các siêu mặt hyperbolic brody trong không gian xạ ảnh phức

Một mặt, họ cố gắng xây dựng lớp các siêu mặt hyperbolic Brody cụ thể khác nhau trong các không gian n, và nhiều công trình lớn theo hướng này đã được công bố, tiêu biểu là các công trì

TRANG P BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TS NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi trên cơ sở các công

trình của H.Fujimoto Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chính

xác

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011

Nguyễn Hoàng Yến

L ỜI CẢM ƠN

Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HÒA đã định hướng tôi nghiên cứu các siêu mặt

hyperbolic, một vấn đề đang được quan tâm do những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực của Toán học; thầy là người trực tiếp hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này

Tôi gửi lời cảm ơn

BÙI QUANG THỊNH, bạn đồng môn, đã chia sẻ tài liệu và chỉ dẫn tôi trong

việc soạn thảo luận văn này bằng Latex

Tôi gửi lời tri ân đến

các thầy cô giáo trong khoa Toán-Tin đã hướng dẫn tôi nghiên cứu Toán học trong những năm học tại trường Đại học Sư Phạm TP.HCM

gia đình và bạn bè đã hiểu, chia sẻ và động viên tôi trong quá trình tôi thực hiện đề tài

Nguyễn Hoàng Yến

M ỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CẢM ƠN iii

MỤC LỤC iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do ch ọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 5

1.1 Không gian xạ ảnh phức 5

1.2 Đa tạp, siêu mặt, đường cong đại số, mặt Riemann 8

1.3 Không gian hyperbolic 19

Chương 2: MỘT SỐ LỚP SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC 22

2.1 Siêu mặt hyperbolic bậc thấp 23

2.2 Siêu mặt hyperbolic bậc cao 43

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

M Ở ĐẦU

1 Lí do ch ọn đề tài

Lí thuyết về không gian Hyperbolic, xuất hiện vào đầu những năm 60 của thế

kỉ XX, ngày càng được quan tâm vì người ta tìm thấy nhiều ứng dụng quan trọng của

nó trong các lĩnh vực của Toán học như: Hình học, Hình học Đại số, Số học, Giải tích, đặc biệt là mối liên hệ giữa tính hyperbolic Brody của các đa tạp xạ ảnh với nghiệm của phương trình Diophant thuần nhất S.Lang, trong [13], đã chỉ ra rằng:

Nếu X là không gian compắc thì X là hyperbolic Brody khi và chỉ khi nó là hyperbolic

niệm hyperbolic theo nghĩa Brody (vì đối với tập compắc, hai khái niệm này trùng

nhau) Một trong những giả thuyết nổi tiếng của Số học nói rằng: Phương trình

Diophant bậc cao với số biến đủ tổng quát chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên Trên cơ sở

đó, năm 1970, S.Kobayashi đưa ra giả thuyết:

Giả sử D là siêu mặt tổng quát bậc d trong n, với d đủ lớn so với n Khi đó, hoặc

đúng cho mọi ≥d 2n+1?

Giả thuyết của Kobayashi đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà Toán học trên thế giới Một mặt, họ cố gắng xây dựng lớp các siêu mặt hyperbolic Brody cụ thể khác nhau trong các không gian n, và nhiều công trình lớn theo hướng này đã được công

bố, tiêu biểu là các công trình của R.Brody, M.Green, A.Nadel, Y.T.Siu, J.P.Demailly, B.Shiffman, F.A Bogomolov, M.Ru, Noguchi, Hà Huy Khoái,

tìm phương pháp chung để mô tả các lớp tổng quát siêu mặt hyperbolic Brody trong

Hướng thứ ba là họ nghiên cứu giả thuyết này trong không gian xạ ảnh n-chiều trên

trường cơ sở không Acsimet: các nhà toán học tiên phong nghiên cứu theo hướng này

và đã công bố các công trình là Borel, Bloch, Cartan, M Ru, Noguchi, Hà Huy Khoái, …

Theo hướng thứ nhất, năm 1977, R.Brody và M.Green đã chứng minh: siêu

ra một loại siêu mặt hyperbolic bậc d = 6p+ ≥ 3 21 ([18]), J.El Goul cũng chỉ ra lớp

([23]) chứng minh lớp siêu mặt hyperbolic bậc d ≥11 Trong [6], J.P.Demailly và J.El Goul đã chứng minh rằng một siêu mặt tổng quát bậc 21≥ trong 3 là hyperbolic, và trong [21], M.Shirosaki đã xây dựng siêu mặt hyperbolic bậc 10

một siêu mặt hyperbolic bậc d với mỗi d d n≥ ( ), trong đó d n( ) là số nguyên đương

chỉ phụ thuộc vào n và đưa ra một số ví dụ cụ thể của siêu mặt hyperbolic trong n

n

 (]23])

Năm 1992, A.Emerenko và M.Sodin, trong [6], đã mở rộng định lý Cartan về sự phân

bố giá trị của đường cong chỉnh hình đến trường hợp các siêu mặt, đã chứng minh được rằng: Mọi ánh xạ chỉnh hình f :→n không cắt 2n+1 siêu mặt ở vị trí tổng quát đều là ánh xạ hằng, tức là phần bù của 2n+1 siêu mặt ở vị trí tổng quát đều là siêu mặt hyperbolic Brody trong không gian xạ ảnh phức n-chiều

Mở rộng các kết quả của Shirosaki [12], H.Fujimoto đã thành công trong việc xây dựng những lớp cụ thể các siêu mặt hyperbolic bậc 8 trong 3, là một trong những bậc thấp nhất của những siêu mặt hyperbolic đã được biết đến trong 3 Tổng quát hơn, H.Fujimoto đã chỉ ra kết quả sau:

Định lí 0.1 Tồn tại một họ siêu mặt hyperbolic bậc 2n

phức n-chiều

Định lí 0.2: Với mỗi d≥ ×2 6 (n n≥3), tồn tại một họ siêu mặt hyperbolic bậc d

Gần đây, B.Shiffman và M.Zaidengerg đã đưa ra cải thiện của những kết quả

đã được đề cập của Siu-Yeung, bằng cách chỉ ra sự tồn tại của siêu mặt hyperbolic sau đây nhưng không xây dựng ví dụ cụ thể:

Định lí 0.3 Cho m≥2n − 1 Với mỗi d ≥(m−1)2 và h1, ,h m là những hàm tuyến

định lí 0.2 thì có phương pháp nào xây dựng cụ thể những siêu mặt hyperbolic bậc d

đề mở đặt ra hiện nay

Việc nghiên cứu Giả thuyết Kobayashi theo cả 3 hướng trên hiện nay đang là vấn đề thời sự được các nhà Toán học quan tâm Vì vậy, chúng tôi chọn việc nghiên cứu CÁC SIÊU MẶT HYPERBOLIC BRODY TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC làm đề tài của mình Trong đề tài này, chúng tôi chỉ giới hạn tìm hiểu và tìm cách mở rộng các kết quả của B.Shiffman, M.Zaidengerg, R.Brody, M.Green, Masuda, Noguchi và đặc biệt là của H.Fujimoto trong không gian xạ ảnh phức n-chiều

2 M ục đích nghiên cứu

Trên cơ sở hiểu rõ các khái niệm và làm rõ các kết quả của H Fujimoto trong công trình của ông công bố năm 2003 và các tác giả có liên quan, xây dựng siêu mặt hyperbolic Brody bậc và bậc d với d ≥ ×2 6n trong không gian xạ ảnh phức n-chiều

Trên cơ sở hiểu rõ các khái niệm và làm rõ những kết quả của H.Fujimoto trong công trình của ông công bố năm 2003 và các tác giả có liên quan, xây dựng siêu

mặt hyperbolic Brody bậc d với mỗi d ≥ × trong không gian xạ ảnh phức n-chiều 2 6n

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu những siêu mặt hyperbolic Brody bậc thấp và bậc cao trong không gian xạ ảnh phức n-chiều

Luận văn xây dựng một số lớp siêu mặt hyperbolic bậc thấp và bậc cao trong không gian xạ ảnh phức n-chiều theo hướng nghiên cứu của H.Fujimoto và một vài tác giả khác, đồng thời cụ thể hóa nó trong một số trường hợp đặc biệt

4 Phương pháp nghiên cứu

học có liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả đã trình bày

Sử dụng các phương pháp của Hình học Đại số, đánh giá tính hyperbolic của các siêu mặt thông qua việc xác định giống của nó

5 C ấu trúc luận văn

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1 Không gian xạ ảnh phức

2 Đa tạp, siêu mặt, đường cong đại số, mặt Riemann

3 Không gian hyperbolic

Chương 2: MỘT SỐ LỚP SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC

1 Siêu mặt hyperbolic bậc thấp

2 Siêu mặt hyperbolic bậc cao

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày các vấn đề liên quan đến nội dung ở chương 2 Đó là các khái niệm về không gian xạ ảnh phức; đa tạp, siêu mặt, đường cong đại số, mặt Riemann; không gian hyperbolic

 sinh bởi ( , ,1)x y Mỗi không gian

{( , , )x y z ∈ |z=0}, đều chứa duy nhất một điểm có dạng ( , ,1)x y Còn các không gian con một chiều của

3

{( , , )x y z ∈ |z=0} có thể xem như là ``các điểm tại vô cùng''

Định nghĩa 1.1 Tập hợp các không gian con một chiều phức của không gian vectơ

1

n+

 được gọi là không gian xạ ảnh phức n-chiều n Khi n=1, ta có đường thẳng xạ ảnh phức 1 và khi n=2, ta có mặt phẳng xạ ảnh phức 2.

Nhận xét 1.2 Nếu V là một không gian vectơ trên trường K bất kì thì không gian xạ

ảnh tương ứng ( ) V là tập hợp tất cả các không gian con một chiều của V Ở đây, ta

V =  và cho đơn giản, ta viết + n thay cho (n+1)

Mỗi không gian con một chiều U của n+ 1 được sinh bởi một vectơ khác không

u U∈ .Do đó ta có thể đồng nhất n với tập tất cả các lớp tương đương của 1

Định nghĩa 1.3 Một vectơ bất kì ( ,x0 …,x n) trong n+1đại diện cho một phần tử x

của n; ta gọi ( ,x0 …,x n) là tọa độ thuần nhất của x và viết x=[x0:…:x n]

và [x0:…:x n] [= y0:…:y n] khi và chỉ khi tồn tại λ∈\ {0} sao cho x j =λy j với

Gọi X là không gian tôpô Do { | 0 U j ≤ ≤j n} là một phủ mở của n và φj :U j → n

là một đồng phôi với mỗi j, một ánh xạ f :n →X là liên tục khi và chỉ khi

Sau đây, chúng ta nhắc lại một số tính chất của tập compắc:

bị chặn (định lý Heine-Borel)

liên tục thì f bị chặn và đạt giá trị biên

(iv) Một tập con đóng của một không gian compắc là compắc

(v) Một tập con compắc của một không gian Hausdorff là đóng

(vi) Một hợp hữu hạn của các không gian compắc là compắc

Do đó Π|S2n+1là toàn ánh, dẫn đến điều phải chứng minh 

1.2 Đa tạp, siêu mặt, đường cong đại số, mặt Riemann

Chi tiết về đa tạp afin và đa tạp xạ ảnh có thể xem trong [19](tr.89), [12](tr.31), [10](tr.45), [22](tr.66)

Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm đa thức thuần nhất và cách thuần nhất hóa một

đa thức

Định nghĩa 1.8 Gọi P x x( ,1 2,…,x n) là đa thức khác không, n biến với hệ số phức

Đa thức P x x( ,1 2,…,x n) được gọi là đa thức thuần nhất bậc d nếu

Nghĩa là P có dạng

trong đó a0,…,a d ∈ và không đồng thời bằng không

Gọi e là số lớn nhất trong {0, , }… d sao cho a e ≠0.Khi đó

Vì vậy, ta có điều phải chứng minh 

Giả sử f ∈[ ,x x1 2,…,x n] là đa thức bậc d Ta gọi

1 2 0

gọi là đa tạp xạ ảnh xác định bởi F F1, 2,…,F r.

Siêu mặt là đa tạp xạ ảnh xác định bởi một đa thức thuần nhất F:

( ) {[ : : : n] n| ( , , , n) 0}

V F = a a … a ∈ F a a … a =

Bậc của siêu mặt chính là bậc của đa thức F

Sau đây, chúng ta nhắc lại khái niệm chiều của đa tạp xạ ảnh:

Giả sử V là không gian vectơ và W là không gian vectơ con của V Trên V định nghĩa

quan hệ

~

v v′ nếu v− ∈v′ W

Dễ dàng chứng minh ~ là quan hệ tương đương Kí hiệu [ ]v là lớp tương đương của

v V∈ và /V W là tập hợp các lớp tương đương, nghĩa là

Trên V W/ , ta xét các phép toán cộng [ ] [ ] [v + v′ = +v v′] và phép nhân vô hướng

[ ] [ ]

a v = av với a∈ và ,v v′∈ Dễ dàng kiểm tra tính đúng đắn của phép toán này V

Vậy /V W là một không gian vectơ trên trường số phức Ta cũng có kết quả sau đây:

Bổ đề 1.11 Giả sử W là không gian vectơ con của một không gian vectơ hữu hạn

chiều V Khi đó W và V W/ cũng là các không gian vectơ hữu hạn chiều và

dim V=dim W + dim V / W

Với mỗi số nguyên s , ta kí hiệu

là idean sinh bởi f f1, 2,…, f r

Định nghĩa 1.13 Idean I ⊂[ , ,x x0 1 …,x n] gọi là thuần nhất nếu mọi f I∈ có các thành phần thuần nhất f i của f thuộc I

Định lí 1.14 Giả sử I là idean trong [ , ,x x0 1 …,x n] Khi đó I là idean thuần nhất

là hàm Hilbert (xạ ảnh) của idean I

Mệnh đề 1.15 Cho idean thuần nhất I ⊂[ , x x0 1…,x n]. Khi đó với mọi s đủ lớn,

Định nghĩa 1.16 Đa thức bằng HF s I( ) với s đủ lớn được gọi là đa thức Hilbert của

I và kí hiệu là HP s I( ) Số nguyên deg HP I V( ) được gọi là chiều của đa tạp xạ ảnh

Gọi ( , )p x y là đa thức khác hằng số, hai biến, với các hệ số phức Ta nói ( , )p x y

đó ( , ), ( , )q x y r x y là các đa thức và ( , )q x y khác h ằng số

Định nghĩa 1.17 Giả sử ( , )p x y là một đa thức khác hằng số, hai biến với các hệ số

nghĩa như sau:

Định lí 1.18 (Định lí Hilbert về không điểm) Giả sử p(x,y) và q(x,y) là các đa thức

{( , )x y ∈ | ( , )p x y =0}và

2

{( , )x y ∈ | ( , )q x y =0} là trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên dương n

tương đương với p(x,y) và q(x,y) có cùng các thành phần bất khả qui (có thể với bội khác nhau)

Hệ quả 1.19 Nếu p(x,y) và q(x,y) không có thành phần bội thì chúng định nghĩa

Định nghĩa 1.20 Giả sử C là đường cong đại số phức trong 2 và C được định nghĩa bởi đa thức ( , )p x y với

chính là bậc của đa thức ( , )p x y , nghĩa là d =max i{ + j a| ij ≠ Một điểm ( , )0} a b ∈C

được gọi là điểm kì dị (hoặc kì dị) của C nếu

không kì dị nếu Sing C( )= ∅

Ví dụ 1.21 Đường cong định nghĩa bởi 2 2

1

là đa thức thuần nhất bậc m theo hai biến x a y b− , − Vì vậy, theo bổ đề 1.9, đa thức

thuần nhất này có thể phân tích thành tích của m đa thức tuyến tính có dạng

( , )α β ∈ {(0,0)} Những đường thẳng được định nghĩa bởi các đa thức tuyến tính này được gọi là các

tiếp tuyến của C tại (a, b) Điểm (a, b) không phải là điểm kì dị khi và chỉ khi số bội

m của nó là 1; trong trường hợp này, C chỉ có một tiếp tuyến tại điểm (a,b) được xác định bởi

Điểm ( , )a b ∈ được gọi là điểm bội hai (tương ứng, bội ba, v.v…) nếu số bội của C

thức (1.1) không có thành phần bội, tức là C có m tiếp tuyến phân biệt tại (a,b)

thức p(x,y) và (a,b) là điểm kì dị của C Khi đó, (a,b) là điểm bội hai thông thường khi và chỉ khi

điểm bội hai tại gốc tọa độ; đường thứ nhất có điểm bội hai thông thường, nhưng

kì dị bội bốn không tầm thường tại gốc tọa độ; còn đường cong định nghĩa bởi

4 4 2 2 2 2 2

Định nghĩa 1.25 Giả sử C là đường cong định nghĩa bởi đa thức p(x, y) Đường

cong C được gọi là bất khả qui nếu đa thức p(x,y) là bất khả qui, nghĩa là p(x,y) chỉ

có các nhân tử là hằng số và vô hướng nhân với chính nó

Nếu các nhân tử bất khả qui của p(x,y) là p x y1( , ),…,p x y k( , ) thì các đường cong định nghĩa bởi p x y1( , ),…,p x y k( , ) được gọi là các thành phần (bất khả qui) của C

Định nghĩa 1.26 Gọi P(x,y,z) là đa thức thuần nhất khác hằng, theo ba biến x, y, z

với hệ số phức Giả sử P(x,y,z) không có thành phần bội Khi đó đường cong xạ ảnh

C trong 2 được định nghĩa như sau:

2

{[ : : ] | ( , , ) 0}

C = x y z ∈ P x y z =

Bậc của đường cong C chính là bậc d của đa thức P(x,y,z)

Nhận xét 1.27 (i) Đường cong xạ ảnh là siêu mặt trong 2

và chỉ khi mỗi đa thức bằng tích của đa thức kia với một vô hướng, và một đa thức thuần nhất với các thành phần bội có thể xem như một đường cong có những thành phần bội

Định nghĩa 1.28 Đường cong C được gọi là bất khả qui nếu P(x,y,z) là bất khả qui,

nghĩa là P(x,y,z) chỉ có các nhân tử là hằng số và vô hướng nhân với chính nó

Gọi D là đường cong xạ ảnh bất khả qui được định nghĩa bởi đa thức thuần nhất Q(x,y,z) D được gọi là một thành phần của C nếu P(x,y,z) chia hết cho Q(x,y,z) Một điểm [ : : ]a b c ∈C được gọi là kì dị nếu

không kì dị nếu Sing C( )= ∅

y z= có một điểm kì dị [0:0:1] x

Định nghĩa 1.30 Giả sử C là đường cong định nghĩa bởi P(x,y,z) Ta gọi số bội của

điểm [ : : ]a b c ∈2 là số nguyên dương bé nhất m sao cho

Chứng minh Theo tính chất 1.6(iv) và mệnh đề 1.7, ta chỉ cần chứng minh C là tập

con đóng trong 2 Nhưng do nhận xét 1.4(i) nên C là tập con đóng trong 2 khi và chỉ khi

\( ) {( , , )C x y z {0}| ( , , )P x y z 0}

Để phân biệt với đường cong xạ ảnh trong 2, đường cong đại số phức trong 2

thường được gọi là đường cong afin Đường cong afin và đường cong xạ ảnh có liên

hệ mật thiết với nhau

Ta có thể đồng nhất 2 với tập con mở của 2 :

Giả sử P(x,y,z) là đa thức thuần nhất khác hằng số bậc d và C là đường cong xạ ảnh xác định bởi P Ta đồng nhất U với 2 như mô tả ở trên, khi đó giao của U và đường

nhất theo hai biến P(1,v,w) Đa thức này có bậc d nếu x không phải là ước của

P(x,y,z), nghĩa là C không chứa đường thẳng x=0 Ngược lại, giả sử p(y,z) là đa thức không thuần nhất bậc d theo hai biến y,z Khi đó, đường cong afin C định nghĩa bởi p(y,z) là giao của U (U được đồng nhất với 2 với đường cong xạ ảnh C trong 2,

trong đó C được xác định bởi đa thức thuần nhất:

Chứng minh Để chứng minh, ta sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 1.33 (Quan hệ Euler) Nếu R(x,y,z) là một đa thức thuần nhất bậc m thì

Theo quan hệ Euler, ta suy ra P(1, , )a b 0.

x

∂

Vì vậy [1:a:b] là điểm kì dị của C 

Nhận xét 1.34 Dựa trên định nghĩa về tiếp tuyến tại điểm kì dị của đường cong afin,

ta có thể định nghĩa tương tự cho đường cong xạ ảnh tương ứng với đường cong afin cộng thêm ``các điểm ở vô cùng ''

Sau đây, chúng ta tìm hiểu về giống của đường cong:

Một đường cong xạ ảnh phức C ={[ : : ]x y z ∈2| ( , , )P x y z =0}là tập con của mặt phẳng xạ ảnh 2, có một tôpô tự nhiên Đường cong xạ ảnh trơn (không kì dị) trong

2

tính dựa vào bậc d của đường cong theo công thức

Từ đó suy ra rằng một đường cong xạ ảnh bất khả qui là kết quả của một số hữu hạn phép đồng nhất những điểm trên một mặt cầu với g quai Chính xác hơn, nếu C là một đường cong xạ ảnh bất khả qui bậc d trong 2 với những điểm kì dị p p1, 2,…,p r,

khi đó tồn tại một mặt cầu C với g quai và một toàn ánh liên tục :Cπ  →C cảm sinh

π− phụ thuộc vào kiểu kì dị của p i Ví dụ, nếu p i là một điểm

( )p i

điểm kì dị thông thường với bội m≥2 thì π−1( )p i gồm đúng m điểm Mặt khác, nếu

y z= và x p=(0,0,1) là

( )p i

phôi Công thức giống có thể được tổng quát hóa để áp dụng cho C, trong đó mỗi điểm kì dị p i được gán với một số nguyên dương δ(p i), sao cho đẳng thức

Mệnh đề 1.35 ([10]}tr.102) Giả sử đường cong xạ ảnh C chỉ có những điểm bội

Chi tiết về mặt Riemann có thể xem trong [17](tr.6), [19](tr.5-21)

Định nghĩa 1.36 ([17] Định nghĩa 1.24) Giả sử X là không gian tôpô Hausdorff, U là



Hai biểu đồ phức n-chiều φ và 1 φ trên X được gọi là tương thích nếu 2 U1∩U2 = ∅

Không gian Hausdorff liên thông X cùng với một cấu trúc phức n-chiều được gọi là

đa tạp phức n-chiều

Dựa trên định nghĩa đa tạp phức, chúng ta sẽ định nghĩa mặt Riemann:

Định nghĩa 1.37 Mặt Riemann là đa tạp phức 1-chiều

Một số ví dụ của mặt Riemann compắc là: đường thẳng xạ ảnh P1, xuyến phức

/

X = Λ trong đó Λ ={m1ω1+m2ω2|m m1, 2∈} với ω ω là hai số phức độc lập 1, 2

tuyến tính trên ,…

Định lí 1.38 ([17] Định lí 2.3) Giả sử X là đường cong afin trong 2xác định bởi

đa thức f(x,y) Nếu đa thức f bất khả qui và không kì dị thì X là mặt Riemann

điểm của f là mặt Riemann

định bởi đa thức thuần nhất F(x,y,z) Nếu đa thức F không kì dị thì X là mặt Riemann compắc

1.3 Không gian hyperbolic

Trước hết, chúng ta cần có những khái niệm cơ bản sau:

Định nghĩa 1.40 Cho đĩa tròn đơn vị ∆ ={| | 1}.z < Metric Poincare ρ∆ là metric Riemann đầy đủ trên ∆ được định nghĩa như sau:

2

2 2.(1 | | )

Kết quả sau đây còn được gọi là tính chất giảm khoảng cách của Metric Poincare:

* 2 2

Định nghĩa 1.42 (Giả metric Kobyashi-Royden) Cho X là đa tạp phức (không nhất

Với ,p q∈ , chọn một dãy các điểm X p0 = p p, 1,…,p n =q và các ánh xạ chỉnh hình

Chúng ta cũng có thể định nghĩa giả metric Kobyashi-Royden theo hướng sau đây:

được định nghĩa như sau:

Giả sử p X∈ và v T∈ X p, là vectơ tiếp xúc chỉnh hình tại p Ta xét tất cả những ánh

xạ chỉnh hình f từ ∆ =R {| |z <R} vào X thỏa mãn f(0)=p và f*( /∂ ∂ =z) v Khi đó

Giả metric sinh bởi · chính là ρ được định nghĩa ở trên X

Theo ý nghĩa hình học, ta đang cố kéo giãn đĩa tròn lớn đến mức có thể trong X

(1) Bất đẳng thức tam giác:ρX( , )p q +ρX( , )q r ≥ρX( , )p r với p q r, , ∈ X

(2) Giảm khoảng cách: Cho : f X → là ánh xạ chỉnh hình Khi đó Y

f ∆ →  với f z( )= +z z0 Từ định nghĩa 1.43, ta có v = với 0 v T∈ X z, 0

trên ( )f  Ta có thể lấy ví dụ với X là xuyến phức n /Λ

Định nghĩa 1.47 Một đa tạp phức là hyperbolic theo quan điểm của Kobayashi nếu

Nhận xét 1.49 Theo mệnh đề 1.7, ta có n là compắc Do đó trên không gian xạ ảnh phức n, khái niệm hypberbolic theo quan điểm của Kobayashi và Bordy là trùng nhau, nên ta gọi chung hai khái niệm này là Hypberbolic

Thông thường, chúng ta không dễ để xây dựng những ví dụ đa tạp hyperbolic Thậm chí cũng khó để chứng minh một đa tạp X cho trước là hyperbolic Nhưng với

trường hàm phân hình trên  có dạng: x =x t , y( ) =y t v z( ) à =z t( ) Mỗi nghiệm trên xác định một ánh xạ chỉnh hình f :→ =C {x n+ y n =z n}⊂ Nghiệm của 2

phương trình trên là tầm thường nếu và chỉ nếu f là ánh xạ hằng Khi đó, phương trình có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ nếu ( ) 2g C ≥ , nghĩa là n 4=

Để kết thúc phần này, chúng ta nhắc lại khái niệm đủ tổng quát:

Giả sử W là một trường đóng đại số Ta nói rằng mệnh đề S a a( ,1 2,…,a n) đúng với

Chương 2: MỘT SỐ LỚP SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN

Chương này là nội dung chính của luận văn, gồm hai phần: siêu mặt hyperbolic bậc thấp và siêu mặt hyperbolic bậc cao Phần thứ nhất trình bày cách xây dựng một họ siêu mặt hyperbolic trong n với mỗi n≥2 bằng cách xây dựng H-đa thức Phần thứ hai nêu ra phương pháp tổng quát xây dựng siêu mặt hyperbolic bậc cao từ đa thức F thỏa mãn điều kiện trong mệnh đề 2.20 và các H-đa thức đã được xác định trước (theo phương pháp được trình bày ở phần 1)

Ở phần thứ nhất, chúng tôi giới thiệu khái niệm H-đa thức (định nghĩa 2.1) Dựa trên khái niệm này, chúng ta chuyển từ bài toán xây dựng các lớp siêu mặt hyperbolic trong n thành bài toán xây dựng các H-đa thức bằng cách áp dụng định lí 2.2 Trước hết, chúng ta đưa ra phương pháp xây dựng H-đa thức với bậc d ≥4 trong 2 (định lí

sẽ xây dựng trực tiếp siêu mặt hyperbolic từ đa thức F và các H-đa thức đã có Để minh họa mệnh đề 2.20, trước hết, chúng ta cần đưa ra ví dụ của đa thức F thỏa mãn điều kiện (i) và (ii) trong mệnh đề 2.20 Cụ thể, chúng tôi đưa ra các đa thức F theo hai biến và có ba tham số p,r,s thỏa mãn điều kiện của mệnh đề 2.21 Đồng thời theo kết quả của phần thứ nhất, chúng ta luôn có thể xây dựng H-đa thức trong n với mỗi

2

n≥ Như vậy, trong không gian xạ ảnh phức bất kì với số chiều n≥2, chúng ta có thể xây dựng một siêu mặt hyperbolic bậc d =rd1+sd2 lớn tùy ý (phụ thuộc vào sự lựa chọn r,s ) từ đa thức F đã nêu và hai H-đa thức bậc lần lượt là d d1, 2(mệnh đề 2.23) Câu hỏi đặt ra ở đây là trong n với mỗi n≥3, chúng ta có thể xây dựng một

họ siêu mặt hyperbolic với bậc d cho trước hay không? Câu trả lời là có nếu d đủ lớn Hay nói cách khác, với mỗi n≥ , trong 3 n tồn tại số nguyên dương d(n) sao cho với mọi d ≥d n( ) tồn tại một siêu mặt hyperbolic bậc d

Để minh họa điều này, chúng ta đưa ra định lí 2.25, đồng thời định lí này cũng là sự cải thiện hơn của định lí 0.2

2.1 Siêu m ặt hyperbolic bậc thấp

Trước hết, chúng ta định nghĩa khái niệm H-đa thức:

Định nghĩa 2.1 Một đa thức thuần nhất Q(w) bậc d với w=(w w0, 1,…,w n) là H-đa thức nếu đa thức Q thỏa mãn 2 điều kiện sau:

Định lí sau đây sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa H-đa thức và siêu mặt hyperbolic:

Định lí 2.2 Cho Q w w( 0, 1,…,w n) là H- đa thức Khi đó

Chứng minh (i) Giả sử f :→n là ánh xạ chỉnh hình với biểu diễn rút gọn

: ( : : : n)

f = f f  f và f( ) ⊂V Vì vậy Q f( 0, ,f1 …, f n)=0 Mà Q là H-đa thức nên f là ánh xạ hằng Do đó siêu mặt V là hyperbolic

(ii) Giả sử f :→n−1 là ánh xạ chỉnh hình với biểu diễn rút gọn f =(f1:: f n) và

1

( ) n \

f  ⊂− W , nghĩa là ( )f  ∩ = ∅W Khi đó, hàm nguyên Q(0, ,f1 …, f n)≠0,

hay nói cách khác Q(0, ,f1 …, f n) không có không điểm Do vậy, tồn tại một hàm nguyên f n+1 sao cho Q(0, ,f1 …, f n)= f n d+1 Mà Q là H-đa thức nên f là ánh xạ hằng

Từ đó suy ra n−1\W là B-hyperbolic 

Trên cơ sở định lí 2.2, chúng ta đưa bài toán xây dựng các siêu mặt hyperbolic về bài toán xây dựng các H-đa thức trong không gian xạ ảnh phức

Trước hết, chúng ta cần nhắc lại khái niệm Hessian:

Định nghĩa 2.3 Giả sử P(x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc d Khi đó Hessian của

P, kí hiệu là P là đa thức được xác định bởi:

Kết quả sau đây sẽ chỉ ra một cách xây dựng H-đa thức trong 2:

Định lí 2.4 Cho Q u u u( , ,0 1 2)là đa thức thuần nhất bậc d ≥4 và gọi

những điều kiện sau đây:

Chứng minh Trong quá trình chứng minh, ta sử dụng kết quả của định lí sau đây:

Định lí 2.5 (Định lí Picard) Giả sử V là mặt Riemann compắc có giống lớn hơn 1

Khi đó, mọi ánh xạ chỉnh hình từ  vào V là ánh xạ hằng

Để chứng minh Q là H-đa thức, ta cần chứng minh Q thỏa mãn điều kiện (H1) và (H2):

(H1) Giả sử f :→2 là ánh xạ chỉnh hình có biểu diễn rút gọn f : (= f0, ,f f1 2)

có điểm kì dị trên đường thẳng vô hạn H∞: {= u0 =0}

Ta xét đa thức liên hợp không thuần nhất

và P k cũng là nghiệm của hệ phương trình:

V được chứa trong tập hợp { ,P1 …,P N}

Mà Q thỏa mãn điều kiện (C2) nên ( )R P k ≠ R P( )l với 1 k l N≤ < ≤ Vì vậy, chỉ có

c

c

do R thỏa mãn điều kiện (C4) nên điểm kì dị nếu có sẽ là điểm bội hai thông thường

c

nhiều nhất một điểm kì dị bội hai thông thường

Khi đó theo công thức của Plucker ,giống của V c được xác định như sau:

P P c

xạ chỉnh hình f :→V c là ánh xạ hằng Khi đó Q thỏa mãn điều kiện (H1)

(H2) Giả sử f :→1 là ánh xạ chỉnh hình có biểu diễn rút gọn f : ( ,= f f1 2) thỏa mãn đẳng thức