Hỏi tứ giác ABCD là hình thang hay hình bình hành?. Gọi M là trung điểm của AD.. Hãy xác định toạ độ điểm N... Từ đó suy ra độ dài đờng cao AH.. a Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox và c
Trang 1Buổi : Toạ độ của điểm và vectơ
I/ Các kiến thức cơ bản :
1) Độ dài đại số : Với 3 điểm A, B, C trên trục số , ta có :
+) AB x= B−xA
+) AC AB BC= +
2) Hệ trục toạ độ Đềcác :
+) Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ :
Cho ar=( )x;y và br=(x ';y ') Khi đó :
• a br r+ = +(x x ';y y ' ; a b+ ) r r− = −(x x ';y y '− )
• kar=(kx; ky) với k∈Ă
• Véctơ br cùng phơng với vectơ a 0r r≠ khi và chỉ khi có số k sao cho x’ = kx và y’=ky
• ar = x2+y2
AB= x −x ;y −y ⇒ AB = (x −x ) +(y −y )
+) u x;y( ) (v x ';y ') x x '
y y '
=
+) Nêu công thức toạ độ trung điểm và toạ độ trọng tâm
II/ Các ví dụ :
VD1: Cho 4 điểm A,B,C, D trên trục CM :
a) AD BC AC BD+ = + Tính 2 tổng đó theo IJ , trong đó I,J lần lợt là trung điểm của AB, CD b) AB.CD AC.DB AD.BC 0+ + =
c) AB CD AC DB AD BC CD.DB.BC 02 + 2 + 2 + =
VD2: a) Cho 2 vectơ có toạ độ là : a x;y ;b x ';y 'r( ) (r )
không đồng thời bằng vectơ 0r CMR a;br r cùng phơng khi và chỉ khi xy’ = x’y
b) Trên hệ trục Oxy cho các điểm A(0; 1) , B(-1;4) , C(2;5) ; D(6;3) Hỏi tứ giác ABCD là hình thang hay hình bình hành ? Gọi M là trung điểm của AD Hỏi tứ giác BCDM có là hình thoi không ? c) Tìm điểm E trên trục hoành sao cho CE // OB
d) Hãy biểu diễn vectơ OMuuuur qua vectơ OBuuur và OCuuur ( HD : G/s OM kOB lOCuuuur= uuur+ uuur , tìm k, l )
VD3: Trên mp toạ độ Oxy lấy các điểm A(2; 1) và B(3; 4)
a) Biết AN 2AB
3
= −
uuur uuur
Hãy xác định toạ độ điểm N b) Tọa độ điểm M phải nh thế nào để điểm M nằm trên đờng thẳng AB ? Để M nằm trên tia AB, Để
M nằm trong đoạn AB ?
c) Tìm tọa độ giao điểm của đờng thẳng AB với 2 trục tọa độ
d) Xác định tọa độ điểm P trên đờng thẳng AB , biết độ dài OP = 85 / 3
HD : b) MA kAB kuuuur= uuur( ∈Ă Suy ra : x = k + 2 và y = 3k + 1 ) ⇒ M( k + 2 ; 3k + 1 )
+) M thuộc tia AB nếu AM kAB k 0uuuur= uuur( ≥ )
+) M thuộc đoạn AB nếu AM kAB 1 k 0uuuur= uuur( ≥ ≥ )
c) G/S AB cắt Ox, Oy tại D( x; 0) và E(0; y) thì AD kABuuur= uuur , suy ra k = ? và x = ?
hoặc vì D, E thuộc AB nên D,E có tọâ dộ dạng : ( k +2; 3k + 1 ) Vì D thuộc Ox nên 3k + 1 = 0 d) Điểm P( k +2; 3k + 1 ) thoả mãn OP = 85 / 3 nghĩa là : (k +2)2 + (3k + 1 )2= 85/9 PTnày có 2 nghiệm là k = 1/3 và k = -4/3
Trang 2VD 4: Trên mp tọa độ Oxy lấy các điểm A(-1; 2 ) và B( 3; 4 )
a) Tính tọa độ các vectơ : OA OBuuur uuur+ và OA OBuuur uuur−
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABO
c) CMR vetơ AGuuur song song với trục hoành
d) Tìm điểm C trên trục hoành sao cho BC song song với OA
VD 5: Trên mp tọa độ Oxy lấy các điểm A(-1; 2 ) và B( 5; 3 ) ; C(-2; 5)
a) Tính tọa độ của các vectơ sau : AB AC; AB AC; AM; AG;uuur uuur uuur uuur uuuur uuur+ − với M là trung điểm của BC ,
G là trọng tâm của tam giác ABC
b) Hãy biểu thị vectơ OMuuuurqua các vectơ OAuuur và OBuuur
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC Từ đó suy ra độ dài đờng cao AH
d) Tìm tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ΔABC
VD 6: Cho ΔABC : A(1;0) ; B(0;3) ; C(-3; -5 )
a) Xác định tọa độ điểm I thoả mãn hệ thức : 2IA 3IB 2IC 0uur− uur+ uur r=
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho : 2MA 3MB 2MCuuuur− uuuur+ uuuur= MB MCuuuur uuuur−
c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
d) Tìm tọa độ trọng tâm G và tính đờng cao AH ( HD : Sử dụng công thức Hêrông tính diện tích , từ đó suy ra đờng cao )
VD 7: Trên mp tọa độ Oxy lấy các điểm A( 1; 3 ) và B( 4; 2 )
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox và cách đều hai điểm Avà B
b) Tính chu vi và diện tích ΔOAB
c) Tìm tọa độ trọng tâm ΔOAB
d) Đờng thẳng AB cắt các trục Ox, Oy lần lợt tại M, N Các điểm M, N chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
e) Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E Tìm tọa độ điểm E
VD 8 : Viết PT đờng thẳng song song với đờng thẳng (d) : 2x + 5y = 0 , sao cho nó cùng với 2 trục tọa độ hợp thành 1 tam giác có diện tích bằng 5
VD 9 : Tìm tập các điểm M(x; y) thoả mãn PT :
a) x2 + y2= R2 ( R là hằng số )
b) ( x – a )2 + (y – b)2 = R2
c) x2 + y2 – 2x + 6y + 14 = 0
d) 4x2 + 4y2 – 4x + 4y + 1 = 0
VD 10 : Cho 2 điểm A, B Tìm tập hợp điểm M sao cho : MA = 2 MB
HD : Chọn hệ tọa độ Oxy nh sau : Trục hoành là đờng thẳng AB , gốc là A và i ABr uuur= Trục tung là
đờng thẳng qua A và vuông góc với AB Ta có A(0; 0) và B(1; 0)
Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm I(4/3; 0) và bán kính R = 2/3
VD 11 : Cho 2 điểm cố định A, B và số thực k Tìm tập các điểm M sao cho :
a) MA2 – MB2 = k
b) MA2 + MB2 = k2
HD : Chọn hệ trục sao cho A(-a; 0) và B( a; 0)