Chứng minh các đẳng thức véctơ *Ph ơng pháp: + Sử dụng qui tắc ba điểm Chasles; hình bình hành; trung điểm.. Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam
Trang 1Hình học 10
Chơng I - Véc tơ
I Véc tơ:
1 Định nghĩa:
Véctơ là một đoạn thẳng có:
+ Một đầu đợc xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn
+ Hớng từ gốc đến ngọn gọi là hớng của véctơ
+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun)
Véctơ có gốc A, ngọn B đợc kí hiệu là AB; độ dài của AB kí hiệu là AB
Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thờng phía trên có mũi tên nh: a ; b ; c ;
2 Véctơ không:
Véctơ không: 0 là véctơ có:
+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau
+ Độ dài bằng 0
+ Hớng bất kì
3 Hai véctơ cùng ph ơng:
Hai véctơ AB ; CD gọi là cùng phơng: kí hiệu
⇔
hàng thẳng
D C, B, A,
CD //
AB CD
//
AB
4 Hai véctơ cùng h ớng:
Hai véctơ AB ; CD gọi là cùng hớng: kí hiệu
⇔
↑↑
hướng cùng
CD AB, tia hai
CD //
AB CD
AB
5 Hai véctơ ng ợc h ớng:
Hai véctơ AB ; CD gọi là ngợcchớng: kí hiệu
⇔
↑↓
hướng ngược
CD AB, tia hai
CD //
AB CD
AB
6 Hai véctơ bằng nhau: Hai véctơ AB ; CD bằng nhau: kí hiệu
↑↑
=
⇔
=
CD AB
CD AB CD
AB
7 Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ AB ; CD đối nhau: kí hiệu
↑↓
=
⇔
−
=
CD AB
CD AB CD
AB
8 Góc của hai véctơ:
Góc của hai véctơ AB ; CD là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lợt cùng hớng với hai tia AB; CD
+ Khi AB ; CD không cùng hớng thì 0 o ≤x Oˆ y≤180 o
+ Khi AB ; CD cùng hớng thì x Oˆ y=0 o
II Các phép toán véctơ:
1 Phép cộng véctơ:
Định nghĩa: Tổng của hai véctơ a ; b là một véctơ đợc xác định nh sau:
+ Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ OA=a
+ Từ điểm A dựng véctơ AB=b
+ Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ a ; b: OB=a+b
Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm):
Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có: AB+BC=AC
Trang 2(Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên tiếp)
Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành): AB+AD=AC (với ABCD là hình bình hành)
Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB ta luôn có: (MA MB)
2
1
MI= +
Tính chất:
- Giao hoán: a+b=b+a
- Kết hợp: ( )a+b +c=a+( )b+c
- Cộng với không: a+0=a
- Cộng với véctơ đối: a+(−a )=0
2 Phép trừ véctơ: a−b=a+(−b )
Với a−b=c⇔a=b+c
Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có: AB=OB−OA
3 Phép nhân một véctơ với một số thực:
a Định nghĩa: k a là một véctơ:
- Với a≠0 ; k≠0thì véctơ k asẽ cùng phơng với a và sẽ:
+ Cùng hớng với a nếu k>0
+ Ngợc hớng với a nếu k<0
+ Có độ dài k a = k a
- 0 a=k 0=0
b Tính chất:
+) 1 a=a (−1 ) a=−a +)m ( n a )=( mn ) a +) ( m+n ) a=m a+n a
+) m ( a+b )=m a+m b +) a ; b cùng phơng ⇔a=k b ( a≠0 )
4 Tỉ số của hai véctơ cùng ph ơng:
=
↑↓
<
↑↑
>
=
b
a
k
b a nếu
0
k
b a nếu
0
k
k
b
a
b
//
a
Trang 3phân loại bài tập về Véc tơ và các phép toán
Dạng 1 Chứng minh các đẳng thức véctơ
*Ph
ơng pháp:
+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm
+ Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngợc lại; biến đổi hai vế cùng thành một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đ cho thành một đẳng thức luôn đúng.ã
*Bài tập minh hoạ:
Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D chứng minh rằng:
a.AB+CD=AD+CB b AB−CD= AC−BD
c AB+DC+BD+CA=0 d AB+CD+BC+DA =0
Bài 2 Cho tam giác A, B, C G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng CM:
a GB+GB+GC=0 b MB+MB+MC=3 MG
Bài 3 Cho hình bình hành ABCD tâm I AO=a ; BO=b
a Chứng minh rằng: AB+AD=2 AI
b Tính AC ; BD ; AB ; BC ; CD ; DA theo a ; b
Bài 4 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng: AD+BE+CF=AE+BF+CD
Bài 5 Cho tam giác ABC I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác CM: a IA+b IB+c IC=0
Bài 6 Cho hai tam giác ABC và A'B'C' Gọi G là trọng tâm của G và G' Chứng minh rằng:
' GG 3 ' CC
'
BB
'
AA + + =
Bài 7 Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD Chứng minh rằng:
MN 4 BC AC
BD
AD+ + + =
Bài 8 Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) HA+HB+HC=2 HO b) HG=2 GO
Bài 9 Cho tam giác đều ABC tâm O M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F lần lợt là hình chiếu của nó trên
2
3 MF ME
MD+ + =
Bài 10 Cho tam giác ABC Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng mình:
0 PS
IQ
RF+ + =
Bài 11 Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lợt là trung điểm của BC, CD CM: 2(AB+AI+FA+DA)=3 DB
Bài 12 Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G CM:
3
1 AC
3
2
AH= − ; (AB AC)
3
1
b M là trung điểm của BC CM: AB
6
5 AC 6 1
MH= −
Trang 4Dạng 2 Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ
*Ph
ơng pháp chung:
+ Biến đổi đẳng thức đ cho về dạng: ã OM=a trong đó O và a đ biết.ã
+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một véctơ bằng véctơ a Khi đó ngọn của véctơ này chính
là điểm M
*Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết: 2 MA−3 MB=0
Bài 2 Cho hai điểm A, B và một véc tơ v Xác định điểm M biết: MA+MB=v
Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.
a Xác định điểm K sao cho: 3 AB+2 AC−12 AK=0
b Xác định điểm D sao cho: 3 AB+4 AC−12 KD=0
Bài 4 Cho tam giác ABC
a Xác định điểm I sao cho: IA+2 IB=0
b Xác định điểm K sao cho: KA+2 KB=CB
c Xác định điểm M sao cho: MA+MB+2 MC=0
Bài 5 Cho các điểm A, B, C, D, E Xác định các điểm O, I, K sao cho:
0 ) KE KD ( 3 KC
KB
KA
.
c
0 ID IC
IB
IA
.
b
0 OC 3 OB
2
OA
.
a
= + +
+
+
= + +
+
= +
+
Bài 6 Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M sao cho: MA+MB+2 MC=0
Bài 7 Cho tam giác ABC Xác định các điểm M, N sao cho:
a MA+2 MB=0 b.NA+2 NB=CB
Bài 8 Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả m n: ã 3 AM=AB+AC+AD
Bài 9 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả m n: ã OA+OB+OC+OD=0
Bài 10 Cho tam giác ABC cố định Chứng minh a=MA+4 MB−5 MC không phụ thuộc vị trí của điểm M
Bài 11 Cho tứ giác ABCD Chứng minh chỉ có một điểm M thoả m n hệ thức: ã 2 MA+3 MB−5 MC+MD=0
Trang 5Dạng 3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
*Ph
ơng pháp chung:
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: AB=k AC ( k∈R ) Để chứng minh đợc điều này ta có thể áp dụng một trong hai phơng pháp:
+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ
+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian
*Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: BD=DE=EC
a Chứng minh: AB+AC= AD+AE
b Tính véctơ: AS=AB+AD+AC+AE theo AI
c Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng
Bài 2 Cho tam giác ABC Đặt AB=u ; AC=v
a Gọi P là điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo u ; v?
b Qọi Q và R là hai điểm định bởi: AB
3
1 AR
; AC 2
1
AQ= = Tính RP ; RQ theo u ; v
c Suy ra P, Q, R thẳng hàng
Bài 3 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J sao cho: 2 IA+3 IC=0, 2 JA+5 JB+3 JC=0
a CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC
b CMR: J là trung điểm của BI
Bài 4 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy các điểm I, J thoả m n: ã IA= 2 IB; 3 JA+2 JC=0
Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 5 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P thoả m n:ã MA+MB=0 ; 3 AN−2 AC=0 ; PB=2 PC
Chứng minh M, N, P thẳng hàng
Bài 6 Cho hình bình hành ABCD Lấy các điểm I, J thoả m n:ã 3 JA+2 JC−2 JD=0 ; JA−2 JB+2 JC=0
Chứng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD
Bài 7 Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC
CMR: O, G, H thẳng hàng
Bài 8 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P sao cho: MB−3 MC=0, AN=3 NC, PA+PB=0
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng
Dạng 4 Chứng minh hai điểm trùng nhau
*Ph
ơng pháp chung:
Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hớng:
Cách 1: Chứng minh MM '=0
Cách 2: Chứng minh OM=OM ' với O là điểm tuỳ ý
*Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho tam giác ABC Lấy các điểm A 1∈BC ; B 1∈AC ; C 1∈AB sao cho: AA 1+BB 1+CC 1 Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm
Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng hai tam giác
ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Trang 6Dạng 5 Quỹ tích điểm
*Ph
ơng pháp chung:
Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:
- Nếu MA = MB với A, B cho trớc thì M thuộc đờng trung trực của đoạn AB.
- Nếu MC =k . AB với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng tròn tâm C, bán kính bằng AB k .
- Nếu MA=k BC thì
+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC nếu k∈R
+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và cùng hớng BC nếu k∈R+
+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và ngợc hớng BC nếu k∈R−
*Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả m n:ã
2
3 MC
MB
b MA+3 MB−2 MC = 2 MA−MB−MC
Bài 2 Cho tam giác ABC M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a CMR: véctơ v=3 MA−5 MB+2 MC không đổi
b Tìm tập hợp những điểm M thoả m n: ã 3 MA+2 MB−2 MC = MB−MC
Trang 7trục toạ độ và hệ trục toạ độ
Phần 1 Trục toạ độ
Bài 1 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là −2 và 5
a/ Tìm tọa độ của AB →
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2MA + 5→ MB = 0→
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = −1
Bài 2 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + → MB → − MC = 0→
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA → − 3NB = → NC→
Bài 3 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là −3 và 1
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA − 2 MB = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB
Bài 4 Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+ AD
1 = AB 2
b/ Gọi I là trung điểm AB CMR: IC.ID=IA2
c/ Gọi J là trung điểm CD CMR: AC.AD=AB.AJ
phần 2 Hệ toạ độ đề các vuông góc
I Toạ độ véc tơ - Toạ độ điểm:
Bài 1 Biểu diễn véc tơ u=x i+y j biết a) u ( 2 ;−5 ) b) u (−4 ; 0 )
Bài 2 Xác định toạ độ của véc tơ u biết: a) u=−5 i−2 j b) u=3 i c)u=−7 j
Bài 3 Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ c biết
a) c=a+3 b; a ( 2 ;−1 ); b ( 3 ; 4 ) b) c= a−5 b; a (−2 ; 3 ); b ( 3 ;−6 )
Bài 4 Cho ba điểm A(-1;1); B(1;3)
a) Xác định toạ độ của các véc tơ: AB ; BA b) Tìm toạ độ điểm M sao cho BM ( 3 ; 0 )
c) Tìm toạ độ điểm N sao cho NA ( 1 ; 1 )
II Biểu diễn Véc tơ:
Bài 1 Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ b a biết: ;
a) a ( 2 ;−1 ); b (−3 ; 4 ); c (−4 ; 7 ) b) a ( 1 ; 1 ); b ( 2 ;−3 ); c (−1 ; 3 )
Bài 2 Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) H y biểu diễn véc tơ ã AD theo các véc tơ AB ; AC
Bài 3 Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ b a biết: ;
a) a (−4 ; 3 ); b (−2 ;−1 ); c ( 0 ; 5 ) b) a ( 4 ; 2 ); b ( 5 ; 3 ); c ( 2 ; 0 )
Bài 4 Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) H y biểu diễn véc tơ ã AD theo các véc tơ AB ; AC
Trang 8III Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài:
Bài 1 Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a Xác định toạ độ điểm E sao cho AE=2 BC
b Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5
c Tìm tập hợp điểm M biết: 2 ( MA+MB )−3 MC = MB−MC
Bài 2 Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ:
a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Bài 3 Cho M(1+2t; 1+3t) H y tìm điểm M sao cho ã 2
M
2
M y
x + nhỏ nhất
Bài 4 Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;
2
3
)
a CM: ∆ABC vuông b Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC
c Tìm tập hợp các điểm M thoả m n: ã 2 MA+2 MB−3 MC = MA−MC
Bài 5 Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ độ của:
a Trọng tâm G của tam giác b Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC
c Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành d Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
e Điểm M biết: CM=2 AB−3 AC f Điểm N biết: AN+2 BN−4 CN=0
Bài 6 Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3) Tìm toạ độ của:
a Trọng tâm G b Tâm đờng tròn ngoại tiếp c Điểm M biết 2 AM−3 CM=AB
Bài 7 Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Bài 8 Cho điểm A(3;1)
a Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất
b Viết phơng trình hai đờng chéo của hình vuông OABC
Bài 9 Cho M(1-2t; 1-3t) H y tìm điểm M sao cho ã 2
M
2
M y
x + nhỏ nhất
IV Véc tơ cùng ph ơng - Ba điểm thẳng hàng:
Bài 1 Cho A(0;4); B(3;2).
a Chứng minh A , B , C biết C(-6-3t;8+2t) b A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0) Tính chu vi ∆ABD
Bài 2 Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ:
a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng
b Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng
c Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA=2 5
Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)
a Tính diện tích tam giác ABC B Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất
Bài 4 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(2;-4) b) A(1;2) và B(3;4)
Bài 5 Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:
a Diện tích ∆OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2
OB
1 OA
1 + nhỏ nhất
Bài 6 Cho A(-1;-4); B(3;4) Tìm toạ độ:
a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng
Trang 9a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)
Bài 11 Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:
a Diện tích ∆OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2
OB
1 OA
1
+ nhỏ nhất
Bài 12 Cho M(1;2) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:
a Diện tích ∆OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2
OB
1 OA
1 + nhỏ nhất
Bài tập tự luyện:
Bài 1 Viết tọa độ của các vectơ sau: a = i − 3 j , b =
2
1 i
+ j ; c = −i +
2
3 j
; d = 3 i ; e = −4 j
Bài 2 Viết dới dạng u = x i + y j , biết rằng:
u
= (1; 3) ; u = (4; −1) ; u = (0; −1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)
Bài 3 Trong mp Oxy cho a = (−1; 3) , b = (2, 0) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ:
a/ u = 3 a − 2 b b/ v = 2 a + b c/ w = 4 a −
2
1 b
Bài 4 Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB , → AC , → BC→ b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM = 2→ AB → − 3AC→
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2→ BN → − 4CN = 0→
Bài 5 Trong mp Oxy cho ∆ABC có A (4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2)
a/ CMR : ∆ABC cân Tính chu vi ∆ABC
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
Bài 6 Trong mp Oxy cho ∆ABC có A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1)
a/ CMR : ∆ABC vuông Tính diện tích ∆ABC b/ Gọi D (3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 7 Trong mp Oxy cho ∆ABC có A (−3; 6) , B(9; −10) , C(−5; 4)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC và tính bán kính đờng tròn đó
Bài 8 Trong mp Oxy cho A(−3; 2) , B(4; 3) H y tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ã ∆ABM vuông tại M
Bài 9 Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ H y tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ã ∆ABC cân tại C
b/ Tính diện tích ∆ABC c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 10 Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(−1; −1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
c/ CMR : ∆ABC vuông cân d/ Tính diện tích ∆ABC
Chúc các em ôn tập tốt!
(Tóm lại là phải chăm chỉ nhiều vào mới có thể giỏi đợc!!!!)
Trang 10Tích vô hớng
I Lí thuyết:
1 Định nghĩa: a b= a b cos( )a , b
o o
180 b , a 90 0 b , a cos
0
b
.
a
b a 90 b , a 0 b , a cos
0
b
.
a
90 b , a 0 0 b , a cos
0
b
.
a
≤
<
⇔
<
⇔
<
⊥
⇔
=
⇔
=
⇔
=
<
≤
⇔
>
⇔
>
⇒
2 Tính chất:
a
.
b
b
.
a = a ( )b+c =a b+ c ( ) ( )m a b=m a b
3 Biểu thức toạ độ của tích vô h ớng:
Nếu a ( x 1 ; y 1 ); b ( x 2 ; y 2 )⇒a b=x 1 y 1+x 2 y 2
4 Công thức hình chiếu:
a Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì: AB . CD=AB . CD
b Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của CD thì:
CD '
B
'
A
CD
.
AB =
II Bài tập áp dụng:
Tính tích vô hớng
Bài 1 Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G.
a Tính các tích vô hớng AB . CD ; AB . BC b Gọi I là điểm thoả m n ã IA−2 IB+4 IC=0 Chứng minh rằng:
BCIG là hình bình hành từ đó tính IA(AB+AC); IB IC ; IA IB
Bài 2 Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.
a Tính AB . AC từ đó suy ra: AB . AC+BC . CA+CA . AB
b Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC
Bài 3 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vuông, N là điểm tuỳ ý trên
cạnh BC Tính:
a MA . MB+MC . MD b.NA . NB c NO . BA