CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I.. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1... + Có tâm I và đi qua một điểm M thỏa mãn hệ thức véctơ cho trước….. Có tâm B và nhận
Trang 1CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1) Định nghĩa:
M x y z( ; ; )⇔OMuuuur= +xi y j zkr r+ r
ar=( ; ; )a a a1 2 3 ⇔ =a a i a j a kr 1r+ 2r+ 3r
Các véctơ đơn vị: + ri=(1;0;0) trên trục Ox
+ rj=(0;1;0) trên trục Oy
+ kr=(0;0;1) trên trục Oz
2) Các phép toán:
Trong không gian Oxyz, cho ar=( ; ; )a a a1 2 3 ,
( ; ; )
br= b b b , Ta có:
( ; ; ) ( ; ; )
a b a b a b a b
a b a b a b a b
ka k a a a ka ka ka
r r
o
r r
o
r
o
3) Hệ quả:
Trong không gian Oxyz, cho ar=( ; ; )a a a1 2 3 ,
( ; ; )
br= b b b , ( ; ; )A x y z , ( ; ; ) A A A B x y z Ta B B B
có:
)
a b
a a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
r r
b) ar cùng phương với br ⇔ ∃ ∈k ¡ sao cho:
a kb
a kb a kb
a kb
=
= ⇔ =
=
) ( B A; B A; B A)
c ABuuur= x −x y −y z −z
d) Tọa độ trung điểm M của đoạn AB là:
x x y y z z
e) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
x x x y y y z z z
4) Tích vô hướng:
Trong không gian Oxyz, cho ar=( ; ; )a a a1 2 3 ,
( ; ; )
br= b b b , ( ; ; )A x y z , ( ; ; ) A A A B x y z Ta có: B B B
0
os( ; )
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a a a a
a b a b a b
c a b
a a a b b b
=
r r o
r r o r o uuur o
r r o
5) Phương trình mặt cầu:
Phương trình:
(x a− ) + −(y b) + −(z c) =r
là phương trình mặt cầu tâm ( ; ; )I a b c , bán kính r
Phương trình có dạng:
x +y + +z Ax+ By+ Cz D+ = với A2+B2+C2− >D 0 là phương trình mặt cầu tâm (I − − −A B C; ; ), bán kính:
r= A +B +C −D
Trang 2MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1a:
Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S):
(x a− ) + −(y b) + −(z c) =R
Phương pháp:
+ Tọa độ tâm của mặt cầu là: ( ; ; ) I a b c và bk:
R
Dạng 1b:
Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S):
x +y + −z ax− by− cz d+ =
Phương pháp:
+ Tọa độ tâm : ( ; ; ) I a b c và bán kính:
R= a + + −b c d
Ví dụ: Tìm tọa độ tâm và bán kính của các mặt
cầu sau:
a (x−1)2+ +(y 2)2+z2 =16
b x2+y2+ −z2 2x+6y−4z− =2 0
Giải:
a Tâm của mặt cầu: (1; 2;0)I − và bk: R=2
b Tâm của mặt cầu: (1; 3;2)I − và bán kính:
1 ( 3) 2 ( 2) 4
R= + − + − − =
Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm
( ; ; )
I a b c và đi qua điểm ( ; ; ) A x y z A A A
Phương pháp:
+ Tâm mặt cầu: ( ; ; ) I a b c
+ Bán kính:
R= IAuur = x −a + y −b + z −c
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm
(1;3; 4)
I − và đi qua điểm M(2; 4;1)− .
Giải:
Ta có: uuurIM = −(1; 7;5)
R IM
⇒ = uuur = + − + = Vậy, phương trình mặt cầu (S) là:
(x−1) + −(y 3) + +(z 4) =75
Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu (S) nhận
( ;A A; ), ( ;A B B; )B
A x y z B x y z làm đường kính.
Phương pháp:
+ Tọa độ tâm I là trung điểm của đoạn AB:
x x y y z z
+ Bán kính:
AB AB
R= =
uuur
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) nhận
(3;1; 4), ( 1;3; 2)
A − B − − làm đường kính
Giải:
+ Ta có tâm của mặt cầu là trung điểm I của đoạn AB, ⇒I(1; 2; 3)−
+ Mà uuurAB= −( 4; 2; 2)
6
AB
R= uuur = − + + = =
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:
(x−1) + −(y 2) + +(z 3) =6
Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu có tâm
( ; ; )
I a b c và tiếp xúc với mặt phẳng (P):
0
Ax By Cz D+ + + =
Phương pháp:
+ Tâm ( ; ; ) I a b c
+ Bán kính:
( ;( )) A a B b C c D. 2 . 2 . 2
R d I P
A B C
+ +
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu có tâm
(2; 2; 1)
I − và tiếp xúc với mặt phẳng (P):
x y+ − z+ =
Giải:
Ta có bán kính R là:
( ;( )) 2 2 2.( 1) 62 2 2 6 6
6
1 1 ( 2)
R d I P + − − +
+ + −
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:
(x−2) + −(y 2) + +(z 1) =6
Dạng khác:
+ Mặt cầu đi qua bốn điểm cho trước.
+ Có tâm I và đi qua một điểm M thỏa mãn hệ
thức véctơ cho trước….
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
(2;0;0), (0; 4;0), (0;0;6)
trình mặt cầu:
a Có tâm B và nhận độ dài đoạn AB là đường
Trang 3b Có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và đi
qua điểm M thỏa mãn: MAuuur=2MBuuur
c Đi qua bốn điểm O, A, B, C
(Đề nghị HS tự giải)
II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz, cho mặt
phẳng ( )α và hai cặp véctơ
( ; ; )
ar= a a a ,br=( ; ; )b b b1 2 3 có giá song
song hoặc nằm trong mp( )α Khi đó
vectơ pháp tuyến (VTPT) của mp( )α
là:
( )
a a a a a a
n a b
b b b b b b
Nhận xét: véctơ ar=( ; ; )a a a1 2 3 ,
( ; ; )
br= b b b
đgl cặp véctơ chỉ phương của
( )
mp α
2 PTTQ của mặt phẳng có dạng:
0
Ax By Cz D+ + + =
Trong đó: nr=( ; ; )A B C là vec tơ pháp
tuyến của mặt phẳng.
3 Phương trình các mặt phẳng tọa
độ:
+ mp Oxy có phương trình:( ) z=0
+ mp Oxz có phương trình:( ) y=0
+ mp Oyz có phương trình:( ) x=0
+ Mặt phẳng đi qua ba điểm ( ;0;0)A a ,
(0; ;0)
B b , (0;0; )C c sẽ có phương trình
là:
1
x y z
a b+ + =c
4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
( ) :α A x B y C z D+ + + =0 có VTPT: nr( ) α =( ; ; )A B C1 1 1
( ) :β A x B y C z D+ + + =0có VTPT:
( ) ( ; ;2 2 2)
nrβ = A B C
Khi đó:
( )α
o cắt ( )β ⇔nr( ) α ≠knr( ) β ( )α
o //
( ; ; ) ( ; ; ) ( ) n kn A B C k A B C
D kD
D kD
β ⇔ ≠= ⇔ ≠ =
( ; ; ) ( ; ; )
D kD
D kD
α ≡ β ⇔ == ⇔ = =
o
( ) ( )
0
n n
A A B B C C
α β
o
5 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz, cho điểm M x y z mặt ( ; ; )0 0 0
phẳng ( )α : Ax By Cz D+ + + =0 Khi đó khoảng cách
từ M đến mp( )α được kí hiệu là d M[ ;( )α ]
d M
A B C
+ +
MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
+ mp ( )α đi qua điểm M x y z và có vectơ pháp tuyến (VTPT) ( ; ; )0 0 0 nr=( ; ; )A B C sẽ có phương trình:
A x x− +B y y− +C z z− =
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
không thẳng hàng có tọa độ cho trước
Phương pháp:
Ví dụ: Lập PTTQ của mặt phẳng đi qua ba điểm
(1; 1;0), ( 2;0;1), (0; 2;0)
Giải:
Trang 4+ Tìm AB ( ) : (ABC)
VTPT n AB AC AC
uuur
r uuur uuur
+ Từ đó lập phương trình mp(ABC) đi qua A,
có VTPT là: nr(ABC) =uuur uuurAB AC∧
Ta có:
( 3;1;1)
( ) :
AB
vtpt ABC n AB AC AC
= −
uuur
r uuur uuur uuur
(ABC) ( 3; 1; 8)
n
⇒r = − − − Vậy phương trình TQ của (ABC) là:
3(x 1) 1(y 1) 8(z 0) 0
hay 3x y+ + − =8z 2 0
Dạng 2: Lập phương trình mặt phẳng ( )α đi
qua điểm M x y z và song song với mặt ( ; ; )0 0 0
phẳng
( ) :β Ax By Cz D+ + + =0
Phương pháp:
+ Vì ( )α //( )β ⇒nr( ) α =nr( ) β =( ; ; )A B C
+ Từ đó suy ra phương trình mp( )α cần tìm
là:
A x x− +B y y− +C z z− =
Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi
qua (1;2; 3)A − và:
a) Vuông góc với đường thẳng (d):
1 2
2 3
y t
= +
= −
= − +
b) Song song với mp(Q): x y− +3z=0
c) Đi qua 2 điểm (0;1;1), ( 1;0;2)A B − và vuông góc với ( )α : x y z− + − =1 0
Giải:
a) Vì ( ) / /P d⇒VTCP của d chính VTPT của mp(P), nên nr( )P =(2; 1;3)−
Vậy, PTTQ của mp(P) là:
2(x− −1) 1(y− +2) 3(z+ =3) 0 hay 2x y− + + =3z 9 0
b) Vì mp(P) //mp(Q) ⇒nr( )P =nr( )Q = −(1; 1;3) Vậy PTTQ của mp(P) là:
1(x− −1) 1(y− +2) 3(z+ =3) 0 hay x y− + + =3z 10 0
c) Ta có:
( )
( 1; 1;1)
; ( ) : (1; 1;1) P
AB
n AB n
= −
uuur
r uuur r r
( )P (0; 2; 2)
n
⇒r = Vậy phương trình tổng quát của mp(P) là:
0(x− +0) 2(y− +1) 2(z− =1) 0 hay y z+ − =2 0
Dạng 3: Lập phương trình mặt phẳng ( )α đi
qua điểm A x y z và vuông góc với ( ; ; )0 0 0
đương thẳng ∆ cho trước
Phương pháp:
+ VTCP của ∆ chính là VTPT của mp( )α .
+ Từ đó suy ra phương trình mp( )α cần tìm
Dạng 4: Lập phương trình mặt phẳng ( )α đi
qua điểm ,A B và vuông góc với mặt phẳng
( ) :β Ax By Cz D+ + + =0
Phương pháp:
+ Tìm :
( )
( ) : ( ) :
AB
vtpt n AB n
α β
uuur
r uuur r
+ Từ đó xác định phương trình mp( )α cần tìm
.
Dạng 5: Lập phương trình mặt phẳng (P)
song song với mp(Q): Ax By Cz D+ + + =0và
tiếp xúc với mặt cầu (S):
(x a− ) + −(y b) + −(z c) =R
Phương pháp:
+ mp(P) cần tìm có dạng:
0
Ax By Cz d+ + + = .
+ Khi đó mp(P) tiếp xúc với (S)
( ;( ))
d I P R
Aa Bb Cc d
R
A B C
+ +
+ Giải phương trình (*) tìm d, thay giá trị d
vừa tìm được vào mp(P).
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (P) song
song với mp(Q): 2x+2y z− + =1 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x−1)2+ +(y 2)2+ +(z 1)2 =4 Giải:
Mặt cầu (S) có tâm (1; 2; 1)I − − , bán kính R=2
Do mp(P) song song với mp(Q) nên phương trình mp(P) có dạng: 2x+2y z D− + =0
Mà mp(P) tiếp xúc với (S) nên:
( ;( )) 2.1 2.( 2) ( 1)2 2 2 2
2 2 ( 1)
D
d I P R + − − − +
+ −
1 6 5
7
D D
D
=
⇔ + = ⇔ = −
Trang 5Vậy, mặt phẳng (P): 2x+2y z− + =5 0
và 2x+2y z− − =7 0
III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương trình tham số của đương thẳng:
Đường thẳng (d) đi qua điểm M x y z( ; ; )0 0 0
cóVTCP ar=( ; ; )a a a1 2 3 sẽ có ptts là:
x x a t
y y a t t
z z a t
= +
= +
¡
(ar=( ; ; )a a a1 2 3 có giá song song hoặc trùng với
đường thẳng (d).)
2 Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đường thẳng (d) đi qua điểm M x y z có ( ; ; )0 0 0
VTCP ar=( ; ; )a a a1 2 3 sẽ có chính tắc là:
x x y y z z
− = − = −
3 PT đường thẳng đi qua hai điểm:
Cho hai điểm ( ; ; ), ( ; ; )A x y z A A A B x y z , khi B B B
đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
A, B là: A A A
x x y y z z
x x y y z z
4 Điều kiện để hai đường thẳng song song,
cắt nhau, chéo nhau:
Giả sử (d 1 ) đi qua A x y z có VTCP ( ; ; )1 1 1
( ; ; )
ar= a a a ,và (d 2 ) đi qua B x y z có ( ; ; )2 2 2
VTCP br=( ; ; )b b b1 2 3 Khi đó:
1
d
o cắt
' ' '
x a t x b t
d y a t y b t
z a t z b t
⇔ + = +
+ = +
có 1 nghiệm
1
d
o chéo d2 ⇔ ≠a kbr r và
' ' '
x a t x b t
y a t y b t
z a t z b t
+ = +
+ = +
vô nghiệm
Hoặc
1
d
o chéo d2 ⇔a b ABr r uuur r; ≠0 (nghĩa là 3
vectơ đồng phẳng)
5 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz, cho:
x x a t
Ax By Cz D v d y y a t
z z a t
α
= +
= +
Xét phương trình:
A x −a t +B y −a t +C z −a t + =D
• Nếu pt (1) vô nghiệm ⇒d // ( )α
• Nếu pt (1) có vô số nghiệm⇒ ≡d ( )α
• Nếu pt (1) có nghiệm ⇒d cắt ( )α
6 Điều kiện dể đường thẳng ( )d ⊥mp( )α :
Giả sử ( ) ó d c VTCP a v mpr à ( ) óα c VTPT nr
( )d ⊥mp( )α ⇔a nr r; = =0 (0;0;0)r
7 Góc giữa hai đường thẳng ( ) à ( )d v d 1 1
Giả sử ( ) ód c VTCP a1 r=( ; ; )a a a1 2 3 ( ) ód c VTCP a2 uur2 =( ; ; )b b b1 2 3
cos( ; )
a b a b a b
d d
a a a b b b
=
8 Góc giữa đường thẳng ( ) àd v mp1 ( )α .
Giả sử ( ) ód c VTCP ar=( ; ; )a a a1 2 3
mp( ) óα c VTPT nr=( ; ; )A B C
sin ; ( )
a A a B a C
d mp
a a a A B C
Trang 6MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm
( ; ; )
M x y z và có vectơ chỉ phương
( ; ; )
ar= a b c
Phương pháp: Phương trình tham số của
đường thẳng (d) là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
(t là tham số)
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ( )d đi qua
hai điểm ( 1;3;2); (1; 1;1)A − B −
Giải:
Ta có: uuurAB=(2; 4; 1)− − là VTCP của đường thẳng (d) và (d) đi qua ( 1;3;2)A − .
Vậy phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
1 2
2
z t
= − +
= −
= −
(t là tham số)
Dạng 2: Đường thẳng đi qua một điểm
( M; M; M)
M x y z và song song với đường thẳng
(d’) :
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
Phương pháp:
+ Ta có VTCP của (d’) là: ar( ')d =( ; ; )a b c
+ Do ( ) / /( ')d d ⇒ar( )d =ar( ')d =( ; ; )a b c
+ Vậy phương trình của đường thẳng (d) là:
M M M
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ( )d đi qua
điểm M(2; 1; 2)− và song song với đường thẳng
1 ( ') : 6 2
3 4
x t
= +
= − −
= +
Giải:
Ta có: ( ') ód c VTCP ar( ')d = −(1; 2; 4)
( ) ( ')
ì ( ) / /( ') ê ( ) ó à:
(1; 2; 4)
V d d n n d c VTCP l
ar =ar = −
Vậy phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
2
2 4
x t
= +
= − −
= +
Dạng 3: Đường thẳng (d) đi qua điểm
( M; M; M)
M x y z và vuông góc với mặt phẳng
(P): Ax By Cz D+ + + =0
Phương pháp:
+ Ta có VTPT của mp(P) là: nr=( ; ; )A B C
+ Do ( )d ⊥mp P( )⇒ar( )d =nrmp P( ) =( ; ; )A B C
+ Vậy phương trình của đường thẳng (d) là:
M M M
x x At
y y Bt
z z Ct
= +
= +
= +
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng ( )d đi qua
điểm M(1; 3; 2)− và vuông góc với mặt phẳng ( )α : 2x−3y z+ − =5 0
Giải:
Ta có mp( )α c VTPT l nó à r( ) α =(2; 3;1)−
( )
d (2; 3;1)
V d mp d c VTCP l
a nα
α
Vậy phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
1 2
2
z t
= +
= − −
= +
Dạng 4: Viết pt đường thẳng (d’) là hình
chiếu vuông góc của đường thẳng (d)
Ví dụ: Lập phương trình hình chiếu vuông góc
Trang 70
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
lên mặt phẳng
( )α : Ax By Cz D+ + + =0
Phương pháp:
Cách 1: Ta có (d’) đi qua M x y z có ( ; ; )0 0 0
vectơ chỉ phương ar=( ; ; )a b c
+ Lập phương trình mặt phẳng ( )β đi
qua điểm M x y z và có VTPT ( ; ; )0 0 0
nβ = a nα
Giả sử ( )β có pt:
A x B y C z D+ + + = .
+ Khi đó phương trình đường thẳng (d’) cần
tìm là giao của hai ( ) ( )α à β Đường thẳng
(d’) có dạng: ( ') : 0
Ax By Cz D d
A x B y C z D
Cách 2:
+ Lấy hai điểm A và B trên đường thẳng (d).
+ Tìm hình chiếu vuông góc của A và B lên
( )α lần lượt là A’ và B’.
+ Viết phương trình đường thẳng A’B’ chính
là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt
phẳng ( )α .
(d’) của đường thẳng
2 ( ) : 1
3
x
z t
=
= −
= +
lên mp(P):
2 0
x y− − =
Giải:
Cách 1:
Ta có:
+ mp(P) có VTPT nr( )P = −(1; 1;0) +(d) đi qua điểm M(2;1;3)có VTCP (0; 1;1)
ar= − Gọi mp(Q):
(2;1;3)
1;1;1
qua M
n
c VTPT n a n
⇒ =
=
r
mp Q x y z
+ Khi đó phương trình hình chiếu (d’) cần tìm là giao của hai mp P v mp Q ( ) à ( )
2 0 ( ') :
6 0
x y d
x y z
− − =
+ + − =
Cách 2:
( Đề nghị HS tự giải)
ĐS:
2 ( ') : 0
4 2
x t
= +
= +
= −
(t là tham số)
CÁCH TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d):
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
và mặt phẳng mp(P):
0
Ax By Cz D+ + + =
Phương pháp: Tọa độ giao điểm ( ; ; ) x y z là nghiệm của hệ phương trình:
0
0
0
(1) (2) (3)
0 (4)
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
= +
= +
= +
+ Thay (1), (2), (3) vào phương trình (4) ta rút ra t.
+ Thay t vừa tìm được vào (1), (2), (3) ta được tọa độ của giao điểm.
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d):
2 1 3
x t
y t
z t
=
= −
= +
và mp(P): x y z+ + − =10 0
Giải:
Trang 8Tọa độ giao điểm ( ; ; )x y z là nghiệm của hệ phương trình:
10 0(4)
x t
y t
z t
x y z
=
= −
= +
+ + − =
Thay (1), (2), (3) vào phương trình (4), ta được : (2 ) (1 ) (3t + − + + − = ⇒ =t t) 10 0 t 3
Thay t =3 vào (1), (2), (3) ta được : x=6;y= −2;z=6
Vậy Tọa độ giao điểm cần tìm là: M(6; 2;6)− .
TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M x y z lên mp(P): ( ; ; )0 0 0 Ax By Cz D+ + + =0
Phương pháp: Lập phương trình đường thẳng (d)
0
0 ( )
0
( ; ; )
( ) :
x x At qua M x y z
d y y Bt
c VTCP a n
z z Ct
= +
⇒ = +
= = +
r r
Khi đó tọa hình chiếu của điểm M lên mp(P) chính là giao điểm của (d) và mp(P).
Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1;0)− lên mp(P): x+2y z− + =2 0
Giải:
Ta có: phương trình đường thẳng (d)
( )
2 (2; 1;0)
x t qua M
c VTCP a n
z t
= +
= = − = −
r r
Tọa độ hình chiếu ( ; ; )H x y z là nghiệm của hệ phương trình:
1
3 5
3
x
x t
y
z t
= −
= +
= − +
+ − + =
Vậy tọa độ của H là: 1 5; ; 5
3 3 3
H− −
TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG
THẲNG
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M x( M;y M;z M) lên đường thẳng (d):
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
Phương pháp:
+ Lập phương trình mp(P)
Trang 9( )
P
qua M x y z
P a x x b y y c z z
c VTPT n a a b c
+ Khi đó tọa hình chiếu vuông góc của điểm M lên mp(P) chính là giao điểm của mp(P) và (d).
Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 1)− lên đường thẳng (d):
1 3
2 2
2 2
= − +
= − −
= +
Hướng dẫn:
mp(P) đi qua điểm M(1; 2; 1)− có VTPT nr=(3; 2; 2)− sẽ có phương trình:
3x−2y+2z+ =3 0.
Tọa độ hình chiếu ( ; ; )H x y z là nghiệm của ptrình:
1 3
KQ H
x y z
= − +
= − −
− + + =
B/ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với hai đường thẳng 1: 2 1
−
và 2
2
1
= +
∆ = +
= −
có vectơ pháp tuyến là: :
A nr= −( 5;6; 7− ) B nr= − −( 5; 6;7) C nr=(5; 6;7− ) D nr= −( 5;6;7)
Câu 2 Đường thẳng đi qua điểm M(2;0; 1− ) và có vectơ chỉ phương ur=(4; 6;2− ) có phương trình là:
A
2 2
3
1
= −
=
= − −
B
4 2 6 2
y
= +
= −
= −
C
2 4
1 6 2
= +
= − −
=
D
2 4 6
1 2
= − +
= −
= +
Câu 3 Cho đường thẳng d có phương trình tham số
2 2 3
3 5
= +
= −
= − +
phương trình nào sau đây là:
phương trình chính tắc của d ?
x− = y = z+
x+ = y = z−
−
x− = =y z+
x− = y = z−
−
Câu 4 Phương trình nào sau đây là chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2; 3− ) và
(3; 1;1)
Trang 10A 1 2 3
x− = y− = z+
x− = y+ = z−
−
x− = y− = z+
x+ = y+ = z−
−
Câu 5 Tọa độ giao điểm M của đường thẳng 12 9 1
:
và mặt phẳng
( ) α : 3x+5y z− − =2 0 là:
A M(1;0;1) B M(0;0; 2− ) C M(1;1;6) D M(12;9;1)
Câu 6 Tọa độ giao điểm M của đường thẳng 2 3
:
− và mặt phẳng
( )P : 2x y+ −2z− =1 0 là:
;3;
;3;
; 3;
;3;
Câu 7 Cho điểm A(1;4; 7− ) và mp P x( ) : +2y−2z− =3 0 đường thẳng đi qua điểm A và
vuông góc với mp P( ) có phương trình là:
x− = y− = z−
x+ = y− = z+
x− = y+ = z−
x− = y+ = z+
Câu 8 Cho điểm M(2; 3;5− ) và đường thẳng
1 2
4
= +
= −
= +
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M và song song với d có phương trình là:
x− = y+ = z−
x+ = y− = z+
x+ = y− = z+
x− = y+ = z−
−
Câu 9 Cho d là: đường thẳng qua M(1; 2;3− ) và vuông góc với mp Q( ): 4x+3y−7z+ =1 0
Phương trình tham số của d là:
A
1 3
2 4
3 7
= +
= − +
= −
B
1 4
2 3
3 7
= +
= − +
= −
C
1 4
2 3
3 7
= +
= +
= −
D
1 4
2 3
3 7
= −
= − +
= −
Câu 10 Cho đường thẳng
1
1 2
= +
= −
= +
và mặt phẳng ( ) α :x+3y z+ + =1 0 Trong các khẳng
định sau, tìm khẳng định đúng
A d/ /( ) α B d cắt ( ) α C d ⊂( ) α D d ⊥( ) α
Câu 11 Cho đường thẳng 1 1 2
:
− và mặt phẳng ( )α :x y z+ + − =4 0 Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định đúng