Điểm bất động của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón

Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định1956, sau đó mở rộng cho toán tử lõ

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Vĩnh Phúc , ngày 26 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Lăng Thị Diệu Thúy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự

hướng dẫn của PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi cũng xin cam đoan rằng

mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông

tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Xuân Hòa, ngày 26 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Lăng Thị Diệu Thúy

MỤC LỤC

Lời cảm ơn………2

Lời cam đoan……… 3

Mở đầu ……….6

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ …8

1.1 Khái niệm không gian Banach thực……… 8

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự……….9

1.2.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự - Hai phần tử thông ước và tậpK u ……… 9  0 1.2.2 Một số nón đặc biệt và mối liên hệ giữa chúng……… 12

1.3 Không gian 0 u E ……… 15

1.3.1 Phần tử u - đo được và không gian0 0 u E ……… 15

1.3.2 Một số định lý về nón……….18

1.4 Một số không gian Banach thực………25

1.4.1 Không gian m……….25

1.4.2 Không gian L a b ; ……….34

CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ K u - LÕM CHÍNH QUY CỰC TRỊ TRONG , 0 KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN ………….………….47

2.1 Các định nghĩa……… 47

2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử K u - lõm chính quy cực trị 48 , 0 2.3 Toán tử K u - lõm chính quy trong không gian , 0 L a b ,  ;  K u - lõm , 0 chính quy cực trị trong không gian m………55

2.3.1 Toán tử K u, 0- lõm chính quy……… 55

2.3.2 Toán tử K u, 0- lõm chính quy cực trị ……… 58

CHƯƠNG 3 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ K u - , 0

LÕM CHÍNH QUY CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH

THỰC VỚI HAI NÓN ………64

3.1 Định lý 3.1……… ………64

3.2 Định lý 3.2 ………… ……….66

Kết luận ……… 69

Tài liệu tham khảo ……… 70

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử

phi tuyến: toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định(1956), sau đó mở rộng cho toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của nón còn lại (1962)

GS-TSKH I.A.Bakhtin nghiên cứu toán tử (K, u0 )- lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định ( 1975), mở rộng cho toán tử (K, u0 )- lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng(1984)

Các lớp toán tử mà các GS Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiên cứu đều có chung tính chất u0 – đo được

Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớp toán tử lõm cho một lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u0 – đo được

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy

tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: “điểm bất động của toán tử (K, u 0 )- lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị và điểm bất động của toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u0 – đo được

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

- Tìm hiểu về toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị

- Tìm hiểu về điểm bất động của toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị, điểm bất động của toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến điểm bất động của toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Trình bày một cách hệ thống những kiến thức có liên quan đến “điểm bất động của toán tử (K, u 0 )- lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón”.Vận dụng những lý thuyết chung vào các không gian

Banach thực m, L[a;b]

Chương 1 KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ

1.1.Khái niệm không gian Banach thực

Định nghĩa 1.1.1

Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến tính định

chuẩn thực) là không gian tuyến tính X trên trường số thực R cùng với một

ánh xạ từ X vào tập R, kí hiệu là (đọc là chuẩn) , thỏa mãn các điều kiện

sau đây:

C1) x X x 0, x 0 x (Phầntử không của không gian X );

C2) x XP x   x ;

C3)x y, X x y  x  y

Số x gọi là chuẩn của véctơ x

Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn tương ứng là X

Các tiên đề C1, C2, C3 gọi là các hệ tiên đề về chuẩn

Định nghĩa 1.1.2

Dãy điểm  x n của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới

điểm xX , nếu : lim n 0

   Định nghĩa 1.1.3

Dãy điểm  x n n1 trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu:

lim, n m 0.

  hay    *

Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ

bản trong X đều hội tụ về phần tử thuộc không gian X

1.2.Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.2.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự - Hai phần tử thông ước và tập K u 0

1.2.1.1 Định nghĩa nón

Cho không gian Banach thực E Tập các tập con khác rỗng K E gọi

là một nón , nếu K thỏa mãn các điều kiện sau đây:

N1) K là một tập đóng trong không gian E ;

N2)  x K ,   y K    x y K;

N3 ) x K, t 0 txK;

N4)  x K x ,      x K

1.2.1.2 Quan hệ sắp thự thự

Giả sử E là không gian Banach thực , K là một nón trong không gian

E.Ta đưa quan hệ sắp thứ tự vào không gian E như sau:

Với x y, E,ta viết x y, nếu y x K.Khi đó quan hệ “ ” là một quan

Lúc này, ta nói không gian E cùng với nón K trở thành không gian Banach sắp thứ tự bộ phận hay không không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón K

Từ định nghĩa , dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau (ngoài các tính chất

và khái niệm đã biết trong lí thuyết tập hợp):

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một

số với một phần tử trong không gian Banach E , nên f liên tục Từ đó và từ

tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f 1( )K là tập đóng trong không gian E

Hiển nhiên , t0 f1( )K

Giả sử inff1( )K   Khi đó   1

1 ( ) ( 1, 2, )

  khi n   ta được u0K, mâu thuẫn với tính chất của nón K ( do u0 K \    )

Do đó inf 1

1

( )

f K  t  

Do f 1( )K là tập đóng, nên t1 f 1( )K , nghĩa là t1  min f1( ) K

Vì vậy, t1 nhỏ nhất sao cho t u1 0  x0K x0 t u1 0

hay tồn tại số thực nhỏ nhất t , sao cho x0   tu0.

1.2.1.3 Hai phần tử thông ước và tập K u 0

Cho không gian Banach thực E Phần tử xE gọi là thông ước với

phần tử yE, nếu  ( )x 0,  ( )x 0 sao cho y xy

Dễ dàng thấy, hai phần tử cùng thông ước với phần tử thứ ba thì thông ước với nhau

Giả sử u0K \   Ta ký hiệu K u 0 là tập hợp tất cả các phần tử x E thông ước với phần tử u0 Hiển nhiên, K u( )0 K \  

1.2.2 Một số nón đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng

Nón K gọi là đều, nếu mọi dãy đơn điệu và bị chặn bởi phần tử luôn có

giới hạn trong không gian E Nón K gọi là đều hoàn toàn, nếu mọi dãy đơn

điệu và bị chặn theo chuẩn luôn có giới hạn trong không gian E

 là dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn nhưng không hội

tụ, vì: hk1 hk  en1  1,   k 1,2, (mâu thuẫn với tính chất đều hoàn

toàn của nón K)

Do đó, K là nón chuẩn tắc

Tiếp theo, ta chứng minh K là nón đều

Thật vậy, lấy một dãy không giảm bất kỳ  x n n1 E và bị chặn trên bởi phần tử yK :

Do đó, dãy  x n n1 hội tụ trong không gian E

Vậy, K nón đều hoàn toàn

Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K

và u0K\   Phần tử x E  gọi là u - đo được, nếu tồn tại hai số không 0

âm t t1, 2 sao cho :  t u1 0  x t u  2 0

Theo các tính chất 1.2.3 và 1.2.4, tồn tại  x inft10 :t u1 0 x

và tồn tại  x inft2 0 :xt u2 0 Hiển nhiên 0 x t1,0 x t2 Nhờ đó ta nhận được ánh xạ: 0

0 : u

x  y inft inft inf t(1t3),

x u0  y u0 inft2inft4inf t( 2t4)

Ngược lại, nếu x là *

x  đo được, nghĩa là (t1 0,t2 0) sao cho

Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E Khi đó, K là

một nón chuẩn tắc khi và chỉ khi :

Khi đó, với mọi n ³ 2 ta có

Chứng tỏ, chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu

Ngược lại, giả sử chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu Khi đó, theo

định nghĩa chuẩn nửa đơn điệu  0 , : 

Nếu Q là một tập hợp con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không

gianEvà không chứa điểm không thì tập hợp

Suy ra lim n

  ( kí hiệu phầntử không của không gian E )

Do Q đóng nên   Q , mâu thuẫn với tính chất của Q

Vì vậy: inf 0

  

Mặt khác, do Q bị chặn nên tồn tại M 0để y M, y Q Tiếp theo ta chưng minh K Q  là tập đóng trong không gian E :

Lấy một dãy bất kì   un n1 K Q  

  sao cho lim n

  trong không gian E

Hiển nhiên,

nếu v thì   , chọn E t 0,y nQ  0.y nK Q , nếu v  v 0 ta sẽ chỉ ra vK Q( )

do u nK Q( ) nên un  t y tn. n, n  0, yn Q n (  1, 2, )

Theo (1.5) ta có

Giả sử   , là hai số thực không âm, xét phần tử  u   v :

Nếu    0   0 thì  u   v  K Q   là hiển nhiên

Nếu t1  0 t2  0 thì  u   v  K Q   là hiển nhiên

1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

là không gian véc tơ thực với phần tử không là  0, 0, 0, , 0, ,

và phép cộng hai phần tử, phép nhân vô hướng với phần tử của m xác định như sau:

Vậy m là một không gian vectơ thực với phép cộng hai phần tử và

phép nhân vô hướng với phần tử của m xác định như trên

* Trong không gian thực m , với mỗi x   xk k1 m

x x  m D R x D  dãy   xk bị chặn trên, nên tồn tại

Vậy m là một không gian định chuẩn thực.

1.4.1.2 Không gian Banach thực m

Không gian m là không gian Banach

 là một dãy cơ bản tùy ý trong m

Khi đó theo định nghĩa dãy cơ bản

x  trong không gian m khi s   x

Vậy m là một không gian Banach thực

1.4.1.3 Nón và các tính chất của nón - Quan hệ sắpthứ tự trong không

gian m

 Nón trong không gian banach thực m

Trong không gian Banach m , tập:

( )k : k 0,

K  x x m x   k N là một nón (1.10) Thật vậy, hiển nhiên K  m và K  (do K)

Ta đi chứng minh K thỏa mãn 4 tiên đề về nón

Thật vậy:

(N1) K là tập đóng trong không gian m

Tập K thỏa mãn 4 điều kiện về nón, nên K là một nón trong không gian m

 Tính chất của nón K và quan hệ sắp thứ tự trong m

*) Vì K là một nón trong không gian m nên theo lập luận ở mục 1.2.1.2 không gian m cùng với nón K là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự +) Với x  ( ) xk  m , y ( )  yk  m, ta có :

Ta chứng minh hệ thức (1.12) như sau:

Vì xx x x1, 2, , 3 m nên D x 0 sao cho x k D x, k 1, 2

Hơn nữa x k 0 , k I1 và I1là tập hữu hạn nên tồn tại

1 2

max

0min

1

max

maxmin

k

k I

k I k

2

max

maxmin

k

k I

k I k

1 2

max

0min

min

k k

m ax min

min

k k

Cho không gian L a b ; :  ;  ( ) : ( )

Vậy L a b  ;  là một không gian vectơ thực với phép cộng hai phần tử và phép

nhân vô hướng với phần tử của L a b  ;  xác định như trên

* Ta đưa vào không gian L a b ;  ánh xạ

Ta chứng minh (1.13) là một chuẩn trên không gian L a b  ; 

Thật vậy, vì hàm x s  khả tích trên a b , nên vế phải của (1.13) xác định ; 

Ta đi kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn đối với (1.13)

Vậy,công thức (1.13) xác định một chuẩn trênL a b ,;  L a b trở thành ; 

không gian định chuẩn, kí hiệu là L a b ; 

1.4.2.2 Không gian Banach thực L a b  ; 

 Không gian định chuẩn L a b là không gian Banach  ; 

j k a

Vậy dãy  x tn   hội tụ với y t   trong không gian L a b  ; 

Do đó, không gianL a b là không gian Banach thực  , 

1.4.2.3 Nón và các tính chất của nón - Quan hệ sắpthứ tự trong không gian L a b ; 

 Nón trong không gian banach thực L a b ; 

Xét K xx t( )L a b ; : ( )x t 0 h.k.n trên  a b ;   (1.17)

Ta có K là một nón trong L a b Thật vậy, ta kiểm tra  ;  K thỏa mãn các điều kiện về nón

*) Hiển nhiên K  L a b K  ;  ,   vì   K với

Vậy K là một nón trong không gian L a b ; 

Theo kết quả ở mục 1.2.1.2 ta có thể đưa quan hệ " " vào không gian

a b b

a b b



Chương 2 TOÁN TỬ K u, 0 - LÕM CHÍNH QUY CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN

Toán tử A được gọi là  K u , 0 lõm, nếu:

1) A dương và đơn điệu trên nón K ; 0

2) Toán tử A là u0- đo được trên nón K0;

3)   x K0 \    ,  t (0,1) đều có Atx  tAx ;

4) x y, K u0( ),0  t (0,1)sao cho x  ty   thì   ( , , )x y t 0

để Ax tAy    u0

Định nghĩa 2.1.5

Toán tử A gọi là ( ,K u -lõm chính quy, nếu 0)

1) Alà dương và đơn điệu trên nón K ; 0

Chứng minh :

Trước hết ta chứng minh  A là toán tử K u, 0-lõm chính quy

 là toán tử dương trên nón K0

+) A là toán tử đơn điệu trên nón K0 nên   x y ,  K0: x  y Ax   Ay

  là toán tử dương trên nón K0

+) A và B là các toán tử đơn điệu trên nón K0,

Định lí 2.2.3

Nếu toán tử A là K u -lõm chính quy cực trị thì toán tử , 0 A có không

hơn một điểm bất động trong K u 0 0

Và x   u0   u0  y    x y K , mâu thuẫn với (2.1)

Tiếp theo, ta chứng minh từ x  ty     t 1. (2.3) Thật vậy, do x   y K nên t 1

Điều này mâu thuẫn với (2.1)

Từ (2.2) và (2.3) chứng tỏ, nếu ( t R) sao chox  ty   thì t (0;1).

Bổ đề 2.2.1 : Tồn tại số lớn nhất t 0 (0;1) sao cho x  t y0  

Thật vậy :

Xét ánh xạ h R :  K

t  h t ( )  x  ty