Mặt trong không gian Euclid

Lời mở đầuKhoảng 300 năm TCN, nhà toán học Hy Lạp Euclide đã tiến hành nghiên cứu các quan hệ về khoảng cách và góc, trước hết trong mặt phẳng và sau đó là trong không gian.. Trong khóa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Tạ Thị Ngọc

MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Tạ Thị Ngọc

MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Thạc Dũng

Hà Nội – Năm 2017

Trong thời gian học tập trong khoa toán trường Đại học sư phạm

Hà Nội 2, được sự dạy dỗ chỉ bảo tận tình của thầy cô giáo, tôi đã

tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm, và phương pháp học

tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo khoa

Toán, đặc biệt là tôi xin cảm ơn thầy giáo TS.Nguyễn Thạc Dũng là

người trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và đóng góp những ý kiến

quý báu trong thời gian thực hiện khóa luận này

Do sự hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu khoa học nên

khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của

quý thầy cô và các bạn sinh viên

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 26/04/2017

Tác giả khóa luận

Tạ Thị Ngọc

Khoá luận tốt nghiệp của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn,

chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo TS.Nguyễn Thạc Dũng cùng với sự

cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã tham khảo và kế thừa những

thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu

với sự trân trọng và lòng biết ơn

Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của đề tài "Mặt trong

không gian Euclid" không có sự trùng lặp với kết quả của các đề

tài khác Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 26/04/2017

Tác giả khóa luận

Tạ Thị Ngọc

Lời mở đầu 1

1.1 Mảnh trong Rn 4

1.2 Định nghĩa vectơ tiếp xúc 15

1.3 Vectơ pháp tuyến và trường vectơ 17

2 Mảnh chính quy trong R3 và ánh xạ Gauss địa phương 18 2.1 Ánh xạ Gauss địa phương 18

2.2 Mặt chính quy 21

2.3 Một số ví dụ về mặt 30

2.3.1 Định nghĩa mảnh Monge 30

2.3.2 Paraboloids và mặt Monkey Saddles 31

2.3.3 Hình xuyến elliptic 34

2.3.4 Các mảnh kì dị 35

3 Vectơ tiếp xúc và ánh xạ khả vi trên các mặt 38 3.1 Vectơ tiếp xúc 38

3.2 Ánh xạ khả vi trên các mặt chính quy 40

3.3 Các mặt mức trong R3 45

Lời mở đầu

Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Hy Lạp Euclide đã tiến hành

nghiên cứu các quan hệ về khoảng cách và góc, trước hết trong mặt

phẳng và sau đó là trong không gian Một trong các ví dụ về các quan

hệ 2 loại này là: tổng các góc trong một tam giác là 180 độ Ngày nay

các quan hệ này được biết dưới tên gọi là hình học Euclid hai hoặc ba

chiều

Trong ngôn ngữ của toán học hiện đại, khoảng cách và góc đã được

tổng quát cho các không gian 4 chiều, 5 chiều và nhiều chiều hơn Một

không gian n-chiều với các khái niệm về khoảng cách và góc thỏa mãn

các quan hệ Euclide được gọi là không gian Euclide n chiều

Hiện nay, mặt trong không gian Euclid được rất nhiều các nhà toán

học quan tâm, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và trong

thực tiễn cuộc sống

Trong khóa luận này, chúng tôi đã tập hợp nhiều nghiên cứu và

trình bày một cách có hệ thống các khái niệm cơ bản của lý thuyết

mặt cong chính quy hay còn gọi là đa tạp hai chiều Ngoài ra, chúng

tôi cũng chỉ ra một số ví dụ về mặt trong không gian Euclid Nội

dung của Khóa luận được trình bày dựa theo cuốn sách tham khảo

[Gray 2015]

Khóa luận này gồm 3 chương

Chương 1 "Mảnh trong Rn" trình bày một số khái niệm vàtính chất cơ bản của mảnh trong Rn như mảnh đơn ánh, mảnh chínhquy, ma trận Jacobian của một mảnh Trong chương này, chúng tôi

cũng trình bày một cách hệ thống các khái niệm vectơ tiếp xúc, vectơ

pháp tuyến của mảnh, và các khái niệm về trường vectơ trên mảnh

Chương 2 "Mảnh trong R3 và ánh xạ địa phương Gauss"trình bày các kiến thức cơ bản về mặt chính quy, ánh xạ Gauss địa

phương Nhiều tiêu chuẩn và phương pháp xây dựng mặt chính quy

được khảo sát chi tiết Cuối cùng, trong chương này, chúng tôi giới

thiệu nhiều ví dụ về các mặt chính quy, chẳng hạn mặt parabolids,

mặt yên ngựa, mặt yên ngựa của chú khỉ, xuyến elliptic,

Chương 3 "Vetơ tiếp xúc và ánh xạ khả vi trên các mặt"

trình bày định nghĩa một vectơ tiếp xúc với một mặt chính quy, định

nghĩa và một số ví dụ về ánh xạ khả vi trên các mặt Toàn bộ chương

này có thể xem như là nhập môn thu gọn về lý thuyết mặt hay lý

thuyết đa tạp trơn hai chiều Chương này kết thúc bằng khái niệm

mặt mức, chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn để một mặt mức là một

mặt chính quy hai chiều Nhiều ví dụ minh họa cũng được giới thiệu

Khóa luận được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

26 vào tháng 4 năm 2017 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn

Thạc Dũng

Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc và kính trọng tới thầy

giáo hướng dẫn TS Nguyễn Thạc Dũng đã tận tình chỉ bảo tôi trong

quá trình học tập và nghiên cứu Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban

chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học nói

riêng, các thầy cô giáo giảng dạy tại khoa Toán trường Đại Học Sư

Phạm Hà Nội 2 nói chung đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và

hoàn thành khóa luận

Mặc dù tôi đã cố gắng rất nhiều nhưng do hạn chế về năng lực và

khả năng tự nghiên cứu của bản thân nên khóa luận không thể tránh

khỏi những thiếu sót Vậy kính mong quý thầy cô và các bạn xem xét

và góp ý để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 26/04/2017

Tác giả khóa luận

Tạ Thị Ngọc

Mảnh trong R n

Vì một đường cong trong Rn là một hàm vectơ giá trị một biến, bâygiờ ta sẽ xem xét hàm vectơ giá trị hai biến Một đối tượng như vậy

được gọi là một mặt cong Do đó, mặt cong có thể được xem như là

một tương tự hai chiều của đường cong Trong chương mở đầu này,

chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản của lý thuyết mặt Đầu

tiên, chúng ta đưa ra định nghĩa chính xác về mảnh Sau đó, chúng ta

lần lượt trình bày về mảnh chính quy, đường tọa độ, vectơ tiếp xúc

Định nghĩa 1.1 Một mảnh hoặc một mặt địa phương là một ánh xạ

khả vi

x : U −→ Rntrong đó với U là một tập mở trong R2

Tổng quát hơn, nếu A là một tập con bất kỳ trong R2, một ánh xạ

x : A −→ Rn được gọi là một mảnh nếu x có thể được mở rộng thànhmột ánh xạ khả vi từ U vào Rn, với U là một tập mở chứa A Chúng

ta gọi x(U ) (hay tổng quát hơn x(A)) là vết của x.

Lưu ý là về mặt lý thuyết một mảnh có thể định nghĩa trên một

tập bất kỳ nhưng thông thường chúng ta sử dụng miền xác định của

i

−→ R3(u, v) 7−→ (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v)

Với phép chọn tham số này, u đo đường vĩ tuyến còn v đo đường

kinh tuyến Mặc dù S(a) được định nghĩa trên hình chữ nhật đóng

là bộ n-hàm số

x (u, v) = (x1(u, v), , xn(u, v)) (1.1)

Ta kí hiệu đạo hàm riêng xu của x theo u bởi

Chúng ta sẽ sử dụng các đạo hàm riêng xu và xv để biểu thị ánh xạtiếp xúc của mảnh x Ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2 Cho F : U −→ Rn là một ánh xạ khả vi, trong đó

U là một tập con mở của R2 và p ∈ U Với mỗi vectơ tiếp xúc hìnhhọc vp = (p, v) của R2, ta định nghĩa

F∗p(vp) = F (p + tv)0(0)

Khi đó F∗p biến không gian tiếp xúc hình học R2p thành không giantiếp xúc hình học RmF (p) Ánh xạ F∗p được gọi là ánh xạ tiếp xúc hay

vi phân của F tại p

Xuyên suốt trong phần này, nếu không giải thích gì thêm ta hiểu

rằng U là tập mở trong R2 Bổ đề sau cho chúng ta mối liên hệ giữaánh xạ tiếp xúc và đạo hàm riêng

Bổ đề 1.1 Cho x : U −→ Rn là một mảnh, và cho q ∈ U Khi đó

x∗(e1(q)) = xu(q) và x∗(e2(q)) = xv(q) ,

trong đó x∗ là kí hiệu của ánh xạ tiếp xúc của x, và {e1, e2} là kí hiệu

hệ tọa độ tự nhiên trong R2

Chứng minh Định lý suy ra trực tiếp từ định nghĩa của ánh xạ tiếp

xúc và công thức đạo hàm hàm hợp trong giải tích cổ điển Ta bỏ qua

chứng minh chi tiết

Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa ma trận Jacobi

Định nghĩa 1.3 (Ma trận Jacobi) Cho U là tập mở trong R2 Matrận Jacobian của mảnh x : U −→ Rn là một hàm J (x) giá trị matrận xác định bởi

Khi đó ma trận Jacobian của mảnh x là

Trong lý thuyết mặt, ta thường dùng bổ đề sau mà thực chất là

một kết quả được biết đến rộng rãi trong lý thuyết đại số tuyến tính

Bổ đề 1.2 Cho (p, q) ∈ Rn Khi đó, các điều kiện sau là tương đương(i) p và q là phụ thuộc tuyến tính;

Chứng minh Nếu p và q là phụ thuộc tuyến tính, khi đó hoặc p là

bội của q, hoặc q là bội của p Giả sử, p = λq, khi đó

Do đó từ (i) ta suy ra được (ii)

Tiếp theo, ta giả sử (ii) đúng Ta viết p = (p1, , pn) và q =

Từ đó ta có piqj = pjqi với mọi i, j Do đó từ (ii) suy ra (iii).

Cuối cùng, giả sử (iii) đúng Khi đó piqj = pjqi với mọi i, j Khônggiảm tính tổng quát, ta giả sử qi 6= 0 với i nào đó Khi đó pj = (pi/qi) qjvới mọi j, và

Từ đó ta suy ra p và q là phụ thuộc tuyến tính

Từ kết quả trên, ta lập tức có hệ quả sau

Hệ quả 1.1 Cho x : U −→ Rn Khi đó, các điều kiện sau là tươngđương

(i) xu(u0, v0) và xv(u0, v0) là phụ thuộc tuyến tính;

(iii) Ma trận Jacobi J (x) có hạng nhỏ hơn 2 tại (u0, v0)

Một trong những đối tượng quan trọng trong lý thuyết mặt là khái

niệm mảnh chính quy và mảnh đơn ánh định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.4 (Mảnh chính quy, mảnh đơn ánh) Một mảnh chính

quy là một mảnh x : U −→ Rn sao cho hạng J (x)(u, v) = 2 với mọi

với u ∈ R và −2 < v < 2 Dễ thấy x(u, v) = x(u + 2π, v) nên mảnhtrụ tròn như trên là không đơn ánh Tuy nhiên, ma trận Jacobi của x

Mặc khác ta cũng lưu ý rằng một mảnh có thể là đơn ánh nhưng

không là chính quy Chẳng hạn xét ví dụ sau

Ví dụ 1.1.3 Mảnh xác định bởi

x : U −→ Rn(u, v) 7−→ (u3, v3, uv)

với −1 < u, v < 1 Dễ thấy mảnh là đơn ánh vì nếu (u31, v13, u1v1) =(u32, v23, u2v2), thì u31 = u32, v13 = v23, và do vậy u1 = v1, u2 = v2 Mặtkhác ma trận Jacobi có dạng

Lưu ý rằng với biểu diễn tham số của mặt cầu S(a) như trên, thì

S(a) là không chính quy khi v = ±π

2 Do đó, chúng ta cần quan tâm

đến các mảnh mà tính chính quy của nó có thể không đúng tại một

vài điểm Điều này dẫn đến định nghĩa sau

Định nghĩa 1.5 (Mảnh chính quy tại một điểm) Một mảnh x : U −→

Rn được gọi là là chính quy tại một điểm (u0, v0) ∈ U (hoặc chính quytại x(u0, v0)) nếu ma trận Jacobi J (x)(u0, v0) có hạng bằng 2

Bởi Bổ đề 1.1 và Hệ quả 1.1, ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.3 Một mảnh x : U −→ Rn là chính quy tại q ∈ U nếu vàchỉ nếu ánh xạ tiếp xúc của nó x∗ : R2q −→ Rn

x(q) là đơn ánh

Bổ đề dưới đây là hệ quả của Định lý hàm ngược

Bổ đề 1.4 Cho x : U −→ Rn là một mảnh chính quy và cho q ∈ U Khi đó tồn tại một lân cận Uq của q sao cho x : Uq −→ x(Uq) là hạnchế của một vi phôi giữa các tập mở của Rn

Chứng minh Ta viết x = (x1, , xn) Vì x là chính quy nên ma trậnJacobian của nó có một ma trận con cấp (2 × 2) có định thức khác

0 Bằng cách thay đổi lại chỉ số của các hàm thành phần của x (nếu

xác định bởi công thức

ex (u, v, t3, , tn) 7−→ (x1(u, v) , x2(u, v) , x3(u, v) + t3, , xn(u, v) + tn)

Dễ thấy ánh xạ ex là khả vi Hơn nữa, định thức

Do det(J (ex))(q) 6= 0, nên theo định lý hàm số ngược thì tồn tại lân

cận eUq của điểm (q, 0) mà ở đó ánh xạex có ánh xạ nghịch đảo khả vi

Do đóex : eUq −→ex

e

Uq



là một vi phôi Cuối cùng, ta lấy Uq = eUq∩U ,khi đó ta có điều phải chứng minh

Kết quả của bổ đề trên có thể được diễn đạt bằng một cách khác

Tức là, ánh xạ x : Uq −→ x (Uq) là một vi phôi Hệ quả trực tiếp là

ta có khẳng định sau

Hệ quả 1.2 Cho x : U −→ Rn là một mảnh chính quy đơn ánh Khi

đó, ánh xạ x là một vi phôi từ U lên x (U )

Đối với một mặt chính quy, một cách tự nhiên chúng ta có các

đường cong tọa độ định nghĩa như dưới đây

Định nghĩa 1.6 (Định nghĩa đường tọa độ) Cho x : U −→ Rn làmảnh, và cố định điểm (u0, v0) ∈ U Khi đó, các đường cong

u 7−→ x (u, v0) , và v 7−→ x (u0, v)

lần lượt được gọi là các đường cong u-tham số, tương ứng đường cong

v-tham số hay các đường tọa độ

Ngoài ra, chúng ta cũng có một cách rất thuận tiện để biểu diễn

các đường cong tổng quát mà vết của nó được chứa trong vết của một

mảnh

Bổ đề 1.5 Cho α : (a, b) −→ Rn là một đường cong mà vết của nónằm trên ảnh x(U ) của một mảnh chính quy x : U −→ Rn sao cho

x : U −→ x(U ) là một phép đồng phôi Khi đó tồn tại duy nhất các

hàm khả vi u, v : (a, b) −→ R sao cho

α (t) = x (u (t) , v (t)) (1.4)

với a < t < b

Chứng minh Do x là đồng phôi nên x là đơn ánh Theo Hệ quả 1.2,

x có ánh xạ ngược khả vi x−1 Khi đó, với a < t < b ta có thể viết

x−1 ◦ α
(t) = (u(t), v(t)) ;

Rõ ràng là phương trình này tương đương với (1.4) Ta có, u và v là

duy nhất Theo Hệ quả 1.2 thì u và v là khả vi

1.2 Định nghĩa vectơ tiếp xúc

Trong mục này, ta sẽ giới thiệu khái niệm vectơ tiếp xúc và những

khái niệm cơ bản có liên quan Vectơ tiếp xúc là đối tượng cơ bản để

nghiên cứu hình học của các mảnh chính quy

Định nghĩa 1.7 (Vectơ tiếp xúc) Cho x : U −→ Rn là một mảnhđơn ánh, và cho p ∈ x (U ) Một vectơ tiếp xúc với x tại p là một vectơ

Ta có ví dụ minh họa sau

Ví dụ 1.2.1 Cho mảnh x : R2 −→ R2 xác định bởi x(x, y) = (x, y),lấy p = (1, 0) ∈ R2 Khi đó vp = (0, 1) là một vectơ tiếp xúc với mảnh

x tại điểm p Thật vậy, ta xét đường cong

một không gian vectơ Không gian này được gọi là không gian tiếp

xúc với x tại p

Bổ đề 1.6 Tập x(U )p của tất cả các vectơ tiếp xúc với mảnh x tạiđiểm chính quy p = x (u0, v0) ∈ x (U ) tạo thành một không gian vectơ.Không gian này là bao tuyến tính của xu(u0, v0) và xv(u0, v0)

Chứng minh Lấy vp ∈ x(U )p là một vectơ tiếp xúc bất kỳ Từ địnhnghĩa của vectơ tiếp xúc, tồn tại một đường cong α có dạng (1.5) sao

cho α(0) = p và α0(0) = vp Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp áp dụngcho các đường cong , ta có

Từ cách chứng minh của Bổ đề 1.6, ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.3 Cho α : (a, b) −→ Rn là một đường cong mà vết của nónằm trên ảnh x (U ) của một mảnh chính quy x : U −→ Rn sao cho

x : U −→ x(U ) là một phép đồng phôi Khi đó tồn tại duy nhất các

hàm khả vi u, v : (a, b) −→ R sao cho

α0 = u0xu+ v0xv

Định nghĩa 1.8 (Vectơ pháp tuyến) Cho x : U −→ Rn là một mảnhđơn ánh, và cho zp ∈ Rn

p với p ∈ x (U ) Ta nói rằng zp là pháp tuyếnhay đường vuông góc với x tại p nếu zp· vp = 0 với mọi vectơ vp tiếpxúc với x tại p

Gọi x(U )⊥p là phần bù trực giao của x(U )p, tức là x(U )⊥p là khônggian chứa tất cả các vectơ trong Rnp vuông góc với x(U )p Ta dễ dàngchứng minh rằng

Rnp = x(U )p⊕ x(U )⊥p (1.6)Định nghĩa 1.9 (Trường vectơ) Một trường vectơ V trên một mảnh

x : U −→ Rn là một ánh xạ biến mỗi q ∈ U thành một vectơ tiếp xúc

V (q) ∈ Rnp, trong đó p = x (q) Ta nói rằng trường vectơ V là tiếpxúc với x nếu V (q) ∈ x(U )p với mọi q ∈ U

Tương tự, một trường vectơ W trên x được gọi là trường vectơ pháp

tuyến hay vuông góc với x nếu W (q) · vp = 0 với mọi vp ∈ x(U )p và

q ∈ U

Mảnh chính quy trong R 3 và ánh

xạ Gauss địa phương

Trong chương này, chúng ta sẽ chỉ xem xét các mặt chính quy trong

R3 Chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm trường vectơ pháp tuyến đơn vị,ánh xạ Gauss địa phương - một khái niệm quan trọng trong nghiên

cứu hình học vi phân, đặc biệt là nghiên cứu các mặt cực tiểu Tiếp

sau đó, chúng ta giới thiệu về hàm độ cao, hàm khoảng cách và đưa

ra các ví dụ về mặt chính quy Cuối cùng khái niệm mảnh kỳ dị cũng

được nhắc lại trong chương này

Trước hết, chúng ta đưa ra một tiêu chuẩn hữu ích cho tính chính quy

Bổ đề 2.2 Cho x : U −→ R3 là một mảnh đơn ánh chính quy Khi

đó, trường vectơ (u, v) 7−→ xu× xv, tại mọi điểm đều vuông với x(U ).Chứng minh Ta thấy ngay rằng xu× xv vuông với cả xu và xv Vì bất

kỳ vectơ tiếp xúc vp của x đều là một tổ hợp tuyến tính của xu, xv tại

p, theo Bổ đề 1.6, ta kết luận rằng (u, v) 7−→ xu× xv vuông góc với

x (U ) Đó là điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa trường vectơ pháp tuyến đơn vị) Cho

trước một mảnh đơn ánh x : U −→ R3, trường vectơ pháp tuyến đơn

vị hay pháp tuyến mặt x(U ) được xác định bởi

U (u, v) = xu× xv

kxu× xvk (u, v)tại các điểm (u, v) ∈ U mà tại dó xu× xv không bị triệt tiêu

Khái niệm về tính chính quy của một mảnh vì thế có ý nghĩa hình

Một trong những đại lượng cơ bản cần thiết để nghiên cứu các mặt

cong là ánh xạ biến mỗi điểm p trên một mặt M ⊂ R3 thành mộtđiểm mặt cầu đơn vị S2(1) ⊂ R3 mà vectơ tạo bởi gốc tọa độ và điểmảnh này là song song với pháp tuyến đơn vị U (p) Ánh xạ như vậy,

được gọi là ánh xạ Gauss Đây là một sự tương tự khái niệm vectơ tiếp

xúc đơn vị kết hợp với một điểm trên một đường cong Tuy nhiên, như

sau này chúng ta sẽ biết rằng, ánh xạ như vậy không phải lúc nào cũng

có thể định nghĩa toàn cục trên mặt Tuy nhiên, trong khóa luận này,

chúng ta sẽ thấy ta luôn định nghĩa được ánh xạ Gauss địa phương

Với khái niệm vectơ pháp tuyến đơn vị, chúng ta đưa ra định nghĩa

ánh xạ Gauss địa phương như sau

Định nghĩa 2.2 (Ánh xạ Gauss địa phương) Cho x : U −→ R3 làmột mảnh đơn ánh Khi đó pháp tuyến đơn vị U của x được xem như

là một ánh xạ từ U đến hình cầu đơn vị S2(1) ⊂ R3 và được gọi làánh xạ Gauss địa phương của x

Chú ý rằng U không xác định tại những điểm kỳ dị của x Chúng

ta minh họa khái niệm này bằng một mặt phổ biến và sẽ thảo luận

kỹ hơn về mặt này trong các phần tiếp theo

Ví dụ 2.1.1 Hyperbolic paraboloids là vết của mảnh

x (u, v) = (u, v, uv)

Hình 2.1 cho thấy ảnh của hình chữ nhật [−1, 1] × [−1, 1] đặt lên

Hình 2.1: Ảnh Gauss của hyperbolic paraboloids

các phần tương ứng của hình cầu đơn vị S2(1) được xác định bởi pháptuyến đơn vị U (u, v)

Trong tự nhiên, có nhiều tập con của R mà chúng ta gọi là mặt, chẳnghạn mặt cầu, hoặc mặt xuyến Tuy nhiên, các mặt này lại không thể

biểu diễn như là ảnh của một mảnh chính quy, đơn ánh, duy nhất

Do vậy, trong phần này chúng ta giới thiệu khái niệm mặt chính quy,

nói một cách vắn tắt, trên các mặt chính quy chúng ta có thể kết hợp

nhiều mảnh chính quy khác nhau Hệ quả là chúng ta cần một định

nghĩa hình thức phức tạp hơn, nhưng sẽ rất có ích trong nghiên cứu

hình học vi phân của các mặt cong.

Định nghĩa 2.3 (Mặt chính quy) Một tập con M ⊂ Rn là mặt chínhquy nếu với mỗi điểm p ∈ M tồn tại một lân cận V của p trong Rn

và ánh xạ x : U −→ Rn, với một tập mở U ⊂ R2 lên V ∩ M sao cho(i) x : U −→ M là một mảnh chính quy;

(ii) x : U −→ V ∩ M là một đồng phôi phôi Vì thế, x có ánh xạ

ngược liên tục x−1 : V ∩ M −→ U sao cho x−1 là hạn chế trên

V ∩ M của một ánh xạ liên tục F : W −→ R2 với W là một tậpcon mở của Rn chứa V ∩ M

Mỗi ánh xạ x : U −→ M được gọi là một bản đồ địa phương hoặc hệ

tọa độ địa phương trong lân cận của p ∈ M

Chúng ta có kết quả sau đây

Bổ đề 2.3 Cho W là một tập con mở trong Rn và giả sử rằng G :

W −→ Rm là một ánh xạ sao cho G : W −→ G(W ) là một đồng phôi.Nếu M ⊆ W là một mặt chính quy, khi đó G(M) cũng là một mặt

chính quy

Chứng minh Giả sử x là một mảnh trên M thỏa mãn (i) và (ii) trong

định nghĩa của mặt chính quy Khi đó, ta có G ◦ x : W −→ Rm cũngthỏa mãn (i) và (ii) Đó là điều phải chứng minh

Có một cách dễ dàng để tìm các mặt chính quy mới nằm trong một

mặt chính quy cho trước Trước hết, ta nhắc lại một đinh nghĩa trong

lý thuyết tô pô Một tập con V của một mặt chính quy M được gọi

là một tập mở trong M nếu nó là giao của một tập mở trong Rn vớiM

Bổ đề 2.4 Nếu W là một tập mở trong một mặt chính quy M thì nó

cũng là một mặt chính quy

Chứng minh Cho x là một mảnh trên M thỏa mãn các điều kiện

(i) và (ii) trong định nghĩa mảnh chính quy Khi đó x là liên tục và

nghịch ảnh của một tập mở là mở Do vậy, U = x−1(W) là mở Nếu U

là khác rỗng thì hạn chế x |U của x trên U trở thành một mảnh trên

W Rõ ràng là x|U cũng thỏa mãn (i) và (ii) trong định nghĩa củamảnh chính quy Do đó W là một mặt chính quy

Hình 2.2: Mảnh (u, v) 7→ (sin u, sin 2u, v) với −π

3 ≤ u ≤ 5π

4

Bây giờ, chúng ta sẽ làm rõ mối quan hệ giữa các mảnh và các mặt

chính quy Chắc chắn rằng một mảnh tùy ý sẽ không là một mảnh

chính quy nếu vết của nó là 0 hoặc 1 chiều Hình 2.1 cho thấy rằng

thậm chí một mảnh chính quy có thể không là một mặt chính quy

nếu nó là tự giao nhau Tuy nhiện, chúng ta sẽ chứng minh rằng khi

ta hạn chế miền xác định của mảnh chính quy, ta vẫn nhận được một

mặt chính quy

Bổ đề 2.5 Cho x : U −→ Rn là một mảnh chính quy Với điểm q ∈ Ubất kỳ, tồn tại một lân cận Uq của q sao cho x (Uq) là một mảnh chínhquy.

Chứng minh Cho x : U −→ Rn là một mảnh chính quy và q ∈ U Theo Bổ đề 1.4, tồn tại một lân cận Uq của q và x : Uq −→ x(Uq) là

vi phôi giữa Uq và x(Uq) Lân cận Uq là một tập mở trong mặt phẳng,

do đó theo Bổ đề 2.4, ta suy ra được Uq là một mảnh chính quy Từ

đó, theo Bổ đề 2.3, ta kết luận x (Uq) là một mặt chính quy Đó làđiều phải chứng minh

Hệ quả 2.2 Cho x : U −→ Rn là một mảnh đơn ánh chính quy Khi

đó x (Uq) là một mặt chính quy

Tiếp theo chúng ta đưa ra khái niệm tham số hóa của mặt

Định nghĩa 2.4 (Tham số hóa mặt chính quy) Cho M là một mặt

chính quy trong Rn Nếu tồn tại một mảnh đơn ánh chính quy x :

U −→ Rn sao cho x (U ) = M thì ta nói rằng M được tham số hóabởi x

Ví dụ 2.2.1 Hình cầu đơn vị là một mặt chính quy mà cần ít nhất

hai mảnh để bao phủ nó Chẳng hạn, ta có thể chọn hai mảnh được

tham số hóa là

(u, v) 7→ (cos u cos v, sin u cos v, sin v)

(u, v) 7→

cos 3

5π − u

cos v, sin v, sin 3

5π − u

cos v

,

xác định với 0 < u < 7π/4 và −π/2 < v < π/2