Phơng trình vô tỷ_Quách Duy TuấnI... Phơng trình vô tỷ_Quách Duy Tuấn Chuyển vế đúng, rồi bình phơng hai vế 71.. phơng pháp đánh giá 81.. chia khoảng 89.. phơng pháp lợng giác hoá 92.
Trang 1Phơng trình vô tỷ_Quách Duy Tuấn
I Dạng cơ bản
1 x+ 9 = 5 − 2x− 4 → 0
2 x2 − 6x+ 6 = 2x− 1 → 1
3 x2 − 1 = x+ 1 → -1, ( 1 + 5 ) / 2
4 3x+ 4 − 2x+ 1 = x+ 3 → -1/2
5 x+ x+ 1 = 1 / x → 1/3
6 x+ x− 1 = 1 → 1
7 x+ 3 − 7 −x = 2x− 8 → 5, 6
8 x+ 3 − 2x− 1 = 3x− 2 → 1
9 x2 + 9 − x2 − 7 = 2 →±4
10 7x+ 12 − 7x− 11 = 14x+ 1 → 11/7
11 1 + x− 1 = 6 −x → 2
12 5x− 1 − 3x− 2 − x− 1 = 0 → 2
13 −x2 + 4x + 2 = 2x → 2
14 3x2 − 9x+ 1 +x− 2 = 0 → -1/2
15 3x+ 7 − x+ 1 = 2 → -1, 3
16 3x2 − 9x+ 1 =x− 2 → -1/2, 3
17 x2 − 2x− 8 = 3 (x− 4 ) → VN
18 3x2 + 6x+ 16 + x2 + 2x= 2 x2 + 2x+ 4
→ -2, 0
19 x2 − 3x+ 3 + x2 − 3x+ 6 = 3 → 1, 2(t=x2-3x)
20 3x2 + 5x+ 8 − 3x2 + 5x+ 1 = 1 → -8/3, 1
21 3x2 − 2x+ 15 + 3x2 − 2x+ 8 = 7 → -1/3, 1
II Đặt ẩn phụ
22 (x+ 4 )(x+ 1 ) − 3 x2 + 5x+ 2 = 6 → -7, 2
23 2 ( 1 −x) x2 + 2x− 1 =x2 − 2x− 1
→ -1± 6(Đặt t = x2 + 2x− 1, sau đó tính ∆ )
24 x2 + 11 +x2 = 31 →±5
25 x2 − 6 +x2 = 12 →± 10
26 (x+ 1 )( 2 −x) = 1 + 2x− 2x2 → 1/2
2
1 2 2
3
x
x x
2
7 3
8 ±
2
1 2
1 1
29 (x− 3 ) 2 + 3x− 22 = x2 − 3x+ 7 → -3, 6
30 x2 = (x− 4 )( 1 + 1 +x) 2 → 8
31 3 −x + x− 1 − 4 4x−x2 − 3 + 2 = 0
32 1 +x + 4 −x+ (x+ 1 )( 4 −x) = 5
33 3 + 2 x−x2 = 3 ( x + 1 −x)
34 x + x+ 1 − x2 +x = 1 → 0, 1
35 2x2 + 8x+ 6 + x2 − 1 = 2x+ 2 →±1, 25/7
36 x+ 3 − 3 x= 1 → 1, ±2 2
37 3 −x+x2 − 2 +x−x2 = 1 → (1± 5)/2
38 3 x+ 1 = x− 3→ 7
39 2 −x2 + x2 + 8 = 4 →±1
40 3 x+ 7 − x = 1 → 1
41 3 2 −x + x− 1 − 1 = 0
42 3 24 +x + 12 −x = 6 → -88,-24, 3
43 3 x− 2 + x+ 1 = 3
44 4 17 −x8 − 3 2x8 − 1 = 1 →±1
45 3 x+ 5 + 3 x+ 6 = 3 2x+ 11 →-5,-6,-11/2
46 3 2 +x+x2 + 3 2 −x−x2 = 3 4 → 1, -2
x x
x x
−
=
− +
−
−
−
5 7
5 7
3 3
3 3
→ 5, 6, 7
48 3 1 + x + 3 1 − x = 2
49 3 9 − x+ 1 + 3 7 + x+ 1 = 4
50 3 5x+ 7 − 3 5x− 12 = 1
51 3 x− 1 + 3 x− 2 = 3 2x− 3
52 3 x+ 34 − 3 x− 3 = 1
53 3 x + 3 35 −x = 5
54 3 x+ 1 + 3 x− 1 = 3 5x
55 x 3 35 −x3 (x+ 3 35 −x3 ) = 30→ 3 28 , 3 7
56 3 ( 2 −x) 2 + 3 ( 7 +x) 2 − 3 ( 7 +x)( 2 −x) = 3
→ -6, 1
57 3 x+ 1 + 3 3x+ 1 = 3 x− 1
58 3 x− 1 + 3 2x− 1 = 3 3x+ 1
59 3 2x− 1 + 3 2x+ 1 = 3 10x
60 3 12 −x + 3 x+ 14 = 2
1 34
34 ) 1 ( 1 ) 34 (
3 3
3 3
= +
−
−
− +
− +
−
x x
x x
x x
62 x+ 17 −x2 +x 17 −x2 = 9
63 x2 + 2x+ 2x− 1 = 3x2 + 4x+ 1 → VN
64 4x2 + 5x+ 1 − 2 x2 −x+ 1 = 9x− 3
→ 1/3
65 x− 1 + x3 +x2 +x+ 1 = 1 + x4 − 1
→ 2 (HĐT)
66 2 (x2 − 3x+ 2 ) = 3 x3 + 8
III Đa về dạng tích
67 x− 2 x− 1 − (x− 1 ) x+ x2 −x = 0
68 (x+ 3 ) 10 −x2 =x2 −x− 12→ -3
x
3 2
70 8x+ 1 + 3x− 5 = 7x+ 4 + 2x− 2→ 3
Trang 2Phơng trình vô tỷ_Quách Duy Tuấn
(Chuyển vế đúng, rồi bình phơng hai vế)
71 1 − 2x2 +x= 4x2 − 1 − 2x+ 1
IV đa về PT chứa dấu GTTĐ
72 x+ 2 x− 1 − x− 2 x− 1 = 2 → x ≥ 2
(Biến đổi 2 = ( x− 1 + 1 ) − ( x− 1 − 1 )và SDCT
0 ,
≥
↔
−
=
73 x+ 2x− 1 + x− 2x− 1 = 2→1/2 ≤ x ≤ 1
(SDCT A +B =A−B↔A≥ 0 ,B≤ 0 )
74 x− 1 + 2 x− 2 − x− 1 − 2 x− 2 = 1
75 x− 2 + 2x− 5 + x+ 2 + 3 2x− 5 = 7 2
2
1 1 2 1
x
78 x+ 5 − 4 x+ 1 + x+ 2 − 2 x+ 1 = 1
79 x+ 2 + 2 x+ 1 + x+ 2 − 2 x+ 1 = 2
80 2x− 2 2x− 1 − 2 2x+ 3 − 4 2x− 1 +
3 2x+ 8 − 6 2x− 1 = 4
V phơng pháp đánh giá
81 x2 − 2x+ 5 + x− 1 = 2→ 1 (VT ≥ 2)
82 x− 2 + 4 −x=x2 − 6x+ 11→ 3 (VP ≥ 2, VT ≤ 2 theo BĐT Bunhiacopxki)
83 4x− 1 + 4x2 − 1 = 1→ 1/2 (Đạo hàm)
84 x2 +x− 1 + x−x2 + 1 =x2 −x+ 2(Đạo hàm)
85.3 x+ 1 + 3 x+ 2 + 3 x+ 3 = 0→ -2 (VT đồng biến)
86 x x+ 1 + 3 −x= 2 x2 + 1→1,1± 2(Bunhia)
87 ( x− 1 + 1 ) 3 + 2 x− 1 = 2 −x → VN
88 x2 + 2 −x= 2x 2 −x → -2, 1 (Hằng đẳng thức)
VI chia khoảng
89 x2 − 4x+ 3 − 2x2 − 3x+ 1 =x− 1→ Chia TH
x ≥ 1 và x < 1, với x ≥ 1 thì x – 1 = (x− 1 ) 2
90 x(x+ 1 ) + x(x+ 2 ) = 2 x2 →TH x ≥ 0, x < 0
91 x2 − 3x+ 2 + x2 − 4x+ 3 = 2 x2 − 5x+ 4
VII phơng pháp lợng giác hoá
92 1 + 1 −x2 =x( 1 + 2 1 −x2 )→ Đặt x = sint,
t∈[-π/2;π/2], hoặc đặt x = cost, t∈[0; π]
93 4 1 +x − 1 = 3x+ 2 1 −x + 1 −x2 → ??? Đặt
x = sint có đợc không?