ham so lien tuc

Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảngáp dụng định lý 1, 2: các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số lượng giác, liên tục trên tập xác định của chúng *Ví dụ áp dụng B

✸

Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục

1 ) Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)

) x ( f )

x ( f

lim 0

x

x→ 0 =

f(x) liên tục tại x 0 ∈ (a; b) ⇔

2) Hàm số liên tục trên một khoảng

*) Định nghĩa:

- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy

*) Định lý 1:

Tổng, hiệu, tích, thương ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một

điểm là liên tục tại điểm đó

*) Định lý 2:

Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác

3) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm

*) Hệ quả:

f(x) liên tục trên [a ;b]

f(a).f(b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a; b): f(c) = 0

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

Bài tập hàm số liên tục

f(x) liên tục tại một điểm

f(x) liên tục trên một khoảng

f(x) = 0

có nghiệm

✸

BµI tËp

§3 hµm sè liªn tôc

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0

*)Ví dụ áp dụng:

Bài toán: Cho hàm số: f(x) = x 1

1

x3

−

−

nếu x ≠ 1

3 nếu x = 1

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 1

Bài giải: TXĐ: R

) x ( f lim

Tính

1

x → =

1 x

1

x lim

3 1

x −

−

→ lim(x2 x 1)

1

x→ + + = 3

f (1) = 3 => limx→1 f(x) = f(1)

Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0= 1

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)

f(x) liên tục tại x 0 ∈ (a; b) ⇔ lim f ( x ) f ( x0)

x

x→ 0 =

=

*)Phương pháp:

✸

Cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x = 0

Có thể gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại

x = 0 ?

b) Ta có:

Vậy không thể gán cho f(0) bất cứ giá trị nào để f(x) liên tục tại x = 0

Bài giải:

-2

Vậy: có thể gán f(0 ) = - 2 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0

x

x 2

x )

x ( f ) a

2 −

x

x 2

x )

x ( f )

a) Ta có:

Bài 2 ( tr137 ):

=

→ f(x)

lim 0

) 2 x

(

x lim

0 x

=

−

x 2

x lim

2

0

→ (x 2)

lim 0 x

=

→ f(x)

lim 0

2

0

x 2

x

→ 0 2

) 2 x

(

x

→ x

2

x lim

0

✸

Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

áp dụng định lý 1, 2: các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ,

hàm số lượng giác, liên tục trên tập xác định của chúng

*)Ví dụ áp dụng

Bài số 1 ( trang 136 )

Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm không liên tục

1 x

3 x

2 x

) x (

f

)

x 2 x

6 x

5

x )

x

(

f

)

2

−

+

−

=

x

tgx y

)

4 x

16

x2

−

−

e) f( x) =

nếu x ≠ 4

2 x

3 x

1 x

2 )

x ( f )

+

−

+

=

✸

Bài số 1 ý e ( trang 136 )

Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm không liên tục

4 x

16

x2

−

−

f( x) =

nếu x ≠ 4

Bài giải:

Tập xác định: D = R

Hàm số liên tục tại x = 4

Hàm số liên tục ∀ x ≠ 4

Xét tại x = 4:

4 x

16

x lim

2 4

−

→ lim(x 4)

4

x→ +

f(4) = 8 ⇒

) x (

f

lim

4

4

x →

=

= f(4)

Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R

⇒

✸

Bài số 3 ( tr137 ): Cho f(x) =

Để f(x) liên tục tại x = 2 cần có 3 = 4a ⇔

ax2 nếu x ≤ 2

3 nếu x > 2

( a là hằng số )

Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với mọi x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

Khi x < 2: f(x) = ax2 nên hàm số liên tục

Khi x > 2: f(x) = 3 nên hàm số liên tục

Khi x = 2:

Bài giải:

f

2 x 2

→

→

f

Lim

2 x 2

x + = + =

→

→

4

3

Vậy

4

3

a = thì f(x) liên tục với mọi x

Khi đó f( x) =

nếu x ≤ 2

2

x 4

3

nếu x > 2

3

✸

f( x) = x2 nếu x ≤ 2

4

3

nếu x > 2

3

Vẽ đồ thị hàm số

3

3/4

2 1

-1

y

O

✸

Vấn đề 3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm

*)Phương pháp Sử dụng hệ quả

f(x) liên tục trên [a ;b]

f(a).f(b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a; b): f(c) = 0 Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

Ví dụ áp dụng

Bài toán: Cho phương trình: x3 - 3 x + 1 = 0

Bài giải:

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm ∈ ( 1; 2 )

Hàm số f(x) liên tục trên R ⇒ hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1 ;2]

f(1) =

f(2) = 3 ⇒ f(1).f(2) = - 3 < 0

⇒ ∃ x0 ∈ ( 1; 2) : f(x0) = 0

Kết luận: phương trình có nghiệm ∈ ( 1; 2 )

-1 f(x)= x3 - 3 x + 1

✸

BàI tập

Đ3 hàm số liên tục

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng Chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng

Bài tập về nhà:

Bài số:1, 2, 3, 4, 5(SGK-Trang 137 -138)

Bài số: 6, 7, 8 (SBT -Trang 118)

✸

Cám ơn các em lớp 11a-11B

đã tạo điều kiện giúp đỡ Tôi

hoàn thành bài giảng