Đề tài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Theo chủ chơng định hớng đổi mới phơng pháp dạy học nói chung của bộgiáo dục đào tạo và dạy học môn toán nói riêng ,nhằm nâng cao chất lợnggiáo dục .Trong chơng đại số ở THCS , đa thức v

Môc lôc Trang

Chơng II Vận dụng các nội dung lý thuyết cơ sở trên vào giảng dạy chuyên đề phân tích đa thức thành

nhân tử 11

1 Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chơng trình SGK 11

2 Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho

học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức và phân

1 Sách giáo khoa Đại số 7

2 Sách giáo khoa Đại số 8

3 Một số vấn đề phát triển Đại số lớp 8

4 Đa thức – Phân tích đại số – Phơng trình

5 Đại số đại cơng (Giáo trình CĐSP)

6 Lý thuyết trờng (Giáo trình ĐHSP)

7 Lý thuyết Ga Loa (Giáo trình ĐHSP)

Phần một: Mở đầu

1-Lý do chọn đề tài:

Theo chủ chơng định hớng đổi mới phơng pháp dạy học nói chung của bộgiáo dục đào tạo và dạy học môn toán nói riêng ,nhằm nâng cao chất lợnggiáo dục Trong chơng đại số ở THCS , đa thức và phân tích đa thức thànhnhân tử là một trong những nội dung kiến thức cơ bản, trọng tâm, nó là cơ sởxây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài toán khác nhau trong ch-

ơng trình nh: Quy đồng rút gọn phân thức, giải phơng trình, nhất là phơngtrình bậc cao, giải bất phơng trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìmcực trị,…

Từ thực tiễn giảng dạy toán tôi thấy việc rèn kỹ năng làm toán cho họcsinh là rất quan trọng.Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử làmột trong kỹ năng cơ bản quan trọng nhất, nếu nắm vững và thành thạo kỹnăng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong ch-

ơng trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng nh nhiều vấn đề toán học khác có liênquan, tìm đợc lời giải tối u cho một bài toàn Nhng đôi khi việc phân tích đathức thành nhân tử có những khó khăn đối với học sinh, đó là trong trờng hợp

đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, do đó nếu áp dụngnhững phơng pháp thông thờng đã học nh trong SGK thì học sinh khó có thểphân tích đợc thành nhân tử

Các kiến thức đợc học ở chơng trình đại học có nhiều kết quả ứng dụng

đợc vào chơng trình THCS.Tôi muốn vận dụng mội số kết quả đó vào dạyhọc ở THCS Trong chơng trình THCS có những đa thức không có nghiệmthực thì học sinh không thể phân tích đợc thành nhân tử Vì vậy một câu hỏithờng đợc đặt ra trong trờng hợp này là: Những đa thức nào thì không thểphân tích đợc thành nhân tử? Nếu trả lời đợc câu hỏi trên, học sinh sẽ có khảnăng giải đợc một cách nhanh gọn một số bài tập cụ thể

Ví dụ: Khi xét một phơng trình bậc hai, học sinh có thể kết luận đợc

ph-ơng trình đó có hay không có nghiệm thực mà không cần giải phph-ơng trình.Bên cạnh đó ngoài những phơng pháp thông thờng còn có thể sử dụng một sốphơng pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trờng hợpnhất định, nhiều phơng pháp này trong chơng trình của SGK cha có điều kiện

đề cập đến nhng nếu giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể hiểu đợpcmột cách toàn diện hơn về lý thuyết có kỹ năng giải các bài toán tổng hợpmột cách nhanh chóng Để có thể cung cấp cho học sinh một cách hệ thống

đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần phải hiểu và nắmvững các kiến thức về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức

… một cách chính xác, có hệ thống, hiểu đợc gốc của mọi vấn đề Từ đó giáoviên biết đợc phải cho và chỉ cần cho học sinh biết những điều gì và đếnchừng mực nào để có thể vận dụng hợp lý, đa vào bài giảng của mình nhữngnội dung kiến thức phù hợp với trình độ của học sinh, đa ra những bài tậpthích hợp

2.Mục đích nghiên cứu.

Vận dụng những kiến thức về cầu trúc đại số, về lý thuyết trờng vào giảngdạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chơng trình đại số ởcác lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phầntích đa thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp

3.Nhiệm vụ nghiên cứu:

Qua điều tra khảo sát thực trạng giáo viên dạy toán tại ba trờng THCScủa phòng giáo dục Vụ Bản Nam Định tôi thấy có 40% giáo viên đã đổi mớiPhơng pháp dạy học và giảng dạy tơng đối bài bản trong chuyên đề phântích đa thức thành nhân tử

Qua dạy học và tìm hiểu tôi thấy chuyên đề này rât cần thiết cho học sinhTHCS và nó cũng là đơn vị kiến thức cần thiết để các em học lên THPT nêntôi nghiên cứu chuyên đề này

Mạch kiến thức trong đề tài đợc săp xếp theo trình tự từ lý tuyết cơ sở đếnvận dụng kiến thức đó vào phân tích đa thức thành nhân tử ,giảI các phơngtrình bậc cao bằng cách đa về phơng trình tích

Khi nghên cứu cần nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiếnthức cơ bản:

+Các cấu trúc đại số: Nhóm, vành, trờng, vành đa thức, …

+Các khái niệm về đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức bất khả quy.+Một số định lý về nghiệm của đa thức

+Một số định lý, mệnh đề về phân tích đa thức của các đa thức bất khảquy

-Nghiên cứu nội dung, chơng trình SGK để nắm đợc mức độ, giới hạn nộidung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh

-Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phần

đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chơng trình đại số THCS

-Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thứcthành nhân tử

4.phạm vi và đối t ợng nghiên cứu

-Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đathức một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích đathức (một ẩn) thành nhân tử ở chơng trình đại số lớp 8 và ứng dụng của việcphân tích đa thức thành nhân tử vào giải các phơng trình bậc cao cho họcsinh THCS trong việc mở rộng kiến thức

5.Ph ơng pháp nghiên cứu:

-Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết-Phơng pháp thử nghiệm s phạm-Phơng pháp điều tra thực tiễn.

Phần hai: Nội dung

ChơngI - Các nội dung lý thuyết cơ sở

1.Nhắc lại các cấu trúc đại số:

1.1 Định nghĩa phép toán hai ngôi:

-Giả sử A là một tập không rỗng Một ánh xạ f: A->A đợc gọi là phép toán

-Một phép toán hai ngôi đợc gọi là có tính chất kết hợp nếu:

f ( f (x, y), z) = f(x, f(y, z)) với ∀x, y, z ∈ A

-Một phép toán hai ngôi đợc gọi là có tính chất giao hoán nếu:

f (x, y) = f (x, y)) với ∀x, y ∈ A

1.2.Định nghĩa nửa nhóm, nửa nhóm giao hoán, vị hoán.

-Một tập hợp A cùng với một phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp đợcgọi là một nửa nhóm

-Một nửa nhóm đợc gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán có tính chấtgiao hoán

-Một nửa nhóm nhân A đợc gọi là một vị nhóm nhân nếu có một phần tử

e sao cho xe = x =ex, với ∀x∈A (e đợc gọi là phần tử đơn vị)

-Một nửa nhóm cộng A đợc gọi là một vị nhóm cộng nếu có một phần tử

0∈A sao cho x+0 = x = 0 + x, với ∀x∈A (0 đợc gọi là phần tử không)

1.3.Định nghĩa nhóm, nhóm giao hoán, nhóm con:

-Một vị nhóm A đợc gọi là một nhóm nếu với phần tử a∈A đều tồn tạimột phần tử a’∈A sao cho aa’= e =a’a

a’ đợc gọi là phần tử đối của a và đợc ký hiệu bởi –a

-Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là mộtnhóm giao hoán hay nhóm aben

-Một tập hợp con của B của nhóm A đợc gọi là một nhóm con của nhóm

A và B cũng là nhóm đối với phép toán trong A

1.4 Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con.

-Tập hợp A đợc gọi là một vành nếu trên A có phép toán cộng và phépnhân sao cho:

+A với phép cộng là một nhóm giao hoá

+A với phép nhân là một vị nhóm

+Phép nhân phân phối đối với phép cộng

-Vành A đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân giao hoán

-Một tập con B của vành A đợc gọi là một vành con của A nếu B là mộtvành đối với phép toán trong A

1.5.Định nghĩa trờng, trờng con:

-Một trờng là một vành giao hoán có đơn vị khác 0 và mọi phần tử kháckhông đều có nghịch đảo

-Một tập con B có ít nhất là hai phần tử của trờng A đợc gọi là một trờngcon của A nếu B cũng là một trờng đối với các phép toán trong A

2.Nhắc lại về đa thức:

2.1.Định nghĩa vành đa thức một ẩn:

-Giả sử A là một vành của E giao hoán có đơn vị u ∈ E Phần tử a0+a1u2+

…+anun+…(1) trong đó ai ∈ A, với mọi i = (0, 1, …, n, …)và chỉ có một số hữu

hạn a1 ≠0 đợc gọi là một đa thức của phần tử u trên vành A.

Tập hợp các đa thức của u trên vành A đợc ký hiệu là A[ ]u

-Khi coi u là một phần tử tuỳ ý thì ta gọi u là một ẩn , mỗi đa thức của u

đợc ký hiệu là f(u), g(u)… đợc gọi là đa thức của ẩn u.

-Nếu tồn tạo một đa thức dạng (1) với các ai không đồng thời bằng 0 mà

a0+aiu+a2u2…+anun = 0 ∈E thì ta nói u là một phần tử đại số trên A.

Trái lại ta nói u là một phần tử siêu việt trên A

-Định nghĩa giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn:

Giả sử f(x) = a0 + a1x +a2x2 + …+anxn ∈ K [ ]x và α ∈k Nếu trong đa thức

f(x) ta thay x= α thì f(α ) = a0 + a1α+a2α 2 + …+an α n ∈ K.

f(α )đợc gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x = α

2.2.Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết, phép chia có d) và hệ quả:

*Hệ quả:

Giả sử K là một trờng, f(x) ∈ K[ ]x và α ∈ K Khi đó f(α ) là d trong phép

chia f(x) cho x-α.

2.3.Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn.

Giả sử A là một vành Phần tử α ∈A đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) ∈

A[ ]x nếu f(α ) = 0

2.4 Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:

Giả sử K là một trờng Phần tử α ∈K là nghiệm của đa thức f(x)∈K[ ]x

khi và chỉ khi f(x) chia hết cho nhị thức x-α .

3.Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử:

3.1.Định nghĩa đa thức bất khả quy:

Đa thức f(x) ≠0 và khác ớc của 1 đợc gọi là đa thức bất khả quy nếu từ

đẳng thức f(x) =g(x) h x h(x) là ớc của đơn vị

3.2.Tiêu chuẩn Aidenxtainơ về đa thức bất khả quy:

Giả sử f(x) = a0 + a1x +a2x2 + …+anxn , với các ai ∈ Z.

Nếu có một số nguyên tố phờng thoả mãn các điều kiện sau:

i) p không phải là ớc của an

ii) p là ớc của a1 với i = 0, 1, 2, …,n-1

iii) p2 không phải là ớc của a0

thì f (x) là đa thức bất khả quy trong Q[ ]x

3.3.Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy:

3.3.1 Giả sử R là trờng số thực Trong R[ ]x mọi đa thức bậc nhất ax+b vàmọi đa thức bậc hai ax2 + bx+c với biệt thức ∆ =b2 − 4ac< 0 đều là đa thứcbất khả quy

Ngợc lại mọi đa thức bất khả quy trong R[ ]x đều là đa thức bậc nhất hoặc

là đa thức bậc hai ax2 + bx+c với biệt thức ∆< 0

3.3.2 Giả sử K là một trờng Trong vành K [ ]x , nếu đa thức bất khả quyp(x) là ớc của tích f(x).g(x) thì p(x) là ớc của f(x) hoặc của g(x)

3.3.3.Giả sử K là một trờng.Trong vành K [ ]x , nếu tích f(x).g(x) chia hếtcho h(x) đa thức bất khả quy p(x) và h(x)

3.3.4.Giả sử K là một trờng Trong vành K [ ]x , nếu tích f(x).g(x) chia hếtcho h(x) đa thức bất khả quy p(x) và h(x), g(x)=1 thì f(x) chia hết cho h(x)

3.3.5 Giả sử K là một trờng Trong vành K [ ]x , nếu f(x) chia hết cho hai

đa thức nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho tích của chúng

3.4 Định lý về sự phân tích một đa thức (có bậc n≥ 1) thành tích các

đa thức bất khả quy.

Giả sử K là một trờng Mỗi đa thức f(x)∈ K [ ]x có bậc lớn hơn 1 đều cóthể phân tích đợc thành tích của các đa thức bất khả quy

ChơngII - Vận dụng các nội dung lý thuyết thuyết cơ

sở trên vào giảng dạy chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

1.Tìm hiểu giới hạn của nội dung, ch ơng trình sách giáo khoa:

Trong chơng trình đại số lớp 7, ở chơng IV, học sinh đã đợc học kháiniệm đa thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của

ẩn, định nghĩa nghiệm của một đa thức và bớc đầu học sinh đã biết cách tìmnghiệm của một đa thức đơn giản (bậc nhất, bậc hai)

ở chơng I của sách giáo khoa môn đại số lớp 8, học sinh đã đợc học vềcác phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức (phépchia hết và phép chia có d) nhng học sinh mới chỉ biết cách phân tích thànhnhân tử các đa thức tơng đối đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông

thờng, cha có sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức vớiviệc tìm nghiệm của đa thức … nên học sinh cha có sự hiểu biết một cáchtoàn diện và có hệ thống về đa thức.

Trong chơng cuối của chơng trình Đại số lớp 8, học sinh sẽ đợc học vềphơng trình và cách giải phơng trình, trong đó có cách giải một số phơngtrình bậc cao bằng cách đa về phơng trình tích Để có thể đa các phơng trìnhbậc cao về dạng phơng trình để giải, học sinh cần thành thạo kỹ năng phântích đa thức thành nhân tử và việc phân tích đa thức thành nhân tử lúc này cóthể thực hiện với đa thức phức tạp hơn rất nhiều so với các dạng đa thức màhọc sinh đã đợc làm quen trớc đó Trong một số trờng hợp, các đa thức cầnphân tích thành nhân tử có bậc cao, lại không có nghiệm hữu tỉ, đo đó việc

áp dụng phơng pháp cơ bản để phân tích là rất khó khăn hoặc không thể thựchiện đợc, đôi khi có thể gặp những đa thức không có nghiệm (thực) nênkhông phân tích đợc thành nhân tử

2.Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử:

2.1.Các khải niệm cơ bản:

2.1.1.Đa thức:

Đa thức là một biểu thức đại số trong đó phép tính thực hiện đối với cácbiến chỉ là phép cộng, trừ, nhân, và luỹ thừa (Đa thức là một biểu thứcnguyên)

Xét đa thức f(x), nếu thay x =a là một giá trị số cụ thể ta sẽ tính đợc mộtgiá trị cụ thể của f(x) = f(a) gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x =a.

Ví dụ:

Xét biểu thức: f(x) = x3 - 4x2 +2x +4

Nếu thay x =1 vào đa thức ta sẽ có f(x) =13 – 4.12+2.1+4 = 3 là giá trịcủa đa thức f(x) tại x=1

2.1.3 Nghiệm của một đa thức:

Nghiệm của 1 đa thức là giá trị của ẩn thuộc tập xác định mà tại đó đathức nhận giá trị bằng 0

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đa thức đó dới dạng một tích củacác đa thức có bậc nhỏ hơn.

2.3 Liên hệ giữa tính chất chia hết của đa thức với việc viết đa thức

d ới dạng tích của hai hay nhiều đa thức.

2.3.1 Định nghĩa về phép chia hết và phép chia có d của một đa thức cho một đa thức.

Với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) ≠0, tồn tại duy nhất hai đa thức

q(x) và r(x) sao cho:

f(x) = g(x).q(x) + r(x); r(x) = 0 hoặc r(x)< bậc g(x)

q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d trong phép chia đa thức f(x) cho đathức g(x)

• Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x)g(x)

• Nếu r(x) ≠0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) còn d

2.3.2 Liên hệ giữa tính chất chia hết của đa thức với việc viết đa thức dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức Định lý Bơdu (Bezout) về nghiệm của một đa thức.

Nếu đa thức f(x) có thể phân tích thành nhân tử có nghĩa là có thể viết dớidạng f(x) = g(x) h(x) thì ta cũng có thể nói f(x) chia hết cho đa thức g(x)

hoặc đa thức h(x) và khi có nghiệm của g(x) hoặc h(x) cũng chính là nghiệmcủa f(x).

Định lý Bơdu (Bezout): D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a

đúng bằng f(a) (là giá trị của đa thức f(x) tại x = a )

Từ định lý Bơdu, ta có thể suy ra một số mệnh đề về sự liên hệ giữa tínhchất chia hết và nghiệm của đa thức sau:

1/Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a khi và chỉ khi f(x) = 0 hay achính là một nghiệm của đa thức f(x) (Dựa vào định nghĩa nghiệm của một

đa thức)

Nh trên ta đã nêu, nếu f(x) chia hết cho nhị thức x – a thì f(x) có thểphân tích thành tích của hai đa thức trong đó có một đa thức x – a Vậy nếu

đa thức f(x) có một nghiệm là a thì nó có thể phân tích thành tích có dạng:(x- a) h (x)

Ta có thể biểu thị mối liên quan giữa tính chất chia hết, nghiệm của đathức và khả năng phân tích thành nhân tử của một đa thức nh sau:

2/Nếu một đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức,

do đó đa thức chia hết cho x-1

Ví dụ:

f(x) phân tích thành tích (x-a).h(x) f(x) chia hết cho x-a

f(x) có một nghiệm là a

Đa thức f(x) = 2x2 – 3x +1 có tổng các hệ số bằng 0 nên nó có mộtnghiệm là 1 Khi phân tích thành nhân tử, đa thức này có thể viết đợc thànhtích: (x-1) q(x), tức là có chứa thừa số x - 1.

3/Nếu một đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các

hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức này chiahết cho nhị thức x+1

Ví dụ:

Đa thức g(x) = x3 – x2 + 2x +4 có tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằngtổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng 3 nên đa thức này có một nghiệm

là -1, khi phân tích thành nhân tử đa thức g(x) có thể viết dới dạng tích(x+1) (x), tức là có chứa thừa số (x+1)

4/Xét đa thức f(x) = an xn + an-1 xn-1 + a1 x +a0

Nếu f(x) có nghiệm nguyên a thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hệ số

tự do a0 Vì vậy ta có thể nhẩm để tìm nghiệm của f(x) một cách nhanhchóng bằng cách xét các ớc của a0 Để nhanh chóng loại trừ các ớc tự do củaa0 không phải là nghiệm của f(x) ta có thể dùng nhận xét:

• Nếu là là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) đều khác 0thì

1

) 1 (

+

−

a f

• Đa thức f(x) với các hệ số nguyên an … a0 nếu không có nghiệmnguyên mà có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm hữu tỉ đó phải có dạng

q p

với p là ớc của hệ số tự do a0, còn q là ớc dơng của số hạng bậc caonhất an

á

p dụng:

Khi thực hiện việc phân tích đa thức thành nhân tử, trong trờng hợp đathức cần phân tích là đa thức có bậc cao, phức tạp, khó phân tích, ta có thểvận dụng các mệnh đề lý thuyết trên để làm đơn giản bớt bằng cách nhẩmnghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng phơng pháp tách cáchạng tử của đa thức một cách thích hợp để phân tích đa thức đó thành nhân

Ví dụ:

Với đa thức g(x) = x3 –x2 +2x + 4, ta đã biết nếu phân tích thành nhân tử

nó sẽ chứa nhân tử x+1 do đó ta có thể thực hiện phép chia đa thức g(x) chonhị thức x+1 và tìm đợc đa thức k(x) = x2 – 2x + 4 Khi đó:

g(x) = (x+1) (x2 – 2x +4) Đến đây không thể phân tích tiếp đa thứck(x) thành nhân tử đợc vì x2 – 2x + 4 đa thức này là một đa thức bậc hai nh-

ng không có nghiệm nên không thể tách thành tích của hai đa thức bậc nhất

3.Một số bài tập vận dụng:

3.1 Các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳngthức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức ấythành đa thức có nhiều hạng tử hơn.

Chó ý: NhÈm nghiÖm thÊy -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc

=>®a thøc cã thÓ viÕt thµnh mét tÝch cã chøa nhÞ thøc x+1

=>®a thøc cã thÓ viÕt thµnh mét tÝch cã chøa nhÞ thøc x+2

Sö dông ph¬ng ph¸p t¸ch, ta cã c¸c c¸ch t¸ch ®a thøc nh sau:

C¸ch 5: x3 – 7x – 6 = x3 -4x – 3x – 6

Kh«ng lµm phÐp chia ®a thøc h·y xem xÐt ®a thøc:

f(x) = x3 – 9x2 +6x +16 cã hay kh«ng chia hÕt cho: