Một số tính chất đại số và tôpô của tập lồi trong rn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Nguyễn Thị Xa MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ VÀ TÔ PÔ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Xa

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ VÀ TÔ PÔ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Xa

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ VÀ TÔ PÔ

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Th.s Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được khóa luận với đề tài: “Một số tính chất đại số và tô pô của tập lồi trong R n ” , trước hết em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.

Đặc biệt em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Th.s Trần Văn Nghị, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu

để em có thể hoàn thành bài khóa luận này.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên chắc chắn đề tài này không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được

sự cảm thông và những đóng góp của thầy cô, các bạn sinh viên để bài khóa luận của

em hoàn thiện hơn.

Em xin trân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viên Nguyễn Thị Xa

Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình em học tập và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - Th s Trần Văn Nghị.

Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được

hệ thống trong mục tài liệu tham khảo Khóa luận “Một số tính chất đại số và tô

pô của tập lồi trong R n ” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!

Sinh viên

Nguyễn Thị Xa

Mục lục

2.1 Tính chất đại số 8

2.2 Phần trong tương đối và bao đóng của tập lồi 19

2.3 Bao lồi 26

2.4 Cực của tập lồi 32

2.5 Điểm cực biên và mặt của tập lồi 36

2.6 Tập lồi đóng 38

2.7 Tập lồi không bị chặn 40

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Tập lồi là một trong những đối tượng cơ bản của giải tích lồi, hìnhhọc lồi và tối ưu lồi Ngoài ra tập lồi còn có nhiều ứng dụng trongthực tế

Việc nghiên cứu những tính chất đại số và tô pô của tập lồi có một

ý nghĩa quan trọng Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về tập lồi

và bổ sung kiến thức cho bản thân em đã chọn đề tài: “Một sốtính chất đại số và tô pô của tập lồi trong Rn” để làm đề tàikhóa luận

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu kỹ hơn các kiến thức về tập lồi

- Hệ thống các tính chất đại số và tô pô của tập lồi

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức về tập lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất của tập lồi trên không gianvectơ

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết và các tính chất của tập lồi

5 Các phương pháp nghiên cứu

- Thiết lập nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

là các bài báo và các cuốn sách viết về vấn đề mà khóa luận đề cậptới

6 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Khái niệm về tập lồi

Chương 2: Một số tính chất đại số và tô pô của tập lồi

Khái niệm về tập lồi

Nội dung chương này trình bày một số định nghĩa và ví dụ liên quanđến tập lồi

Định nghĩa 1.1 Tập A ∈ Rn được gọi là tập lồi, nếu

(1 − λ)x + λy ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1]

Chú ý Theo định nghĩa trên, tập ∅ được xem là tập lồi

Định nghĩa 1.2 Đoạn thẳng nối x1 và x2 là tập hợp có dạng

[x1, x2] := {x ∈ A : x = λx1 + (1 − λ)x2, 0 ≤ λ ≤ 1}

Nhận xét 1.1 Cho tập A là lồi, nếu ∀x1, x2 ∈ A, ta có [x1, x2] ⊂ A

Định nghĩa 1.3 Tập C ∈ Rn được gọi là tập affine nếu

(1 − λx) + λy ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R,nghĩa là, nếu x, y ∈ C thì đường thẳng đi qua x, y cũng nằm trong C

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

Ví dụ 1.1 Các nửa không gian là các tập lồi Các tam giác và hìnhtròn trong mặt phẳng là các tập lồi Hình cầu đơn vị trong không gianBanach là tập lồi

Định lý 1.1 ([4, Theorem 2.1]) Giao của họ bất kì các tập lồi là tậplồi

Hệ quả 1.1 Cho bi ∈ Rn và βi ∈ R với i ∈ I, trong đó I là một tập chỉ

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp

m = 2: Với mọi λ1, λ2 > 0, λ1 + λ2 = 1, x1, x2 ∈ A, theo Định nghĩa 1.1,

λ1x1 + λ2x2 ∈ A Giả sử kết luận đúng với m ≤ k, ta sẽ chứng minhrằng:

Định lý 1.3 Cho X ⊂ Rn, khi đó convX là tập lồi nhỏ nhất chứa X.Chứng minh Các phần tử của X thuộc trong convX, vì vậy mọi tổ hợp

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

của chúng đều thuộc convX (Định lý 1.2) Mặt khác, cho 2 tổ hợp lồi

Hệ quả 1.2 Bao lồi của hữu hạn các tập con {b0, , bm}⊂ Rn gồmtất cả các vectơ có dạng λ0b0+ + λmbm, với λ0 ≥ 0, , λm ≥ 0, λ0+ + λm = 1

Định nghĩa 1.5 Một tập C được gọi là nón nếu

là một nón nhưng không lồi

Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng, khi

đó, ta nói 0 là đỉnh của nón Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồngthời là một tập lồi.

Ví dụ 1.3 a) Rn+ = {x ∈ Rn : x ≥ 0} là nón lồi

b) Nón Loentz Ln = {x ∈ Rn : xn ≥qx21 + + x2n−1} là nón lồi

Chứng minh Cho x và y là điểm trong C1+ C2, khi đó tồn tại các vectơ

x1 và y1 trong C1 và x2 và y2 trong C2, sao cho

nhân biểu thức trên với λ1 + λ2, điều kiện λ1 + λ2 > 0 Nếu λ1 hoặc λ2bằng 0, thì sự khẳng định của định lý là hiển nhiên.

Cho 2 tập lồi C1 và C2 trong Rn, khi đó C1 ∩ C2 là tập lồi lớn nhấtchứa cả 2 tập C1, C2 và convC1 ∩ C2 là tập lồi nhỏ nhất chứa cả C1,

C2 Điều này đúng với một cặp nhưng không đúng với một họ bất kỳ{Ci, i ∈ I}

Định lý 2.3 ([4, Theorem 3.3]) Cho {Ci| i ∈ I} là tập gồm các tập lồi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

tùy ý khác giỗng trong Rn và C là bao lồi Khi đó

C = ∪

(X

i∈I

λiCi

),

là hợp của hữu hạn các tổ hợp lồi

Chứng minh Từ Định lý ([4, Theorem 2.3]), C là tập của tất cả tổ hợplồi x = µ1y1+ + µmym, trong đó các vectơ y1, , ym ∈ ∪Ci Thực tế,

ta có thể nhận được C từ sự tổ hợp đó, trong đó hệ số của chúng khác

0 và các vectơ không lấy từ tập Ci Thật vậy, các vectơ với hệ số bằng 0

có thể không lấy từ tổ hợp và nếu y1, y2 là 2 vectơ có hệ số dương cùngthuộc Ci, khi đó số hạng µ1y1 + µ2y2 có thể thay thế bởi µy, trong đó

Định lý 2.4 ([4, Theorem 3.4]) Cho A : Rn → Rm là một ánh xạ tuyếntính Khi đó AC là một tập lồi trong Rm với mọi tập lồi C ⊂ Rn và

A−1D là một tập lồi trong Rn với mọi tập lồi D ⊂ Rm

Hệ quả 2.1 Phép chiếu vuông góc của một tập lồi C lên một khônggian con L cũng là một tập lồi

Chứng minh Phép chiêú vuông góc ánh xạ lên L là một ánh xạ tuyếntính quy định mỗi điểm x có duy nhất y ∈ L sao cho (x − y) ⊥L

Định lý 2.5 ([4, Theorem 3.5]) Cho C và D là các tập lồi tương ứngtrong Rm và Rn Khi đó

C ⊕ D = {x = (y, z) : y ∈ C, z ∈ D}

là một tập lồi trong Rm+n

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ tính chất của tập lồi

Tập C ⊕ D như ở trên được gọi là tổng trực tiếp của C và D

Định lý 2.6 ([4, Theorem 3.6]) Cho C1, C2 là các tập lồi trong Rm+p

và C là một tập lồi của vectơ x = (y, z) (trong đó y ∈ Rm, z ∈ Rp) Nếutồn tại các vectơ z1 và z2 với (y, z1) ∈ C1, (y, z2) ∈ C2 và z1 + z2 = z thì

C cũng là một tập lồi trong Rm+p

Chứng minh Cho (y, z) ∈ C, với z1 và z2 như đã cho ở trên Cho tương

tự như vậy với (y0, z0), z10 và z20 Khi đó, với 0 ≤ λ ≤ 1, y00 = (1− λ)y + λy0

và z00 = (1 − λ)z + λz0, ta có

(y00, (1 − λ)z1 + λz10) = (1 − λ)(y, z1) + λ(y0, z10) ∈ C;

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

Tương tự,

K1#K2 = (λK1) ∩ (1 − λ)K2, λ ∈ [0; 1]

K1#K2 sẽ bằng K1 ∩ K2, 0 < λ < 1, bằng {0} ⊂ K1 ∩ K2, λ = 0 hoặc

λ = 1 Do đó K1#K2 = K1 ∩ K2

Chứng minh Ký hiệu B là tập bên phải Giả sử C là một tập lồi chứa

A, thì B ⊂ C nên B ⊂ convA Mặt khác, B là tập lồi, từ đó

β(α1x1 + + αkxk) + (1 − β)(γ1y1 + + γmym)

= βα1x1 + + βαkxk+ (1 − β)γ1y1 + + (1 − β)γmxm

Với xi, yi ∈ A và hệ số β, αi, γj ∈ [0; 1] với α1+ .+αk = 1, γ1+ .+γm =

1 và βα1 + + βαk + (1 − β)γ1 + + (1 − β)γm = β + (1 − β) = 1.Suy ra β ⊂ A, vậy nên convA ⊂ B

Nhận xét: A là lồi nếu và chỉ nếu A = convA

Định nghĩa 2.1 Cho các tập A, B ⊂ Rn và α, β ⊂ R, đặt

αA + βB = {αx + βy : x ∈ A, y ∈ B}

Tập αA + βB được gọi là một tổ hợp tuyến tính (tổ hợp Minkowski ) củahai tập A và B Phép toán “+” được gọi là tổng vectơ (tổng Minkowski ).Các trường hợp khác có tên như sau:

A + B: Tập tổng

A + x (trường hợp B = x): Phép tịnh tiến của A

αA: Bội của A

αA + x(α ≥ 0): Ảnh qua phép vị tự của A

−A := (−1)A: Đối của A

A − B := A + (−1)B: Hiệu của A và B

Định lý 2.10 ([2, Theorem 1.1.3]) Cho các tập A ⊂ Rn, B ⊂ Rm là lồi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

c) Bao lồi của các điểm độc lập được gọi là một đơn hình, r-đơn hình

là bao lồi của r + 1 điểm độc lập

Định nghĩa 2.3 Một điểm x thuộc hình đa diện P được gọi là mộtđỉnh của P nếu x /∈ P \{x} Tập tất cả các đỉnh của P ký hiệu là vertP

Định lý 2.11 ([2, Theorem 1.1.5]) Cho P là một hình đa diện trong

Rn và x1, x2, , xn ∈ Rn là các điểm phân biệt

a) Nếu P = conv {x1, , xk}, thì x1 là đỉnh của P Nếu và chỉ nếu

x1 ∈ conv {x/ 2, , xk}

b) P là bao lồi của các đỉnh đó.

Chứng minh a) Giả sử x1 là đỉnh của P , khi đó P \{x1} là lồi và x1 ∈/

P \{x1} Do đó, conv{x1, , xk} ⊂ P \{x1} vì vậy x1 ∈ {x/ 2, , xk}Ngược lại, giả sử rằng x1 ∈ {x/ 2, , xk} Nếu x1 không là đỉnh thì tồntại 2 điểm phân biệt a, b ∈ P \{x1} và λ ∈ (0; 1) sao cho x1 = (1−λ)a+λb.Nên ∃k ∈ N để µ1, , µk ∈ [0; 1] và τ1, , τk ∈ [0; 1] với µ1+ .+µk = 1

và x không phải là một đỉnh của P thì P = conv{x, x1, , xk} tức là

x /∈ conv{x1, , xk} = P Mâu thuẫn

Định lý 2.12 ([2, Theorem 1.1.6]) Một tập lồi A ∈ Rn là đơn hình nếu

và chỉ nếu tồn tại x0, x1, , xk ∈ A sao cho mỗi một x ∈ A có duy nhấtmột biểu diễn là tổ hợp lồi của x0, x1, , xk

Tiếp theo ta sẽ trình bày kết quả quan trọng của hình học tổ hợp đó

là các định lý Radon, Helly và Carath´eodory

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

Định lý 2.13 (Radon) ([2, Theorem 1.2.1]) Cho x1, x2, , xm ∈ Rn làcác điểm độc lập affine Khi đó tồn tại một sự tách

m

\

j=1

Xj 6= ∅

Chứng minh Ta chứng minh thông qua định lý Radon

Trước hết giả sử m = n + 2 Theo giả thuyết của định lý, tồn tạiđiểm x1 nằm trong giao của X2, X2, , Xm Tương tự như vậy, với mọi

j = 2, 3, , m, tồn tại điểm xj nằm trong giao của mọi Xi ngoại trừ

Xj Áp dụng định lý Radon cho tập A = {x1, x2, , xm} Theo định lýRadon, tồn tại hai tập hợp không giao nhau A1, A2 ⊂ A sao cho bao lồicủa A1 giao với bao lồi của A2 Giả sử p là điểm nằm trong phần giaocủa hai bao lồi Ta sẽ chứng minh

Xj và ta cũng có thể kết luận là giao của tất cả các tập hợp khác rỗng.Như vậy ta đã chứng minh được định lý cho trường hợp m = n + 2.Giả sử m > n + 2 và ta có giả thiết quy nạp là định lý đúng cho đến

m − 1 Chứng minh trên cho thấy một bộ n + 2 tập có giao khác rỗng

Ta xét một họ các tập hợp mới trong đó Xm− 1 và Xm được thay bằng

Xm−1∩ Xm Trong họ mới này, giao của mọi bộ n + 1 là khác rỗng Theogiả thiết quy nạp, giao của tất cả các tập hợp mới là khác rỗng Do đó,giao của tất cả các tập hợp ban đầu cũng là khác rỗng

Định lý không thể mở rộng cho họ vô hạn của tập lồi Có một trườnghợp ngoại lệ là của tập compact

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

Định lý 2.15 (Helly) ([2, Theorem 1.2.3]) Cho A là một họ của ít nhất

n + 1 tập compact trong Rn(A có thể vô hạn) và giả sử rằng bất kỳ n + 1tập trong A có giao khác rỗng khi đó sẽ có một điểm x ∈ Rn mà nó chứatrong tất cả các tập của A

Định lý 2.16 (Carath´eodory) ([2, Theorem 1.2.4]) Cho tập A ∈ Rnvà

x ∈ Rn thì các khẳng định sau đây là tương đương:

x1, x2, , xk là độc lập affine Giả sử rằng có các số β1, β2, , βk ∈ Rđều khác 0, sao cho

αi0 − αi0

βi0βi0 = 0Điều này mâu thuẫn với sự nhỏ nhất của k

Trong không gian Euclide khoảng các giữa hai điểm x và y trong Rnđược định nghĩa bởi

d(x; y) = |x − y| = phx − y, x − yi

Tính chất thuộc hình học tô pô của tập lồi trong không gian Rn đángchú ý hơn là so với các tập tùy ý Trong phần này ta sẽ ký hiệu B làđường tròn đơn vị Euclide trong Rn

B = {x : |x| ≤ 1} = {x : d(x, 0) ≤ 1}

Đây là một tập lồi đóng Với bất kỳ a ∈ Rn, hình cầu với bán kính ε > 0

và tâm a đươc cho bởi

{x : d(x, z) ≤ ε} = {a + y : |y| ≤ ε} = a + εB

Với tập C bất kỳ trong Rn, tập các điểm x có khoảng cách từ C khôngvượt quá ε là

{x : ∃y ∈ C, d(x, y) ≤ ε} = ∪ {y + εB : y ∈ C} = C + εB

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

Bao đóng clC và phần trong intC của C có thể được biểu diễn bởi côngthức

clC = ∩ {C + εB : ε > 0} ,intC = {x : ∃ε > 0, x + εB ⊂ C}

Ta sẽ đưa vào một khái niệm thuận tiên hơn là phần trong tương đối.Khái niệm này được tạo thành nhờ một đoạn thẳng hoặc một tam giácđược nhúng trong R3 có phần trong tự nhiên phù hợp nhưng không thực

sự, chúng là phần trong ý nghĩa của không gian metric R3 Phần trongtương đối của tập lồi C ⊂ Rn ta ký hiệu là riC, nó được định nghĩa nhưphần trong khi mà C được xem như một tập con của bao affine affC

Do đó riC bao gồm các điểm x ∈ affC trong đó tồn tại ε > 0, sao cho

y ∈ C khi y ∈ affC và d(x, y) < ε Nói cách khác,

riC = {x ∈ aff :∃ε> 0, (x + εB) ∩ (affC) ⊂ C}

Tất nhiên

riC ⊂ C ⊂ clC

Tập hiệu (clC) \ (riC) được gọi là biên tương đối của C Một cách tựnhiên, C là mở tương đối nếu riC = C Với tập lồi n-chiều, từ địnhnghĩa ta có affC = Rn vì vậy riC = intC

Định lý 2.17 ([4, Theorem 6.5]) Cho Ci là một tập lồi trong Rn với

i ∈ I (I là tập chỉ số) Giả sử rằng các tập riCi có ít nhất một điểmchung Khi đó

clC ∩ {Ci : i ∈ I} = ∩ {clCi : i ∈ I}

Nếu I hữu hạn, khi đó cũng có

ri ∩ {Ci : i ∈ I} = ∩ {riCi : i ∈ I}

Chứng minh Giả sử x là giao của các tập Ci Cho y bất kỳ thuộc giaocủa các tập clCi, vectơ (1 − λ) x + λy ∈ riCi, 0 ≤ λ < 1 từ Định lý ([4,Theorem 6.1]) và có giới hạn là y khi λ tiến tới 1 Cho nên

Ci với z là điểm cuối có thể kéo dài tới z trong

tập Ci, z là giao của các đoạn thẳng kéo dài, vì vậy z ∈ riT

ri (AC) = A (riC) , cl (AC) ⊃ A (clC)

Hệ quả 2.4 Cho tập lồi C và số thực λ, ta luôn có

ri(λC) = λriC

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa

Định lý 2.19 ([4, Theorem 6.7]) Cho A : Rn → Rm là một ánh xạtuyến tính, C là một tập lồi trong Rm sao cho A−1(riC) 6= ∅ Khi đó

ri A−1C
= A−1(riC), cl(A−1C) = A−1(clC)

Chứng minh Giả sử D = Rn⊕ C và M là đồ thị của A, khi đó M là tậpaffine và chứa một điểm của riD Giả sử ánh xạ P : Rn+m → Rn biến(x; y) thành x, khi đó A−1C = P (M ∩ D) Ta có

ri(A−1C) = P (ri(M ∩ D)) = P (M ∩ riD) = A−1(riC),

cl(A−1C) ⊃ P (cl(M ∩ D)) = P (M ∩ clD) = A−1(clC)

Lại có, A liên tục nên cl(A−1C) ⊂ A−1(clC)

Một phản ví dụ cho Định lý 2.19, trong trường hợp mà phần trongtương đối không thỏa điều kiện, nó bị chặn khi m = n = 2 Theo cáckết quả trên, lớp của các tập lồi mở tương đối được bảo toàn dưới phépgiao hữu hạn, tích vô hướng, tổng và ảnh hoặc nghịch ảnh dưới ánh xạtuyến tính

Định lý 2.20 ([4, Theorem 6.8]) Cho một tập lồi C ⊂ Rm+p Vớimỗi y ∈ Rm, Cy là tập các vectơ z ∈ Rp sao cho (y, z) ∈ C Cho

D = {y : Cy 6= ∅} thì (y; z) ∈ riC nếu và chỉ nếu y ∈ riD và z ∈ riCy

Hệ quả 2.5 Cho C là một tập lồi khác rỗng trong Rn và nón lồi K ⊂

Rn+1 sinh bởi {(1, x) : x ∈ C} Khi đó, với λ > 0 và x ∈ λriC thì riK

⊃ (λ, x)

Bổ đề 2.1 Cho tập lồi A ⊂ Rn, a ∈ riA và b ∈ A Khi đó ta có

λa + (1 − λ)b ∈ riA với 0 < λ ≤ 1