Rèn kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN GIẢI PHÁP 1.1.Cơ sở lí luận: Toán học là một môn khoa học nói chung, chiếm một vai trò rất quan trọng trong các trường học. Mục tiêu giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của tiểu học có trình độ học vấn phổ thông cơ sở và những hiểu biết ban đầu. Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội cần. Đất nước ta đã và đang bước vào kỉ nguyên của khoa học thông tin, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển năng lực tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra. Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể loại, đa dạng và phong phú. Do đó trang bị cho học sinh những kiến thức toán học không chỉ là trang bị cho học sinh các khái niệm, định nghĩa, quy tắc, tổng quan, … Mà phải trang bị cho học sinh các kĩ năng và phương pháp giải bài tập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống. Bắt đầu từ năm lớp 6, học sinh được làm quen với loại toán phân tích ra thừa số nguyên tố, loại toán này tiếp tục được dạy kĩ hơn và mở rộng thành phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8, lớp 9 và các cấp học tiếp theo. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT. 1.2.Cơ sở thực tiễn: Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp. Đi theo kết quả của bài toán “ phân tích thành nhân tử ” còn có các dạng toán: Giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên … Vì vậy, phần trên mà không “ phân tích thành nhân tử ” được thì học sinh không thực hiện được các bước tiếp theo. Vậy cách trình bày một bài toán “ phân tích thành nhân tử ” như thế nào, phương pháp giải bài toán đó ra sao. Để định hướng cho mỗi học sinh phát huy được khả năng của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chất lượng giáo dục. Vì vậy mỗi giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng giảng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử. Với lí do trên nên tôi chọn giải pháp Rèn kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử. Giúp học sinh tiếp cận và thực hiện tốt hơn kiến thức của dạng toán này.

cố và phát triển những kết quả của tiểu học có trình độ học vấn phổ thông cơ

sở và những hiểu biết ban đầu Quá trình học môn toán phải nhằm mục đíchđào tạo con người mà xã hội cần Đất nước ta đã và đang bước vào kỉ nguyêncủa khoa học thông tin, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ đểtìm ra những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổthông, cơ bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh pháttriển năng lực tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khảnăng tưởng tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán Hìnhthành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục

đề ra

Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể loại,

đa dạng và phong phú Do đó trang bị cho học sinh những kiến thức toán họckhông chỉ là trang bị cho học sinh các khái niệm, định nghĩa, quy tắc, tổngquan, … Mà phải trang bị cho học sinh các kĩ năng và phương pháp giải bàitập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống Bắt đầu từ năm lớp 6, học sinhđược làm quen với loại toán phân tích ra thừa số nguyên tố, loại toán này tiếptục được dạy kĩ hơn và mở rộng thành phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8,lớp 9 và các cấp học tiếp theo Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi họcsinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT

1.2.Cơ sở thực tiễn:

Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp Đi

theo kết quả của bài toán “ phân tích thành nhân tử ” còn có các dạng toán:

Giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểuthức, tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên …

Vì vậy, phần trên mà không “ phân tích thành nhân tử ” được thì học

sinh không thực hiện được các bước tiếp theo

Vậy cách trình bày một bài toán “ phân tích thành nhân tử ” như thế

nào, phương pháp giải bài toán đó ra sao Để định hướng cho mỗi học sinhphát huy được khả năng của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chấtlượng giáo dục Vì vậy mỗi giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giảipháp tích cực để nâng cao chất lượng giảng dạy phần phân tích đa thức thànhnhân tử

Với lí do trên nên tôi chọn giải pháp " Rèn kỹ năng giải toán phân tích đathức thành nhân tử" Giúp học sinh tiếp cận và thực hiện tốt hơn kiến thức củadạng toán này

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề

cơ bản của phân môn đại số, đặc biệt là môn đai số lớp 8 nhằm giúp cho họcsinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách giải bài toán và rèn kỹ năng phân tích

đa thức thành nhân tử Trên cơ sở đó phát hiện những khó khăn đồng thời đề

ra những giải pháp thực hiện đạt hiệu quả cao trong việc giảng dạy và học tậptại trường THCS Cao Răm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Điều tra sơ bộ về việc dạy và học của các đồng nghiệp, các em học sinhtrường THCS Cao Răm về việc dạy và học " kỹ năng phân tích đa thức thànhnhân tử "

- Phát hiện những khó khăn, vướng mắc trong quá trình dạy và học

- Từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học

- Thực nghiệm những giải pháp đó ở trường và đáng giá kết quả đạt được

4 Phạm vi và đối tượng nghiờn cứu

4.1.Thời gian thực hiện và phạm vi nghiờn cứu.

4.2 Khảo sỏt trước khi thực hiện giải phỏp:

-khảo sỏt các bài toán đơn giản trên cơ sở một vài phép biến

đổi thuần tuý, cha có khả năng phán đoán, định hớng đúngcho việc giải bài toán

-khảo sỏt các bài toán khú dần

- khảo sỏt về mặt phơng pháp các phơng pháp đặt nhân tửchung, dùng hằng đẳng thức và nhóm nhiều hạng tử

- làm bài kiểm tra khảo sát chất lợng nh sau :

- So sánh hai bµi kiÓm tra sau đó tìm giải pháp khắc phục.

PHẦN II: NỘI DUNG CỤ THỂ

Việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở địa phương làhọc sinh miền núi, trình độ nhận thức chậm, chưa nỗ lực trong học tập Đa sốcác em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án hoặc hướng dẫn giải để thamkhảo, nên khi gặp bài tập có dạng khác các em thường lúng túng chưa tìmđược hướng giải thích hợp, không biết sử dụng phương pháp nào trước,phương pháp nào sau, phương pháp nào phù hợp nhất, hướng nào tốt nhất Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưatriệt để

Phụ huynh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con mìnhnhư theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập ở nhà

Phương pháp chung để giải bài toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ chotrò, để trò tự suy nghĩ tìm ra lời giải Trước khi giải một bài toán phải tìm hiểu

kĩ nội dung yêu cầu của đê bài: Đâu là cái cần tìm? Cái đã cho? Cài phải tìmthỏa mãn điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? … Tìm racách giải hợp lí nhất

Việc rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân môn đại

số Học sinh phải tìm hiểu kỹ các dạng biểu thức khi đưa ra nó ở dạng nào,tính giá trị của biểu thức hay chứng minh biểu thức, rút gọn biểu thức Họcsinh lúng túng khi rút gọn phải sử dụng phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử, sử dụng các phép toán và tính chất của cá phép toán, học sinh haynhầm lẫn Do vậy giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kĩ năng trình bàylời giải cho các dạng bài tập, để giúp phần nào giải quyết được các dạng bàitập và khắc phục những vướng mắc trên Tôi đưa ra một số giải pháp về rèn

kỹ năng giải các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã tìm hiểu,tập hợp được thông qua thực tế giảng dạy

Phơng pháp dùng

phơng

Phơng

ph áp nhóm nhiều

 Một số phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử:

 Nội dung giải phỏp được trỡnh bày thành ba chương.

Chơng 2:

Các phơng pháp đặc biệt

Chơng 3: BÀI TẬP RẩN

KỸ NĂNG phân tích

đa thức thành nhân tử

CHƯƠNG 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểudiễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thứckhác Thật vậy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( xn + xn – 1 + … + ) ( với c

0, c 1 )

b) Định nghĩa 2

Giả sử P(x) P là đa thức có bậc lớn hơn 0 Ta nói P(x)

là bất khả quy trên trờng P nếu nó không thể phân tích đợcthành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc củaP(x) Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc phântích đợc trên P

1.2 Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

a)Định lý 1

Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thànhtích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duynhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.”

b) Định lý 2

Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi vàchỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức < 0 Vậymọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích đợcthành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0”.

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, là một đathức hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho pkhông phải là ớc của an nhng p là ớc của các hệ số còn lại và p2

không phải là ớc của các số hạng tự do a0 Thế thì đa thứcf(x) là bất khả quy trên Q

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

2.1 Phương phỏp đặt nhõn tử chung

Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nàythờng làm nh sau:

-Tìm nhân tử chung ( nếu cú )

-Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, cácnhân tử khác -Viết nhân tử chung ra ngoài dấungoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử ở trong dấungoặc với dấu của chúng

VD1: phõn tớch đa thức thành nhõn tử

2x2- 4x = 2x.x – 2x.2 = 2x( x – 2 )

*Chỳ ý:

-Khi phân tích bằng phơng pháp này ta dựa vào tính chấtphân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức:A.B + A.C =A.(B +C)

- Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử ( lưu ývới tính chất A = -(-A) ).

7 HiÖu hai lËp ph¬ng : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 )

VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 8x3y6 -1

=(2xy2)3 - 13

Gi¶i

8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)

VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö :

®a thøc thµnh nh©n tö

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy 3x - 6y

Thờng đợc tiến hành theo các trình tự sau :

+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giảnhơn dễ nhận xét hơn

x-CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT

1 phơng pháp tách hạng tử

Trong một số trờng hợp bằng các phơng pháp đã học không thể giải đợc mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng đợc các phơng pháp đã biết

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8

Giải

Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)Cách 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4)

Cách 3 : x2- 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2)

= (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)

Cách 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= 4)

(x-2)(x-Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khỏc

trong đó có 2 cách thông dụng là :

Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa

đa thức về dạng hiệu hai bình phơng

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2

+6x-8

Giải

9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)

Hoặc =9x2-6x+1 – 9 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3)

=(3x -2)(3x+4)

*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng thức đáng nhớ: mpx 2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)

Nh vậy trong tam thức bậc hai :a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2

sao cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm nh sau :

- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách

Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử

Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8

+ Tích a.c =9.(-8) =-72+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)

-72 =1).72 =2).36 = 3).24 = 4).12 = 6).12 = (-8).9

(-+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12

Từ đó ta phân tích9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)

Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x 2 –x -6 thành nhân tử

Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6

+ Tích a.c =1.(-6) = -6+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)

-6 = 1.(-6) = 2.(-3)

+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 1, đó là : 2 và 3

-Từ đó ta phân tích

x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)

*Chú ý : Trong trờng hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b

là số lẻ, hoặc không là bình phơng của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai

2 Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào cũng nh không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến

đổi hạng tử để có thể vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đã biết

Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử

Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2

x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)

Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử

Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2

64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2

= (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 +

b2+4ab)

3 Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)

Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử

Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12

Nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản hơn y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai của biến y

Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2)

= (x2 + x+6)( x2 + x -2) =(x2 + x+6)( x2 +2x-

x -2)

=(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]

Tæng qu¸t : cho ®a thøc f(x); a lµ nghiÖm cña f(x) nÕu f(a)

= 0 nh vËy nÕu f(x) chøa nh©n tö x - a th× a ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc

-Trong ®a thøc víi hÖ sè nguyªn, nghiÖm nguyªn nÕu cã ph¶i

Cách 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x21) +41) = 1)(x2 +4x+4)

= (x-1)(x+2)2

Cách 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) 1)(x+1)

Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x 3 - 5x 2 + 8x-3 thành

nhân tử

Các ớc của -3 là : 1 ; 3 mà 1; 3 không là nghiệm của đa thức Nh vậy đa thức không có nghiệm nguyên Nhng

đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.

*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng với p là ớc của hạng tử không

đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất.

Nh vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể

2x-1

Ta có: 2x 3 - 5x 2 + 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3

=x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3)

5 Phơng pháp hệ số bất định

Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng

(ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x3-5x2

+8x-3 , ta đợc:

2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3

Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử) Do đó a=2 hoặc a=1

Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3

=> b có thể là 1 hoặc 3

Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên

Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bởi

b thì P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0 ,nên p chia hết cho a-b vai

trò của a,b,c nh nhau trong đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)

Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đốivới tập hợp các biến số nên thơng là hằng số k

Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3

đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng số k

*Chó ý : Khi ®a thøc cã nhiÒu biÕn sè vµ vai trß c¸c biÕn nh nhau trong ®a thøc th× ta sö dông ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng nh trªn.

CHƯƠNG 3

BÀI TẬP RÈN KỸ NĂNG

“ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ”

1 CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

1.1 Phân tích bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Bµi 1 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Gi¶i: Ta cã : A = 2ax 3 + 4bx 2 y + 2x 2 (ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Gi¶i: Ta cã: P = (2a 2 – 3ax)(5y +2b) – (6a 2 – 4ax) (5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

Bµi 4 : ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a 2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a)

Bµi 5: ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3 y – 6x 2 y – 3xy 3 – 6xy 2 z – xyz 2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bµi 8 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = 6z3 + 3z2 + 2z +1