VECTO TRỤC tọa độ và hệ TRỤC tọa độ (lý thuyết, các dạng bài tập có lời giải) file word

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng.. a Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC A... Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6... a Tìm tọa độ trung điểm M sao cho

§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

I.TRỤC TỌA ĐỘ:

1 Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác

định một điểm O và một vectơ đơn vị i

r( tức là i = 1

r)

Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i

r

được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ Kí hiệu

(O ; i

r

) hay 'x Ox hoặc đơn giản là Ox

2 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:

+ Cho vec tơ u

ur nằm trên trục (O ; i

r) thì có số thực a sao cho u= a i

r ur

với a RÎ Số a như thế được gọi là tọa độ của vectơ u

uurđối với trục (O ; i

r)

+ Cho điểm M nằm trên (O ; i

r) thì có số m sao cho OM= m i

uuur ur

Số m như thế được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục (O ; i

r)

Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OM

uuur

3 Độ dài đại số của vec tơ trên trục :

Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ AB

+ "A B C; ; Î ( ; ) :O iur AB+ BC= AC

II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1 Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục

vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị

lần lượt là i j,

r r

Điểm O gọi là gốc tọa độ,

Ox gọi là trục hoành và Oy gọi là trục

uuur gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu

là M= (x y; ) hay M x y( ; ) x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M

Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì

3 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác

+ Cho A x y( A; A), (B x y B; B) và M là trung điểm AB Tọa độ trung điểm M x( M;y M) của

M K

Hình 1.31

+ Cho tam giác ABC có A x y( A; A), (B x y B; B),C x y( C; C) Tọa độ trọng tâm G x y( G; G)

của tam giác ABC là

= Û í

ï =ïî

r r) khi và chỉ khi có số k sao cho '

'

y ky

ì =ïï

íï =

ïî 5) Cho A x y( A; A), (B x y B; B) thì AB= (x B- x y A; B- y A)

uuur

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục (O ; i

r

)

1 Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:

• Điểm M có tọa độ aÛ OMuuur = a i.r

• Vectơ ABuuur có độ dài đại số là m= ABÛ ABuuur= mir

• Nếu a, b lần lượt là tọa độ của A, B thì AB b a=

-• Các tính chất

+ AB= - BA

+ ABuuur= CDuuurÛ AB= CD

+ "A B C; ; Î ( ; ) :O iur AB+ BC= AC

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Trên trục tọa độ (O ; i

r) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là

b) Ta có BA= - 3= - BCÞ BAuuur= - BCuuur suy ra B là trung điểm AC

Ví dụ 2: Trên trục tọa độ (O; i

r) cho 4 điểm , , ,A B C D bất kỳ Chứng minh

a)Tìm tọa độ điểm M sao cho MAuuur= kMBuuur (k¹ 1)

A

2 1

M

kb a x

k

-=-

b)Tìm tọa độ trung điểm I của AB

uur uur uur ur

và thỏa mãn hệ thức2(ab+ cd)= (a+ b c)( + d) Chứng minh rằng DA CA

DB= - CB

• Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OAuuur

• Nếu biết tọa độ hai điểm A x y( A; A), (B x y B; B) suy ra tọa độ AB

uuur được xác định theo công

thức AB= (x B- x y A; B- y A)

uuur

Chú ý: OH= OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH= - OH nếu H nằm trên tia

đối tia Ox (hoặc Oy )

M1

M2

M3

Hình 1.32

a) M1 đối xứng với M qua trục hoành

A M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1(- x;- y)

B M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M x y1( ; )

C M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M x1( ;- y)

D M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1(- x y; )

b) M2 đối xứng với M qua trục tung

A M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2(- x;- y)

B M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M x y2( ; )

C M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M x2( ;- y)

D M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2(- x y; )

c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ

A M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3(- x y; )

B M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3(- x;- y)

C M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M x3( ;- y)

D M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M x y3( ; )

Lời giải:

(hình 1.32)

a) M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M x1( ;- y)

b) M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2(- x y; )

c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3(- x;- y)

Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; i

uuur cùng hướng với i

r Tìm tọa độ các vectơ AB BC,

B

Hình 1.33

r cùng hướng OA

uuur

a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC

A 0; 3

2

a A

B

D

Hình 1.34

a G

4

a G

6

a G

a) Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi

và AD

uuur cùng hướng, y > B 0 Tìm Khẳng định sai?

r cùng hướng với OD

uuur, j

r cùng hướng EC

uuur Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6

A A(- 6; 0 ,) D(6; 0 ,) B(- 3; 3 3 ,- ) C(3; 3 3 ,) (F - 3; 3 3 ,- ) (E 3; 3 3- )

C Ca A, B đều đúng D Cả A, B đều sai

b) Tìm điểm M sao cho MA+ 2MB+ 3MC= 0

uuur uuur uuur r

y

y

ìïï =ï

-C u = (28; 28)

-ur

D u = (8; 8)ur

b) Tìm điểm M sao cho MA+ MB+ MC= 0

uuur uuur uuur r

Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức

+ M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra ,

ï =ïî

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(2;1), ( 1; 2), ( 3; 2)B- - C -

a) Tìm tọa độ trung điểm M sao cho C là trung điểm của đoạn MB

Vậy D(0; 5)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 1 ,- ) B(- 1; 2) và I(1; 1- ) Xác định tọa

độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD

Bài 1.89: Cho ba điểm A(3; 4), (2;1), ( 1; 2)B C -

-a) Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Û = Û íïïî = Þuuur uuur

Bài 1.90: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 4 ,) B(- 1; 2 ,) (I 4;1) Xác định tọa độ các

điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm cạnh CD Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD

ï =ïîuuur uuur

Lời giải:

Bài 1.91: Từ giả thiết ta có C(0;y G x), ( ; 0)

G là trọng tâm tam giác nên

43

33

Bài 1.92: Ta có MNuuuur(- 3; 4 ,- ) PA xuuur( A- 2;y A+ 1 ,) MNuuuur= PAuuurÞ A(- 1; 5- )

N là trung điểm AC suy ra C -( 3; 1- )

M là trung điểm BC suy ra B(5; 3)

Bài 1.93: Cho tam giác ABC có A(3; 4 ,) B(- 1; 2 ,) C(4;1) A' là điểm đối xứng của A qua

B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A

a) Tìm tọa độ các điểm A', B', C'

Vectơuur' cùng phương với vectơ ur(u ¹r 0r) khi và chỉ

khi có số k sao cho '

'

x kx

ì =ïï

B hai vectơ ; a b

r rcùng phương

C hai vectơ a b ;

r r song song

+ Với m ¹ 0: Ta có u v;

ur urcùng phương khi và chỉ khi

m m

m m

é = + - = Û - - = Û êê =

-ë

Vậy với m = - và 1 m = 2 là các giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(6; 3), ( 3; 6), (1; 2)B- C -

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác

b) Xác định điểm D trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng

A D(15; 0) B D(1; 0) C D(6; 0) D D(5; 0)c) Xác định điểm E trên cạnh BC sao cho BE= 2EC

Hay A, B, C là ba đỉnh một tam giác

d) Gọi I x y( ; ) là giao điểm của DE và AC

x y

-

Lời giải:

Bài 1.94: a) A, B, D thẳng hàng

và AC

uuur không cùng phương

Bài 1.95 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(0;1 ,) B(1; 3 ,) C(2; 7) và D(0; 3) Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD

x y

ì =ïï

íï =

23

x y

ì =ïï

íï =

-ïî hoặc

12

x y

ì = ïï

-íï = ïî

x y

ì =ïï

íï =

23

x y

ì =ïï

íï =

-ïî hoặc

12

x y

ì =ïï

íï = ïî

x y

ì =ïï

íï = ïî

-Bài 1.97 Cho tam giác ABC có A(3; 4), (2;1), ( 1; 2)B C - - Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho S ABC= 3S ABM

A M1(1; 2 ,) M2(4; 2) B M1(- 1; 2 ,) M2(- 3; 2- )

C M1(1; 2 ,) M2(3; 2- ) D M1(1; 0 ,) M2(3; 2)

Lời giải:

Bài 1.97: Ta có S ABC = 3S ABM Û BC= 3BMÞ BCuuur= ±3BMuuur

Gọi M x y( ; )Þ BM xuuur( - 2;y- 1 ;) BCuuur(- 3; 3- )

Vậy có hai điểm thỏa mãn M1(1; 0 ,) M2(3; 2)

Bài 1.98 Cho ba điểm A( 1; 1), (0;1), (3; 0)- - B C

a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác

b) Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC và 2BD= 5DC

Bài 1.99 a) Dễ thấy điểm A, B nằm ở hai phía với trục hoành

Ta có PA+ PB³ AB Dấu bằng xảy ra Û APuuur cùng phương với AB

Lời giải:

Bài 1.100: I là trung điểm AC nên C(4; 1- )