Siêu mặt bậc hai trong không gian euclid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN **************** HOÀNG THỊ TUYẾT LAN SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn

KHOA TOÁN

****************

HOÀNG THỊ TUYẾT LAN

SIÊU MẶT BẬC HAI

TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

****************

HOÀNG THỊ TUYẾT LAN

SIÊU MẶT BẬC HAI

TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI – 2017

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành

đề tài này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện

đề tài thực tập này.

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Sinh viên Hoàng Thị Tuyết Lan

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Sinh viên Hoàng Thị Tuyết Lan

1.3.1 Khoảng cách giữa hai điểm 5

1.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng 5

2.1 Phương trình dạng chính tắc của siêu mặt bậc hai 10

2.1.1 Định nghĩa 10

2.1.2 Định lý 11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

2.1.3 Ví dụ 14

2.2 Gọi tên một số siêu mặt bậc hai trong En 16

2.3 Phương chính và siêu phẳng kính chính 18

2.3.1 Các định nghĩa 18

2.3.2 Siêu phẳng kính chính trong E2 19

2.4 Siêu cầu và siêu phẳng đẳng phương 20

2.4.1 Siêu cầu 20

2.4.2 Miền trong và miền ngoài của siêu cầu 21

2.4.3 Siêu cầu tổng quát 22

2.4.4 Phương tích của một điểm đối với siêu cầu tổng quát 23

2.4.5 Siêu phẳng đẳng phương của siêu cầu 24

2.4.6 Góc giữa hai siêu cầu 25

2.4.7 Giao của siêu cầu với siêu phẳng 26

2.5 Phân loại Euclid các siêu mặt bậc hai trong En 27

2.6 Bất biến 28

2.6.1 Bất biến của hàm đa thức bậc hai 28

2.6.2 Nghiên cứu mặt bậc hai nhờ bất biến 30

2.6.3 Phân loại mặt bậc hai bằng bất biến 33

2.7 Bài tập 35

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

Lời mở đầu

1, Lý do chọn đề tài

Hình học afin và hình học euclid là một trong những môn học

chuyên ngành cho sinh viên chuyên ngành Toán học tại các trường

Đại học Sư phạm Môn học cung cấp cho chúng ta cái nhìn tổng quan

về hình học và mối quan hệ giữa chúng Và đối tượng cụ thể của hình

học Euclid chính là siêu mặt bậc hai cùng các tính chất và định lý liên

thuộc của nó

Nghiên cứu tìm hiểu về siêu mặt bậc hai giúp tôi có thêm kiến thức

sâu sắc hơn, cái nhìn tổng quát hơn về phương pháp tọa độ, các tính

chất thú vị của các mặt bậc hai, cách chứng minh hình học sáng tạo

và nó còn có mối quan hệ chặt chẽ với kiến thức hình học PTTH, giúp

ta nhận dạng và giải nhanh các bài toán về ba đường cônic, mặt cầu,

hình nón, hình trụ

Với niềm đam mê toán học và đặc biệt là niềm yêu thích môn hình

học tôi rất mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về các vấn

đề liên quan đến hình học Dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Năng

Tâm tôi đã phần nào làm được điều đó Trong khuôn khổ một bài

khóa luận và thời gian nghiên cứu nên tôi chỉ tập chung vào nghiên

cứu đề tài “Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid”

2, Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid cùng với các

tính chất định lý liên thuộc của nó

3, Đối tượng nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid En

4, Mức độ và phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu tổng quan về siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid

5, Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu các định nghĩa, định lý, tính chất về siêu mặt bậc hai

trong không gian Euclid

- Tìm hiểu về phương chính, siêu phẳng kính chính, siêu cầu và siêu

phẳng đẳng phương

- Bất biến của hàm đa thức bậc hai

- Cách giải một số bài toán chọn lọc liên quan đến siêu mặt bậc

hai

6, Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện bài khóa luận này tồi đã sử dụng các phương pháp

nghiên cứu sau đây:

-Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

-Nghiên cứu sách giáo trình, các sách tham khảo và các tài liệu liến

quan đến vấn đề này

Quá trình làm khóa luận đã sử dụng nhiều phương pháp nghiên

cứu nhưng chủ yếu là phương pháp tổng hợp kiến thức từ các tài liệu

lấy làm tài liệu tham khảo

7, Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm hai chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương II: Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid

Kiến thức chuẩn bị

Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về không gian Euclid

để bị cho chương sau, những kiến thức này được tham khảo trong

[1],[2]

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Một không gian affine được gọi là không gian Euclid

nếu không gian vector liên kết là một không gian vector Euclid

Không gian Euclid sẽ gọi là n chiều nếu không gian vector Euclid

liên kết với nó có chiều bằng n

Như vậy thuật ngữ không gian Euclid để chỉ một không gian affine

với nền là không gian vector với một tích vô hướng Chúng ta sẽ dùng

ký hiệu E để chỉ không gian Euclid và ~E để chỉ không gian nền của

nó Đôi lúc để nhấn mạnh số chiều ta dùng ký hiệu En và −→

En

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

1.1.2 Mục tiêu trực chuẩn

Định nghĩa 1.2 Cho En là một không gian Euclid n-chiều Một mụctiêu affine của En gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở tương ứng là

cơ sở trực chuẩn của −→

En Tọa độ của điểm M ∈ En đối với một mụctiêu trực chuẩn được gọi là tọa độ trực chuẩn

α, ~β bù trực giao trong ~E, ta nói α và β là bù trực giao hay α bù trực

giao với β hay β bù trực giao với α

Ví dụ 1.2.1 Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng trực

giao với nhau

Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là hai phẳng bù trực

giao

Định lý 1.1 Trong không gian Euclid E,

1 Hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung

2 Hai phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất

Định lý 1.2 Nếu α trực giao với β và γ bù trực giao với β thì α và

γ là hai phẳng song song

1.3 Các công thức khoảng cách

1.3.1 Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm M, N của không gian Euclid En Khoảng cách giữa haiđiểm đó, kí hiệu d(M, N ), được định nghĩa là số

d(M, N ) =k −−→

M N k=

q−−−→

M N2Nếu trong En đã cho mục tiêu trực chuẩn và cho tọa độ của M =(x1, x2, , xn) và của N (y1, y2, , yn) thì

d(M, N ) =

vuut

n

X

i=1

(yi − xi)2

1.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng

Trong không gian Euclid cho siêu phẳng α có phương trình:

a1x1 + a2x2 + + anxn + ao = 0,

và một điểm I(xo1, xo2, , xon) Khi đó khoảng cách từ I đến siêu phẳng

α được tính theo công thức:

d(I, α) = |Pn

i=1(aixi)o + ao|

pPn i=1a2i

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

1.4.1 Ánh xạ đẳng cự của các không gian Euclid

Định nghĩa 1.4 Cho E và E0 là hai không gian Euclid Ánh xạ:

f : E −→ E0

gọi là ánh xạ đẳng cự nếu f là một ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính

liên kết ~f : ~E −→ E~0 là một ánh xạ tuyến tính trực giao của −→

IM = ~u, và đặt −−→

f (~u) = −−→

I0M0,với M0 = f (M ) Ta chứng minh ~f không thay đổi tích vô hướng củahai vector Giả sử có thêm ~v ∈ ~E, lấy N ∈ E sao cho −→

Nếu f : E −→ E là ánh xạ đẳng cự từ không gian Euclid vào chính

nó thì vì f là đơn ánh nên nó là một song ánh (do ~E hữu hạn chiều).

Khi đó ta gọi nó là một biến đổi đẳng cự của không gian Euclid E.Ánh xạ ~f liên kết với nó là một biến đổi tuyến tính trực giao của ~E.

Tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của En làm thành một nhómcon của nhóm Af (En) nó được kí hiệu là Isom (En)

1.4.3 Phương trình dạng chính tắc của phép biến đổi đẳng

Ngược lại, dễ thấy mỗi phương trình dạng (1.1) với A là một ma

trận trực giao sẽ là phương trình của một phép biến đổi đẳng cự đối

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

với một mục tiêu trực chuẩn nào đó của En

Do A là ma trận trực giao nên detA = ±1 Nếu detA = 1, ta nói

f là phép dời loại 1, hay phép dời thuận Nếu detA = −1, ta nói f là

phép dời loại 2, hay phép dời nghịch ( còn gọi là phép phản chiếu)

Định lý 1.4 (Dạng chính tắc của phép biến đổi đẳng cự) Trong không

gian Euclid E, n ≥ 3 luôn luôn tồn tại mục tiêu trực chuẩn thích hợpsao cho phương trình của phép biến đổi đẳng cự f cho trước có ma

−1

đối xứng qua siêu phẳng α Đây là phép dời loại 1.

2 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn đã cho, phép biến đổi đẳng cự

Chương này, em đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian

Euclid định nghĩa, mục tiêu trực chuẩn, sự trực giao của các phẳng

và ánh xạ đẳng cự và biến đổi đẳng cự để chuẩn bị cho chương sau

Chương 2

Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid

Chương này đề cập đến các nội dung về siêu mặt bậc hai trong không

gian Euclid đó là phương trình dạng chính tắc, phương chính và siêu

phẳng kính chính, siêu cầu, bất biến của siêu mặt bậc hai và một số

bài tập vận dụng Những kiến thức viết trong chương này được tham

Trong đó các hệ số aij, ai, ao đều là các số thực, các aij không đồngthời bằng không và aij = aji.

Tập hợp tất cả những điểm X thuộc Ensao cho tọa độ (x1, x2, , xn)của nó thỏa mãn phương trình trên gọi là một siêu mặt bậc hai xác

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

Đây là một dạng toàn phương trong không gian vector Euclid −→

p =

vuut

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

Đây là phương trình dạng III

2.1.3 Ví dụ

Ví dụ 2.1.1 Tìm phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai S

trong E3 có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn {O; −→e

1, −→e

2, −→e

3}là:

2x21 + 2x22 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 − 4x1+6x2 − 2x3 + 3 = 0.Lời giải Ma trận A của (S) trong mục tiêu đã cho là:

= −λ(λ − 2)(λ − 5)

Vậy A có ba giá trị riêng là λ1 = 0, λ2 = 2 và λ3 = 5

Ứng với giá trị riêng λ1 = 0 ta có hệ phương trình:

Tương tự với λ2 = 2 ta có vectơ riêng là −→u

2 = (1, 1, −2) Với λ3 = 5vectơ riêng tương ứng là −→u

1

√ 6

1

√ 3

−1

√ 2

1

√ 6

1

√ 3

0 −2√ 6

1

√ 3

40 ) = 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

z2 = y2 + 3

2 √ 6

z3 = y3

Vậy phương trình chính tắc của (S) là: 2z22 + 5z32 − √ 10

2z1 = 0

Đó là paraboloid elliptic

Dựa vào các phương trình dạng chính tắc, chúng ta sẽ gọi tên một số

siêu mặt bậc hai Cách gọi tên này phù hợp với các tên gọi đã biết ở

PTTH

1 Siêu mặt bậc hai có phương trình dạng I với r = n và các

λ > 0, i = 1, 2, , n gọi là siêu mặt ellipsoid (n − 1) -chiều và phương

trình của nó có thể viết dưới dạng:

= 1

Các ai, i = 1, 2, , n gọi là các bán trục của siêu mặt ellipsoid.Các ellipse trong E2 và các ellipsoid trong E3 thuộc dạng này

2 Siêu mặt bậc hai có phương trình dạng I với r = n và các

λi, i = 1, 2, , n mang dấu khác nhau gọi là siêu mặt hyperboloid vàphương trình có thể viết dưới dạng:

a2k+1 − · · · − x

2 n

a2 n

= 1

Các hệ số a1, a2, , ak > 0 gọi là các bán trục thực Các hệ số

ak+1, ak+2, , an > 0 gọi là các bán trục ảo Các hyperbola trong E2,các hyperboloid 1 tầng và 2 tầng trong E3 thuộc dạng này

3 Siêu mặt bậc hai có phương trình dạng II với r = n và các hệ số

λi, i = 1, 2, , n mang dấu khác nhau gọi là siêu mặt nón (thực)

Các cặp đường thẳng cắt nhau trong E2, các cặp mặt phẳng cắtnhau, các cặp mặt nón trong E3 thuộc dạng này

4 Siêu mặt bậc hai có phương trình dạng III với r = n − 1 và các hệ

số λi, i = 1, 2, , n − 1 cùng dấu gọi là siêu mặt paraboloid elliptic,trường hợp các λi, i = 1, 2, , n − 1 mang dấu khác nhau gọi là siêumặt paraboloid hyperbolic

Các đường parabola trong E2 , các mặt paraboloid elliptic và paraboloidhyperbolic (mặt yên ngựa) trongE3 thuộc dạng này

5 Siêu mặt bậc hai có phương trình dạng I, II với r < n và dạng III

với r < n−1 gọi là các siêu mặt trụ ( elliptic, hyperbolic, parabolic )

Các cặp đường thẳng trùng nhau, các cặp đường thẳng song song

trong E2; các mặt trụ elliptic, hyperbolic, và parabolic, các cặp mặtphẳng cắt nhau, các cặp mặt phẳng trùng nhau trong E3 thuộc dạngnày

Cụ thể trong E3 chúng ta có 17 loại mặt bậc hai khác nhau và têngọi của chúng như sau:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

[x]tA[x] + 2[a]t[x] + b = 0

Mỗi vector riêng ~c 6= ~0 của ma trận A xác định một phương gọi

là một phương chính của (S) Cho ~c là một phương chính không phải

phương tiệm cận, khi đó siêu phẳng kính chính của (S) liên hợp với

phương ~c gọi là một siêu phẳng kính của (S) Trong không gian Euclid

2-chiều E2, siêu phẳng kính chính gọi là đường kính chính

Phương chính không phải là phương tiệm cận khi và chỉ khi giá trị

riêng tương ứng λ 6= 0

Siêu phẳng kính liên hợp với phương ~c thì vuông góc với phương ~c

Định lý 2.2 Nếu trong một hệ trực chuẩn {O; −→e

1, −→e

2, , −→e

n} phươngtrình siêu mặt bậc hai (S) có dạng:

Ta tìm điều kiện để phương ~c(c1, c2) là phương chính Do ~d(−c2, c1)

là phương vuông góc với ~c nên ~c là phương chính khi và chỉ khi ~c liên

hợp với ~d, tức là

−Ac1c2 + B(c21 − c22) + Cc1c2 = 0 (2.7)

a Nếu A = C và B = 0, khi đó C là một đường tròn Mọi cặp

số (c1, c2) đều thỏa mãn (2.7) nên từ đây suy ra mọi phương đều làphương chính và mọi đường thẳng qua tâm, đường tròn đều là đường

kính chính

b Nếu A 6= C và B = 0, khi đó C có thể là một ellipse, một

hyperbola hoặc là một parabola Phương trình (2.7) có dạng:

(C − A)c1c2 = 0

Ta tìm được hai phương chính ~c1(c1, 0), ~c2(0, c2) vuông góc với nhau

c Nếu A 6= C và B 6= 0, khi đó phương trình (2.7) là phương trình

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

bậc hai với ẩn t = c1

c2(c2 6= 0) có dạng:

Rõ ràng (2.8) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn t1t2 = −1

Do đó ta có hai phương chính vuông góc với nhau

Từ phân tích trên ta kết luận: Trong E2, nếu siêu mặt bậc hai Ckhông phải là đường tròn thì C có đúng hai phương chính liên hợp với

nhau và vuông góc với nhau Từ đó suy ra, nếu C có tâm duy nhất,

tức là AC − B2 6= 0, thì có hai đường kính chính vuông góc với nhau,

đó là hai trục đối xứng của C Còn nếu C không có tâm hoặc có vô

số tâm, tức là AC − B2 = 0 thì một phương chính sẽ là phương tiệmcận nên không có đường kính liên hợp với nó sẽ là trục đối xứng duy

nhất của C có phương là phương tiệm cận

Ví dụ 2.3.1 Trong E2, ellipse, hyperbola có hai đường kính chínhvuông góc với nhau là hai trục đối xứng của chúng Parabola có một

phương chính là phương tiệm cận và đường kính chính tương ứng là

trục đối xúng duy nhất của parabol

2.4.1 Siêu cầu

Định nghĩa 2.2 Trong không gian Euclid En cho điểm I và số thực

r ≥ 0 Tập hợp: S(I, r) = {M ∈ En : d(I, M ) = r} gọi là một siêu cầu(thực) tâm I, bán kính r

Theo cách gọi thông thường, siêu cầu trong E2 gọi là đường tròn,

còn trong E3 gọi là mặt cầu Khi r = 0 ta có khái niệm siêu cầu điểm.Đối với mục tiêu trực chuẩn, nếu I = (a1, a2, , an) thì phươngtrình của siêu cầu S(I, r) là:

Ví dụ 2.4.1 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn {O; −→e

1, −→e

2, −→e

3}, xétmặt bậc hai có phương trình:

x12 + x22 + x23 − 4x1 + 2x2 + 3x3 − 3 = 0 (2.10)

Dễ thấy phương trình (2.10) tương đương phương trình dạng chính

tắc:

(x1 − 2)2 + (x2 + 1)2 + (x3 + 1)2 = 9 (2.11)

Từ đó suy ra mặt bậc hai là mặt cầu tâm (2, −1, −1) bán kính r = 3

2.4.2 Miền trong và miền ngoài của siêu cầu

Định nghĩa 2.3 Trong En cho siêu cầu S(I, r) Tập hợp các điểm

M ∈ En sao cho d(I, M ) < r gọi là miền trong của siêu cầu, còn tậphợp các điểm M ∈ En sao cho d(I, M ) > r gọi là miền ngoài của siêucầu

Mệnh đề 2.1 1 Điểm M thuộc miền trong của S(I, r) khi và chỉ

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan

khi mọi đường thẳng chứa M đều cắt S(I, r) tại hai điểm phân biệt

2 Điểm M thuộc miền ngoài của S(I, r) khi và chỉ khi tồn tại một

đường thẳng chứa M mà không cắt S(I, r)

3 Mọi siêu phẳng đi qua tâm của siêu cầu đều là siêu phẳng kính

chính

2.4.3 Siêu cầu tổng quát

Trong không gian Euclid En với mục tiêu trực chuẩn, một siêu mặtbậc hai (S) gọi là siêu cầu tổng quát , nếu nó xác định bởi phương

i=1a2i − ao > 0 thì (2.13) là một siêu cầu thực với tâm

I(−a1, −a2, , −an), bán kính r = pPni=1a2i − ao

siêu mặt bậc hai Cách gọi tên phù hợp với tên gọi biết

PTTH

1 Siêu mặt bậc hai có phương trình dạng I với r = n

λ > 0, i = 1, 2, , n gọi siêu mặt ellipsoid... gọi siêumặt paraboloid hyperbolic

Các đường parabola E2 , mặt paraboloid elliptic paraboloidhyperbolic (mặt yên ngựa) trongE3 thuộc dạng

5 Siêu mặt bậc hai. ..

chính

2.4.3 Siêu cầu tổng quát

Trong không gian Euclid En với mục tiêu trực chuẩn, siêu mặtbậc hai (S) gọi siêu cầu tổng quát , xác định phương

i=1a2i