Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số fx xác định trên K.. Định nghĩa tích phân: Cho hàm số fx liên tục trên đoạn [ ]a b... Tích phân từng phần: a.. Các dạng toán tích phân từng phần: Bài
Trang 1CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Định nghĩa nguyên hàm:
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x K∈
2 Bảng nguyên hàm:
1
1
dx x C
x
α
α
+
= +
+
∫
∫
o
1
1 1
ln 1
1
sin
cos os
sin
ax b ax b
a
a
a
a x
x
c x
x
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
o o o o o o o
2
2
2 2
2
2
2
2
1
cos 1
sin
x
x
∫
∫
o
o
o
o
1
ln
ln
x x
x
e dx e C
a
a
= +
∫
∫
∫
o
o
o
3 Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ]a b Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn ; [ ]a b ;
Hiệu: F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) Kí hiệu: ( )
b
a
f x dx
∫
Công thức: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x= =F b −F a
∫
4 Các bài toán đổi biến số:
Bài toán 1: [ ( ) '( )]
b
a
f u x u x dx
∫
Phương pháp: + Đặt t u x= ( )⇒ =dt u x dx'( )
+ Đổi cận: x a t
α β
+ Thế:
[ ( ) '( )] ( )
b
a
f u x u x dx f t dt
β α
=
Ví dụ: Tính 2 sin
0 os
x
π
=∫
Giải
Đặt t=sinx⇒ =dt c xdxos Đổi cận:
1 2
= ⇒ =
= ⇒ =
Trang 21 1 0 0
0
1
Bài toán 2: ( ) '( )
b
a
u x u x dx
∫
Phương pháp: + Đặt t= u x( )⇒ =t2 u x( )
2tdt u x dx'( )
+ Đổi cận: 1
1
t
x a
α β
=
⇒
+ Thế:
1
1
( ) '( ) 2
b
a
u x u x dx t tdt
β α
=
Ví dụ: Tính
1 2 0
1
I =∫x x + dx
Giải
Đặt t= x2+ ⇒ = + ⇒1 t2 x2 1 2tdt=2xdx
⇒tdt=xdx
= ⇒ =
= ⇒ =
2
1
Bài toán 3: 2 2 2
0
a
a −x dx
∫
Phương pháp: + Đặt
x a= t⇒dx ac xdx=
+ Đổi cận: …
+ Thế: …
Bài toán 4: 2 2
0
1
a
dx
a +x
∫
Phương pháp:
+ Đặt x a= tant⇒dx a= (1 t an )+ 2x dt
+ Đổi cận: ……
+ Thế: ……
5 Tích phân từng phần:
a) Công thức: d d
b a
u v uv= − v u
b) Các dạng toán tích phân từng phần:
Bài toán 1: Tích phân dạng: ( )
b
x a
P x e dx
∫
⇒
Ví dụ: Tính
1
0
x
I =∫xe dx
Giải
Đặt u x x du dx x
⇒
Vậy,
1
0
( 1) 1
I =xe −∫e dx e e= − = − − =e e
Bài toán 2: Tích phân dạng: ( ).sin
b
a
∫
Ví dụ: Tính tích phân 2
0 (2 1)sin
π
=∫ +
Giải
0 0 [(2 1) cos ] 2 cos
π π
Trang 32
0
1 2sinxπ 1 2 3
Bài toán 3: Tích phân dạng: ( ) os
b
a
P x c xdx
∫
Ví dụ: Tính tích phân 2
0 (1 ) os
π
=∫ −
Giải
Đặt 1
0 0 [(1 )sin ] sin
π π
1 os 2 1 1
π
Bài toán 4: Tích phân dạng: ( ).ln
b
a
P x xdx
∫
Phương pháp: Đặt
1 ln
x
3 4ln 2
2
Ví dụ: Tính tích phân
2
1
2 ln
I =∫ x xdx
Giải
Đặt
2
1 ln
2
x
dv xdx
v x
=
=
Vậy,
2 2
1 1
1
2
I = x x −∫xdx= x x − x
6 Diện tích hình phẳng:
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng: x = a;
x = b.
Phương pháp:
+ Giải phương trình y = f(x) = 0 tìm nghiệm trên đoạn [a;b].
+ Nếu không có nghiệm nào ∈[a;b] thì áp dụng công thức:
( ) ( )
S =∫ f x dx= ∫ f x dx + Nếu có một nghiệm c∈[a;b] thì ta áp dụng công thức sau:
( ) ( ) ( )
S =∫ f x dx=∫ f x dx + ∫ f x dx
( Chú ý: y = f(x) = 0 có 2, 3 nghiệm trở lên ∈[a;b], thì ta cũng áp dụng tương tự)
Ví dụ: Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường : y x= 2−2x , trục Ox và hai
đường thẳng x= −1;x=1
Giải:
Đặt f x( )=x2−2x, ta có: ( ) 0 2 2 0 0
2( )
x
=
= ⇔ − = ⇔ = Vậy diện tích của hình phẳng cần tìm là:
4
Trang 4Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: y= f x C1( ) ( );1 y= f x C2( ) ( )2
Phương pháp:
+ Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: f x1( )= f x2( )
Giả sử x a x b a b= ; = ( < )là nghiệm của phương trình.
+ Khi đó diện tích của hình phẳng cần tìm được tính theo công thức sau:
1( ) 2( ) [ 1( ) 2( )]
S =∫ f x − f x dx= ∫ f x − f x dx
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y x= 2−2 ;x y x=
Giải:
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình: x2−2x x=
3
x
x
=
⇔ − = ⇔ =
Vậy, diện tích của hình phẳng cần tìm là:
3
x
S= x − x dx= x − x dx = − x =
7 Thể tích vật thể tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x =b(a < b) khi quay quanh trục Ox là:
[ ]2 ( )
b
a
V =π∫ f x dx
Chú ý: Nếu thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): x = f(y),
trục Oy, hai đường thẳng y=α;y=β α β( < ) khi quay quanh trục Oy là:
[ ]2 ( )
β α
π
= ∫
Ví dụ: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y=2x x− 2, trục
Ox, hai đường thẳng x = 0, x =2(a < b) khi quay quanh trục Ox.
Giải:
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
2
x
B/ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số ( )
4
x x
e
f x
e
= +
A ∫ f x dx e( ) = xln(e x+ +4) C B ∫ f x dx( ) =ln(e x + +4) C
e
e
+
4
x x
e
e
+
∫
Trang 5Câu 2: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) =3x2 +2x−1 và F( )1 =2 Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng?
A F x( ) = + − +x3 x2 x C B F x( ) =6x+2
C F x( ) = + + −x3 x2 x 1 D F x( ) = + − +x3 x2 x 1
Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) =x x2−1 là:
A ( ) 2( 2 ) 2
3
3
F x = x − x − +C
C ( ) 1 2
1 3
1 3
F x = x − +C
Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )= 2x−1
3
f x dx= x− x− +C
3
f x dx= − x− +C
∫
x
−
3
f x dx= x− x− +C
∫
Câu 5:Cho I= ∫xe dx x2 , đặt u x= 2 , khi đó viết I theo u và du ta được:
A.I =2∫e du u B.I =∫e du u C. 1
2
u
I = ∫e du D I =∫ue du u
Câu 6: Tích phân
1 2 0
x
I =∫x e dx
4
e
4
e
4
e
Câu 7: Tính tích phân 2
2
sin 2 x.cosxdx
I
π
π
= ∫
6
6
I =π
Câu 8: Tích phân
1
0
(| 2 1| | |)
I =∫ x− − x dx bằng:
Câu 9:Gỉa sử
2
1
1 4ln 2
dx b
+ −
b tối giản Tính a b+
Câu 10: Tích phân
5 2 4
x
dx
−
− +
Câu 11 Biết
2 2
0
lnb 1
x
x
+
A.a b− =1 B 2a + b = 5 C.a + 2 = b D.ab=0
Trang 6Câu 12 Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], f(0) = 2 và f(3)= 5 Tính
( )
3
0
'
I =∫ f x dx.
Câu 13: Cho hình (H) giới hạn bởi y = sin x; x = 0; x = π và y = 0 Tính thể tích vật thể
tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox.
A
2
V =π
B
2
2
4
V = π
Câu 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x= ²; x=1; x=2và y = 0.
A 4
Câu 15 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y= f x y1( ), = f x2( )
liên tục và hai đường thẳng x a x b= , = (a b< ) được tính theo công thức:
A. b 1( ) 2( ) d
a
a
S = ∫ f x − f x x .
b
a
S = ∫f x − f x dx D. 1( ) 2( )
S =∫ f x dx−∫ f x dx.
Câu 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x4−4x2 +1 và đồ thị hàm số y=x2−3
Câu 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = – ³ 3 x + x + 1 và đường thẳng y = 3 là
A 57
4 .
Câu 18 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( )C : y x= 2+2 ;x y x− − =2 0 là:
A 5
2
Câu 19: Cho hình thang cong ( )H giới hạnbới các đường
x
y e y= = x= và x=ln 4 Đường thẳngx k= (0< <k ln 4) chia
( )H thành hai phần có diện tích là S1S2 và như hình vẽ bên Tìm k
để S1 =2S2.
A 2ln 4
3
C ln8
3
Câu 20: Cho I =F x( ) =∫xe dx x biết F( )0 =2015, vậy I = ?
A I = xe x+ +e x 2014 B I = xe x− +e x 2016
C I = xe x+ +e x 2016 D.I = xe x− +e x 2014
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) = e− +62x 1
Trang 7A f x dx( ) e126x1 C
− +
= − +
C ∫ f x dx( ) =3e− + 6x1+C D ∫ f x dx( ) = e− +62x1 +C
Câu 22: Cho I= ∫x5 x2 +15dx , đặt u= x2 +15 khi đó viết I theo u và du ta được :
A.I = ∫(u6 −30u4−225u )2 du B.I =∫(u4 −15 )u du2
C.I =∫(u6 −30u2 +225 )u du2 D I =∫(u 15u )5− 3 du
Câu 23: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 4
1 2
f x
x
= + và F( )0 =2 Tìm F( )2 .
A 2 ln 5 4+ B 5 1 ln 2( + ) C 2 1 ln 5( + ) D 4 ln 5 2+
Câu 24: Cho tích phân
1
1 3ln
x
+
=∫ , đặt t = 1 3ln+ x Khẳng định nào sau đây đúng?
A
2
2 1
2
3
I = ∫t dt B
2
1
2 3
I = ∫tdt C
2 2 1
3 2
I = ∫t dt D
1
2 3
e
I = ∫tdt
1
2 1 ln
e
I =∫ x − x dx bằng
A
2 2
3
2
e
−
2 3 3
3 2
e
−
Câu 26: Tính tích phân
0
sin
I =π∫x xdx, đặt u x = , dv=sinx xd Khi đó I biến đổi thành
A I = −xcosx−∫cosxdx B I = −xcosx+∫cosxdx
C I = xcosx+∫cosxdx D I = −xsinx+∫cosxdx
Câu 27: Tính tích phân
/ 4 3 0
cos sin
π
= ∫
8
1
4 2
1
4
u
1
4 2
1
3
u
1
I = −∫ u du
Câu 28:Giả sử tích phân
3 2 0
b
b tối giản Tính S = +a b
Câu 29:Gỉa sử
1 2 0
ln
dx
+ +
b tối giản.Tính P a b=
Câu 30 Biết ( ) 10
b
a
f x dx=
∫ , F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) và F a( ) = −3 Tính
( )
F b .
Trang 8A F b( ) =13 B F b( ) =16 C F b( ) =10 D F b( ) =7
Câu 31:Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=sin 2 ,x y=cosxvà hai đường thẳng 0,
2
x= x=π là :
A 14(dvdt) B 16(dvdt) C 32(dvdt) D 12(dvdt)
Câu 32:Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y=ln ,x y=0,x=1,x=2 quay quanh trục
Ox có kết
quả là:
2ln 2 1
2 2 1ln
2 2 1ln
Câu 33.Cho đồ thị hàm số y= f x( ) Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:
A 0 ( ) 0 ( )
f x dx f x dx
−
−
f x dx f x dx
−
+
C 0 ( ) 4 ( )
f x dx f x dx
−
−
3
f x dx
−∫
Câu 34:Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= xe x và các đường thẳng
x= x= = Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình D xung quanh trục Ox.
A ( )2
Câu 35: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi 1 3 2
3
y= x −x và Ox Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox bằng:
A 53
6
5
35 π
Câu 36:Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y= f x = −x x + +x và trục hoành.
1
S f x dx
−
1
S f x dx
−
= ∫
S f x dx f x dx
−
=∫ −∫ D 2 ( ) 3 ( )
−
=∫ +∫
Câu 37:GọiV là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
x
4
V =π + ÷
.
Trang 9Câu 38:Đặt ( ) 3 2
2
1
x
= + + ÷
x
= + − + B ( ) 4 2 ln 2
x
= + + + D ( ) 2
3
2
x
= + − +
Câu 39:Cho
1
0
1
I =∫x −x dx Nếu đặt 1 x− 2 =t thì I bằng :
A.1 ( 2)
0
1
t −t dt
1
1
t −t dt
0
1
t −t dt
1
t −t dt
∫
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
os
f x
c x
A tanx - 3x + C B - tanx - 3x +C C cotx - 3x +C D - cotx - 3x + C
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số f x =( ) 3x là
A 3
ln 3
x
C
+ B 3 ln 3x +C C 3 1
1
x C x
+ + + D x3x- 1 +C .
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 1
3
x
= - + là biểu thức nào sau đây?
A 4 3 2
ln
4 2
x
- + + B 4 3 2
ln
4 2
x
x x C
- + + C 4 2 2
ln
4 3
x
- + + D 4 3 2
ln
4 2
x
Câu 4: Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( )=e x - 1 và F(0)=7 thì F x( ) là
A.e x - x + 6 B.e x - x - 6 C.-e x + x + 4 D.e x - x + 7.
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) =3 sinx + 7 cosx là biểu thức nào sau đây?
A.- 3 cosx+ 7 sinx C+ B - 3cosx+7 sinx C 3cosx+ 7 sinx C+ D
3cosx - 7 sinx C+ .
Câu 6: Hàm nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số 2
2 ( 1)
y x
=
1
x
x
- +
1
x
1
x
1
x x
-+ .
Câu 7: Nguyên hàm của hàm số f x( ) =xe xlà:
A xe x - e x +C B.e x +C C. 2
2
x x
e +C D xe x + e x + C
Câu 8: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm 2 ln
ln x 1 x
y
x
+
3
F = Giá trị F e2( )
bằng:
A.8
3
Trang 10Câu 9: Gọi F x( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) trên đoạn é ùê úa b; Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx =F b - F a
b
a
f x dx F a= - F b
b
a
f x dx =F b + F a
b
a
f x dx= - F b F a
-ò
Câu 10: Cho T =
4
1
xdx
ò Khi đó giá trị của T là
A 14
3
2
T = D 7
3
T =
Câu 11: Cho P =
1
2
e dx x
ò Khi đó giá trị của P là
2 2
e − . D P=2e−1
Câu 12: Cho biết ( ) 7 , ( ) 3
f x dx = f x dx =
b
a
f x dx
Câu 13: Giá trị
0
1
1
x dx x
Câu 14: Cho 2 ( )
0
5
f x dx
p
=
0
2 sin
p
2
p
Câu 15: Tích phân 4 2
0
2 sin 2
x dx
p
p
p
p
p
Câu 16: Biết rằng tích phân
1
0 (2x + 1)e dx x = +a be
Câu 17: Cho tích phân 2 ( 2 ) ( )
1
ln 3 ln 2 ( , , ) 1
x
+
định đúng trong các khẳng định sau:
Trang 11A a < 0 B.c < 0 C.b > 0 D.a +b+ c> 0.
Câu 18: Khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( )liên tục trên [ ]a b; , trục
Ox , x a= , x b= khi quay quanh trục hoành, thì thể tích được xác định bởi công thức
b
a
f x dx
π∫ B ( ) 2
b
a
f x dx
∫ C ( ) 2
b
a
f x dx
b
a
f x dx
π∫
Câu 19: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi
các đường y= +x 1;y=0;x=0;x=1; quay quanh trục Ox
A V=7
Câu 20: Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 2
y x= + y= x= x= bằng
A 4
Câu 21: Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x= 2−2 ;x y x x= ; =1;x=2
bằng
A 13
3
Câu 22: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
sin , 0, 0,
2
y= x y = x= x=π
quay quanh trục Ox bằng
A 2.
4
4
π C π2 D π .
Câu 23: Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= 2+2mx m+ 2+1, trục Ox, trục Oyvà đường thẳng x=2 có diện tích bằng 32
3 .
A m=1 B.m= −3 C m=1,m= −3 D Không tồn tại m Câu 24: Một vật chuyển động với vận tốc v t( ) 1 2 ( / )= + t m s Biết quãng đường mà vật
chuyển động trong khoảng thời gian từ lúc xuất phát (t=0) đến thời điểm t1là 6( )m Tính t1.
2
t = D.t1=42.
Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C của hàm số 2
y x= − x+ và các tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 2)− của đồ thị ( )C .
A 16
3 B 128
