Sáng kiến kinh nghiệmGIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cùng với sự phát triển của đất nước, xã hội ngày càng phát triển cùng với khoa học và kỹ thuật ngày càng hiện đại sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới. Đối với nền giáo dục Việt Nam hiện nay đã có nhiều thay đổi, đề ra nhiều chủ trương, biện pháp có hiệu quả. Toán là một môn học khó, đòi hỏi học sinh phải có sự thông minh, sáng tạo. Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học, kĩ thuật, ứng dụng trong thực tế. Theo cảm nhận của nhiều người , toán là môn học “ khô khan ”, trừu tượng nên nhiều học sinh không hứng thú học, trong đó có một dạng toán học sinh gặp rất nhiều sai lầm và rất “ngại” bài tập dạng này, đó là những bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành một tích của những đa thức. Việc phân tích một đa thức thành nhân tử là một trong những kĩ năng cơ bản nhất của chương trình đại số bậc THCS. Kĩ năng này được sử dụng khi giải các bài toán: biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, qui đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức, chứng minh một số bài toán chia hết. …. Để phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều phương pháp thông thường như: • Đặt nhân tử chung (thừa số chung). • Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. • Nhóm nhiều hạng tử. • Phối hợp các phương pháp trên Mặt khác phân tích đa thức thành nhân tử là cả một quá trình các em học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức có liên quan như các hằng đẳng thức đáng nhớ, các kỹ năng thêm bớt, kỹ năng tách các hạng tử thích hợp, kỹ năng tính toán, nhẩm nghiệm, kỹ năng chia đa thức cho đa thức . … Để thực hiện tốt các dạng bài tập này đòi hỏi các em sử dụng các thao tác tư duy trên cơ sở nắm chắc các kiến thức có liên quan. Xuất phát từ các lý do trên và thực tế dạy học toán ở trường THCS, nhằm giúp học sinh chủ động sử dụng các phương pháp phù hợp để thực hành giải dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử để trên cơ sở ấy các em vận dụng vào giải tốt các bài toán có liên quan, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. Tôi xin được trình bày đề tài : “GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.” II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4). “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 24), trích dẫn trong sách phương pháp dạy học môn toán của Nguyễn Bá Kim do nhà xuất bản đại học sư phạm phát hành. Và nghị quyết trung ương 2 khóa VIII đã chỉ rõ “Phương pháp giáo dục đào tạo chậm được đổi mới, chưa pháp huy được tính chủ động, sáng tạo của người học” Qua thực tế tìm hiểu học sinh và trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: Học sinh rất lúng túng trước các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử: không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, không nhận dạng được hằng đẳng thức đã học để phân tích bài toán. Việc phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề khó của Đại số 8, nhưng nó rất đa dạng, yêu cầu học sinh phải làm nhiều bài tập. Ngoài bốn phương pháp cơ bản như sách giáo khoa đã trình bày, còn có những phương pháp khác như: phương pháp tách các hạng tử, thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ …nên nhiều học sinh không nắm được phương pháp tư duy, phương pháp cơ bản giải toán, suy nghĩ rất hời hợt, máy móc. Không biết rút kinh nghiệm về bài vừa giải, nên thường lúng túng trước những bài toán khác đôi chút với bài quen Trình bày bài giải không tốt, lập luận thiếu khoa học, không lôgích, còn nhầm lẫn dấu khi nhóm các hạng tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Cùng với sự phát triển của đất nước, xã hội ngày càng phát triển cùng với khoa học và kỹ thuật ngày càng hiện đại sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới Đối với nền giáo dục Việt Nam hiện nay đã có nhiều thay đổi, đề ra nhiều chủ trương, biện pháp có hiệu quả

- Toán là một môn học khó, đòi hỏi học sinh phải có sự thông minh, sáng tạo

Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học, kĩ thuật, ứng dụng trong thực tế Theo cảm nhận của nhiều người , toán là môn học “ khô khan ”, trừu tượng nên nhiều học sinh không hứng thú học, trong

đó có một dạng toán học sinh gặp rất nhiều sai lầm và rất “ngại” bài tập dạng này,

đó là những bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành một tích

của những đa thức Việc phân tích một đa thức thành nhân tử là một trong những

kĩ năng cơ bản nhất của chương trình đại số bậc THCS Kĩ năng này được sử dụng khi giải các bài toán: biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, qui đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức, chứng minh một số bài toán chia hết …

- Để phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều phương pháp thông thường như:

• Đặt nhân tử chung (thừa số chung).

• Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

• Nhóm nhiều hạng tử.

• Phối hợp các phương pháp trên

- Mặt khác phân tích đa thức thành nhân tử là cả một quá trình các em học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức có liên quan như các hằng đẳng thức đáng nhớ, các

kỹ năng thêm bớt, kỹ năng tách các hạng tử thích hợp, kỹ năng tính toán, nhẩm nghiệm, kỹ năng chia đa thức cho đa thức … Để thực hiện tốt các dạng bài tập này đòi hỏi các em sử dụng các thao tác tư duy trên cơ sở nắm chắc các kiến thức

có liên quan

- Xuất phát từ các lý do trên và thực tế dạy học toán ở trường THCS, nhằm giúp học sinh chủ động sử dụng các phương pháp phù hợp để thực hành giải dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử để trên cơ sở ấy các em vận dụng vào giải tốt các bài toán có liên quan, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong

nhà trường Tôi xin được trình bày đề tài : “GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.”

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

- Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:

“ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4) “ Phương pháp giáo dục phổ thông

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 24), trích dẫn trong sách phương pháp dạy học môn toán của Nguyễn Bá Kim do nhà xuất bản đại học sư phạm phát hành Và nghị quyết trung ương 2 khóa VIII đã chỉ

rõ “Phương pháp giáo dục đào tạo chậm được đổi mới, chưa pháp huy được tính chủ động, sáng tạo của người học”

- Qua thực tế tìm hiểu học sinh và trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy:

Học sinh rất lúng túng trước các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử: không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, không nhận dạng được hằng đẳng thức

đã học để phân tích bài toán

Việc phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề khó của Đại số 8, nhưng nó rất đa dạng, yêu cầu học sinh phải làm nhiều bài tập Ngoài bốn phương pháp cơ bản như sách giáo khoa đã trình bày, còn có những phương pháp khác như: phương pháp tách các hạng tử, thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ …nên nhiều học sinh không nắm được phương pháp tư duy, phương pháp cơ bản giải toán, suy nghĩ rất hời hợt, máy móc Không biết rút kinh nghiệm về bài vừa giải, nên thường lúng túng trước những bài toán khác đôi chút với bài quen

Trình bày bài giải không tốt, lập luận thiếu khoa học, không lô-gích, còn nhầm lẫn dấu khi nhóm các hạng tử

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

* BIỆN PHÁP 1 : Hệ thống các phương pháp cơ bản, giúp học sinh khắc sâu các kiến thức để khi giải toán có thể vận dụng một cách thành thạo PHƯƠNG PHÁP 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG.

1 NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a(b + c) = ab + ac

- Nhân đơn thức

- Đổi dấu một đa thức

2 PHƯƠNG PHÁP:

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác

- Tìm nhân tử chung

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử ở trong ngoặc với dấu của chúng

3 CÁC VÍ DỤ:

a/Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5x2y – 10xy2

Giải :

5x2y – 10xy2

Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là 5xy

Do đó: 5x2y – 10xy2 = 5xy( x – 2y)

b/ Chú ý: Đôi khi ta phải đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)

Giải :

Để làm xuất hiện nhân tử chung (3y – 7z) ta cần đổi dấu đa thức như sau :

7z – 3y = - (3y – 7z)

Do đó : 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y) = 2x(3y –7 z) – 6y(3y –7 z)

= 2(x – 3y)(3y –7 z)

4/ BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ 3x3y2 – 6xy3 + 3xy2

b/ x( x – y ) – y(y – x)

c/ (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z)

d/ xm + xm + 3 với m ∈N

e/ 3xny – 9xny2 + 15xn+1 với n ∈N

PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

1 NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:

- Trong nhiều trường hợp ta có thể sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản hơn

- Ôn tập các hằng đẳng thức đáng nhớ

2 PHƯƠNG PHÁP:

- Phát hiện và quy về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ

- Áp dụng các hằng đẳng thức viết các đa thức thành dạng tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản hơn

3 CÁC VÍ DỤ:

*/Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ (3x + 1)2

b/ 9x2 – 4

c/ 8 – 27a3b6

d/ 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

Giải:

a/ (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1

b/ 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

c/ 8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)

d/ 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

*/ Chú ý : Đôi khi ta phải đổi dấu của đa thức để làm xuất hiện hằng đẳng thức

Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

-x4y2 + 8x2y – 16 = - ( x4y2 - 8x2y + 16 ) = - ( x2y - 4 )2

4 BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ 1 2 − 2

81

25x y

b/ x6 − 1

c/ (ab − 1)2 – (a + b)2

d/ (y – 3)(y + 3)(y2 + 9) – (y2 + 2)(y2 – 2)

PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ.

1 NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:

- Ôn tập tính chất kết hợp của phép cộng

- Khi sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử, nhóm các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức giữa các nhóm

2 PHƯƠNG PHÁP:

- Phát hiện các hạng tử có chứa nhân tử chung kết hợp chúng thành từng nhóm rồi đặt nhân tử chung (hay dùng hằng đẳng thức)

- Phân tích riêng từng nhóm để làm xuất hiện các nhân tử chung mới hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức mới

- Làm liên tục như vậy cho đến khi viết được đa thức thành dạng tích

3 CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – xy + x – y

b) x2 + 2x – y2 + 1

Giải:

a) cách 1 : x2 – xy + x – y =( x2 – xy) + (x – y)= x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1) cách 2 : x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) =(x + 1)(x – y) b) x2 + 2x – y2 + 1 = ( x2 + 2x + 1) – y2 = ( x + 1) 2– y2 = (x + 1 + y)(x + 1 – y)

4 BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ 3x3 – 75x + 6x2 – 150

b/ x2 – 2015x + xy – 2015y

c/ x2 – 4 + ( x – 2 )2

d/ x2 – y2 – 2xy + y2

PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

1 PHƯƠNG PHÁP :

- Trong một số trường hợp ta phải phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử

- Thông thường để phân tích một đa thức thành nhân tử ta xét đến phương pháp đặt nhân tử chung trước tiên, tiếp đó xét xem có thể sử dụng được các hằng đẳng thức

đã học hay không

- Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc Đa thức trong ngoặc sẽ đơn giản hơn đa thức đã cho, sau đó ta phân tích tiếp (nếu có thể)

- Nhóm nhiều hạng tử sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức

- Phân tích mỗi nhóm để làm xuất hiện tiếp nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức

2 VÍ DỤ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x3 – 10x2y + 5xy2

b) x2 + 2xy + y2 – xz – yz

Giải :

a) 5x3 – 10x2y + 5xy2 = 5x(x2 + 2xy + y2)= 5x(x + y)2

b) x2 + 2xy + y2 – xz – yz = (x2 + 2xy + y2) - (xz + yz)

= ( x + y )2 – z( x + y ) = ( x + y )( x + y – z )

* Chú ý : Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra

ngoài ngoặc Đa thức trong ngoặc đơn giản hơn đa thức đã cho Do đó tiếp tục phân tích sẽ dễ dàng hơn

* Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – 3xyz2 + 3xy

Giải :

3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – 3xyz2 + 3xy

= 3xy( x2 – 2x – y2 - 2yz – z2 + 1 ) = 3xy[( x2 – 2x + 1 ) – ( y2 + 2yz + z2 )]

= 3xy[( x – 1 )2 – ( y + z )2 ] = 3xy( x – 1 + y + z )( x – 1 – y – z )

3 BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ 3n3 – 27n2 +81n – 81

b/ x3 + 2x2 + 2x + 1

c/ 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

*BIỆN PHÁP 2 : Cung cấp cho học sinh một số kiến thức có liên quan đến dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử đồng thời rèn cho học sinh một vài kỹ năng phân tích mới, các bài tập cung cấp cho học sinh từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

Kỹ năng 1: TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

1 PHƯƠNG PHÁP:

Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử một cách hợp lý rồi áp dụng các phương pháp cơ bản để phân tích tiếp

Mỗi một đa thức có thể có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử ,trong đó hai cách sau là thông dụng nhất :

- Tách hạng tử tự do(hằng số) rồi áp dụng các phương pháp cơ bản để phân tích tiếp

- Trong tam thức ax2 + bx + c hệ số b được tách thành b = b 1 + b 2 sao cho

b 1 b 2 = a.c, trong thực hành ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tích a.c.

Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách.

Bước 3: Chọn hai thừa số có tích bằng ac nói trên mà có tổng bằng b.

2 CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1 Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử

Hướng dẫn

-Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)

-Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci)

-Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)

Cách 1: f(x) = 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)

= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2)

* Tách hạng tử bậc hai ax2

-Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :

Cách 2: f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)

= (x + 2)(3x + 2)

-Tách thành 4 số hạng rồi nhóm :

Cách 3: f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2)

Cách 4: f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = (x + 2)(3x + 2)

*Tách hạng tử tự do c

Cách 5: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = (x + 2)(3x + 2)

*Tách 2 số hạng, 3 số hạng

Cách 6: f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)

Cách 7: f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = (x + 2)(3x + 2)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức 9x2 + 6x – 8 thành nhân tử:

Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các

hạng tử và đặt nhân tử chung mới

b1

: Tính a.c = 9.(-8) = -72

b2: Phân tích -72 thành tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có giá trị

tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)

-72 = (-1).72 = (-2) 36 = (-4) 18 = (-6) 12 = (-8) 9

b3

: Chọn hai thừa số có tổng bằng 6 đó là -6 và 12.

Vậy ta có thể phân tích như sau:

9x2 + 6x - 8 = 9x2 - 6x + 12x – 8 = (9x2 - 6x) + (12x - 8)

= 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 4)

Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu

của hai bình phương

9x2 + 6x - 8 = 9x2 + 6x + 1 – 9 = (3x + 1)2 - 32

= (3x + 1 - 3)(3x + 1 + 3) = (3x - 2)(3x + 4)

Trong trường hợp tam thức ax2 + bx + c có b là số lẽ hoặc a không là bình phương của một số nguyên thì giải cách 1 gọn hơn cách 2

* Nhận xét : Qua ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng

tử khác nhau nhằm mục đích:

- Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1).

- Làm xuất hiện hiệu hai bình phương (cách 2)

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 – 6x + 8

Cách 1: x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – 2 )(x – 4) Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1= (x – 3)2 – 1 = ( x – 3 – 1)(x – 3 + 1)

= (x – 4)( x – 2)

Cách 3: x2 – 6x + 8 = x2 – 4 – 6x + 12 = ( x – 2)(x + 2) – 6(x – 2)

= (x – 2)(x – 4)

Cách 4: x2 – 6x + 8 = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x – 4)(4 + x) – 6(x – 4)

= (x – 4)( x + 4 – 6) = (x – 4) ( x – 2)

Cách 5 : x2 – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 – 2x + 4 = (x – 2)2 – 2( x – 2)

= (x – 2)( x – 2 – 2) = ( x – 2)(x – 4)

* Chú ý: Đối với tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) để thuận tiện khi phân tích thành nhân tử ta ta dựa vào nhận xét sau:

- Nếu b2 - 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể tiếp tục phân tích tam thức thành nhân tử bằng một trong các phương pháp đã biết hoặc bằng cách đề ra bình phương đủ

- Nếu b2 - 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa

Ví dụ 4: tam thức f(x) = 2x2 - 7x + 3

Có b2 - 4ac = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24 = 25 = 52 nên có thể phân tích tiếp được bằng cách tách số hạng 7x = 6x + x hoặc bằng cách tổng quát là đề ra bình phương đủ

( )

3.BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ 4x2 – 4x – 3

b/ x4 + 5x2 – 14

c/ x2 + 4x – 21

d/ 16x – 5x2 – 3

Kỹ năng 2: THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

1 PHƯƠNG PHÁP:

- Cộng thêm vào đa thức một hạng tử thì đồng thời cũng phải bớt hạng tử đó để đa thức không đổi

- Khi sử dụng phương pháp này (thêm, bớt) phải nhằm hướng đến xuất hiện hằng đẳng thức (thường là A2 - B2, A3 - B3 … ) hoặc xuất hiện nhân tử chung

2 CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 – 1

Giải:

x5 – 1 = x5 – x + x – 1

= (x5 – x) + (x – 1) = x(x4 – 1) + ( x – 1)

= x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1)

= x(x+1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1)

= (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1]

3 BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x4 + 4y4

b/x4 + x2 + 1

c/ 4x4 + 81

d/ x7 + x2 + 1

Kỹ năng 3: KỸ NĂNG DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Ví dụ : phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(6x + 7) + ( 6x + 7 )2

b) B = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Giải :

a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(6x + 7) + ( 6x + 7 )2

cách 1 : Đặt 3x + 1 = X và 6x + 7 = Y

ta có:

A = X2 – 2.X.Y + Y2 = ( X – Y )2

= ( 3x + 1 – 6x – 7 )2 = ( - 3x – 6 )2 = 9( x + 2 )2

Cách 2: Hoặc có thể xem đây là hằng đẳng thức thứ hai:’bình phương của một

hiệu’ với số thứ nhất là 3x + 1, số thứ hai là 6x + 7

Ta có:

(3x + 1)2 - 2(3x + 1)(6x + 7) + ( 6x + 7 )2 = [(3x + 1) – (6x + 7)]2

= ( - 3x – 6 )2 = 9( x + 2 )2

b) B = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Ta có: B = x(x + 10)(x + 4)(x + 6) + 128= ( x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

Đặt Y= x2 + 10x + 12 ;tacó :

B = (Y - 12)(Y + 12) + 128 = Y2 – 16 = (Y - 4)(Y + 4)

= (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x +2 )( x + 8 )( x2 + 10x + 8 )

Nhận xét: Trong ví dụ b nhờ phương pháp đổi biến, ta đã đưa đa thức bậc bốn đối

với x thành đa thức bậc hai đối với Y

3 BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

b/ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

c/ ( x2 − − x ) 14( x2 − + x ) 24

d/ (x2 − 3 x + 2)( x2 − 3 x − − 6) 24

Kỹ năng 4 : ĐỔI VAI TRÒ CỦA ẨN VÀ THAM SỐ

1.PHƯƠNG PHÁP :

Trong một số bài toán, đôi khi việc đổi vai trò của ẩn số và tham số cho nhau trở thành một phương pháp giải thú vị Sau đây là một vài ví dụ minh hoạ :

2.VÍ DỤ: Phân tích đa thức thành nhân tử : A = 2x3 – (a + 2)x2 – ax + a2

Giải :

A = 2x3 – (a + 2)x2 – ax + a2

Thông thường, ta hiểu đây là một đa thức bậc ba, ẩn x Bây giờ hãy xem A là đa thức bậc hai, ẩn a

khi ấy ta có A = a2 – (x2 + x)a + 2x3 – 2x2 = a2 – (x2 + x)a - 2x(x – x2)

Với P = -(x2 + x) = (-2x) + (x – x2) và q = 2x3 -2x2 = (-2x).(x – x2), đa thức

A được phân tích thành nhân tử bằng phương pháp tách số hạng như sau :

A = a2 – 2xa + (x – x2)a - 2x(x – x2) = a(a – 2x) + (x – x2)(a – 2x)

= (a – 2x)(a – x2 + x)

Kỹ năng 5: KỸ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

1.PHƯƠNG PHÁP:

+ Số a là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(a) = 0

+ Trong một đa thức có hệ số nguyên, nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hạng tử tự do

2 VÍ DỤ :

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x3 - x2 – 4

Giải

x3 - x2 – 4

Lần lượt kiểm tra với x = ± 1 , ± 2 , ± 4, ta thấy f( 2 ) = 0

Đa thức có nghiệm x = 2, do đó chứa nhân tử x – 2

Cách1:

f(x) = x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x – 4

= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x – 2 ) = (x - 2)(x2 + x + 2)

Cách 2:

f(x) = x3 - x2 - 4 = x3 – 8- x2 + 4= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)

= (x – 2 )(x2 + 2x + 4 – x – 2= (x – 2 )(x2 + x +2)

Cách 3:Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho (x – 2 ) ta được đa thức g(x)

Vậy: f(x) = ( x – 2).g(x)

x3 – x2 – 4 = ( x – 2 )( x2 + x + 2 )

3.Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức cần lưu ý:

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa nhân tử x - 1

- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì – 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có chứa nhân tử x+1

* Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có thể dùng nhận xét sau:

Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì

(1)

1

f

a− và

( 1)

1

f

a

−

− đều là số nguyên.

Ví du 2: Phân tích x 3 - 7x - 6 thành nhân tử

Kiểm tra thấy x = -1 là nghiệm ⇒ đa thức chứa một nhân tử là x+1

Lấy x3 - 7x - 6 chia cho (x + 1) được x2 - x - 6 và làm tiếp tục ta thấy x = 3

là nghiệm của x2 – x - 6, thực hiện phép chia x2 - x - 6 cho (x - 3) ta được

(x + 2)

Vậy x3 - 7x - 6 = (x + 1)(x - 3)(x + 2)

4 BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ P(x) = x3 – 2x – 4

b/ P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4

c/ P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3

d/ P(x) = x3 + 3x – 4

Kỹ năng 6 : DÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

1.Ví du : phân tích đa thức thành nhân tử: x2 + 3x + 2

Vì hệ số cao nhất của đa thức là 1 nên đa thức x2 + 3x + 2 có thể phân tích thành (x + a)(x + b), nên ta có:

x2 + 3x + 2 = (x + a)(x + b)

⇔x2 + 3x + 2 = x2 + (a + b)x + ab

2

a b

ab







+ =

=

Từ a + b = 3 => a = 3 – b Thế vào ab = 2, ta được:

ab = 2 => b(3 – b) = 2 ⇔–b2 + 3b – 2 = 0

⇔ –b2 + b + 2b – 2= 0

⇔ –b(b – 1) + 2(b – 1) = 0

⇔(b – 1)( 2 – b)= 0

⇔ 1 12

2

a a

b b



=

= Vậy x2 + 3x + 2 = (x +1)(x + 2)

*Chú ý: Có thể phân tích đa thức x2 + 3x + 2 bằng cách tách hạng tử:

x2 + 3x + 2 = x2 + x+ 2x + 2

= x(x + 1) + 2(x + 1)

= (x + 1)(x + 2)

2 BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x3 – 19x – 30

b/ x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1

c/ x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

Kỹ năng 7 : DÙNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG

1.PHƯƠNG PHÁP:

Trong phương pháp này , trước hết ta xác định các nhân tử chứa biến của đa

thức, rồi gán cho các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại

2 VÍ DỤ:

Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

P = x2(y – z ) + y2( z – x ) + z2( x – y )

Giải

Thử thay x bởi y thì :

P = y2(y –z ) + y2( z – y ) = 0 Như vậy P chia hết cho x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y , thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x→ y → z → x )

Do đó nếu P đã chia hết cho x – y thì cũng chia hết cho y – z và z – x

Vậy P có dạng K( x – y )( y- z )( z – x )

Ta thấy K phải là hằng số ( không chứa biến ) vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến

Vì đẳng thức x2(y – z ) + y2( z – x ) + z2( x – y ) = K( x – y )( y – z )( z – x ) đúng với mọi giá trị x, y ,z nên ta gán cho x, y, z các giá trị riêng ,chẳng hạn x = 2 ; y =

1 ; z = 0 ( 2≠ 1 ≠0 ) ta được :

4.1 + 1.(-2) + 0 = K.1.1.(-2)

⇔ 2 = - 2K

⇔ K = - 1

Vậy P = - ( x – y )(y – z)( z - x )

3 BÀI TẬP : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a(b + c − a)2 + b(c + a − b)2 + c(a + b − c)2 + (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b)

BIỆN PHÁP 3 : Rèn luyện cho học sinh óc tìm tòi sáng tạo trong các cách giải ,tăng hứng thú học tập của học sinh nhằm phát huy tính hoạt động tích cực trong học tập và nâng cao hiệu quả học tập

- Để giúp học sinh tìm tòi những cách giải khác nhau của một bài toán , giáo viên cần giúp học sinh tích lũy ,hệ thống hóa và nắm vững các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử khác nhau

- Tập cho học sinh biết nhận dạng bài toán mà lựa chọn phương pháp thích hợp trong tất cả các phương pháp đã biết Như vậy trong số những con đường đi vừa xuất hiện , học sinh có thể loại trừ ngay những con đường không thích hợp và chỉ giữ một số con đường thích hợp Đối với học sinh ,lúc đầu phải thử với từng con đường đi, có thể thất bại nhiều lần mới xác định được con đường đi đúng Và nếu