Một số tính chất hình học của vật lồi trong Rn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Nguyễn Thị Đào MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017... Để hoàn thành được khóa luận với đề tài: "Một số tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Đào

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Th.s Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2017

Để hoàn thành được khóa luận với đề tài: "Một số tính chất hình học của vật lồi trong R n ", trước hết em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

đã động viên giúp đỡ em trong thời gian qua Đặc biệt em xin trân thành cảm ơn thầy giáo: Th.s Trần Văn Nghị, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để em có thể hoàn thành bài khóa luận này Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên chắc chắn đề tài này không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được sự cảm thông và những đóng góp của thầy cô, các bạn sinh viên để bài khóa luận của em hoàn thiện hơn.

Em xin trân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình em học tập và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - Th s Trần Văn Nghị.

Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo Khóa luận "Một số tính chất hình học của vật lồi trong Rn" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!

Sinh viên

Nguyễn Thị Đào

Bảng kí hiệu

af f A Bao aphin của A bdA Biên của A convA Bao lồi của A intA Phần trong của A relbdA Biên tương đối của A relintA Phần trong tương đối của A

Rn Không gian Euclid n-chiều

Mục lục

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Bảng kí hiệu

Lời mở đầu

2.1 Thể tích và diện tích mặt 10

2.2 Thể tích hỗn hợp 16

2.3 Định lí Brunn Minkowski 33

2.4 Vật lồi với độ rộng không đổi 42

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu kỹ hơn các kiến thức về vật lồi

- Hệ thống các tính chất hình học của vật lồi

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức về vật lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất của vật lồi trên không gianvéc tơ

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày lý thuyết và các tính chất của vật lồi

5 Các phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu sử dụng các công cụ toán học

- Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu có liên quan

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

6 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Không gian các vật lồi

Chương 2: Một số tính chất hình học của vật lồi

Không gian các vật lồi

Ta kí hiệu Kn là tập hợp gồm các vật lồi (những tập lồi compact khácrỗng) K trong Kn Tập Kn đóng dưới phép cộng,

Với mục đích này, ta xét hàm giá hK của một vật lồi như một hàm sốtrên hình cầu đơn vị Sn−1 (bởi vì tính đồng nhất dương của hK, giátrị trên Sn−1 xác định hK hoàn toàn) Cho C(Sn−1) là không gian véc

tơ các hàm liên tục trên Sn−1 Đây là một không gian Banach đối với

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

với x 6= 0,

x = 0,

là lồi trên Rn Cho Hn là tập tất cả hàm lồi trên Sn−1 (sau Định lí2.1.1 trong [1]) và Định lí 2.2.1 trong [1], Hn là một nón lồi trongC(Sn−1)

Định lí 1.1 [1, Theorem 3.1.1] Ánh xạ

T : K 7→ hK,

là tuyến tính trên Kn (dương) và ánh xạ nón lồi Kn 1-1 lên nón lồi

Hn Hơn nữa T tương thích với bao hàm thứ tự trên Kn và thứ tự

với K, L ∈ Kn và α, β ≥ 0 Tính tuyến tính này không mở rộng cho

α, β âm, đặc biệt không có vật K − L = K + (−L) Một lí do là hàm

số hK − hL tổng quát không lồi Nếu

hK − hL = hM,

với M bất kì thuộc Kn, thì vật M nói chung khác với hiệu vật K − L

Ta viết KΘL := M và gọi vật này là hiệu Minkowski của K và L Vìhiệu vật K − L tồn tại với mọi K, L ∈ Kn, hiệu Minkowski KΘL chỉtồn tại trong trường hợp đặc biệt, đó là nếu K có thể được khai triển

là K = M + L (khi đó M = KΘL)

Với tô pô chuẩn cảm sinh từ chuẩn "max" trong C(Sn−1), nón Hnđóng Mục đích tiếp theo là xác định một metric tự nhiên trên Kn,sao cho T trở thành phép đẳng cự (do đó, ta có phép đẳng cự nhúngcủa Kn vào không gian véc tơ Banach C(Sn−1))

Định nghĩa Với K, L ∈ Kn, cho

d (K, L) := inf {ε ≥ 0 : K ⊂ L + B (ε) , L ⊂ K + B (ε)}

Dễ thấy rằng cận dưới đúng đạt được, do đó nó là một cực tiểu.Định lí 1.2 [1, Theorem 3.1.2] Với K, L ∈ Kn, ta có

d (K, L) = khK − hLk Ngoài ra d là một metric trên Kn thỏa mãn

d (K + M, L + M ) = d (K, L) ,

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

com-˜

d (A, B) := max

max

x∈A d (x, B) , max

y∈B d (y, A)



Ở đó A, B ∈ C(X), và ta viết gọn

d (u, C) := min

v∈C d (u, v) , u ∈ X, C ∈ C (X) ,(giá trị cực tiểu và cực đại tồn tại vì tính compact của các tập và tínhliên tục của metric) Bây giờ ta giả sử rằng trên Kn ⊂ C(Rn), metricHausdorff ˜d trùng với metric d

Định lí 1.3 [1, Theorem 3.1.3] Với K, L ∈ Kn, ta có

d (K, L) = ˜d (K, L)

Ta đến một tính chất tô pô quan trọng của không gian metric (Kn, d):

Mọi tập con bị chặn M ⊂ Kn là compact tương đối Đây là tính chất

đặc biệt cũng có, ví dụ trong không gian metric (Rn, d), nhưng không

có trong không gian metric tổng quát

Trong Kn một tập con M bị chặn nếu tồn tại c > 0 sao cho

d (K, L) ≤ c, với mọi K, L ∈ M

Tương đương với

K ⊂ B (c0) , với mọi K ∈ M,

với hằng số bất kì c0 > 0 Ở đây ta có thể thay hình cầu B(c0) bởi

tập compact, đặc biệt là hình lập phương W ⊂ Rn Tập con M là

compact tương đối, nếu mọi dãy K1, K2, , với Kk ∈ M, có một dãy

con hội tụ Ngoài ra, tính chất tô pô là một hệ quả của định lí sau

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

Định lí 1.4 (Định lí chọn của Blaschke) [1, Theorem 3.1.4, Blaschke’sSelection Theorem] Cho M ⊂ Kn là một bộ vô hạn của vật lồi tất

cả nằm trong một hình lập phương W Khi đó tồn tại một dãy K1,

K2, , với Kk ∈ M (đôi một khác nhau), và một vật K0 ∈ Kn sao cho

Kk → K0, khi k → ∞

Chứng minh Giả sử W là hình lập phương đơn vị Với mỗi i ∈ N,

ta chia W thành 2in lập phương có chiều dài cạnh là 21i Với K ∈ M,cho Wi(K) là hợp tất cả lập phương trong sự chia i lần, mà giao tại

K Vì ở đó chỉ có hữu hạn tập khác nhau Wi(K), K ∈ M, nhưng vôhạn vật K ∈ M, đầu tiên cho một dãy (thuộc M)

2j ,với mọi x ∈ Kk(j), ta có

dKk(j), Kl(j) ≤

√n

2j , với mọi k, l ∈ N, và mọi j

Từ tính chất của dãy con ta được

dKk(j), Kl(j) ≤

√n

2j , với mọi k, l ∈ N, và mọi j ≥ i

Đặc biệt, nếu ta chọn "dãy chéo" Kk := Kk(k), k = 1, 2, , khi đó

d (Kk, Kl) ≤

√n

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

với một dãy con thích hợp k1, k2, Vì ˜Kkivà W\int (K0 + B (ε)) làcompact, điều này kéo theo

Vì ˜Kk ⊂ K0 + B (ε) kéo theo Kk ⊂ K0 + B (ε) ,, ta được

d (K0, Kk) ≤ ε, với mọi k ≥ max (m, ¯m)

Chương 2

Một số tính chất hình học của vật lồi

Thể tích của một vật lồi K ∈ Kn có thể xác định như độ đo Lebesgue

λn(K) của K Tuy vậy, tính lồi của K kéo theo thể tích cũng tồn tạitheo nghĩa sơ cấp và, hơn nữa diện tích mặt của K cũng tồn tại

Vì vậy ta sử dụng định nghĩa đệ quy theo số chiều n, tập giá K(u) củavật lồi K, u ∈ Sn−1 nằm trong siêu phẳng song song với u⊥ Do đóphép chiếu trực giao K (u) |u⊥ là phép tịnh tiến của K(u) và ta có thểxét K (u) |u⊥ như một vật lồi (nếu ta đồng nhất u⊥ với Rn−1) Giả sửrằng thể tích được xác định thực sự trong Rn−1, khi đó ta kí hiệu là

Vn−1(K(u)|u⊥) thể tích (n-1)-chiều của phép chiếu này Sự đồng nhấtcủa u⊥ với Rn−1 đòi hỏi ta cho trước cơ sở trực chuẩn trong u⊥ Tuyvậy, nó phụ thuộc duy nhất vào u⊥ trên không gian metric Euclid và

nó độc lập với cách chọn cơ sở

Định nghĩa Cho P ∈ Pn là một đa diện

Cho n = 1, P= [a,b] với a ≤ b, ta xác định V1(P) := b-a và F1(P):=2.

P

(∗)

hp(u)V(n−1)(P (u)|u⊥)0

nếu dim P ≥ n − 1,nếu dim P ≤ n − 2,

P

(∗)

V(n−1)(P (u)|u⊥)0

nếu dim P ≥ n − 1,nếu dim P ≤ n − 2,

ở đó phép tổng (*) là trên tất cả u ∈ Sn−1, mà P (u) là một mặt của

P Ta viết gọn V (P ) cho V(n)(P) và gọi là thể tích của P Tương tự taviết F (P ) thay thế F(n)(P) và gọi là diện tích mặt của P

Với dimP = n − 1, ở đó hai tập giá của P là các mặt, gọi là P =

P (u0) và P = P (−u0), ở đó u0 là một véc tơ chuẩn tắc tới P Khi đó

V(n−1)(P (u0)|u⊥0 ) = V(n−1)(P (−u0)|u⊥0 ) và hp(u0) = -hp(u0), ta được

V (P ) = 0, trùng với độ đo Lebesgue của P Cũng trong trường hợpnày, F (P ) = 2V(n−1)(P (u0)|u⊥0) Với dimP ≤ n-2, đa diện P không cómặt nào, do đó V (P ) = 0 và F (P ) = 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

(5) Nếu P ⊂ Q, thì V (P ) ≤ V (Q) và F (P ) ≤ F (Q)

Chứng minh.(1) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp trên

n Kết quả đúng với n = 1 Cho n ≥ 2, ta đề cập tới, V (P ) = 0 = λn(P )nếu dimP ≤ n − 1 Với dimP = n, cho P (u1), , P (uk) là các mặtcủa P Khi đó, ta có

Các tính chất (2), (3), (4) và phần đầu của (5) suy ra trực tiếp từ (1)(và tính chất tương ứng của độ đo Lebesgue) Còn lại ta chứng minh

F (P ) ≤ F (Q), với P ⊂ Q Giả sử dimQ = n Ta kí hiệu các mặt của

P bởi P (ui), , P (uk) Ta có bất đẳng thức sơ cấp sau (một dạng tổngquát của bất đẳng thức tam giác),

Vn−1(P (ui)|u⊥i ) ≤ X

j6=i

Vn−1(P (uj)|u⊥j ), i = 1, , k

(2.1.1)

Để có (2.1.1), ta chiếu P (uj), j 6= i, trực giao với nhau lên siêu phẳng

u⊥i Phép chiếu khi đó qua P (ui)|u⊥i Vì phép chiếu không tăng chiều độ đo Lebesgue, theo (2.1.1) Đánh giá (2.1.1) kéo theo rằng

(n-1)-F (Q ∩ H) ≤ (n-1)-F (Q),

với nửa siêu phẳng đóng bất kì H ⊂ Rn Từ đó P ⊂ Q là một giaohữu hạn của các nửa siêu phẳng, ta được F (P ) ≤ F (Q) bởi sự bỏ điliên tiếp

Chú ý (1) Trong chứng minh (Mệnh đề trên) ta có thể bỏ sự xuấthiện của "phía ngoài" hình chóp bởi lập luận sau Nếu 0 ∈ int(P ),

sự chia hình chóp P chứng tỏ V (P ) = λn(P ) Với t ∈ Rn đủ nhỏ,khi đó ta có −t ∈ int(P ) và tương ứng phép chia t chứng tỏ rằng

hP +t = hP(ui) + ht, uii và λn−1((P + t)(ui)|u⊥i ) = λn−1(P (ui)|u⊥i )

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

Cho V (P + t) = V (P ) với mọi t ∈ Rn Mặt khác, tổng quát giả thiết

0 ∈ int(P ) có thể thực hiện và ta được V (P ) = λn(P )

(2) Ta có thể đơn giản hóa công thức cho thể tích V (P ) và diện tíchmặt F (P ) của một đa diện P Đầu tiên, vì ta đã chứng tỏ tính sơ cấp

đã định nghĩa thể tích bằng độ đo Lebesgue và do phép tịnh tiến bấtbiến, ta không cần phép chiếu trực trực giao của các mặt nữa Thứhai, vì Vn−1(P (u)) = 0, với dimP (u) ≤ n − 2, ta có thể tính tổngtrên tất cả u ∈ Sn−1

Nếu ta viết, trong phép cộng v thay thế V(n−1), ta được

V (P ) = 1

nX

Với một vật lồi K ∈ Kn, ta định nghĩa

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

Với một vật tùy ý K ∈ Kn, ta có từ Mệnh đề 2.1.1 (5)

V−(K) ≤ V+(K) và F−(K) ≤ F+(K),

và từ Mệnh đề 2.1.1 (2), V−(K), V+(K), F−(K) và F+(K) là đại lượngbất biến Sau phép tịnh tiến thích hợp, ta có thể giả thiết 0 ∈ rel int

K Với  > 0, khi đó ta sử dụng Định lí (Định lí 3.1.5(c)- trong [1]) vàcho một đa diện P với P ⊂ K ⊂ (1+)P Từ Mệnh đề 2.1.1 (3), ta có

V (P ) ≤ V−(K) ≤ V+(K) ≤ V ((1 + ε)P ) = (1 + ε)nV (P ),và

thuộc) và bằng cách này có một họ hàm hình học Ta bắt đầu với vấn

đề tổng quát hơn và nghiên cứu thể tích

V (α1K1 + + αmKm),

với Ki ∈ Kn, αi > 0, phụ thuộc các biến α1, , αm như thế nào Điềunày dẫn chúng ta tới một họ của hàm hỗn hợp của những vật lồi, thểtích hỗn hợp

Đầu tiên ta xét trường hợp các đa diện Từ đó sự biểu diễn đệ quycủa thể tích của một đa diện P được dựa trên những tập(mặt) của P,

ta có các tính chất những tập giá dưới tổ hợp tuyến tính

Mệnh đề 2.2.1 [1, Proposition 3.3.1] Cho m ∈ N, α1, , αm > 0,cho P1, , Pm ∈ Pn là những đa diện, và cho u, v ∈ Sn−1 Khi đó:(a) (α1P1 + + αmPm) (u) = α1P1(u) + + αmPm(u) ,

(b) dim (α1P1 + + αmPm) (u) = dim (P1 + + Pm) (u) ,

(c) Nếu (P1 + + Pm) (u) ∩ (P1 + + Pm) (v) 6= ∅, khi đó,(P1 + + Pm) (u) ∩ (P1 + + Pm) (v) =

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

αP (u) ⊂ ˜P (u) ⊂ βP (u),

nghĩa là, dimP (u)= dim ˜P (u)

(c) Sử dụng kí hiệu được giới thiệu ở trên, giả sử P (u) ∩ P (v) 6= ∅ Xét

x ∈ P (u) ∩ P (v) Từ đó x ∈ P , nó có sự biểu diễn sau x = x1+ + xm,với xi ∈ Pi Bởi vì

Ngược lại, nó đúng với x bất kì thuộc (P1(u) ∩ P1(v)) + + (Pm(u) ∩

Pm(v)) thỏa mãn x ∈ P1(u) + + Pm(u) = P (u) và x ∈ P1(v) + +

Chứng minh Cho z ∈ K(u) ∩ K(v) và ω = λu + µv với λ ∈ R và

µ > 0 Khi đó z ∈ K(u), do đó hz, ui = hK(u) = hK(u)(u) và

hK(u)(−u) = max{ hx, −ui : x ∈ K(u)} = max{ − hx, ui : x ∈ K(u)}

= max{ − hK(u)(u) : x ∈ K(u)} = −hK(u)(u) = − hz, ui = hz, −ui Mặt khác ta có hz, λui = hK(u)(λu) với mọi λ ∈ R Suy ra

hz, ωi = hz, λui + hz, µvi = hK(u)(λu) + hK(µv) ≥ hK(u)(λu) + hK(u)(µv)

≥ hK(u)(λz + µv) = hK(u)(ω) ≥ hz, ωi ,

với z ∈ K(u)(ω) cho trước

Bây giờ cho z ∈ K(u)(ω), lấy x0 bất kì thuộc K(u) ∩ K(v) 6= ∅ Khi

đó hx0, ui = hK(u) = hz, ui, từ đó z ∈ K(u), và hx0, vi = hK(v) Từ

lập luận trước, x0 ∈ K(u)(ω), và mặt khác

λ hz, ui + µ hz, vi = hz, ωi = hx0, ωi = λ hx0, ui + µ hx0, vi

Do đó hz, vi = hx0, vi = hK(v), có nghĩa là z ∈ K(v) Kéo theo

z ∈ K(u) ∩ K(v)

Tương tự để định nghĩa đệ quy thể tích của một đa diện, ta định nghĩa

thể tích hỗn hợp của đa diện Tiếp tục sử dụng phép chiếu tập(mặt)

giá để định nghĩa chặt chẽ hơn Sau đó chứng tỏ phép biến hình tịnh

tiến của hàm thì những công thức tương ứng trở nên đơn giản hơn

Với những đa diện P1, , Pk ∈ Pn, kí hiệu N (P1, , Pk) là tập của tất

cả mặt chuẩn tắc của đa diện lồi P1 + + Pk

Định nghĩa Với những đa diện P1, , Pn ∈ Pn, ta định nghĩa thể

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

Từ chứng minh, nó thuận lợi để mở rộng k-chiều thể tích hỗn hợp

V(k)(Q1, , Qk) (được xác định với những đa diện Q1, , Qk trongmột không gian con tuyến tính k-chiều E ⊂ Rd) để những đa diện

Q1, , Qk ∈ Pn, thỏa mãn dim(Q1 + + Qk) ≤ k, từ

V(k)(Q1, , Qk) := V(k)(Q1|E, , Qk|E)

Ở đó E là một không gian con k-chiều song song với Q1 + + Qk,

1 ≤ k ≤ n − 1 Phép biến hình tịnh tiến và điều kiện về số chiều,

mà ta sẽ chứng tỏ rằng sự mở rộng này là phù hợp (và độc lập của

E trong trường hợp dim(Q1 + + Qk) < k) Theo chứng minh quy

nạp, ta hoàn toàn sử dụng sự mở rộng này để đơn giản hóa sự biểu

diễn Đặc biệt, trong bước sự quy nạp, ta sử dụng thể tích hỗn hợp

V(n−1)(P1(u), , P(n−1))

Trong phép cộng, ta mở rộng thể tích hỗn hợp tới tập rỗng, gọi là

V(n)(P1, , Pn) := 0, nếu một trong các tập Pi bằng rỗng

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp trên n

Với n = 1, các đa diện Pi là các khoảng và thể tích hỗn hợp bằng (1

chiều) thể tích V(1) (chiều dài các khoảng), là tuyến tính

Bây giờ giả sử rằng sự khẳng định của định lí là đúng với mọi chiều

≤ n − 1, và ta xét chiều n ≥ 2 Nếu dim(P1 + + Pn) ≤ n − 1, khi

đó hoặc N (P1, , Pn−1) = ∅ hoặc N (P1, , Pn−1) = {−u, u}, ở đó u

là chuẩn tắc trên af f (P1+ + Pn) Trong trường hợp đặc biệt, ta có

V(n)(P1, , Pn) = 0, từ định nghĩa, trong trường hợp thứ hai, ta có

V(n)(P1, , Pn)

= n1(hPn(u)V(n−1)(P1(u), , Pn−1(u))+hPn(−u)V(n−1)(P1(−u), , Pn−1(−u))

= n1(hPn(u)V(n−1)(P1(u), , Pn−1(u))−hPn(u)V(n−1)(P1(u), , Pn−1(u))

= 0

Tiếp theo, ta chứng minh (2.2.1) Nếu αi = 0, với số mũ i cho trước,

số hạng tương ứng αiPi trên mặt bên trái có thể được xóa, tốt tất cả

số hạng trên mặt bên phải mà gồm số mũ đặc biệt i Ngoài ra, xét

trường hợp α1 > 0, , αm > 0 Từ định nghĩa của thể tích và Mệnh

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

Ở đó, ta đã sử dụng với tập số mũ cho trước i1, , in, phép tổng

trên N(P1, , Pm) có thể được thay thế bởi tổng trên N (Pi1, , Pin−1)

Đó là, với u /∈ N (Pi1, , Pin−1) tập giá Pi1(u)+ +Pin−1(u) = (Pi1+ +

Pin−1)(u) có chiều nhỏ hơn hoặc bằng n-2 và do đó V(n−1)(Pi1(u), , Pin−1(u)) =0

Tiếp theo ta chứng minh tính đối xứng Từ đó V(n−1)(P1(u), , Pn−1(u))

là đối xứng (trong số mũ) từ giả thuyết quy nạp, ta được

V(n)(P1, , Pn−2, Pn−1, Pn) = V(n)(P1, , Pn−2, Pn, Pn−1)

Hơn nữa, ta có thể giả sử rằng P := P1+ + Pn thỏa mãn dimP = n.

Từ định nghĩa,

V(n−1)(P1(u), , Pn−1(u))

= n−11 P

˜ v∈ ˜ N

hPn−1(u)(˜v)V(n−2)((P1(u))(˜v), , (Pn−2(u))(˜v))

Ở đó ta có tổng được lấy trên tập ˜N của mặt chuẩn tắc của P (u) (trong

u⊥) Có thể làm việc với phép chiếu (dời tập giá) P1(u)|u⊥, , Pn−1(u)|u⊥,nhưng ở đó ta sử dụng định nghĩa mở rộng của (n-2)-chiều thể tíchhỗn hợp và thực tế là

hPn−1(u)|u⊥(˜v) = hPn−1(u)(˜v),

với mọi ˜v⊥u Những mặt của P(u) là (n-2)-chiều mặt của P, do đó

nó xuất hiện như giao P (u) ∩ P (v) của mặt P (u) với mặt P (v) của

P Từ đó dimP = n, v = −u không xảy ra Nếu P (u) ∩ P (v) là một(n-2)-mặt của P, do đó một mặt của P (u), tương ứng chuẩn (trong

u⊥) được cho bởi ˜v = v|u⊥ −1(v|u⊥), do đó nó có dạng ˜v = λu + µvvới λ ∈ R và µ > 0

Từ Mệnh đề 2.2.1(c),

P (u) ∩ P (v) = (P1(u) ∩ P1(v)) + + (Pn(u) ∩ Pn(v))

Đặc biệt, Pi(u) ∩ Pi(v) 6= ∅ với i = 1, , n Với (n-2)-mặt P (u) ∩ P (v)của P, nên từ Bổ đề 2.2.2

(Pi(u))(˜v) = Pi(u) ∩ Pi(v), i = 1, , n − 2,

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào



V(n−2)(P1(u) ∩ P1(v) , , Pn−2(u) ∩ Pn−2(u))

Ở đó, ta có thể tính tổng với mọi v ∈ N (P1, , Pn), với P (u) ∩ P (v) 6=

∅, từ đó với v mà P (u) ∩ P (v) 6= ∅ không là (n-2)-mặt của P, thểtích hỗn hợp V(n−2)(P1(u) ∩ P1(v), , Pn−2(u) ∩ Pn−2(v)) triệt tiêubởi giả thuyết quy nạp Với n = 2, thể tích hỗn hợp V(n−2)(P1(u) ∩

P1(v), , Pn−2(u) ∩ Pn−2(v)) được xác định là 1

Cho γ(u, v) kí hiệu góc (ngoài) giữa u và v, khi đó

v|u⊥ = sin γ(u, v), hu, vi = cosγ(u, v),

do đó

v|u⊥kv|u⊥k =

1sin γ(u, v)v −

1tan γ(u, v)u.