công thuc toan hoc

mẹo học công thức toán học

công thuc toan' hoc

toan hoc

Mục lục

1.1 Ghi Số 1

2 Đại Số 1 2.1 Số đại số 1

2.2 Phép Toán Đại Số 1

2.3 Toán Số Nguyên 1

2.4 Toán Phân Số 2

2.5 Toán Số Phức 2

2.6 Toán Lũy thừa 2

2.7 Toán Căn 3

2.8 Toán Log 3

2.9 Hàm số 3

3 Lượng Giác 3 3.1 Góc 3

3.2 Các hàm số lượng giác cơ bản 3

3.3 Phép Toán Lượng Giác 3

3.3.1 Đẳng thức lượng giác cơ bản 3

3.3.2 Đẳng thức lượng giác Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến 3

3.3.3 Đẳng thức Pytago 4

3.3.4 Đẳng thức Tổng và hiệu của góc 4 3.4 Công thức hạ bậc 4

3.4.1 Đẳng thức Biến tích thành tổng 4 3.4.2 Đẳng thức lượng giác nghịch đảo 4 3.4.3 Đẳng thức Tích vô hạn 4

3.4.4 Đẳng thức Giải tích 5

3.4.5 Đạo Hàm Lượng Giác Cơ Bản 5 3.4.6 Tổng Hai Góc 5

3.4.7 Hiệu Hai Góc 5

3.4.8 Tổng Hai Hàm 5

3.4.9 Hiệu Hai Hàm 5

3.4.10 Đẳng thức góc bội 5

3.5 Các Hàm lượng giác nghịch đảo 6

3.5.1 Chuổi Số 6

3.5.2 Tích Phân 6

3.5.3 Số Phức 6

3.6 Công thức hạ bậc 6

3.7 Công thức góc chia đôi 7

3.8 Đẳng thức Biến tích thành tổng 7

3.9 Đẳng thức lượng giác nghịch đảo 7

3.10 Đẳng thức Tích vô hạn 7

3.11 Tích Phân 8

3.12 Số Phức 8

3.13 Đẳng thức lượng giác 8

3.13.1 Đẳng thức lượng giác cơ bản 8

3.13.2 Đẳng thức lượng giác Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến 8

3.13.3 Đẳng thức Pytago 8

3.13.4 Đẳng thức Tổng và hiệu của góc 8 3.13.5 Công thức hạ bậc 9

3.13.6 Công thức góc chia đôi 9

3.13.7 Đẳng thức Biến tích thành tổng 9 3.13.8 Đẳng thức lượng giác nghịch đảo 9 3.13.9 Đẳng thức Dạng số phức 10

3.13.10 Đẳng thức Tích vô hạn 10

3.13.11 Đẳng thức Giải tích 10

3.13.12 Đẳng thức ường Dùng 10

3.13.13 Đẳng thức góc bội 11

3.13.14 Các Hàm lượng giác nghịch đảo 11 4 Giải Tí 11 4.1 Phép Toán Giải Tích 11

4.2 Toán Đạo hàm 11

4.2.1 Công ức Toán Đạo Hàm 11

4.2.2 Hoán Chuyển Đạo Hàm 12

5 Phép Toán Tí Phân 12 5.0.3 Công thức tích phân 12

6 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép o văn bản và hình ảnh 25 6.1 Văn bản 25

6.2 Hình ảnh 25

6.3 Giấy phép nội dung 25

2.4 Toán Phân Số 1

Số họclà môn học về số và các phép tính về số Số

là cách thức con người ghi lại số lượng các đối tượng

như công cụ sản xuất, súc vật chăn nuôi… Các dân

tộc khác nhau có cách kí hiệu khác nhau , mỗi kí hiệu

thường được gọi là một chữ số, hay một con số, ngày

nay thường được gọi là ký số Người ta ghép các chữ

số khác nhau vào theo những quy ước nhất định để tạo

thành các số Ngày nay còn lại phổ biến là cách ghi số

8 c × a

b =ac b

9 c/ a

b = bc a

10 a

b +c

d = ad+bc bd

11 a

b − c

d = ad −bc bd

1 (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

2 (a + ib) − (c + id) = (a + c) − i(b + d)

3 (a + ib)x(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)

4 (a+ib) (c+id) = (a+ib)(c+id) (c+id)(c+id)= (ac −bd)+i(ad+bc)

10 √a

b = √ a

√ b

11 √n a

b = n √ a n

√ b

Nếu b > 0 with b <> 1 , Vậy cho mọi số thực y,a,c

1 logb (y a ) = alogb (y)

2 logb (b a ) = a

3 logb (ac) =logb (a) +logb (c)

4 logb (a/c) =logb (a) − log b (c)

5 logb (a) = logd (a)

logd (b) for any d > 0, d <> 1

2.9 Hàm số

Hàm số đại số là một biểu thức đại số dùng để mô tảtương quan giữa hai đại lượng Hàm số đại số có ký hiệutoán

f (x) = x

Với

x

f (x)

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo một Góc

giửa hai đường thẳng Ký hiệu Góc là ∠A Góc đo

bằng đơn vị Độo Cho thí dụ∠A = 300

Cho biết tương quan giửa Cạnh và Góc trong tam giác

vuông

3.3.1 Đẳng thức lượng giác cơ bản

1∓ tan(x) tan(y) cıs(x + y) = cıs(x) cıs(y) cıs(x − y) = cıs(x)

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và

sin2(x), thu được:

cos2(x) = 1 +cos(2x)

2sin2

(x) =1− cos(2x)

2sin2(x)cos22(x) = 1− cos(4x)

4sin3

(x) =23sin 2(x) − sin(3x)

4cos3(x) = 32cos(x) + cos(3x)

4Cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x) Sin(3x) = −4sin^3(x) +

3sin(x)

dx sin(x) = cos(x)

3.4.5 Đạo Hàm Lượng Giác Cơ Bản

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắccủa đạo hàm:

d

dx cos(x) = − sin(x) d

dx tan(x) = sec2(x) d

dx cot(x) = − csc2(x) d

dx sec(x) = sec(x) tan(x) d

dx csc(x) = − csc(x) cot(x) d

3.5 Các Hàm lượng giác nghịch đảo 5

(

x − y

2)

cos x + cos y = 2 cos

(

x + y

2

)cos

(

x − y

2)

tan x + tan y = sin (x + y)

cos x cos y

cot x + cot y = sin (x + y)

sin x sin y

3.4.9 Hiệu Hai Hàm

tan x − tan y = sin (x cos x cos y − y)

cot x − cot y = − sin (x − y)

sin x sin y sin x − sin y = 2 cos

(

x + y

2

)sin

(

x − y

2)

cos x − cos y = −2 sin

(

x + y

2

)sin

(

x − y

2)

3.4.10 Đẳng thức góc bội

Bội hai Các công thức sau có thể suy ra từ các công

thức trên Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n

= 2

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

cos(2x) = cos2(x) −sin2

Bội ba Ví dụ của trường hợp n = 3:

sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin3

(x) cos(3x) = 4 cos3(x) − 3 cos(x)

Tổng quát Nếu T là đa thức Chebyshev bậc n thì

cos(nx) = T n(cos(x))

công thức de Moivre:

cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x) + i sin(x)) n

Hàm hạt nhân Dirilet D(x) sẽ xuất hiện trong các

Hay theo công thức hồi quy:

sin(nx) = 2 sin((n − 1)x) cos(x) − sin((n − 2)x) cos(nx) = 2 cos((n − 1)x) cos(x) − cos((n − 2)x)

3.5 Các Hàm lượng giác nghịch đảo3.5.1 Chuổi Số

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1haycos−1thay cho arcsin và arccos Việc dùng ký hiệu mũ

có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được địnhnghĩa bằng chuỗi vô hạn:

3.5.2 Tích Phân

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu

thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các

∫ x

0

1

1 + z2dz, ∀x ∈ R arccot (x) =

∫ ∞

x

1

z2+ 1dz, z > 0 arcsec (x) =

∫ 1

x

1

|z| √ z2− 1 dz, x > 1 arccsc (x) =

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác

nghịch đảo ra cho các biến số phức|phức:

arcsin(z) = −i log(i

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và

sin2(x), thu được:

(x) = 23sin 2(x) − sin(3x)

4cos3(x) = 32cos(x) + cos(3x)

4

3.7 Công thức góc chia đôi

ay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:

cos(x2

tan(x2

)

= sin(x/2) cos(x/2) =±

√

1− cos x

1 +cos x . (1)Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý

Pytago để đơn giản hóa:

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình

(1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

Suy ra:

tan(x2

)

= sin(x)

1 +cos(x)=

1− cos(x) sin(x) .

biểu thức dễ dạng

∫ x

0

1

1 + z2dz, ∀x ∈ R arccot (x) =

∫ ∞

x

1

z2+ 1dz, z > 0 arcsec (x) =

∫ 1

x

1

|z| √ z2− 1 dz, x > 1 arccsc (x) =

[[phương trình chứa các [[hàm lượng giác, đúng vớimột dải lớn các giá trị của biến số Các [[đẳng thứcnày hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàmlượng giác Ví dụ trong việc [[tính tích phân với cáchàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằngcác hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác

để đơn giản hóa phép tính

3.13.1 Đẳng thức lượng giác cơ bản

tan(x) = sin(x)

cos(x) cotg(x) =

cos(x) sin(x) =

Xem thêm [[Định lý Ptolemaios

Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng

[[công thức Euler

sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y)

cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y)

tan(x ± y) = tan(x) ± tan(y)

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và

sin2(x), thu được:

cos2(x) = 1 +cos(2x)

2

sin2(x) =1− cos(2x)

2sin2(x)cos22(x) = 1− cos(4x)

4sin3

(x) =23sin 2(x) − sin(3x)

4cos3(x) = 32cos(x) + cos(3x)

4

3.13.6 Công thức góc chia đôi

ay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:

cos(x2

tan(x2

)

= sin(x/2) cos(x/2) =±

√

1− cos x

1 +cos x . (1)Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý

Pytago để đơn giản hóa:

3.13 Đẳng thức lượng giác 9

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình

(1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong

giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x)

thành hàm]] của t Cách này giúp tính [[đạo hàm của

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách

tích phân với hàm lượng giác]] và danh sách tích phân

với hàm lượng giác ngược]]

3.13.12 Đẳng thức Thường Dùng

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y

cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y

cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y

sin x + sin y = 2 sin

(

x + y

2

)cos

(

x − y

2)

sin x − sin y = 2 cos

(

x + y

2

)sin

(

x − y

2)

cos x + cos y = 2 cos

(

x + y

2

)cos

(

x − y

2)

cos x − cos y = −2 sin

(

x + y

2

)sin

(

x − y

2)

tan x + tan y = sin (x + y)

3.13.13 Đẳng thức góc bội

• Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên

Cũng có thể dùng công thức de Moivre]] với n = 2.

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) cos(2x) = cos2(x) −sin2

cos(nx) = T n(cos(x))

:<math>\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n

\,</math> Hàm '''hạt nhân Dirichlet]] Dn(x) sẽ

xuất hiện trong các công thức sau:

1 + 2cos(x) + 2 cos(2x) + 2 cos(3x) + · · · + 2 cos(nx)

=sin((

n +12)

x)

sin(x/2)

Hay theo công thức hồi quy:

sin(nx) = 2 sin((n − 1)x) cos(x) − sin((n − 2)x) cos(nx) = 2 cos((n − 1)x) cos(x) − cos((n − 2)x)

3.13.14 Các Hàm lượng giác nghịch đảo

Chuổi Số Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là

sin−1hay cos−1thay cho arcsin và arccos Việc dùng ký

hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với [[hàm mũ của hàm

lượng giác

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định

nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

4.2.1 Công Thức Toán Đạo Hàm

Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác

Đạo Hàm Của Hàm Số Đường Cong

Đạo Hàm Của Hàm Số Đặc Biệt

Đạo Hàm Bậc N

4.2.2 Hoán Chuyển Đạo Hàm Hoán Chuyển Laplace

s = df dt

1

s =− df dt

Hoán Chuyển Fourier

jω = df dt

∫ x

0

1

1 + z2dz, ∀x ∈ R arccot (x) =

∫ ∞1

z2+ 1dz, z > 0

2− 12a sin ax cos ax+C

∫

xsin2ax dx = x

2

4 − x 4a sin 2ax − 1

∫sinn −2 ax dx (for n > 0)

∫cosn −2 ax dx (for n > 0)

a(n − 1)tan

n −1 ax −

∫tann −2 ax dx (for n ̸= 1)

1

aln| sin ax| + C

∫

dx tan ax + 1 =

∫

tan ax dx tan ax − 1 =

a(n − 1) +

n − 2

n − 1

∫secn −2 ax dx (for n ̸= 1)

∫ sin ax dx

cos ax − sin ax =−

x

2− 12aln|sin ax − cos ax|+C

axcosm ax dx = −sin

n −1 axcosm+1 ax a(n + m) +

n − 1

n + m

∫sinn −2 axcosm ax dx (for m, n > 0)

∫sinn axcosm ax dx = sinn+1 axcosm −1 ax

a(n + m) +

m − 1

n + m

∫sinn axcosm −2 ax dx (for m, n > 0)

∫

dx sin ax cos ax =

1

aln|tan ax| + C

∫

dx sin ax cos n ax =

1

a(n − 1) cos n −1 ax+

∫

dx sin ax cos n −2 ax (for n ̸= 1)

cosn ax =

sin ax a(n − 1) cos n −1 ax − 1

a(n − 1)+

∫sinn −2 ax dx

2ax + b − √ b2− 4ac 2ax + b + √

b2− 4ac

( 4ac−b2< 0)

∫

dx

ax2+ bx + c=− 2

2ax + b ( 4ac − b2= 0)

a √ 4ac − b2arctan√ 2ax + b

∫

dx (ax2+ bx + c) n −1

∫arsinhx

c dx = xarsinhx

c −√x2+ c2

∫arcoshx

c dx = xarcoshx

c −√x2− c2

∫artanhx

c dx = xarsechx

c −c arctan x

√

c −x c+x

x − c ( x ∈ (0, c))

∫arcschx

∫

ln cx dx = x ln cx − x

•

∫(ln x)2dx = x(ln x)2− 2x ln x + 2x

•

∫(ln cx)n dx = x(ln cx) n − n

∫(ln cx)n −1 dx

σ √ 2π e

4c sinh 2cx − x

2

∫cosh2cx dx = 1

4c sinh 2cx + x

2

∫sinhn cx dx = 1

cnsinhn −1 cx cosh cx− n − 1

n

∫sinhn −2 cx dx ( n > 0)

∫sinhn cx dx = 1

c(n + 1)sinhn+1 cx cosh cx − n + 2

n + 1

∫sinhn+2 cx dx ( n < 0, n ̸= −1)

∫coshn cx dx = 1

cn sinh cx cosh n −1 cx+ n − 1

n

∫coshn −2 cx dx ( n > 0)

n − m + 2

m − 1

∫coshn cx

m − n + 2

n − 1

∫sinhm cx

Assume (ax2 + bx + c) cannot be reduced to the

following expression (px + q)2for some p and q.

∫

dx R

ax dx = x

2− 14a sin 2ax+C = x

2− 12a sin ax cos ax+C

∫sin3ax dx = cos 3ax

n − 1 n

∫sinn −2 ax dx (for n > 2)

∫

dx sin ax =

∫cosn −2 ax dx (for n > 0)

a(n − 1)tan

n −1 ax −

∫tann −2 ax dx (for n ̸= 1)

∫

tan ax dx tan ax − 1 =

∫secn ax dx = secn −2 ax tan ax

a(n − 1) +

n − 2

n − 1

∫secn −2 ax dx (for n ̸= 1)

∫secn x dx = secn−2 n −1 x tan x +

n −2

n −1

∫secn −2 x dx[3]

∫

dx sec x + 1 = x − tan x

2 + C

∫

dx sec x − 1 =−x − cot

∫cscn ax dx = −cscn −1 ax csc ax

a(n − 1) +

n − 2

n − 1

∫cscn −2 ax dx (for n ̸= 1)

∫

dx csc x + 1 = x − 2sinx2

a(n − 1)cotn −1 ax −

∫cotn −2 ax dx (for n ̸= 1)

∫ sin ax dx

cos ax + sin ax =

x

2 − 12aln|sin ax + cos ax| + C

∫ sin ax dx

cos ax − sin ax =−

x

2− 12aln|sin ax − cos ax|+C

n − 1

n + m

∫sinn −2 axcosm ax dx (for m, n > 0)

∫ sin2

ax dx

cosn ax =

sin ax a(n − 1) cos n −1 ax − 1

cosm ax =

sinn+1 ax a(m − 1) cos m −1 ax − n − m + 2

m − 1

∫sinn ax dx

cosm −2 ax (for m ̸= 1)

∫sinn ax dx

∫cos2ax dx

sinm −2 ax (for m ̸= 1)

∫cosn ax dx

sinm

ax (for m ̸= n)

∫cosn ax dx

dx sinh cx =

1

cln