Bài tập nguyên hàm tích phân Ôn tập tích phân Phương pháp đổi biến, từng phần, tích phân phụ, đổi biến lượng giác Ôn tập nguyên hàm tích phân Tích phân ôn thi ĐH Bài tập nguyên hàm tích phân Ôn tập tích phân Phương pháp đổi biến, từng phần, tích phân phụ, đổi biến lượng giác Ôn tập nguyên hàm tích phân Tích phân ôn thi ĐH
Trang 1Bài tập Nguyên hàm & Tích phân
Mục lục
SỬ DỤNG CÁC PHÁP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP 2
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 4
PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 6
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ 8
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ 9
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 11
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ 14
Trang 2SỬ DỤNG CÁC PHÁP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP
Bài 1:
2
3 1
x
Bài 2: 4
2 sin 4
Bài 3:
1
3
x
dx x
Bài 4:
5
xdx
Bài 5: 2
) 1 2 (sin sin 2
x
dx x x
Bài 6:
1
0( 1)3
2
x
dx x
Bài 7:
1
3
x e
dx x e
Bài 8:
3
2x 2 x( 1)
dx
Bài 9:
2
1 1 4 2
x
dx x
x
Bài 10:
1
0( 2 1)( 2 3 1)
) 3 2 3 (
x x x
dx x
Bài 11: e dx
x
x x
1
ln 2 3
Bài 12:
2
1 2
3
dx x
x
x x x
Bài 13:
e x e
dx x e x e
ln
2
1 ( 2 1)2
) 3
(
Bài 16: 4
ln 4
dx x
x x
x x
Bài 17: 2
4
) ln(sin 1
cot
Bài 18:
1
1 2 ln
dx x
x x x
Bài 19:
2
12 ( 2 1)
1
2
dx x
x x
Bài 20:
1
1 ) 1 ln(
2
dx x
e
x e x e x e
Bài 21:
2 3 ln
1 3 ln
e
e x x dx x
Bài 22: 3
4
4 sin
dx
Bài 23: 4
0 (2sin cos )2
x x
dx
Bài 24:
3
0 2sin2 3cos2
2 sin
x x
xdx
Bài 25:
1
2 ln 2 4
1
dx x
x x
Bài 26: 3
0
cos 3 sin
xdx
x
Bài 27: 4
2 sin
2 3 sin 4
x
Bài 28: 4
0
2 sin 1 2 sin
dx x
Trang 3Bài 14: 3
4
2 cot tan
3
) 1 ln(
2
2
dx x
x
x x
x
x
Bài 31:
6
01 sin2
x
dx
Bài 32: 2
01 sin
x
dx
Bài 33: 4
6
2 sin
2 cos 1
x
Bài 34: 1
0
11 ) 1 (
2x x dx
Bài 35: 2
0 1 cos
3 sin 2
x xdx
Bài 36:
1
) 1 2
4 (
x
dx x x
Bài 37:
1
) 1 4 (
x
dx x
Bài 38: 1 1 ln(1 2)
2
x
x dx x
1
0
) ln(
)
(
dx x
e x
e
x e x e x
e
x
e
Bài 40: 4
6
2 sin
) ln(tan
x
Bài 41: 2 6 6
sin cos 0
x
x x
4
tan 1 sin
2
Bài 30: 4
0
) sin 4 (cos 2 sin
dx x x x
Bài 46: 3
4
cot 2
Bài 47: 4 2 4
0
tg x tg x dx
Bài 48:
4
0 cos2 tan 3
1
dx x x
Bài 49: 1
0
) 7 1 (
x
Bài 50: 2
0
5 2 cos 3 2 sin
dx x
Bài 51: 6
0 1 sin2
) 1 2 cos 2 (
x
dx x
Bài 52:
6
0 (1 sin3 )2
cos ) 3 2 cos 4 (
x
xdx x
2 0
sin cos
sin
dx x x
e x
Bài 54:
1
1
2
) 1 )(
2 (
4 8
dx x
x x
Bài 55:
2
01 sin sin
x xdx
Bài 56: 3
4
cos sin
1
2 2
x x dx
Bài 57: 2
0 cos sin sin
x x
xdx
Trang 4Bài 42: 6
0
4 cos
xdx
Bài 43: 6
0
3 cos
xdx
Bài 44: 4
0
4 cos 4
sin
dx x x
Bài 45:
sin cos 3
Bài 58: 4
6 2 sin
dx
Bài 59: 2
0
cos 1 3 sin
dx x
Bài 60: 2
0
sin 1 4 cos
dx x x
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Bài 1:
3
2 x x2 1
dx
Bài 2:
2
1 2 3
dx x
x x
Bài 3:
1
3
x e
dx x e
Bài 4:
3
1 x x2 1
dx
Bài 5:
2
2 2 3
dx x
x x
Bài 6:
13
0 32 1
2
dx x
x
Bài 7:
3
0 cos2 cos 6
sin
x x
xdx
Bài 8:
2
1 2
x
dx x
Bài 9:
3
1 4 2
) 1 (
x
dx x
Bài 10:
2
1
dx x
x
Bài 18:
3 4
4 cos
1 4
sin 1
Bài 19:
1
) 1 4 5 3 (
x
dx x
x
Bài 20:
3
1 2 2 3 4
dx x
x
x x x
Bài 21:
2 5 1
1 2 2 3 4
dx x
x
x x x
Bài 22:
5 2
3 x x2 16
dx
Bài 23:
1
) 4 (
x
dx x x
Bài 24:
1
) tan 4 (
x
dx x x
Bài 25:
2 2
2 cos 1
3 sin
xdx
Bài 26:
1
1x10 1
xdx
Trang 5Bài 11:
2
1
x
dx x
Bài 12: 2
0
sin cos
dx x e
x
Bài 13: 3 cos
0
sin cos 3 4
xdx x
Bài 14: e dx
x
x x
1
2 ln 1 ln
Bài 15: e dx
x
x x
1
ln 1 ln
Bài 16: 4
0
2 cos tan 3
sin
xdx x
x
Bài 17:
4
6
cos 3 1
sin 2 cot
x x
Bài 34: 2
3
sin
dx
Bài 35: 4
0 cos6
x dx
Bài 36:
2
0
2 cos 1
2 2 sin
1
2
sin
dx x x
Bài 37:
e
x
dx x x
1
2 ln 4 1 ln
Bài 38:
0
sin 2
x
Bài 39:
01 sin2
sin
dx x
x x
Bài 40:
01 cos2
sin
dx x
x x
Bài 27:
4 4 cos 1
3 sin
xdx
Bài 28: 7
0
1
x
Bài 29:
1
) 2 2 (
x x
dx x
Bài 30:
3
1 x 4 x( 2 1)
dx
Bài 31: 4
3
10 ) 3 (
x
Bài 32:
1
0( 1)4
3
x
dx x
Bài 33:
3 ln
0 e x 1
dx
Bài 50:
2
0 4 3sin
cos 2 sin
dx x
x x
Bài 51:
2
0 2 1 3sin
) sin 1 ( cos 3
dx x
x x
Bài 52:
2
4 8 2 5 3 2
dx x
x x
x x x
Bài 53:
0
2
sin sin 2 2 sin
cos
Bài 54:
3
1
ln ln 1
e e
dx x
x x
Bài 55: e
e
dx x
x x
1
2 ln ln 1
Bài 56:
2
3 3 3 1
3 2
x x
dx x
Trang 6Bài 41: 6
0 cos2
2 tan
x xdx
Bài 42: 2
0
sin 2 cos2
xdx
Bài 43: 2
0
) ( cos ) sin 1 (
N n xdx
x n
Bài 44:
2
0 sin cos
4 sin
4 4
dx x x
x
Bài 45:
01 sin
dx x
x
Bài 46: 2
0
cos sin
dx e
x x
Bài 47: 3
2
3 sin
x xdx
Bài 48:
0
2
cos xdx x
Bài 49: 2
0
sin 2 cos 2 sin
dx x x
Bài 57:
2
3
dx x
x
Bài 58:
4
01 3 2 2
3 2
x
dx x
Bài 59:
2
1
dx x
x
Bài 60: 1
0
) 4 1 ( 7
dx x
Tổng quát :
1
Bài 61: 2
1x ( m x 1)
dx
Bài 62:
2
0 2 cos2 cos
x
xdx
Bài 63: 2
0sin cos sin
x x
xdx
PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1: 2
4
2 sin cos
x dx
x x
Bài 2:
2
3 3 cos 0
x dx
Bài 3:
2 0 sin
dx
x
Bài 18: e dx
x
x
1 2
ln
Bài 19: e xdx
1
2
Bài 20: 1
0 4 x dx x
Trang 7Bài 4: 4
1
ln xdx x
Bài 5: 1
0
2 e x dx x
Bài 6: 2
2
sin 2
x xdx
Bài 7:
0
cos
Bài 8: 1
0
2 x dx x
Bài 9: 4
0
2 sin )
1 2 (
xdx
Bài 10: ex xdx
1
2 ln
Bài 11: 3
log xdx
Bài 12: 4
0 cos2
dx x x
Bài 13: 4
6
2 cos sin
x dx
x x
Bài 14: 1
0
) 1 ln(
.e x e x dx
Bài 15: 4
6
2 sin
) ln(cos
x
Bài 21: 3
6
2 sin
x dx
x
Bài 22: 2
0
2 cos
xdx x
Bài 23:
2 3 ln
e
e x dx
x
Bài 24: 1
0
) 1 2 ln(x dx x
Bài 25: 4
0
2 tan
xdx
Bài 26: 2
1
) 2 2
ln(
) 1 2
Bài 27: 2
0
) sin 1 ln(
cos
dx x x
Bài 28: 2
0
) cos 1 ln(
sin
dx x
Bài 29: 3
0
) 2 1 ln(x x dx
Bài 30: 1
0
2e x dx x
Bài 31: 2
0 sin
xdx x
Bài 32:
2 1
2 1 ln
x x x
Trang 8Bài 16:
1
1 2
1
dx x
Bài 17:
e
dx x
1
) sin(ln
Bài 36: 4
6
) ln(tan cos
Bài 37: 3
0 cos2
) ln(cos
dx x
x
Bài 38:
1
0 12
dx x
x e x
Bài 39:
1
2
dx x
x
Bài 40:
1
4
dx x e
x e
Bài 41: 4
1
ln 1
2x xdx
Bài 42: 4
01 cos2
2 sin
dx x
x x
Bài 33: 1
0
2 3
dx x e x
Bài 34: 1
0 e x dx
x
Bài 35: 2 )
ln
1 2
ln
1 (
e
e x x dx
Bài 43: 2
0
2 sin sin
xdx x
e
Bài 44: 4
0 cos3
sin
dx x
x tgx e
Bài 45:
0
2
cos xdx x
Bài 46: 3
2
3 sin
x xdx
Bài 47:
0
) 2 cos (
x
Bài 48: 1
0
) 2 1 ln(`
e
dx x x
Bài 49:
4 ln 0
2
2e x e x xdx
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ PHƯƠNG PHÁP:
Giả sử ta phải tính tích phân I
Trang 9 Ta đưa vào tích phân phụ J sao cho việc tính I + J thực hiện dễ dàng
Tính I+J và I-J
Nếu I+J = a và I-J = b thì I= ½(a+b)
Bài 1: I =
2
sin
x n x n xdx
n
và J =
2
cos
x n x n xdx n
Bài 2: 6
0 cos2
2 cos
x xdx
Bài 3: 4
3
2
cos sin
2 cos
xdx
Bài 4: 2
0sin cos
sin
x x
xdx
Bài 5:
0
sin2
2
xdx x
Bài 6: 4
01 tan
x dx
Bài 7: 1
0e x e x
dx x e
Bài 8: 2
0 sin2
xdx
e x
Bài 9: 6
0 cos2 sin2
dx x x
Bài 10:
2
0 cos3 sin3
cos 4 sin
x x
xdx x
ttổng quát 2 ;( )
cos 1 sin
Z n x n x n
xdx x
n
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ PHƯƠNG PHÁP :
Giả sử phải tính tích phân I =
f(x)dx ,trong đó : f(x) =
m n
a x +a x + +a x+a P(x) = ;(a ,b 0) Q(x) b x +b x + +b x+b
Khi m n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức thực sự (phân thức đúng)
Khi m < n thì f(x) là một phân thức đúng
Vì mỗi đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) luôn phân tích được thành tích những thừa
số là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm trong đó có thể có những thừa số trùng nhau Do vậy trong các phân thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức
cơ bản sau :
Dạng I: A
x-a
Trang 10 Dạng II : A
k (x-a)
Dạng III : 2Ax+B
x +px+q
Dạng IV:
2
Ax+B
k (x +px+q)
Trong đó k N; k 2và A,B,a,p,q R ; p2- 4q < 0 (tức là x2+px+q vô nghiệm)
Một phân thức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu trên (Dùng phương pháp đồng nhất hai đa thức)
Tổng quát cho cách phân tích :
Q x x a x b x px q x lx s 1 ( 2)2 ( )
x a x a x a
Cách tính tích phân của các phân thức dạng cơ bản :
Dạng A dx A x a cln
1
A dx A x a k d x a A x a k c
x a
Dạng
A x B dx b du b dt
u
Dạng
Để tính Ik =
dt k
t a
ta có : Ik =
dt k
t a
tdt t
k
t
0 1 1
Dựa vào (1) ta tính được Ik qua Ik-1 , Ik-1 qua Ik-2 ,…,I2 qua I1.Trong đó I1=
dt
t a
Chú ý : 1 2
tdt t
k
1
1
k k
tích phân từng phần
Trang 11Bài 1: 2
1
2
2 2
) 1 2 (
x x
dx x
Bài 2: 2
0
2 2
) 4
(x
dx
Bài 3: 2
1
4
) 1
(x x
dx
Bài 4: 1
0
2
1
) 2 (
x
dx x
Bài 5: 1
0
2
) 1 )(
2 (
) 2 4 (
x x
dx x
Bài 6: 2 31
3
2 2
) 5 2 )(
1 (
) 3 3 2 (
x x x
dx x x
Bài 7: 1
0
2 2
) 1
(x
dx
Bài 8: 1
0
2 2
) 1 (
) 4 3 (
x
dx x
Bài 9: 3
2 3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
Bài 10: 3
2
3 2
) 1 (
1
dx x
x x
Bài 11: 1
0 8 3
2
x
dx x
Bài 12:
2
2 6
1 4 2
1
) 1 (
x
dx x
Bài 13: 3
1
2 4 2
1
) 1 (
x x
dx x
Bài 14: 1
0
2 4 2
4 3
) 2 (
x x
dx x
Bài 15: 2
1
4 2
1
) 1 (
x
dx x
Dạng tổng quát :
x bx a dx
a x
2 2 4 2
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG PHÁP
A) Tích phân dạng: F(sinx;cosx)dx
Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx
Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx)
Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là: F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx
Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx
Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn Sinx
;cosx theo t bỡi công thức :
2
2t sinx=
1+t và
2 2
1-t cosx=
1+t
B) Tích phân dạng : sin x.cos xdxm n với m,nZ
Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn :
Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx
Trang 12 Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx
Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến
đổi hàm số dưới dấu tích phân:
x x sin2x
2
1 cos
sin ;
2
2 cos 1
;
2
2 cos 1
Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
C) Tích phân dạng : cosax cos bxdx ; sinax cos bxdx ; sinax sin bxdx
Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức:
ax bx cos(a b)x cos(a b)x
2
1 cos
ax bx cos(a b)x cos(a b)x
2
1 sin
ax bx sin(a b) sin(a b)x
2
1 sin
D) Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt:
Nếu f(x) là hàm số lẻ thì
a
a f(x)dx = 0 Cách tính loại tích phân này bằng cách đổi
biến x = -t
Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì b
a f x dx
b a b
a xf(x)dx 2 ( ) (
thường gặp :
0 ) (sin 2 0
)
Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = x)
Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì
b x f b
b dx x f b
b a x
dx x f
0
) ( )
( 2
1 1
) (
Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t
b x f b
b dx x
( ) 20 ( ) .Cách chứng minh điều này như
b x f b
dx x f b
b dx x
0 ) ( )
0 ) (
b dx x
f bằng cách đặt x= -t
Bài 1: 4
0 cos6
x
dx
Bài 14: 3
4
3 cos 3 sin
dx
Trang 13Bài 2: 2
6
4 sin
dx
Bài 3: 4
0
4
xdx
tg
Bài 4: 2
3
4 sin
3 cos
dx
Bài 5: 2
0
) sin
dx x
Bài 6: 4
0
) tan
dx x x
Bài 7: 2
0
cos ) sin
xdx x
x
Bài 8: 4
0
) cos
sin cos
sin 1
2 cos (
3
dx x
x x
x x
Bài 9:
0
) 5 sin (cos 3
Bài 10: 3
01 sin
sin 1
dx x
x
Bài 11: 2
6 sin
) cos 1 (
dx x
Bài 12: 4
0 cos4
2 sin
dx x x
Bài 13: 3
6
4 cos 4 sin
dx
Bài 15: 2
0
sin 1 2 sin x x dx
Bài 16: 2
01 sin cos
x x
dx
Bài 17: 2
0 1 cos
3 sin 4
x xdx
Bài 18:
01 cos2
3 sin
dx x
x x
Bài 19:
01 sin2
sin
dx x
x x
Bài 20:
2 2
1 2 cos 2
x x
Bài 21:
4 4
1 3
4 cos 4
sin
x x
Bài 22:
4
01 tan
x dx
Bài 23: 3
0cos2 tan
dx x x
Bài 24: 4
0 tan6
xdx
Bài 25: 2
0 2 cos
x dx
Bài 26:
4
0cos4 sin4
2 sin
dx x x
x
Trang 14
Bài 27: 3
4
3 cos sin
dx
Bài 28:
4
0 cos 1 sin2
sin
dx x x
x
Bài 29: 3
6 4
tg x
dx
Bài 30: 2
0
3 cos cos3
xdx
Bài 31: 2
0
4 cos sin2
xdx x
Bài 32: 2
0 3 2cos
x
dx
Bài 33:
2
0 1 sin
3 cos 4
x
xdx
Bài 34: 2
0
4 sin 2 cos cos
xdx x
x
Bài 35:
07 cos2
sin
dx x
x x
Bài 36: 4
2
x
x
Bài 37: 2
0 sin 2cos 3
) 1 cos (sin
x x
dx x x
Bài 38:
1
1 2
3 6
1
sin
dx x
x x
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
PHƯƠNG PHÁP
Gọi F là một hàm hữu tỉ theo biến x
1) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = Fx,n x p,m q x , ,r s x dx
Cách giải : Ở đây chỉ số các căn thức là n,m,…r Gọi k = BCNN(n,m,…,r)
Đổi biến số x = tk
2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I =
dx n
d cx
b ax x
F ,
Cách giải : Đổi biến số t = n
d cx
b ax
3) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I =
dx c bx ax x
F , 2
Cách giải thứ nhất : Đổi biến số t = ax2 bxc
Cách giải thứ hai : Biến đổi ax2 bxc
theo một trong ba kết quả sau :
c bx
ax2
= A2 u2 (1)