên gọi các con vật, các lực lượng tự nhiên, các

quan niệm hay khái niệm mà ý nghĩa không còn lưu

truyền đến ngày nay

Toán họcBabylon là ám chỉ bất kì nền toán học nào

thuộc về cư dânLưỡng Hà(Iraqngày nay) từ buổi đầu

Sumercho đến đầuthời kì Hy Lạp hóa Nó được đặt tên

là toán học Babylon là do vai trò trung tâm của Babylon

là nơi nghiên cứu, nơi đã không còn tồn tại sau thời kì

Hy Lạp hóa Các nhà toán học Babylon đã trộn với các

nhà toán học Hy Lạp để phát triểntoán học Hy Lạp

Sau đó dướiĐế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là

Baghdad, một lần nữa trở thành trung tâm nghiên cứu

quan trọng chotoán học Hồi giáo

Bảng tính vạch trên đất sét YBC 7289 với chú giải chữ số hiện đại

từ hơn 400 miếng đất sét khai quật được từ những năm

1850 Viết bằngký tự Cuneiform, các miếng đất sét nàyđược viết trong khi đất sét còn ẩm, và được nung cứngtrong lò hoặc bằng nhiệt từMặt Trời Một số trong đó

có vẻ là bài tập về nhà

Bằng chứng sớm nhất về các văn tự toán học là từ thờinhững ngườiSumer cổ đại, những người đã xây nênnền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà Họ đã phát triểnmột hệđo lườngphức tạp từ 3000 TCN Khoảng 2500TCN trở về trước, người Sumer đã viết những bảngnhântrên đất sét và giải các bài tập hình học và cácbài toánchia Dấu vết sớm nhất của hệ ghi số Babyloncũng là trong khoảng thời gian này.[10]

Một lượng lớn các tấm đất sét đã được phục hồi là vàokhoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, và bao gồm các chủ

4 2 CẬN ĐÔNG CỔ ĐẠI

đề vềphân số,đại số,phương trình bậc bavàbậc bốn,

các tính toán về cácbộ ba Pythagore(xem Plimpton

322).[11]Các tấm này cũng bao gồm cả bảng nhân, bảng

lượng giácvà các phương pháp giảiphương trình tuyến

tínhvàphương trình bậc hai Tấm đất sét YBC 7289 đã

đưa ra một xấp xỉ của số √2 chính xác tới năm chữ số

thập phân

Toán học Babylon được viết bằnghệ cơ số 60 Do việc

này mà ngày nay ta sử dụng 60 giây trong một phút,

60 phút trong một giờ và 360 (60 × 6)độ trong một

vòng tròn Các tiến bộ của người Babylon trong toán

học phát triển dễ dàng bởi số 60 có rất nhiềuước số

Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp và La

Mã, người Babylon có một hệ ghi số với cách viết số

chia theo hàng, trong đó các chữ số viết ở cột bên trái

thể hiện giá trị lớn hơn, giống nhưhệ thập phân ế

nhưng họ lại thiếu một ký hiệu tương đương củadấu

thập phân, và do đó hàng trong cách viết số thường

được suy ra từ ngữ cảnh

2.2 Ai Cập

Giấy cói Moskva

Toán học Ai Cập là ám chỉ toán học được viết dướitiếng

Ai Cập

Toán họcAi Cập cổ đạiđược đánh dấu bởi nhân vật

truyền thuyếtoth, người được coi là đã đặt ramẫu

tự Ai Cập, hệ thốngchữ số, toán học vàthiên văn học,

là vị thần củathời gian

Từthời kì Hy Lạp hóa,tiếng Hy Lạpđã thay thế tiếng

Ai Cập trong ngôn ngữ viết của các nhà học giảAi Cập,

và từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp nhất với toán

học Hy Lạp và Babylon để phát triển toán học Hy Lạp

Nghiên cứu toán học ở Ai Cập sau đó được tiếp tục dưới

Đế chế Arabnhư là một phần củatoán học Hồi giáo,

khitiếng Ả Rậptrở thành ngôn ngữ viết của các nhà

học giả Ai Cập

Văn tự toán học cổ nhất tìm được cho tới nay làgiấy

cói Moskva, một văn tự bằng giấy cói củaVương quốc

giữa Ai Cậpvào khoảng 2000—1800 mà ngày nay ta gọi

là “bài toán chữ", rõ ràng là chỉ để giải trí Một bài toán

được coi là quan trọng ở mức nói riêng bởi nó đưa ra

phương pháp tìm thể tích của mộthình cụt: “Nếu bạn

Giấy cọ Rhind

biết: một hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáylớn 4, diện tích đáy nhỏ 2 Bạn sẽ bình phương số 4này, được 16 Bạn sẽ nhân đôi 4, được 8 Bạn sẽ bìnhphương 2, được 4 Bạn sẽ cộng 16, 8, và 4 được 28 Bạn

sẽ lấy một phần ba của 6, được 2 Bạn nhân 28 với 2được 56 Và 56 là số bạn cần tìm.”

Giấy cọ Rhind(khoảng 1650 TCN) là một văn bản toánhọc Ai Cập quan trọng khác, một hướng dẫn trong sốhọc và hình học Cùng với việc đưa ra các công thứcdiện tích và phương pháp nhân, chia và làm việc vớiphân số đơn vị, nó cũng chứa các bằng chứng về cáckiến thức toán học khác (xemEgyptian Unit Fractions)bao gồmhợp sốvàsố nguyên tố;trung bình cộng,trungbình nhânvàtrung bình điều hòa; và hiểu biết sơ bộ vềsàng Eratosthenesvàsố hoàn hảo Nó cũng chỉ ra cáchgiảiphương trình tuyến tínhbậc một cũng nhưcấp sốcộngvàcấp số nhân

Cũng vậy, ba thành phần hình học có trong giấy cọRhind nói đến những kiến thức đơn giản nhất củahìnhhọc giải tích: (1) Đầu tiên và quan trọng nhất, làm thếnào để xấp xỉ số π chính xác tới dưới một phần trăm;(2) thứ hai, một cố gắng cổ đại trong việccầu phươnghình tròn; (3) và thứ ba, sự sử dụng sớm nhất từng biết

vềlượng giác

Cuối cùng,giấy cọ Berlincũng cho thấy người Ai Cập

cổ đại có thể giảiphương trình đại sốbậc hai

3 Toán học Hy Lạp và Hy Lạp hóa

cổ đại (khoảng 550 TCN-300)

Toán học Hy Lạp là ám chỉ toán học được viết bằng

tiếng Hy Lạpkhoảng giữa 600 TCN và 450.[12]Các nhà

toán học Hy Lạp sống ở các thành phố rải rác trên toàn

bộĐịa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, nhưng lại thống

nhất về văn hóa và ngôn ngữ Toán học Hy Lạp đôi khi

được gọi là toán học Hellenistic (Hy Lạp hóa)

Toán học Hy Lạp đã trở nên phức tạp hơn rất nhiều so

với các nền văn hóa trước đó Tất cả các ghi chép còn

tồn tại của các nền toán học tiền Hy Lạp đều cho thấy

việc sử dụng suy luận qui nạp, nghĩa là, các quan sát

liên tục được sử dụng để lập nên các phép đo dựa trên

kinh nghiệm Người Hy Lạp sử dụng lý luận logic để

đạt được các kết luận từ các định nghĩa và tiên đề[13]

Toán học Hy Lạp dường như bắt đầu vớiales(khoảng

624 - khoảng 546 TCN) và Pythagoras (khoảng 582

- khoảng 507 TCN) Mặc dù tầm ảnh hưởng không

còn, họ có thể vẫn phát triển ý tưởng từtoán học Ai

Cập,Babylon, và có thể cảẤn Độ eo truyền thuyết,

Pythagoras đã chu du tới Ai Cập để học toán học, hình

học, và thiên văn từ các đạo sĩ Ai Cập

ales đã sử dụnghình họcđể giải các bài toán như

là tính chiều cao của các hình chóp và khoảng cách từ

các tàu tới bờ biển Pythagoras được coi là người đầu

tiên đưa ra chứng minh chođịnh lý Pythagore, mặc dù

phát biểu của định lý đã đi qua một chặng đường lịch

sử dài Trong lời bình luận vềEuclid,Proclusphát biểu

rằng Pythagoras đã diễn đạt định lý mang tên ông và

dựng nênbộ ba Pythagoremột cách đại số hơn là hình

học.Trường họccủaPlatocó câu khẩu hiệu: “Không để

những thứ nông cạn trong hình học vào đây.”

Học thuyết Pythagorasđã khám phá ra sự tồn tại của

các số hữu tỉ.Eudoxus(408 - khoảng 355 TCN) đã phát

minh raphương pháp vét cạn, tiền thân của khái niệm

hiện đạitích phân.Aristotle (384 - khoảng 322 TCN)

đã lần đầu viết ra các luật vềlogic Euclid (khoảng 300

TCN) là ví dụ sớm nhất của một khuôn mẫu mà vẫncòn được sử dụng cho đến ngày nay, định nghĩa, tiên

đề, định lý, chứng minh Ông cũng nghiên cứu vềcácđường conic Cuốn sách của ông, Cơ bản, được tất cảnhững người có học biết đến ở phương Tây cho đếngiữa thế kỉ 20.[14] êm vào các định lý quen thuộccủa hình học, nhưđịnh lý Pythagore, Cơ bản còn có cảchứng minh rằng căn bậc hai của hai là số vô tỉ và có vôhạnsố nguyên tố.Sàng Eratosthenes(khoảng 230 TCN)

đã được sử dụng để tìm các số nguyên tố Với người HyLạp, toán học đã vượt lên cả việc ghi chép Những nhàtoán học có tên tuổi tới nay đã để lại những định lý,tiên đề có giá trị khái quát cao trong cuộc sống và đặcbiệt đối với lĩnh vực toán học

Một số người nói rằng người vĩ đại nhất trong các nhàtoán học Hy Lạp, nếu không muốn nói là mọi thời đại, làArchimedes xứ Syracuse(287—212 TCN) xứSyracuse

eo nhưLucius Mestrius Plutarchus, ở tuổi 75, trongkhi đang vẽ các công thức toán học ở trên cát, ông đã

bị một tên lính La Mã dùng giáo đâm chết Roma cổ đại

để lại ít bằng chứng về sự quan tâm vàotoán học lýthuyết

4 Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng

1500 TCN-200 CN)

Toán học Vedic bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với

Shatapatha Brahmana(khoảng thế kỉ 9 TCN), trong đó

có xấp xỉ sốπchính xác tới 2 chữ số thập phân[15] vàSulba Sutras(khoảng 800-500 TCN) là các văn bảnhìnhhọcsử dụngsố vô tỉ,số nguyên tố,luật ba, vàcăn bậcba; tínhcăn bậc haicủa 2 tới năm chữ số thập phân;đưa ra phương phápcầu phương hình tròn, giảiphươngtrình tuyến tínhvàphương trình bậc hai; phát triểnbộ

ba Pythagoretheo phương pháp đại số, phát biểu vànêu chứng minh choĐịnh lý Pythagore

Pāṇini(khoảng thế kỉ 5 TCN) đã lập công thức chongữphápcủatiếng Phạn Ký hiệu của ông tương tự với kýhiệu toán học, và sử dụng các ngôn luật, cácphép biếnđổi,đệ quyvới độ phức tạp đến mức ngữ pháp của ông

có sức mạnhtính toánngang với máy Turing Côngtrình của Panini cũng đi trước cả lý thuyết hiện đạingữ pháp hình thức(formal grammar) (có vai trò quan

trọng trong điện toán), trong khidạng Panini-Backusđược sử dụng bởi nhữngngôn ngữ lập trình hiện đạinhất lại rất giống với luật ngữ pháp của Panini.Pingala(khoảng thế kỉ thứ 3 đến thứ nhất TCN) trong bản luậnthuyết của mình vềthi phápđã sử dụng một phươngpháp ứng vớihệ nhị phân ảo luận của ông vềtổ hợpcủa cácphách, tương ứng vớiđịnh lý nhị thức Côngtrình của Pingala cũng chứa các ý tưởng cơ bản của các

số Fibonacci(được gọi là mātrāmeru) Văn bảnBrāhmīđược phát triển ít nhất từ thờitriều Mauryavàothế kỉ

4 TCN, với những bằng chứng khảo cổ học cho thấy nó

6 6 TOÁN HỌC TRUNG HOA CỔ ĐIỂN (KHOẢNG 400-1300)

xuất hiện vào khoảng600 TCN.Chữ số Brahmiở vào

khoảng thế kỉ 3 TCN

Giữa năm400 TCNvà200 CN,các nhà toán học Jaina

bắt đầu nghiên cứu toán học với mục đích duy nhất

cho toán học Họ là những người đầu tiên phát triển

transfinite number,lý thuyết tập hợp,logarit, các định

luật cơ bản củalũy thừa,phương trình bậc ba,phương

trình bậc bốn,dãy sốvà dãy cấp số,hoán vịvàtổ hợp,

bình phương và lấy xấp xỉcăn bậc hai, vàhàm mũhữu

hạn và vô hạn Bản thảo Bakshali được viết giữa200

TCNvà 200 bao gồm cách giải hệ phương trình tuyến

tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số

cộng và cấp số nhân, dãy phức hợp, phương trình vô

định bậc hai,phương trình không mẫu mực, và sự sử

dụngsố 0vàsố âm Các tính toán chính xác cho số vô

tỉ đã được tìm ra, bao gồm tính căn bậc hai của các số

tới bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ

số trở lên)

(khoảng 1300 TCN-200 CN)

Cửu chương toán thuật

Bắt đầu từ thờinhà ương(1600 TCN— 1046 TCN),

toán học Trung ốc sớm nhất còn tồn tại bao gồm các

số được khắc trên mai rùa.[16][17]Các số này sử dụng hệ

cơ số 10, vì vậy số 123 được viết (từ trên xuống dưới)

bằng một ký hiệu cho số 1 rồi đến một ký hiệu hàng

trăm, sau đó là ký hiệu cho số 2 rồi đến ký hiệu hàngchục, sau đó là số 3 Đây là hệ cơ số tiến bộ nhất trênthế giới vào thời điểm đó và cho phép tính toán đượcthực hiện bởibàn tính ời điểm phát minh ra bàn tínhkhông rõ, nhưng tài liệu cổ nhất vào190trong Lưu ý

về the Art of Figures viết bởi Xu Yue Bàn tính có thể đã

được sử dụng trước thời điểm này

ỞTrung ốc, vào212 TCN, vuaTần ủy Hoàngđã

ra lệnh đốt tất cả sách trong nước Cho dù lệnh nàykhông được tuân thủ hoàn toàn, nhưng ta vẫn biết rất

ít về toán học Trung Hoa cổ đại

Từtriều Tây Chu(từ 1046), công trình toán học cổ nhấtcòn tồn tại sau cuộc đốt sách làKinh Dịch, trong đó sửdụng 64quẻ6hàocho mục đích triết học hay tâm linh.Các hào là các bộ hình vẽ gồm các đường gạch đậm liềnhoặc đứt nét, đại diện cho dương và âm

Sau cuộc đốt sách,nhà Hán(202 TCN) -220đã lập cáccông trình về toán học có thể là phát triển dựa trên cáccông trình mà hiện nay đã mất Phần quan trọng nhấttrong số đó làCửu chương toán thuật, tiêu đề của nó

xuất hiện trước179 CN, nhưng là nằm trong các tiêu đềkhác tồn tại trước đó Nó bao gồm 264 bài toán chữ, chủyếu là nông nghiệp, thương nghiệp, áp dụng của hìnhhọc để đo chiều cao và tỉ lệ trong cácchùa chiền, côngtrình,thăm dò, và bao gồm các kiến thức vềtam giácvuôngvà sốπ Nó cũng áp dụngnguyên lý Cavalieri(Cavalieri’s principle) về thể tích hơn một nghìn nămtrước khiCavalieri đề xuất ở phương Tây Nó đặt rachứng minh toán học choĐịnh lý Pythagore, và côngthức toán học chophép khử Gauss Công trình này đãđược chú thích bởiLưu Huy(Liu Hui) vào thế kỉ thứ 3trước Công nguyên

Ngoài ra, các công trình toán học của nhà thiên vănhọc, nhà phát minhTrương Hành(Zhang Heng,78-139)

đã có công thức cho sốpi, khác so với tính toán của LưuHuy Trương Hành sử dụng công thức của ông cho số

pi để tínhthể tích hình cầuV theođường kínhD.V= 9

6 Toán học Trung Hoa cổ điển (khoảng 400-1300)

Tổ Xung Chi(Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thờiNam BắcTriềuđã tính được giá trị của số π chính xác tới bảy chữ

số thập phân, trở thành kết quả chính xác nhất của số

π trong gần 1000 năm

Tam giác Pascal

Trong hàng nghìn năm sau nhà Hán, bắt đầu từnhà

Đườngvà kết thúc vàonhà Tống, toán học Trung ốc

phát triển thịnh vượng, nhiều bài toán phát sinh và

giải quyết trước khi xuất hiện ở châu Âu Các phát

triển trước hết được nảy sinh ở Trung ốc, và chỉ rất

lâu sau mới được biết đến ởphương Tây, bao gồmsố

âm,định lý nhị thức, phương phápma trậnđể giải hệ

phương trình tuyến tínhvàĐịnh lý số dư Trung ốc

về nghiệm của hệphương trình đồng dưbậc nhất

• Số âm được đề cập đến trong bảng cửu chương từ

Người Trung ốc cũng đã phát triểntam giác Pascal

vàluật barất lâu trước khi nó được biết đến ở châu Âu

Ngoài Tổ Xung Chi ra, một số nhà toán học nổi tiếng ở

Trung ốc thời kì này làNhất Hành,Shen Kuo,Chin

Chiu-Shao,Zhu Shijie, và những người khác Nhà khoa

học Shen Kuo sử dụng các bài toán liên quan đếngiải

tích,lượng giác,khí tượng học,hoán vị, và nhờ đó tính

toán được lượng không gian địa hình có thể sử dụng

với các dạng trận đánh cụ thể, cũng như doanh trại giữ

được lâu nhất có thể với lượng phu có thể mang lương

cho chính họ và binh sĩ

ậm chí sau khi toán học châu Âu bắt đầu nở rộ trong

thời kì Phục hưng, toán học châu Âu và Trung ốc

khác nhau về truyền thống, với sự sụt giảm của toán

học Trung ốc, cho tới khi các nhà truyền đạoiên

Chúa giáomang các ý tưởng toán học tới và đi giữa hai

ra tiếng Ả Rập vàLatintrong thờiTrung Cổ

Aryabhatavào năm499giới thiệu hàmversin, đưa rabản sin đầu tiên, phát triển các kĩ thuật vàthuật toáncủađại số,vô cùng nhỏ,phương trình vi phân, và đạtđược lời giải hoàn chỉnh cho các phương trình tuyếntính bằng một phương pháp ứng với phương pháp hiệnđại, cùng với các tính toánthiên vănchính xác dựa trênthuyết nhật tâm Một bản dịchtiếng Ả Rậpcủa cuốn

Aryabhatiya có từ thế kỉ 8, sau đó là bảnLatinvào thế

kỉ 13 Ông cũng tính giá trịπchính xác tới bốn chữ sốsau dấu phẩy.Madhavasau đó vào thế kỉ 14 đã tính giá

tị của số π chính xác tới chữ số thập phân thứ mười một

là 3.14159265359

8 8 TOÁN HỌC Ả RẬP VÀ ĐẠO HỒI (KHOẢNG 800-1500)

Chứng minh của Brahmagupta rằng AF = F D

Vào thế kỉ 17, Brahmagupta đã đưa ra định lý

Brahmagupta, đẳng thức Brahmagupta và công thức

Brahmaguptalần đầu tiên, trong cuốn

Brahma-sphuta-siddhanta, ông đã giải thích một cách rõ ràng cách sử

dụngsố 0vừa làký hiệu thay thếvừa làchữ số thập

phânvà giải thíchhệ ghi số Hindu-Arabic eo một

bản dịch của văn bản tiếng Ấn về toán học này (khoảng

770), các nhà toán họcHồi giáođã được giới thiệu hệ

ghi số này, mà họ gọi làhệ ghi số Ả Rập Các nhà học

giả Hồi giáo đã mang kiến thức về hệ ghi số này tới

châu Âu trước thế kỉ 12, và nó đã thay thế toàn bộ các

hệ ghi số cũ hơn trên toàn thế giới Vào thế kỉ 10, bình

luận củaHalayudhavề công trình củaPingalabao gồm

một nghiên cứu vềdãy Fibonaccivàtam giác Pascal, và

mô tả dạng của mộtma trận

Vào thế kỉ 12,Bhaskaralần đầu tiên đặt ra ý tưởng về

giải tích vi phân, cùng với khái niệm vềđạo hàm, hệ số

vi phânvàphép lấy vi phân Ông cũng đã chứng minh

định lý Rolle(một trường hợp đặc biệt củađịnh lý giá trị

trung bình), nghiên cứuphương trình Pell, và xem xét

đạo hàm của hàm sin Từ thế kỉ 14,Madhavavà các nhà

toán học khác củaTrường Kerala, phát triển thêm các ý

tưởng của ông Họ đã phát triển các khái niệm vềthống

kê toán họcvà sốdấu phẩy động, và khái niệm căn bản

cho việc phát triển của toàn bộgiải tích, bao gồm định

lý giá trị trung bình,tích phântừng phần, quan hệ giữa

diện tích dưới một đường cong và nguyên hàm của nó,

kiểm tra tính hội tụ,phương pháp lặpđể giải nghiệm

phương trình phi tuyến, và một sốchuỗi vô hạn,chuỗi

hàm mũ,chuỗi Taylorvà chuỗi lượng giác Vào thế kỉ

16,Jyeshtadevađã củng cố thêm rất nhiều định lý và

phát triển của Trường Kerala trong cuốn Yuktibhasa,

văn bản về đạo hàm đầu tiên trên thế giới, cũng đưa

ra khái niệmtích phân Phát triển toán học ở Ấn Độ

chững lại từ cuối thế kỉ 16 do các rắc rối về chính trị

8 Toán học Ả Rập và đạo Hồi (khoảng 800-1500)

Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī

Đế chế Ả Rập Đạo Hồiđược thiết lập trên toàn bộTrungĐông,Trung Á,Bắc Phi,Iberia, và một số phần củaẤn

Độtrong thế kỉ 8 đã tạo nên những cống hiến quantrọng cho toán học Mặc dù phần lớn các văn bản ĐạoHồi được viết bằngtiếng Ả Rập, chúng không hoàntoàn được viết bởi những ngườiẢ Rập, rất có thể do

vị thế của Hy Lạp trong thế giới Hellenistic, tiếng ẢRập được sử dụng như là ngôn ngữ viết của các họcgiả không phải người Ả Rập trong thế giới Đạo Hồithời bấy giờ Một số trong những nhà toán học ĐạoHồi quan trọng nhất làngười Ba Tư

Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, một nhà toán học

và thiên văn học Ba Tưthế kỉ thứ 9, đã viết một vàicuốn sách quan trọng về hệ ghi số Hindu-Arabic và

về các phương pháp giải phương trình Cuốn sách của

ông Về tính toán với hệ ghi số Hindu, được viết khoảng

năm 825, cùng với công trình của nhà toán học Ả RậpAl-Kindi, là những công cụ trong việc truyền bátoánhọc Ấn Độvàhệ ghi số Hindu-Arabictới phương Tây

Từ algorithm (thuật toán) bắt nguồn từ sự Latin hóa của tên ông, Algoritmi, và từ algebra (đại số) từ tên của một

trong những công trình của ông,Al-Kitāb al-mukhtaṣar

ī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Cuốn cẩm nang về tính

toán bằng hoàn thiện và cân đối) Al-Khwarizmi thường

được gọi là “cha đẻ của đại số", bởi sự bảo tồn các

phương pháp đại số cổ đại của ông và các cống hiến của

ông đối với lĩnh vực này.[20]Các phát triển thêm củađại

sốđược thực hiện bởiAbu Bakr al-Karaji(953—1029)

trong học thuyết của ông al-Fakhri, ở đó ông mở rộng

các quy tắc để thêm cả lũy thừa số nguyên và nghiệm

nguyên vào các đại lượng chưa biết Vàothế kỉ 10,Abul

Wafađã dịch công trình củaDiophantusthành tiếng Ả

Rập và phát triển hàmtang

Chứng minh đầu tiên bằng quy nạp toán học xuất

hiện trong một cuốn sách viết bởi Al-Karajikhoảng

1000 CN, người đã sử dụng nó để chứng minhđịnh

lý nhị thức, tam giác Pascal, và tổng của các lập

phương nguyên.[21] Nhànghiên cứu lịch sửtoán học,

F Woepcke,[22]đã ca ngợi Al-Karaji là “người đầu tiên

giới thiệu cácđịnh lýcủacác phép tính đại số.”

Ibn al-Haythamlà người đầu tiên bắt nguồn sử dụng

các công thức tính tổng của lũy thừa bậc bốn sử dụng

phương pháp quy nạp, từ đó phát triển thành phương

pháp tính tích phân.[23]

Omar Khayyam,nhà thơthế kỉ 12, cũng là một nhà toán

học, viết Bàn luận về những khó khăn của Euclid, một

cuốn sách về các thiếu sót của cuốnCơ sở của Euclid,

đặc biệt làtiên đề về đường thẳng song song, và do đó

ông đặt ra nền móng chohình học giải tíchvàhình học

phi Euclid Ông cũng là người đầu tiên tìm ra nghiệm

hình học củaphương trình bậc ba Ông cũng có ảnh

hưởng lón trong việccải tổ lịch

Nasiral-Din Tusi và bảng Ilkhanic

Bút tích của Jamshīd al-Kāshī

Nhà toán họcBa Tư Nasir al-Din Tusi(Nasireddin) vàothế kỉ 13 đã tạo nên những bước tiến tronglượng giáchình cầu Ông cũng viết các công trình có ảnh hưởnglớn tớitiên đề về đường thẳng song songcủaEuclid.Vào thế kỉ 15,Ghiyath al-Kashiđã tính giá trị sốπtớichữ số thập phân thứ 16 Kashi cũng có một thuật toán

cho phép tính căn bậc n, là trường hợp đặc biệt của các

phương pháp đã đưa ra hàng thế kỉ sau bởiRuffinivàHorner Các nhà toán học Hồi giáo đáng lưu ý khácbao gồmal-Samawal,Abu'l-Hasan al-Uqlidisi,Jamshidal-Kashi,abit ibn rra,Abu KamilvàAbu Sahl al-Kuhi

Đến thờiĐế chế Ooman(từ thế kỉ 15), sự phát triểncủa toán học Hồi giáo bị chững lại Điều này song songvới sự chững lại của toán học khi người Roma chinhphục được thế giới Hellenistic

John J O'Connor và Edmund F Robertson viết trongcuốnMacTutor History of Mathematics archive:

“Những nghiên cứu gần đây vẽ ra một bứctranh mới về những thứ mà ta nợ toán họcĐạo Hồi Hiển nhiên rất nhiều các ý tưởngnghĩ ra trước đó đã trở thành những kháiniệm tuyệt vời do toán học châu Âu của thế

kỉ mười sáu, mười bảy, mười tám theo ta biết

là đã được phát triển bởi các nhà toán học

Ả Rập/Đạo Hồi bốn thế kỉ trước đó Trongnhiều khía cạnh, toán học được nghiên cứungày nay còn gần hơn về phong cách đối vớinhững thứ đó của toán học Đạo Hồi hơn lànhững thức của toán họcHellenistic.”

9 Toán học châu Âu Trung cổ (khoảng 300-1400)

Mối quan tâm đến toán học của châu Âu Trung cổ là donhiều lý do rất khác so với của các nhà toán học hiệnđại Một lý do đó là niềm tin rằng toán học là chìa khóa

để hiểu được thứ bậc trong tự nhiên, thường được đánhgiá trong cuộc đối thoạiTimaeuscủaPlatovà chuyến

đi lớn mà Chúa đã “sắp xếp tất cả mọi thứ theo kích

thước, số lượng, và cân nặng” (Wisdom 11:21).

9.1 Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 1100)

300-Boethius(480–524) đã dành một nơi cho toán học trongmôn học khi ông đưa ra khái niệm “quadrivium” (tiếngLatinh: bốn con đường) để chỉ các môn số học, hình

học, thiên văn học, và âm nhạc Ông viết De institutione

arithmetica, dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề

của cuốn Introduction to Arithmetic củaNicomachus;

De institutione musica, cũng phát triển từ gốc Hy Lạp;

và một loạt các đoạn lấy từ cuốnCơ sởcủaEuclid Công

10 9 TOÁN HỌC CHÂU ÂU TRUNG CỔ (KHOẢNG 300-1400)

Boethius và các học trò

trình của ông mang tính lý thuyết hơn là thực hành, và

là công trình nền tảng của toán học cho đến khi các

công trình toán học của Hy Lạp và A Rập được phục

hồi.[24][25]

9.2 Sự hồi sinh của toán học tại châu Âu

(1100-1400)

Fibonacci

Vào thế kỉ 12, các nhà học giả châu Âu đã chu du đến

Tây Ban Nha và Sicilia để tìm các văn bản tiếng A

Rập, trong số chúng là cuốnAl-Jabr wa-al-Muqabilah

của Al-Khwarizmi, được dịch thành tiếng Latinh bởi

Robert of Chestervà văn bản đầy đủ của cuốn Cơ sở

của Euclid, được dịch thành rất nhiều phiên bản bởi

Adelard of Bath, Herman of Carinthia, và Gerard of

Cremona.[26][27]

Những nguồn mới này lóe lên một thời kì hồi sinh của

toán học Fibonacci, vào đầu thế kỉ 13, đưa ra côngtrình toán học quan trọng đầu tiên ở châu Âu kể từ thờicủaEratosthenes, một khoảng thời gian hơn một nghìnnăm ế kỉ mười bốn đã chứng kiến sự phát triển củacác khái niệm toán học mới để giải quyết một loạt bàitoán.[28]Một lĩnh vực quan trọng cống hiến cho sự pháttriển của toán học đó là phân tích các chuyển động địaphương

omas Bradwardineđưa ra rằng vận tốc (V) tăng theo

tỉ lệ số học khi tỉ số của lực (F) với lực cản (R) tăng theo

số mũ Bradwardine diễn tả điều này bằng một loạt các

ví dụ cụ thể, nhưng mặc dùlôgarítthời đó chưa xuấthiện, ta có thể biểu diễn kết luận của ông dưới dạng V

= log (F/R).[29]Phân tích của Bradwardine là một ví dụcủa việc chuyển đổi kĩ thuật toán học được sử dụng bởial-KindivàArnald of Villanovađể định tính bản chấtcủa thuốc trộn thành một bài toán vật lý khác.[30]

Là một người trong nhómOxford Calculatorsvàothế

kỉ 14,William Heytesbury, thiếugiải tích vi phânvàkhái niệmgiới hạn, đã đưa ra việc đo vận tốc tức thời

“bằng con đường mà có thể được mô tả bởi mộtvật thể

nếu… nó được dịch chuyển đi theo cùng một tốc độ

mà với điều đó nó được di chuyển trong thời khắc đãcho”.[31]

Heytesbury và những người khác đã xác định bằngtoán học khoảng cách đi được của một vật thể chuyểnđộng có gia tốc không đổi (mà ta có thể giải dễ dàngbằngTích phân), nói rằng “một vật thể chuyển động

mà nhận vận tốc giảm hoặc tăng không đổi sẽ đi trongmột thời gian nào đó cho trước mộtkhoảng cáchhoàntoàn bằng với khoảng cách ấy mà sẽ đi được nếu nóđang chuyển động liên tục trong cùng một thời gianvới tốc độ trung bình”.[32]

Nicole OresmetạiĐại học ParisvàGiovanni di Casalingười Italia độc lập với nhau đưa ra biểu diễn đồ thịcủa quan hệ này, thêm vào diện tích dưới đường thẳngbiểu thị gia tốc không đổi, thể hiện tổng quãng đường

đi được.[33] Trong một buổi thảo luận sau đó về cuốn

Hình học của Euclid, Oresme đưa ra một phân tích chi

tiết tổng quát trong đó ông nói rằng một vật thể sẽ nhậnđược trong mỗi số gia của thời gian một số gia của bất

kì tính chất nào mà tăng như số lẻ Do Euclid đã chứngminh tổng của các số lẻ là các số chính phương, tổng cáctính chất đạt được bởi vật thể tăng theo bình phươngthời gian.[34]

10 Toán học hiện đại sơ khai châu

Âu

Isaac Newton

Cuốn sách của Georgvon Peuerbach

Ở châu Âu vào buổi bình minh củathời kì Phục Hưng,

toán học vẫn còn bị hạn chế bởi các ký hiệu cồng kềnh

sử dụnghệ ghi số La Mãvà diễn đạt các quan hệ bằng

từ ngữ, hơn là bằng ký hiệu: không có dấu cộng, không

có dấu bằng, và không sử dụng x thay cho đại lượng

chưa biết

Vào thế kỉ 16 các nhà toán học châu Âu bắt đầu tạo nên

những bước tiến mới mà không cần biết đến những nơi

khác trên thế giới, tới mức như ngày nay Bước tiến đầu

tiên trong số đó là nghiệm tổng quát củaphương trình

bậc ba, thông thường được ghi công choScipione del

Ferrovào khoảng1510, nhưng xuất bản lần đầu tiên bởi

Johannes Petreiusở Nürnbergtrong cuốn Ars magna

củaGerolamo Cardano, trong đó cũng có nghiệm tổng

quát củaphương trình bậc bốntừ học trò của Cardano

Lodovico Ferrari

Từ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ

trợ cho và lấy lợi ích từ các tiến bộ mới cùng thời của

vật lý học á trình này càng được thúc đẩy bởi những

tiến bộ trongngành in Cuốn sách toán học sớm nhất

được in là cuốneoricae nova planetarum củaG v

Peuerbachvào1472, theo sau là một cuốn sách về sốhọc thương mạiTreviso Arithmeticnăm 1478 và cuốnsách toán học thực sự củaEuclid, cuốnCơ sởđược in

và xuất bản bởiRatdoltnăm1482

Do nhu cầu cấp thiết về định hướng và vẽ bản đồchính xác cho những khu vực rộng lớn, lượng giác

đã phát triển thành một ngành lớn của toán học.Bartholomaeus Pitiscus là người đầu tiên sử dụng

từ Trigonometria (lượng giác) trong cuốn sách cùng

tên của ông vào năm 1595 Bảng sin và cosin củaRegiomontanus được xuất bản vào 1533.[35]

Đến cuối thế kỉ, nhờ có Johannes Müller vonKönigsberg(1436-1476) vàFrançois Viète(1540-1603),cùng với những người khác, mà toán học đã được viếtbằng hệ ghi số Hindu-Arabic và theo một dạng màkhông quá khác xa so với các ký hiệu sử dụng ngàynay

11 Thế kỉ 17

ế kỉ 17 chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy củacác ý tưởng toán học và khoa học trên toàn châu Âu.Galileo, một người Italia, đã quan sát cácMặt Trăng củaSao Mộctrên quỹ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kínhviễn vọng dựa trên một đồ chơi nhập khẩu từ Hà Lan.Tycho Brahe, ở vương quốc Đan Mạch, đã thu thập mộtlượng lớn các dữ liệu toán học mô tả các vị trí của cáchành tinh trên bầu trời Học trò của ông, nhà toán họcngười ĐứcJohannes Kepler, bắt đầu làm việc với các dữliệu này Một phần bởi vì muốn giúp Kepler trong việctính toán,John Napier, ở Scotland, là người đầu tiênnghiên cứulogarit tự nhiên Kepler thành công trongviệc lập công thức toán học các định luật của chuyểnđộng hành tinh.Hình học giải tíchđược phát triển bởiRené Descartes(1596-1650), một nhà toán học và triết