Phương pháp giải PT vô tỷ

Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu “học phải đi đôi với hành”, do vậy phải có những phơng pháp dạy và học có hiệu quả tối u nhất nhằm tìm ra những con đờng ngắn nhất,

đang trào dâng nh vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này cha kịp

đăng quang đã phải nhờng chỗ cho cái mới khác đến thay thế Vậy thì mỗi thầy cô giáo, mỗi học sinh phải hành động nh thế nào?

Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu “học phải đi đôi với hành”, do vậy phải có những phơng pháp dạy và học có hiệu quả tối u nhất nhằm tìm

ra những con đờng ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp chúng ta nắm vững đợc kiến thức và đi đào sâu lợng kiến thức đã học Để đạt đợc điều đó thì mỗi ngời giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, su tầm và hệ thống cho chính mình những phơng pháp học tập và nghiên cứu riêng

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, việc đi phân loại các phơng pháp giải một dạng toán hay bất kì một lĩnh vực nào, nó giúp chúng ta có nhiều cách nhìn, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lỡng hơn, dới nhiều góc độ, để chúng ta tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất

2 Cơ sở thực tiễn:

Hiện nay, trong các trờng THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một

ph-ơng trình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho học sinh những kiến thức, những phơng pháp giải nhng cha có tính hệ thống cao, cha

đi sâu vào phân tích những u điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng

ph-ơng pháp chính, bởi lẽ đó mà những phph-ơng pháp giảng giải của giáo viên thờng hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thờng bị động và cha có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phơng pháp tối u nhất khi đứng trớc một bài toán giải phơng trình vô tỉ

Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình những phơng pháp giải loại phơng trình này, hay còn phần lớn các em không biết cách giải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS Các em thờng

giải theo phơng pháp lũy thừa và chọn ẩn nhng đa số các em không phán đoán đợc phơng trình sau có tơng đơng với phơng trình đã cho hay không?

Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những vớng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học đợc tốt hơn và đạt hiệu quả mong muốn.

II Mục đích nghiên cứu đề tài:

Một là, giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải một bài giải phơng trình vô tỉ Trên cơ sở đó, tìm đợc những vớng mắc, khó khăn mà các em thờng gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này

Hai là, hệ thống đợc các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ, trên cơ sở đó phân tích những u việt hay hạn chế của từng phơng pháp

Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy đợc cách lựa chọn một hoặc nhiều phơng pháp khác nhau để giải một bài toán sao cho nhanh và đạt hiệu quả tối -

u nhất

III Đối tợng và khách thể nghiên cứu:

1 Đối t ợng nghiên cứu:

Nghiên cứu những phơng pháp giải phơng trình vô tỉ

Đánh giá tính u việt, hạn chế và khả năng ứng dụng của từng phơng pháp giải

2 Khách thể nghiên cứu :

Tập trung nghiên cứu trong chơng trình đại số lớp 8, lớp 9 và trong chơng trình toán phổ thông

3 Phạm vi nghiên cứu:

Do yêu cầu của đề tài nên chỉ tập trung nghiên cứu phần đại số ở lớp 8 và lớp

9 còn lại là trong chơng trình toán cấp III

IV Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:

Phải hệ thống đợc cách giải một phơng trình vô tỉ

Phải phân tích đợc những u việt và hạn chế của từng phơng pháp, từ đó đa ra khả năng ứng dụng của từng phơng pháp đối với một bài giải phơng trình vô tỉ

Phải phân tích và tìm ra từng chỗ thiếu sót, chỗ sai mà học sinh thờng hay mắc phải

và đa ra cho học sinh những cách khắc phục

V Phơng pháp nghiên cứu đề tài:

c Hai phơng trình:

x2 + 1 = 0 và x2 + x + 6 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng chung một tập nghiệm là S = φ

1 6 2

= +

−

4 x

Cho ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) NghiÖm cña ph¬ng tr×nh xÐt trªn tËp A lµ sè α ∊ A sao cho f(α) = g(α).

II C¸ch gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh c¬ b¶n:

∆> 0 – ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt

b Quy t¾c xÐt dÊu tam thøc bËc hai:

Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

* ∆ ≤ 0 th× f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a

* ∆ ≥ 0 th× f(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2

NÕu f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a khi víi ∀ x ∉ (x1; x2);

f(x) kh¸c dÊu víi hÖ sè a víi ∀ x ∉ (x1; x2);

b '

k

g(x) k

f(x)

=

Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 ≥ 0 ⇔ (2)

với điều kiện x ≥ 0 (3)

phơng trình (1) ⇔ (2x + 3) = x2 (4)

⇔ x2 – 2x – 3 = 0

Vì a – b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x1 = - 1; x2 = 3

x1 = - 1 không thoả mãn điều kiện (3)

x2 = 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3)

Vậy nghiệm duy nhất của phơng trình là x = 3

n

a a

a

≥ +

+

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Điều kiện để căn thức có nghĩa x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 (2)

Với điều kiện x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7 (3)

phơng trình (1) tơng đơng với: x – 5 = (x – 7)2⇔ x2 – 15x + 54 = 0 (4)

n

n 2

2

a b

a b

a

=

= 1

Giải phơng trình (4) ta đợc:

x1 = 6 không thỏa mãn điều kiện (3)

x2 = 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3)

Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9

Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do s phạm Thực ra

không cần điều kiện này Thật vậy, khi bình phơng hai vế của (1), biểu thức x 5–

bằng một bình phơng, đơng nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3) cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2).

Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm duy nhất là: x = - 1

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1

Lu ý: Nhiều em khi gặp bài này thờng giải theo cách quen thuộc:

2 − + =

x

2 3

2 1 ).(

1 (

2

) 2 1 1

( −x + − x = x+

không thỏa mãn điều kiện (4)

Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2

Lu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần x ≤12 thì phơng trình (1) đã tơng đơng với

1

(

1 2 ) 2 1 ).(

5

=

x

b a

b a

- Do từ (1) suy ra (2), ta thực hiện phép biến đổi không tơng đơng nên phơng trình (2) tìm đợc nói chung có nhiều nghiệm hơn phơng trình ban đầu, vì thế việc thay lại nghiệm của (2) vào (1) là cần thiết nếu không ta sẽ gặp nghiệm ngoại lai.

- Với dạng bài này, chúng ta không thay thế thì chắc chắn lời giải sẽ phức tạp hơn rất nhiều.

II Phơng pháp đa về hằng đẳng thức quen thuộc.

Với phơng pháp này chúng ta thờng phân tích, thêm bớt để đa về dạng:

x 2 2 x 1 2 x 2 2

1 2 x 2 1 x 1

x 2 x

N n với B A B)

(A

N n với B A B)

−

−

= +

x

1 2 x 1 2 x 1

1 = + − − +

− 2 x 2

x

1 1

1 = − − + +

Lu ý:

Đối với phơng pháp này ta phải thật khéo léo khi xử lý quá trình:

Nhiều bạn rất hay làm thiếu trờng hợp (- A).

Ví dụ 2: Giải phơng trình sau:

(1) ⇔

⇔ ⇔ (2)

Điều kiện để căn thức tồn tại x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 (3)

với điều kiện (3) phơng trình (2) tơng đơng với:

⇔ ⇔ ⇔

thỏa mãn điều kiện (3)

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x1 = 3; x2 = 7

Lu ý:

Ta có thể dùng ⇔ A = B

A = - B (với B ≥ 0)

thì việc giải sẽ nhanh hơn.

Ví dụ 4: Giải phơng trình sau:

1 3

x − − 1 =

1 3

x − − 1 = −

2 3

x − =

0 3

(x 1 x

A khi

A A

⇔ x = 2 thoả mãn (*) hoặc

với điều kiện x ≥ 1 thì hai vế của (3) đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc:

⇔

- (x – 1)2 – 1 < 0 với ∀ x ≥ 1 suy ra phơng trình (3) vô nghiệm

Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là :

Chú ý : Khi sử dụng phơng pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ của phơng trình một cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm ra nghiệm.

Ví dụ 2 : Giải phơng trình

1 1) x.(x 1)

x.(x 2 1

1 1) (x 1)

x.(x

2 − = − − 2 −

2

x 2 2) x(x 1)

x(x − + + =

x x 2 2 x x 1

x

x − + − − − = − −

−

x 2 2 x x

1 − + − − = −

4x 2)

1).(x (x

2 2 - x - x

2x 2)

x x

2 2 + − = 1 −

2 8

9 vi

(loại) 8

9

x x 2 2 x x 1 x

4x 2) x x 2 2 x 1 -

2x 2)

x

mãn) (thỏa

8

9

8 9

4x 1

13 4x 1

x + + + + 2 + + = +

1 x 1) 13).(x (4x + + = −

2

=

−

− +

− + 2 x 1 x 2 x 1 x

2 1

+

x 1

−

− 1

x

m·n) Tho¶

2 x 1

x 1

x 1

2x

1 11 x

⇔ ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 (thỏa mãn điều kiện *)

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là : x = - 1

Lu ý : Khi khai căn của một đa thức, chúng ta phải chú ý điều kiện để đa thức

d-ơng và phải chọn lợng liên hợp để rút ngắn lời giải.

4x 1

4

+ +

1 x x x

0

≠ +

x

0

≠ +

x x x x

x x x x

x

x x x 4

2 2

2 2

2

2

= +

− +

+

+ +

− +

− +

x x x x

-x x x

= + +

− +

−

3 3

) 0 ( 1

2

3

≥

= +

=

−

z z x

y x

= +

−

− + +

+

x 2 2

x - 2 x

2 2

x 2

− +

+

+ + +

+

− +

+

+

− +

x 2 2 x 2 2

x 2 2 x - 2 x

2 2 x 2 2

x 2 2 x 2

x 2

2 2 x

2 x.

x 2 x.

2 2.

x 2 2.

x 2 x.

2 x.

x 2 2.

− +

+ +

+

− +

+

−

x x

2 x

.

0 2

) 2

2

2

2 4 4

1 = +

x

2 4 4

2 = −

x

2 4 4

2 = +

x

5 3 3

7 + − − = 2 − − − 2 − +

3x 2 2

4 3 2

1 5 3 3

−

− + +

−

−

− +

−

1 - x 3x 3x

1 - x 3x 3x

1 - x 3x 3x

2 2

2 2

2 2

5 3

7

5 3

7

5 3

7

x

x x

4 x x x

4 x x x

4 x x

x

2 2

2 2

2

2

+

− +

−

+

− +

− +

3 2

3 2

4 x x x

1 - x 3x

−

=

− + +

−

−

3 2

6 3 5

7

24

〈

−++

−

−

1

- x3x3x2 x 2

x

03

2

63

〉+

−+

−

−

4xxx

x

2 2

63

〉+

−+

−

−

4xx

x

053

7

24

〈

−++

−

−

1

- x3x3x2 x 2

x

0 0 3

2

6 2 3 5

3 2 7

2 2

+

− +

−

−

=

− +

+

−

−

4 2 2

2 1

2 3.2

4) x : S (§

1 x x -

25

3) x : S (§

2 x x

3

2) - x : S (§

x

) 2

1 - x 3;

x : S (§

3x

4 2 − 9x+ 1 = x− 2 = =

8) x : S (§

−

−

4 7

2

2

x x

x

1)-x:S(§

1

24

.424

011

4

116

8

1015

510

235

63

15

6

12192

7

2 2

x:S

§x

xx

x

15

2

1x:S

§x

xx

x2

14

xx

6-5x

13

10)x5:S(§

xx

1-x4-3x

12

1)x:S(§

xx

5-5x

11

4)x:S(§

xx

10

-1)x:S(§

xx

9

nghiÖm)(V«

x

x20x

x208

5)x:S(§

xx

x 1

=

=+++

−+

=

−

−+

=

−+

=

−

=

−+

=

=

−

−+

=

=

−+

−

=

−

−+

=

=

−+

I Đặt ẩn phụ để chuyển về phơng trình hữu tỉ :

- Ta thờng đặt một ẩn mới thay ẩn của phơng trình song chúng ta phải chú tới điều kiện liên quan giữa ẩn cũ và ẩn mới

2 2 1

.

3

1 2 3 2

.

2

2 14 12

.

1

3 3

3

3 3

3

3 3

+ +

=

− +

=

−

=

− +

−

+

= + +

−

=

− +

−

x x x

Bài

S x

x x

x x

x

x x

( ) 1 2 3

2 x − = x −

- Khi đặt ẩn phụ ví dụ thì cha chắc t ≥ 0 mà còn phải tuỳ thuộc vào tập xác

định của A mà 0 ≤ t ≤ α (α ∊ R + ) chúng ta phải hết sức chú ý điều này, tránh ờng hợp thiếu hoặc thừa nghiệm nh trong ví dụ sau đây:

tr-Ví dụ 1 : Giải phơng trình sau :

(1)

Lời giải :

Đặt thì Y2 = (x - 3)(x + 1) nên phơng trình (1) đa về dạng :

Y2 + 4Y + 3 = 0 ta có 1 – 4 + 3 = 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Tóm lại: Phơng trình (1) có hai nghiệm:

Chú ý: Rất nhiều bạn khi gặp bài này thờng đặt ẩn phụ là: ,

điều này cha đúng khi x 3 > 0, do đó ta phải đặt nh– trên.

2 1 3

1 1

/ 1 0 1 0

1 2 1

M T x

x x

t

M T t t

t t t

−

⇔ +

=

3

1 3 4 1

−

+

− + +

−

x

x x

x x

3

1 3

Y

3

1 3 1

Không x

3 5 1

3 5 1

Không x

13 1

13 1

; 5

x

) 1 ).(

3 ( − +

t

A

1 1

3 ( 6

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :

X2 ≤ (12 + 12).(3 + x + 6 – x) = 18 ⇔

X ≥ 0Phơng trình (1) trở thành : ⇔ X2 – 2X – 3 = 0

Phơng trình có 1 + 2 + 3 = 0, nên phơng trình có nghiệm là:

X1 = - 1 Không thỏa mãn với điều kiện (**)

X2 = 3Thỏa mãn điều kiện (**)

Với X = 3 ⇔

⇔ ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = - 3

6 – x = 0 x = 6 Thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm: x1 = -3; x2 = 6

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = 4

3 ( + x − x =

3

3 ) 2 ).(

5

3 x 3.

10 3)

−

≥ +

7 3

t

(loại) 5 2

7 3

t 2 =− − = − x

x 3

2 = 2 +

) 1 ( 4 4 7

2

x x

+ + +

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: x = 1; x = 4.

Chú ý: Việc áp dụng lợc đồ Hoocle giúp ta tách đợc đa thức bậc cao về

tích các đa thức bậc nhất một cách dễ dàng hơn.

t = ≥ 0 ⇔ 2 =

) 2 ( 0 4 8 7 3

4 2

4 7

2 3 4 2

2 4

= +

− +

−

⇔

= +

+ +

t t t t

t t

t t

) 2 ( 0 4 8 7 3

4 2

4 7

2 3 4 2

2 4

= +

− +

−

⇔

= +

+ +

t t t t

t t

t t

0 4

7 2

1 -

t 2

4 2

1 1

x

) 1 ( 1 1 1

2 2

= + + +

+

x x x x

x t

x

t = + 1 ≥ 0 ⇔ 2 − 1 =

2 1

1 1

1

1 1

1 2

1 1

1 2

1

1 1

1

1 2

1 2

1

2 2

2 2

2 2 2

−

⇔

=

− +

−

⇔

=

− +

−

−

≠

= +

− +

− +

−

t t

t

t t

t t

t

t với t

t t t

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3.

II Đặt ẩn phụ, quy phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình.

Ngoài việc đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ về phơng trình hữu tỉ, chúng ta còn

đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình Đây là cách giải rất thích hợp cho các phơng trình vô tỉ

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau

Lời giải:

Đặt

Khi đó phơng trình đã cho dẫn về hệ phơng trình sau:

Trừ hai vế hai phơng trình của hệ ta đợc:

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là :

Ví dụ 2 : Giải phơng trình sau :

(1)

Đặt

) 1 ( 1 2 2

1 3

x

x y

=

+

2 1

R y x với y

4 3 2 2

y

xy

x

2 2 2

511

01

01

2

xxx

xxx

2

5 1

; 2

5 1

=

x

3 3

⇒

+

=

⇔ +

3 3

; 2 2

3 3

3 3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

v u

v u v

u

v u

x v u

x v x

v x

u x

u

đề tài nghiệp vụ s phạm Ngời thục hiện:

Khi đó phơng trình đã cho trở thành hệ sau:

3 3

2

5

; 2

5

; 2

5

; 2

5

; 0

; 5

; 5

Vậy phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt:

Ví dụ 3: Giải phơng trình

Lời giải:

Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:

Đặt u = ≥ 0; v = ⇒

Khi đó phơng trình đã cho trở thành hệ phơng trình sau:

Từ phơng trình thứ nhất của hệ (I) ta có u = 3 – v (2)

Thế (2) vào phơng trình thứ hai của hệ (I) ta đợc:

4

17

0 0

x

4 17 x −

4 x

17 17

4 4 4

x u

55 2

3 16

Víi v = 2 th× u = 1

VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: (1;1)(1;2)

VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1; x2 = 16

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (1 ; 2)

VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt x = 3

x x

3 2

2 2

xv xu

xv ( ) ( )

( )1 3 ) 2 )(

7 ( ) 7 ( ) 2

)2(9 7

xu xv

xu

)(

9) )((

3 9

3

22

22 33

22

I vuv uvu

vuv

u vu

Vậy hệ (I) có hai nghiệm : (1 ;2) và (2 ; 1).

Phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x = - 6 ; x = 1

Ví dụ 6 : Giải phơng trình

Lời giải:

Điều kiện để phơng trình có nghĩa:

Vậy phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình sau:

1 1 1

x x x

≥ +

+

0 6 5 2

0 2 5

2

2

2

x x

x x

y x

)4(

0 7 4 3

8 )1

2(

2

2 2

y y

0 3

y

Với y = 1, thế vào (2) đợc x = 3 Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất.

Vì 2 + 5 – 7 = 0 nên phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

5 7

3 3

3 3

x x x

x

x = −

− +

33 3

vu xv

xu xv

0

2

0

0 1

.

0

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

3 3

2 2

2 2

3 3

3 3

− +

+ +

−

− +

−

⇔ +

v u

v uv u

uv v

u

v u

v uv u

v uv u v uv u v u

v u

v uv u

v uv u v

u

v u

v uv u v u

v uv u v u v u

v u v

u

v u v

u

v

u

0 4

3 2

2

2 2

) 4 ( 0

) 3 ( v

u

v u

1 2

0 2

0 v

u v

0 2

0 u

v u

v 6

15

17 15

07 25

x x

x

v

u

5 05

27 05

x x

3 06

x x

x

9 6

xu xv

)4(3 )3(9

)2(3

2 2

2

uvv u

vuuv vu

0

u 0 uv

(lo¹i) uv

03 3;0

3;0 0

3

x

x x

x uv

vu uv

vu

) 1 ( 2

3 2

3 1

4x+ − x− =x +

3

2 3

2

4

1 023

x

x

x

0 2 3

; 0 1

u x

( 3) 1 ( 1 ) 1

22 5 10

22

3 0

x v 5

2 + ≥ ⇔ = +

t

1 = x− x− = x −

t

(lo¹i) x

x

x x x x

x

3 3

4 8

6

1 9

6 1

⇔

+

= +

−

⇔ +

=

−

3 3

t

=

− + +

=

=

−

− +

=

2

3 3

3 2

3 3

4

3

3) (x

m·n) (tháa x

x x

; 2

17 − 2 + − 2 =

x

17 0

17 − x 2 ≥ ⇔ x ≤

) 2 ( 17 0

)3(

9 17

9

2 2

xy

yx yx

=

4 6 10

.

16 6 10

Vậy hệ phơng trình trên tơng đơng với hai hệ :

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x = 1; x = 4

Ví dụ 12: Giải phơng trình

Lời giải:

Điều kiện để phơng trình có nghĩa:

Đặt

Vậy phơng trình (1) tơng đơng với hệ sau:

Thế (3) vào (4) ta đợc: (2xy)2 – 2xy – 2 = 0 ⇔ 2(xy)2 – xy – 1= 0 (5)

Vậy (5) là phơng trình bậc hai đối với ẩn là (x; y)

16 1716

2 =

−

+

x x

0

x x

x

) 2 ( 2 0

)3(

2 2

yx I

1

1

y x

y x yx

3 1

1 1

01

0 2 1 012 2

x

y

y x

yx yy

yy yx

yx

yx

yx

yx

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là:

Chú ý: Với bài này nhiều khi gặp sai lầm vì khi đặt điều kiện

(thói quen khi đặt ẩn phụ).

7 2 + = x +

x x

28

14 28 7 4

1 28

9 4

28

9 4 4

1 0

28

9 4 2 1

2 2

2

+

= +

⇔

− +

= +

⇔

+

= + +

⇔

≥

+

= +

x x t x

t t

x t

t

x t





= + +

=

⇒

= + +

−

⇔

=

− +

− + +

+

= +

0 8 7 7

0 )8 7 7)(

(

0 ) (7 ) )(

(7 2

1 7

7

2

1 7 7

2

2

t x

t x

t x t x

t x t x t x t

x x

t t

x x x

0 1 12 14 2

1 7

x

28

2 5 12 14

2 5 6

2 5 50

2 1

0 14

9 8 7 2

1 7

8 7

7 7

8 7

16 7

151 14

224 14

9 7