Điểm bất động của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn với hai nón

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THU PHƯƠNG CHÍNH QUY COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VỚI HAI NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THU PHƯƠNG

CHÍNH QUY COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VỚI HAI NÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI, 2013

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS.GVCCNguyễn Phụ Hy, người đã luôn quan tâm động viên và tận tình hướngdẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau đại học,các thầy giáo, cô giáo của Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ

và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiêncứu và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ động viênkịp thời để tôi hoàn thành luận văn

Xuân hòa, ngày 22 tháng 6 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thu Phương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi cũng xincam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã đượccảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồngốc

Xuân Hòa, ngày 22 tháng 6 năm 2012

Học viên

Nguyễn Thu Phương

Mở đầu 5

Chương 1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 8

1.1 Không gian định chuẩn thực 8

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 9

1.2.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự 9

1.2.2 Một số nón đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng 10

1.3 Không gian Eu0 13

1.3.1 Phần tử u 0 -đo được và không gian E u 0 13

1.3.2 Một số định lí về nón 18

1.4 Hai phần tử thông ước và tập K (u0) 24

1.5 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 24

1.5.1 Không gian c 24

1.5.2 Không gian L2[a, b] 35

Chương 2 Toán tử (K, u0)-lõm chính quy compact trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 48

2.1 Các định nghĩa 48

2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0)-lõm chính quy compact 49

3

2.3 Toán tử (K, u0)-lõm chính quy, (K, u0)-lõm chính quy

com-pact trong các không gian c, L2[a, b]

55 2.3.1 Toán tử (K, u 0 )-lõm chính quy trong không gian L 2 [a, b] 55

2.3.2 Toán tử (K, u0) -lõm chính quy compact trong không gian c 57

Chương 3 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0)-lõm chính quy compact trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 63

3.1 Một số định lí 63

3.2 Áp dụng 67

3.2.1 Áp dụng định lí 3.1 67

3.2.2 Áp dụng định lí 3.2 69

Kết luận 70

Tài liệu tham khảo 71

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiên cứu lớptoán tử phi tuyến: toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thựcvới một nón cố định (1956), sau đó mở rộng cho toán tử lõm tác dụngtrong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón làtập con của nón còn lại (1962)

GS-TSKH I.A.Bakhtin nghiên cứu toán tử (K, u0)-lõm tác dụng trongkhông gian Banach thực với một nón cố định (1975), mở rộng cho toán

tử (K, u0)-lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cốđịnh giao nhau khác rỗng (1984)

Các lớp toán tử mà các GS Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiên cứu đều

có chung tính chất u0-đo được

Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớptoán tử lõm cho một lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong khônggian Banach thực với một nón cố định: Toán tử lõm chính quy, trong đókhông yêu cầu toán tử có tính chất u0-đo được

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sựgiúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ

Hy tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:"Điểm bất động của toán tử (K, u0)-lõm

chính quy compact trong không gian định chuẩn với hai nón”.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

• Tìm hiểu về toán tử (K, u0)-lõm chính quy compact

• Tìm hiểu về điểm bất động của toán tử (K, u0)-lõm chính quycompact trong không gian định chuẩn với hai nón

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả

về toán tử (K, u0)-lõm chính quy compact, điểm bất động của toán tử(K, u0)-lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn với hai nón.Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nướcliên quan đến điểm bất động của toán tử (K, u0)-lõm chính quy compacttrong không gian định chuẩn với hai nón

5 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử(K, u0)-lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn vớihai nón

• Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

• Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

6 Những đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống những kiến thức có liên quan đến "Điểmbất động của toán tử (K, u0)-lõm chính quy compact trong không gianđịnh chuẩn với hai nón" Vận dụng lý thuyết chung vào các không gianBanach thực c, L2[a, b]

Chương 1

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không giantuyến tính định chuẩn thực) là không gian tuyến tính X trên trường sốthực R cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là k.k (đọc

là chuẩn) thỏa mãn các điều kiện sau đây:

C1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ(Phần tử không của khônggian X);

C2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) kαxk = |α| kxk ;

C3) (∀x, y ∈ X) kx + yk 6 kxk + kyk;

Số kxk gọi là chuẩn của véctơ x

Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn tương ứng là X

Các tiên đề C1, C2,, C3 gọi là hệ tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn)∞n=1 của không gian định chuẩn X được

gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X, nếu: lim

n→∞kxn− xk = 0

Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn)∞n=1 trong không gian định chuẩn X gọi

là dãy cơ bản, nếu: lim

+) (∀x∈E) x≤x, vì x-x = θ ∈ K

⇒Quan hệ "≤" có tính chất phản xạ

+) (∀x,y,z∈E: x≤y, y≤z) ⇒y-x ∈ K, z-y ∈ K

Ta có: z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K ⇒ x≤z

⇒ Quan hệ "≤" có tính chất bắc cầu.

+) (∀x,y∈E: x≤y, y≤x) x=y, vì nếu x 6=y thì y-x 6= θ Do y-x ∈ K,nên x-y /∈ K, mâu thuẫn với giả thiết y ≤ x

⇒ Quan hệ "≤" có tính chất phản đối xứng

Do đó, quan hệ "≤" là quan hệ sắp thứ tự trong không gian E với nón

K Lúc này, ta nói không gian E cùng với nón K trở thành không gianBanach sắp thứ tự bộ phận hay không gian Banach nửa sắp thứ tự.1.2.2 Một số nón đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng

Cho không gian Banach thực E, K là một nón trong không gian E.Định nghĩa 1.7 Nón K được gọi là nón chuẩn tắc nếu:

(∃δ > 0) (∀e1, e2 ∈ K : ke1k = ke2k = 1) ke1 + e2k ≥ δ

Định nghĩa 1.8 Nón K được gọi là nón đặc, nếu

(∃x ∈ K) (∃S (x, rx) ⊂ E) S (x, rx) ⊂ K

Định nghĩa 1.9 Cho không gian Banach thực E với nón K

Dãy (xn)∞n=1 ⊂ E được gọi là dãy không giảm, nếu:

x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤

Dãy (xn)∞n=1 ⊂ E được gọi là bị chặn trên bởi phần tử, nếu:

(∃y ∈ E) xn ≤ y, ∀n ∈ N∗.Dãy (xn)∞n=1 ⊂ E được gọi là dãy không tăng, nếu:

x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ≥

Dãy (xn)∞n=1 ⊂ E được gọi là bị chặn dưới bởi phần tử, nếu:

(∃y ∈ E) xn ≥ y, ∀n ∈ N∗.Các dãy không giảm và dãy không tăng gọi chung là dãy đơn điệu.Dãy (xn)∞n=1 ⊂ E được gọi là bị chặn theo chuẩn, nếu:

(∃M > 0) (∀n ∈ N∗) kxnkE ≤ M Định nghĩa 1.10 Nón K được gọi là nón đều, nếu mọi dãy đơn điệutrong không gian E mà bị chặn bởi phần tử luôn có giới hạn trong khônggian E Nón K được gọi là nón đều hoàn toàn, nếu mọi dãy đơn điệutrong không gian E mà bị chặn theo chuẩn luôn có giới hạn trong khônggian E

Định lý 1.1 Nếu K là nón đều thì K là nón chuẩn tắc

Chứng minh Cho không gian Banach thực E, K là nón trong khônggian E

Giả sử K là nón đều nhưng K không là nón chuẩn tắc Khi đó(∀n ∈ N∗) (∃xn ∈ K) (∃yn ∈ K) kxnk = kynk = 1 ta có kxn + ynk < n12.Khi đó, chuỗi

∞

P

n=1

(xn + yn) hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach

E, nên chuỗi đó hội tụ và gọi tổng chuỗi là u

Định lý 1.2 Nếu K là nón đều hoàn toàn thì K là nón đều

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh K là nón đều hoàn toàn thì K

Nhưng dãy (hk)∞k=1 không hội tụ, vì khk+1 − hkk = ken+1k = 1, ∀k =

1, 2, , mâu thuẫn với tính chất đều hoàn toàn của nón K Vì vậy, K lànón chuẩn tắc

Tiếp theo, ta chứng minh K là nón đều

Thật vậy, lấy một dãy bất kì (xn)∞n=1 ⊂ E không giảm và bị chặn trênbởi phần tử y ∈ K: x1 6 x2 6 6 xn 6 6 y

Khi đó, dãy (xn− x1)∞n=1 là một dãy không giảm, bị chặn trên bởi

y − x1 và (xn − x1)∞n=1 ⊂ K

Do K là nón chuẩn tắc, (∃M > 0) (∀n > 2) kxn − x1k 6 M ky − x1k

Từ tính đều hoàn toàn của nón K, suy ra dãy (xn − x1)∞n=1 hội tụ theochuẩn của không gian E Nên dãy (xn)∞n=1 cũng hội tụ theo chuẩn củakhông gian E

Do đó, dãy (xn)∞n=1 hội tụ trong không E.

Vậy, E là nón đều hoàn toàn

1.3 Không gian Eu0

1.3.1 Phần tử u0-đo được và không gian Eu0

Định nghĩa 1.11 Cho không gian Banach thực E với nón K, giả sử

u0 ∈ K\ {θ} Phần tử x ∈ E gọi là u0-đo được nếu (∃t1 ≥ 0, t2 ≥ 0) saocho: −t1u0 6 x 6 t2u0

Kí hiệu Eu0 là tập hợp tất cả các phần tử x ∈ E có tính chất u0-đođược

Định lý 1.4 Tồn tại α = α (x) = inf t1 > 0, β = β (x) = inf t2 > 0 saocho:

−α(x)u0 6 x 6 β(x)u0 (1.2)Chứng minh Giả sử u0 ∈ K\ {θ}, phần tử x ∈ E là u0-đo được, nghĩalà:

(∃t1 ≥ 0, ∃t2 ≥ 0) − t1u0 ≤ x ≤ t2u0Trước hết ta chứng minh: ∃β = β (x) = inf {t2 ≥ 0 : x ≤ t2u0}

Theo chứng minh trên ∃α = α (x) = inf {t1 > 0 : − x 6 t1u0}, hay

Định lý 1.6 Eu0 là không gian định chuẩn với chuẩn k.ku

0:kxku

0 = max {α(x), β(x)} (1.3)Chứng minh Thật vậy, hiển nhiên k.ku

Vậy, (∀x ∈ Eu0) (∀λ ∈ R) kλxku0 = |λ| kxku

0.+ (∀x, y ∈ Eu0) (∃t1, t2, t3, t4 > 0) − t1u0 6 x 6 t2u0;

−t3u0 6 y 6 t4u0

⇒ − (t1 + t3) u0 6 x + y 6 (t2 + t4) u0

Mặt khác kxku

0 = max {inf t1, inf t2} , kyku

0 = max {inf t3, inf t4}, tacó:

Chuẩn (1.3) gọi là u0-chuẩn

Định lý 1.7 Nếu K là nón chuẩn tắc, thì Eu0 là không gian Banachtheo u0-chuẩn

Chứng minh Giả sử (xn)∞n=1 là một dãy cơ bản bất kì trong không gian

Eu0 theo u0-chuẩn, nghĩa là:

hay

−εu0 6 xn− xm 6 εu0 (1.4)

Do đó: xn− xm+ εu0 ∈ K, và

kxn− xmkE − εku0kE 6 kxn − xm + εu0kE 6 2Nεku0kE (do K là nónchuẩn tắc nên từ xn − xm + εu0 6 2εu0 suy ra kxn − xm + εu0kE 62N εku0kE)

Từ đó ta có: kxn− xmkE 6 ε (1 + 2N ) ku0kE với ∀m, n > n0 Điềunày cho thấy dãy (xn)∞n=1 là dãy cơ bản trong không gian banach E nên

∃x ∈ E : lim

n→∞kxn − xk = 0

Qua giới hạn trong hệ thức (1.4) khi m → ∞ ta nhận được:

−εu0 6 xn − x 6 εu0, ∀n > n0.Chứng tỏ xn− x ∈ Eu0 Do đó x = xn− (xn− x) ∈ Eu0 và

kxn− xkE 6 ε, với ∀n > n0, hay dãy (xn)∞n=1 hội tụ trong không gian

Eu0

Vậy, Eu0 là không gian Banach theo u0-chuẩn

1.3.2 Một số định lí về nón

Định lý 1.8 Giả sử K là nón trong không gian Banach thực E Khi

đó, K là một nón chuẩn tắc khi và chỉ khi:

(∃M > 0) (∀y ∈ K\ {θ}) (∀x ∈ Ey) kxkE 6 M.kxky.kykE (1.5)Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳngthức (1.5) không xảy ra.Tức là:

(∀n ∈ N∗) (∃yn ∈ K\ {θ}) (∃xn ∈ Eyn) kxnkE > nkxnky

n

.kynkE

Ta nhận được dãy (xn)∞n=1 ⊂ E, xn ∈ Eyn, xn 6= θ (n = 1, 2, ),đồng thời :

kxnkE > 0, kynkE > 0, kxnky

n < kxnkE

n kynkE .Theo định nghĩa chuẩn trên không gian Ey, với n = 1, 2, 3, ta có :

= 2ynnkynkEkgnkE +

kh n kE E = 0 (mâu thuẫn với (1.8))

Vì vậy,(∃M > 0) (∀y ∈ K\ {θ}) (∀x ∈ Ey) kxkE ≤ M kxkykykE.Điều kiện đủ: Giả sử bất đẳng thức (1.5) được thỏa mãn Khi đó:(∀x, y ∈ K) kxk = kyk = 1, ta có: kxkE ≤ M kxkx+ykx + ykE

Nhưng do: 0 ≤ x ≤ x + y nên kxkx+y ≤ 1

Do đó: kxkE ≤ M kx + ykE ⇒ kx + ykE ≥ M1

Vì vậy, K là nón chuẩn tắc

Định lý 1.9 K là nón chuẩn tắc khi và chi khi

(∃N > 0) (∀x, y ∈ K : y − x ∈ K) kxkE ≤ N kykE

Chứng minh *) Giả sử K là nón chuẩn tắc

∀x, y ∈ K, y − x ∈ K ta xét hai khả năng sau:

Vì vậy, K là nón chuẩn tắc.

Định lý 1.10 Nếu Q là một tập hợp con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặntrong không gian E và không chứa điểm không thì tập hợp K (Q) = {x ∈

E : x = ty, t ≥ 0, y ∈ Q} là một nón trong không gian E

Chứng minh Vì Q là tập đóng, bị chặn và không chứa phần tử khôngnên tồn tại m > 0, M > 0 sao cho m 6 kyk 6 M ∀y ∈ Q

Điều đó được suy ra từ các yếu tố sau:

Giả sử inf

y∈Qkyk = 0 thì tồn tại dãy (y)∞n=1 ⊂ Q sao cho lim

n→∞kynk = 0.Suy ra lim

n→∞yn = θ (Kí hiệu phần tử không của không gian E)

Do Q đóng nên θ ∈ Q (Mâu thuẫn với tính chất của Q)

Vì vậy: inf

y∈Qkyk = m > 0

Mặt khác, do Q bị chặn nên tồn tại M > 0 để kyk 6 M, ∀y ∈ Q.Tiếp theo ta chứng minh K (Q) là tập đóng trong không gian E.Lấy một dãy bất kì (un)∞n=1 ⊂ K (Q) sao cho lim

n→∞un = v 6= θ trongkhông gian E (nếu v = θ thì θ ∈ E, chọn t = 0, ∀yn ∈ Q ⇒ θ = 0yn ∈

K (Q)), ta có : un = tnyn, tn > 0, yn ∈ Q(n = 1, 2 ) và với



ε = kvk2 > 0

(∃n0 ∈ N∗) (∀n > n0) kun − vk < kvk2

Giả sử α, β là hai số thực không âm, xét phần tử αu + βv.

Nếu α = 0 ∨ β = 0 thì αu + βv ∈ K (Q) là hiển nhiên

Nếu t1 = 0 ∨ t2 = 0 thì αu + βv ∈ K (Q) là hiển nhiên

⇒ điều kiện N2, N3 được thoả mãn

Giả sử ∃u0 ∈ K (Q) , u0 6= 0 mà −u0 ∈ K (Q) thì

u0 = t0y0, t0 > 0, y0 ∈ Q\{θ} ⇒ −u0 = −t0y0 = t1y1 với t1 > 0,

y1 ∈ F \ {θ} ⇒ t1y1 = t0(−y0)

1.4 Hai phần tử thông ước và tập K (u0)

Định nghĩa 1.12 Giả sử u0 ∈ K\ {θ} Phần tử x ∈ E gọi là thông ướcvới u0, nếu ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αu0 ≤ x ≤ βu0.Nhận xét: Nếu x ∈ E thông ước với u0 thì x ∈ K\ {θ}

Kí hiệu K(u0) là tập hợp tất cả các x ∈ E thông ước với u0 Hiểnnhiên K(u0) ⊂ K\ {θ}

Tồn tại phần tử θ = (0, 0, , 0, ) ∈ c và θ+x = x+θ = (xn)∞n=1 ∈ c.+) ∀x = (xn)∞n=1 ∈ c ta có −x = (−x1, −x2, , −xn, ) ∈ c và

x + (−x) = (−x) + x = θ

+) ∀x = (xn)∞n=1 ∈ c

1x = (1x1, 1x2, , 1xn, ) = (x1, x2, , xn, ) = x

+) ∀x = (xn)∞n=1 ∈ c; ∀α, β ∈ R

1.5.1.2 Không gian Banach thực c

• Trước hết ta chứng minh không gian véctơ cùng với ánh xạ xác địnhbởi hệ thức:

kxk = sup

n

|xn| , ∀x = (xn)∞n=1 ∈ c (1.9)lập thành một không gian định chuẩn

• Không gian định chuẩn c là không gian Banach.

Thật vậy: Giả sử (x(m))∞m=1 với x(m) = (xn(m))∞n=1 là một dãy cơ bản bất

kì trong c , nghĩa là:

∀ε > 0, ∃m0 ∈ N∗, ∀m ≥ m0, ∀p ∈ N∗, ta có:

x(m+p)− x(m) < ε hay

sup

n

xn(m+p) − xn(m)

< ε,∀m ≥ m0, ∀p ∈ N∗ (1.10)

⇒

x(m+p)n − xn(m)

⇒ x1 > |x2| ,

Ta chứng minh hệ thức (1.15) như sau:

• Với mọi x ∈ cu0 ⇒ x có tính chất u0 - đo được ⇒ ∃t1, t2 > 0 saocho: −t1u0 6 x 6 t2uo ⇒ −t1un 6 xn 6 t2un, ∀n = 1, 2, 3,

Vậy cu0 = G Hệ thức (1.15) được chứng minh

1.5.1.5 Tập hợp K0(u0)

• Giả sử chọn u0 và ta có các tập I1, I2 như mục 1.5.1.4

Kí hiệu: H = {x = (x1, x2, ) ∈ c| xn > 0 với n ∈ I1, xn = 0 với

⇒ x ∈ K0(u0)

Vậy K0(u0) = H

1.5.2 Không gian L2[a, b]

Cho không gian véctơ L2[a, b]: