Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú

I. TÓM TẮT Trong việc dạy học đại số lớp 8 theo phương pháp dạy học tích cực hiện nay, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là việc rất cần thiết không thể thiếu được cho mỗi bài học, tiết học và xuyên suốt toàn bộ chương trình dạy và học ở các cấp học đặc biệt là cấp Trung học cơ sở. Việc rèn luyện kỹ năng giải toán giúp học sinh chủ động nắm bắt kiến thức, hiểu bài sâu hơn, phát huy được khả năng bản thân, sự sáng tạo và hình thành phương pháp học tập tốt hơn. Vì vậy, việc rèn luyện những kĩ năng giải toán đại số lớp 8 là rất cần thiết cho việc học tập đồng thời cũng chuẩn bị kĩ năng cho việc tiếp thu kiến thức ở các lớp trên. Có rất nhiều kĩ năng cơ bản cần phải luyện cho học sinh trong quá trình dạy môn đại số lớp 8 và một trong những kỹ năng quan trọng đó là “Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú”. Đây là kĩ năng rất cơ bản, cần thiết khi học môn đại số lớp 8, nó giúp học sinh có thể dựa vào các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích và giải quyết nhiều dạng toán khác nhau trong xuyên suốt chương trình đại số lớp 8. Trong thực tế, đa số học sinh chưa thành thạo kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải toán, phần lớn học sinh lúng túng trong cách nhận dạng, áp dụng. Với kinh nghiệm ít ỏi của bản thân tích luỹ được trong quá trình giảng dạy, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú” Trong nghiên cứu này, tôi xin đ¬ưa ra một số giải pháp giải quyết vấn đề cụ thể mà bản thân đã áp dụng thành công trong việc giảng dạy những năm học vừa qua, và được kiểm nghiệm rõ hơn trong năm học 2016 2017.

Trang 1

I TÓM TẮT

Trong việc dạy học đại số lớp 8 theo phương pháp dạy học tích cực hiệnnay, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là việc rất cần thiết không thểthiếu được cho mỗi bài học, tiết học và xuyên suốt toàn bộ chương trình dạy vàhọc ở các cấp học đặc biệt là cấp Trung học cơ sở Việc rèn luyện kỹ năng giảitoán giúp học sinh chủ động nắm bắt kiến thức, hiểu bài sâu hơn, phát huy đượckhả năng bản thân, sự sáng tạo và hình thành phương pháp học tập tốt hơn Vìvậy, việc rèn luyện những kĩ năng giải toán đại số lớp 8 là rất cần thiết cho việchọc tập đồng thời cũng chuẩn bị kĩ năng cho việc tiếp thu kiến thức ở các lớptrên

Có rất nhiều kĩ năng cơ bản cần phải luyện cho học sinh trong quá trình

dạy môn đại số lớp 8 và một trong những kỹ năng quan trọng đó là “Rèn luyện

kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các

bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú” Đây là kĩ năng rất cơ bản, cần

thiết khi học môn đại số lớp 8, nó giúp học sinh có thể dựa vào các phương phápphân tích đa thức thành nhân tử để phân tích và giải quyết nhiều dạng toán khácnhau trong xuyên suốt chương trình đại số lớp 8

Trong thực tế, đa số học sinh chưa thành thạo kĩ năng vận dụng cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải toán, phần lớn họcsinh lúng túng trong cách nhận dạng, áp dụng Với kinh nghiệm ít ỏi của bảnthân tích luỹ được trong quá trình giảng dạy, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

“Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tửvào giải các bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú”

Trong nghiên cứu này, tôi xin đưa ra một số giải pháp giải quyết vấn đề

cụ thể mà bản thân đã áp dụng thành công trong việc giảng dạy những năm họcvừa qua, và được kiểm nghiệm rõ hơn trong năm học 2016 - 2017

II GIỚI THIỆU

1 Hiện trạng

Môn toán là môn học tư duy, là cửa ngõ cho mọi môn khoa học khác, nócung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức quan trọng nhưng không phải ai cũngbiết được điều đó

Qua việc dạy học trên lớp và dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy các emnhớ và vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải cáctoán đại số lớp 8 còn chưa linh hoạt, mắc rất nhiều sai sót

Nguyên nhân cụ thể:

- Học sinh lười học lý thuyết toán, bài tập thực hiện còn mang tính chất đối phó

- Học sinh chưa vận dụng được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử vào bài toán cụ thể một cách linh hoạt

- Quá trình tự học, tự đọc sách soạn bài của các em còn hạn chế

Trang 2

- Giáo viên giảng dạy trên lớp theo trình tự bài học, chưa mở rộng và ít rènluyện kỹ năng cho học sinh, việc quan tâm đến học sinh yếu kém chưa sát xao.

Kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử củahọc sinh là rất quan trọng, việc rèn luyện kỹ năng này là rất cần thiết trong quátrình học tập môn đại số sau này Trong quá trình dạy học tôi tăng cường rènluyện kỹ năng nhớ, vận dụng được các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử vào các bài toán đại số lớp 8

2 Giải pháp thay thế

Xuất phát từ việc học sinh hay phàn nàn toán đại số 8 là khó nhớ, việc giải toán là rất khó khăn, gây ra cho các em sự nhàm chán môn học Từ đó tôi dùng giải pháp thay thế cho cách giảng dạy thông thường như sau:

+ Giải pháp thay thế thứ nhất: Hệ thống hóa các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử qua từng bài dạy, đưa vào một số các kỹ năng vận dụng các

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán đại số lớp 8 (có phụ lục 1 kèm theo)

+ Giải pháp thay thề thứ hai: Tôi dùng dữ liệu điện tử và thiết kế bài toán có thảo luận nhóm nhỏ để nâng cao hiệu quả, kỹ năng cho các em học sinh

Trong các bài học tôi cho học sinh đọc sách và hướng dẫn cụ thể mạch kiến thức ở phần hướng dẫn về nhà, sau khi lên lớp các em sẽ được hướng dẫn chi tiết theo nhóm nhỏ và các em thảo luận tìm ra rội dung bài học mới Điều này giúp các em hiểu bài và nhận biết vì sao sai, học sinh yếu không tự ti mà mạnh dạng đưa ra ý kiến để các bạn cùng tháo gỡ, nên các em cùng tiến bộ rất nhanh

+ Giải pháp thay thế thứ ba: Quan tâm đến mọi đối tượng học sinh nhất là học sinh còn yếu toán nhằm động viên và khích lệ việc học tập các em

Việc học yếu toán là vấn đề nan giải, các em học chậm nhưng được quan tâm các em đã cố gắng vươn lên, việc được động viên và quan tâm của giáo viên

và học sinh là điều khchsleej cho học sinh yếu học tập và tiến bộ rõ nhất là trong thaisddooj học tập bộ môn toán đại số 8

3 Vấn đề nghiên cứu

Làm thế nào để học sinh có kĩ năng nhận dạng và vận dụng linh hoạt các

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải bài tập đại sốtoán 8?

4 Giả thuyết nghiên cứu

Ứng dụng công nghệ thông tin, sử dụng tư liệu điện tử, dạy học đại số 8theo hướng tích hợp, dạy học theo nhóm nhỏ và quan tâm đến học sinh yếu kém, bổ sung phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để nâng cao kỹ năng vậndụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toánđại số lớp 8

Trang 3

2 Thiết kế nghiên cứu

Trong quá trình dạy và kiểm tra đánh giá tôi sử dụng thang đo thái độgiữa lớp thực nghiệm (lớp 8/5) và lớp đối chứng (lớp 8/4) trong năm học 2016 -

2017 để kiểm chứng tính tích cực học tập của học sinh qua việc học tập môn Đại

số lớp 8 bằng phiếu điều tra, đây là điều tra trước tác động để minh chứng thái

độ học tập của 2 lớp là tương đương không có sự chênh lệch đáng kể

PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ 1: (Đánh dấu x vào 1 trong 5 ý kiến)

Lớp thực nghiệm trước tác động (8/5- Tổng số học sinh 34)

STT

Nội dung

Đồngý

Rấtđồngý

Bìnhthường

Khôngđồng ý

Rấtkhôngđồng ý

1 Kiến thức đại số 8 quá khó tiếp thu. 12 3 11 8 0

2 Tôi không thích học tiết đại số 8 8 3 9 10 4

3 Tôi thường xuyên đọc sách giáo khoa đại số 8 trước khi đến lớp. 9 5 9 6 5

4 Tôi ưu tiên học môn toán 8 trước các môn học khác. 7 4 12 8 3

5

Tôi thường phát biểu xây dựng

bài trong tiết đại số 8 và hoàn

thành tốt bài tập về nhà

Trang 4

Lớp đối chứng (8/4 - tổng số học sinh 32)

STT

Nội dung

Đồngý

Rấtđồngý

Bìnhthường

Khôngđồng ý

5

Qua phiếu điều tra tôi nhận thấy:

- Trước tác động: thái độ học tập của hai lớp tương đương nhau

Để tiến hành công tác nghiên cứu trình độ hai lớp phải tương đương nhau.Tôi đã dùng bài kiểm tra trước tác động đối với 2 lớp (Phần phụ lục 3) Dùngcông thức average(), mode(); median() và dùng phép kiểm chứng Ttest kiểmchứng sự chênh lệch điểm số trước khi tác động, kiểm chứng để xác định cácnhóm tương đương

Qua bài kiểm tra trước tác động (đề phần phụ lục) cho thấy điểm trungbình của hai lớp có sự khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T – Test đểkiểm chứng sự chênh lệch điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động.Kết quả:

Bảng 2: Ki m ch ng ểm chứng để xác định các nhóm tương đương ứng để xác định các nhóm tương đương đểm chứng để xác định các nhóm tương đương xác định các nhóm tương đươngnh các nhóm tương đươngng đương đươngng

Trang 5

P = 0.749636187 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hainhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi

là tương đương

Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm

tương đương

Bảng 3: Kiểm ch ng ứng để xác định các nhóm tương đương đểm chứng để xác định các nhóm tương đương xác định các nhóm tương đươngnh các nhóm tương đươngng đương đươngng

Nhóm Kiểm tra trước tác

O3

Ở thiết kế này tôi đã sử dụng phép kiểm chứng T – Test độc lập

3 Quy trình nghiên cứu

* Chuẩn bị bài của giáo viên

Để tiến hành kiểm chứng tính hiệu qủa của bài giảng trong dạy học luyệntập môn toán 8, tôi đã tiến hành giảng dạy ở một số nội dung bài dạy với cùngmột nội dung như nhau nhưng giảng dạy bằng hai phương pháp khác nhau:

- Ở lớp đối chứng tôi thiết kế bài dạy, quá trình dạy học chuẩn bị như bìnhthường

- Ở lớp thực nghiệm tôi thiết kế bài luyện tập sử dụng tư liệu điện tử, có

sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và tác động phương pháp rèn kỹ năng vậndụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (phụ lục 1) Sử dụngxuyên suốt phương pháp thảo luận nhóm nhỏ để học sinh tự tìm hiểu rút ra kiếnthức cho bản thân, quan tâm đến các đối tượng học sinh nhất là học sinh yếukém

* Tiến hành thực nghiệm

Thời gian tiến hành thực nghiệm trên một số tiết dạy theo kế hoạch dạyhọc nhà trường, kế hoạch dạy học bộ môn, theo phân phối chương trình và thờikhoá biểu để đảm bảo tính khách quan

Trang 6

Bảng 4: Th c nghi m trên môn ực nghiệm trên môn Đại số 8 ệm trên môn Đại số 8 Đại số 8 ố 8.i s 8.

9 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

10 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

11 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

nghiệm Trong suốt quá trình nghiên cứu học sinh học tập có hứng thú hơn đối với bộ môn đại số 8

4 Đo lường và thu thập dữ liệu

* Tiến hành kiểm tra sau tác động để đo lường, minh chứng (phần phụ lục 3)Sau khi dạy xong các bài dạy trên, tôi đã tiến hành kiểm tra thu bài và tiến hànhcông tác chấm bài

Trang 7

* Tiến hành làm phiếu điều tra sau tác động để minh chứng thái độ học tập của 2lớp.

PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ 1: (Đánh dấu x vào 1 trong 5 ý kiến)

Lớp thực nghiệm sau tác động (8/5- Tổng số học sinh 34)

ST

Đồngý

Rấtđồngý

Bìnhthường

Khôngđồng ý

5

Rấtđồngý

Bìnhthường

Khôngđồng ý

5

Trang 8

Qua phiếu điều tra tôi nhận thấy:

- Sau tác động: thái độ học tập của lớp 8/5 có tiến bộ hơn so với lớp 8/4

IV PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ

Chênh lệch giá trị TB chuẩn (SMD) 0.804712189

Sau tác động kiểm chứng chênh lệch giữa ĐTB bằng T – Test, so sánhchênh lệch giá trị TB chuẩn 0,8  SMD = 0.804712189  1 cho thấy ảnh hưởnglớn Quả trình thực nghiệm tác động có kết quả tốt Xem thử độ chênh lệch kếtquả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn ĐTB nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên

mà do kết quả của tác động

Theo kết quả ta thấy giá trị p = 0.003125762 < 0,05 điều này chứng tỏ dữ liệu

mà ta thu thập được là có giá trị, có ý nghĩa Hay nói một cách khác là kết quả

dữ liệu (số liệu) thu thập được không bị tác động của ngẫu nhiên và nó có giá trịđối với nội dung, giả thiết ta đang nghiên cứu Nghĩa là nó có tính khách quan,

dữ liệu mô tả chính xác nội hàm của đối tượng ta khảo sát

So sánh độ chênh lệch giá trị trung bình chuẩn Điều đó cho thấy mức độảnh hưởng của việc sử dụng phương pháp tác động trong bài luyện tập có tácđộng đến kết quả học tập của nhóm

2 Bàn luận

Điểm trung bình của nhóm thực nghiệm cao hơn so với nhóm đối chứng.Phân tích độ chênh lệch điểm số của hai nhóm cho thấy kết quả nhóm thựcnghiêm cao hơn Xem xét điểm trung bình của hai lớp đối chứng và thực nghiệm

có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm trung bình cao hơn lớp đốichứng Phân tích độ chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của bài kiểm tra

0,8  SMD = 0.804712189  1 Kết luận về mức độ ảnh hưởng của tác động rấtlớn Dùng phép kiểm chứng T – Test điểm trung bình bài kiểm tra sau tác độngcủa hai lớp p = 0.003125762 < 0.05 kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm

Trang 9

trung bình của hai nhóm không phải là ngẫu nhiên mà do tác động mà có, chokết quả nghiêng về nhóm thực nghiệm.

* Hạn chế:

Với việc sử dụng tư liệu điện tử trong dạy học ở các tiết đại số lớp 8 là rất hiệu quả, nhưng để sử dụng được đòi hỏi người dạy phải biết sử dụng công nghệthông tin, biết thiết kế bài giảng sao cho sinh động, hấp dẫn, phát huy được trí lực, tính tự giác, tích cực của học sinh

Việc sử dụng phương pháp thảo luận nhóm nhỏ cần sự hợp tác giữa các thành viên nhóm và cần cơ sở vật chất trường phù hợp chuẩn đào tạo

V KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1 Kết luận

- Học sinh lớp 8 có được kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức

thành nhân tử trong giải các bài toán đại số 8

- Tạo được hứng thú học tập môn toán đại số 8.

2 Khuyến nghị

Giáo viên cần quan tâm và thực sự để tâm vào mỗi bài dạy và trong cácbài tập đại số 8, cần phải thực hiện tốt các bước hướng dẫn, người học sinh phảithực hiện tích cực chủ động theo các bước của người thầy thì chắc chắn bài tập

sẽ đạt kết quả cao

Hiệu trưởng Vạn Bình, ngày 05 tháng 3 năm 2017

Người viết

Hồ Quốc Vương

Trang 10

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 – Sách giáo khoa toán 8 – nhà xuất bản giáo dục

2 – Chuyên đề đại số 8 nâng cao và phát triển – Vũ Hữu Bình – nhà xuất bảngiáo dục

3 – Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm đại số 8 – TS Nguyễn Văn Lộc – nhàxuất bản giáo dục

4 - Ôn Luyện Theo Chuẩn Kiến Thức Kĩ Năng Toán 8 - Nguyễn Đức

Tấn, Nguyễn Anh Hoàng – nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

Trang 11

VII PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1 KĨ NĂNG CẦN RẩN LUYỆN

A Phân tích đa thức thành nhân tử

I Một số khái niệm cơ bản:

1 Đa thức: ẹa thửực laứ moọt toồng cuỷa nhửừng ủụn thửực Moói ủụn thửực trong

toồng goùi laứ moọt haùng tửỷ cuỷa ủa thửực ủoự

Ví dụ :

Biểu thức: f(x) = 5x3- x2 + 3x + 7 là một đa thức của biến (ẩn) x

Biểu thức: g(y) = 7y2+ 3y - 6 là một đa thức của biến (ẩn) y

Biểu thức: h(x,y) = 5x3y - 3x2y2- 2y3 + 7 là một đa thức của hai biến (ẩn) x

II Cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử:

Để phân tích một đa thức thành nhân tử có rất nhiều phơng pháp khácnhau, nhng chúng ta thờng sử dụng một số phơng pháp thông dụng nh sau:

- Đặt nhân tử chung

- Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

- Nhóm các hạng tử

- Phối hợp nhiều phơng pháp

- Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử

- Đổi biến số (hay đặt ẩn phụ)

- Thêm bớt cùng một hạng tử

Trừ một số trờng hợp các bài toán đơn giản, còn đối với nhiều bài toánnhất là những bài toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp các phơngpháp trên một cách linh hoạt để giải

1 Ph ơng pháp đặt nhân tử chung :

a) Phơng pháp:

+ Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức.

+ Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và một nhân tửkhác

+ Đa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc Các hạng tử trong dấu ngoặc là thơngcủa phép chia các hạng tử của đa thức cho nhân tử chung

b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) A = 5x2y – 10xy2

2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)

Trang 12

3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z).Giải :

1) A = 5x2y – 10xy2

Ta thấy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có

A = 5x2y – 10xy2 = 5xy.x – 5xy.2y = 5xy(x - 2y)

2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)

Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z)chung: B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) = 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z)

= (3y – 7z)( 2x – 6y) = (3y – 7z).2(x – 3y) = 2(3y – 7z)(x – 3y).3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z)

Đổi dấu – (4yx2 + yz2)(z – y2) = (4yx2 + yz2)( y2 – z), ta có thừa số (y2 – z) chung:

C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z) = (y2 – z)(2x2y – yz) + (4yx2 + yz2)( y2 – z) + 6x2z(y2 – z) = (y2 – z)[( 2x2y – yz ) + (4yx2 + yz2) + 6x2z]

= (y2 – z)[ 2x2y + 4yx2 + 6x2z] = (y2 – z)[ 2xy2 + 4yx2 + 6x2z] = (y2 – z)[ 2x2(y + 2y + 3z)] = (y2 – z)[ 2x2(3y + 3z)]

b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích các đa thức đóthành nhân tử

Trang 13

L u ý: Thờng thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau

3) 9 – x2 + 2xy – y2 = 9 – (x2 – 2xy + y2 ) = 32 – (x – y2)

=(3 + x – y)( 3 – x + y)

Nhận xét : Trong cách giải trên, ta đã nhóm 3 hạng tử cuối của đa thức và đa

vào trong dấu ngoặc đằng trớc có dấu “ – ” để phân tích đa thức bằng phơngpháp dùng hằng đẳng thức

4 Ph ơng pháp phối hợp các ph ơng pháp :

Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp,

ta nên chú ý chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên nh sau :

Trang 14

B ớc 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hay

không?

 Có nhân tử chung: áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung Sau đó

ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với bớc 1 và tiếptục thực hiện đến kết quả cuối cùng

 Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bớc 2

B ớc 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng phơng

pháp hằng đẳng thức Nếu không thì chuyển qua bớc 3

Cách giải tơng tự câu a):

2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2) = 2(a – 3b)2

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích: x2 – 6x + 8

Nhận xét:

Trang 15

Đa thức trên không chứa thừa số chung Không có dạng một hằng đẳngthức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng Ta biến đổi đa thức này thành

đa thức có nhiều số hạng hơn sau đó nhóm các hạng tử lại với nhau một cáchphù hợp:

Cách 5 : x2 – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 – 2x + 4 = (x – 2)2 – 2( x – 2)

= (x – 2)( x – 2 – 2) = ( x – 2)(x – 4)

Mặc dù có nhiều cách tách nhng thông dụng nhất là cách sau:

* Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp

Trang 16

+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng (cách 2)

Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ngời

ta thờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức

6 Phơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ):

Trong một số bài toán, ta nên đa một biến phụ vào để việc giải bài toán

đ-ợc gọn gàng, tránh nhầm lẫn Đặt ẩn phụ để đa về dạng tam thức bậc hai rồi sửdụng các phơng pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích

Trang 17

g(x) = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

Kết quả: g(x) = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = bthì ay2 + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a)(*).Nếu a = 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n) Trong trờng hợp này a, b, cnguyên thì trớc hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m

và n nhỏ hơn b Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b

 Đa thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c

Cách giải: đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*)

Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử

Giải: Đặt y = x2 , ta có: Q(y)= 6y2 + 19y + 15

Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19

Trang 18

Tổng quát: Nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) rồi biến đổi nh trên.

 Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)

với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2

Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x2 thànhnhân tử

Giải: Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2

Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi(x) về dạng chứa hạng tử

y2+ bxy rồi sử dụng HĐT (*)

Ta có: Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2

= y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x)

Do đó: P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2)

Trang 19

* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cáchtrên.

b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) a3 + b3 + c3 – 3abc 2) x5 – 1 3) 4x4 + 81 4) x8 + x4 + 1

Giải: Các hạng tử của các đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có một dạng hằng đẳng thức nào, cũng không thể nhóm các số hạng Vì vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng các phơng pháp phân tích đã biết

1) a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp

a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)

= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)2) x5 – 1

3) 4x4 + 81

Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạng hằng

đẳng thức:

4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2

Trang 20

= ( 2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)

4) x8 + x4 + 1

Ta sẽ thêm và bớt x4 sau đó nhóm các hạng tử sử dụng các hằng đẳng thức đểphân tích tiếp:

B ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử

I Các bài toán liên quan

1 Bài toán giải phơng trình:

a) Phơng pháp giải: Đối với các phơng trình bậc cao từ bậc hai trở lên

việc áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là rất quan trọng.Vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng trình tích A.B = 0 khi và chỉkhi A = 0 hoặc B = 0

Khi đó các đa thức A và B có số mũ nhỏ hơn nên sẽ giúp các em giải các phơngtrình đợc sẽ dễ dàng hơn

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình : x3 + 9x2 + 11x - 21=0 (1) Đây là phơng trình bậc 3 cha đợc học cách giải Cũng từ suy nghĩphân tích VT của phơng trình thành nhân tử đợc thì phơng trình coi nh giảixong

Nhận xét : Phơng trình (1 )thuộc về dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0 có a + b+ c + d = 0

Để phân tích VT thành nhân tử ta làm nh sau : Tách thành hạng tử thứhai trở đi thành hai hạng tử , sao cho hạng tử đầu có hệ số là đối của hạng

tử liền trớc Từ đó ta phân tích đợc đa thức ở VT của phơng trình trên nhsau:

Giải: x3 + 9x2 + 11x – 21 = x3 – x2 + 10x2 – 10x + 21x – 21

= x2(x – 1) + 10x(x – 1) + 21(x – 1)

= (x – 1).(x2 + 10x + 21) = (x – 1)(x + 7)(x + 3) Vậy phơng trình (1) trở thành phơng trình: (x – 1)(x + 7)(x + 3) = 0 Suy ra: hoặc x – 1 = 0 hoặc x + 7 = 0 hoặc x + 3 = 0

Trang 21

2 Bài toán giải bất phơng trình

a) Phơng pháp giải: Để giải các bất phơng trình bậc cao hoặc các bất

ph-ơng trình có chứa ẩn ở mẫu là một việc không dễ chút nào

Đối với các bất phơng trình bậc cao ta nên phân tích vế có chứa ẩn thànhnhân tử để đa bất phơng trình về dạng bất phơng trình tích

Đối với các bất phơng trình có chứa ẩn ở mẫu ta nên phân tích tử và mẫuthành nhân tử để rút gọn biểu thức sau đó giải bất phơng trình sẽ đơn giản hơn (A.B < 0) hoặc (A.B > 0) hay bất phơng trình thờng

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình

x2 + x – 12 > 0 (*)Giải: Ta thấy vế trái của BPT là một đa thức bậc hai, ta sẽ phân tích

Trang 22

x 4

2x

3 Bài toán rút gọn biểu thức.

a) Phơng pháp giải: Dựa trên cơ sở của tính chất cơ bản của phân thức

đại số, chúng ta phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử để xuất hiện nhân tửchung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân

tử nằm ở dới mẫu

Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thànhnhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữacác kiến thức phát triển trí thông minh

(x + y - z)(x - y + z)

Trang 23

Giải: Phân tích tử: x y xy3  3y z yz3  3z x xz3  3= (x - y)(x - z)(y - z)(x + y+ z)

Mẫu: x y xy2  2 y z yz2  2 z x zx2  2 = (x - y)(x – z)(y – z)

4 Bài toán chứng minh về chia hết

a) Phơng pháp giải: Ta sẽ phân tích đa thức đã cho thành một tích trong

đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết cho số cần chứng minh

Trang 24

Ví dụ 2: Chứng minh rằng x  Z ta có biểu thức:

P = ( 4x + 3) 2 – 25 chia hết cho 8Giải:

Mà n(n + 1)(n +2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp Vì vậy ít nhất có một thừa sốchia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích này chia hết cho 6

Kết luận: Trên đây là 4 dạng toán điển hình thờng áp dụng kỹ năng phân

tích đa thức thành nhân tử để giải Ngoài 4 dạng này còn có một số bài tập khác

nh : tính nhẩm, tính giá trị biểu thức, giải hệ phơng trình …cũng vận dụng phơngpháp phân tích đa thức thành nhân tử Với những bài tập vận dụng này đã giúphọc sinh phát triển t duy, óc sáng tạo tìm tới phơng pháp giải toán nhanh hơn,thông minh hơn Qua những bài tập này giúp học sinh biết vận dụng các phơngpháp thích hợp để giải bài tập một cách chính xác và nhanh nhất

Trang 25

PHỤ LỤC 2 Giáo án các tiết dạy trước và sau tác động, bảng điểm trước và sautác động của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm.

a Kiến thức: - Học sinh nêu lên được thế nào là phân tích đa thức thành nhân

tử HS trình bày được PTĐTTNT bằng p2 đặt nhân tử chung

b Kỹ năng: - Tìm được các nhân tử chung và đặt nhân tử chung Biết cách vận dụng phương pháp đặt nhân tử chung vào các dạng toán tìm x, chia hết …

c Thái độ: - Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận Có tinh thần hợp tác trong học toán

d Năng lực: Rèn luyện cho các em năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giaotiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán

II CHUẨN BỊ :

*Giáo viên: Bảng phụ Bài tập in sẵn

* Học sinh: Bài tập về nhà Thuộc các hằng đẳng thức đã học

III TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC:

H1: Hãy viết tính chất phân

phối giữa phép nhân đối với

H2:

1/ 3x.y – 3x.z = 3x.(y – z)

2/ 64.14 + 36.14

= 14.(64 + 36) = 14.100

= 1400

Trang 26

nghiên cứu bài mới đó là:

“Tiết 9 : PHÂN TÍCH ĐA

hiện thảo luận nội dung ví

dụ 1 trên máy chiếu?

- Hs lên bảng trình bày theo

 2x là nhân tử chung

+ Định nghĩa:

- Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành 1 tích của những đa thức.

* Ví dụ 2 PTĐT thành

nhân tử 15x3 - 5x2 + 10x = 5x(3x2- x+ 2)

Trang 27

trong tích không được còn

có nhân tử chung nữa

15x3 - 5x2 + 10x

= 5x(3x2- x + 2)15x3 - 5x2 + 10x

= 5(3x3 - x2 + 2x) còn nhân tử chung là x

- Hs lưu ý

- Gv cho Hs thảo luận ?1

sgk/18 trên máy chiếu

2y)

=5x.x(x-2y)-3.5x(x-= 5x(x- 2y)(x- 3)c) 3(x-y)-5x(y- x)

+ Cho lần lượt từng

2 ÁP DỤNG:

?1 sgk: PTĐT sau thành nhân tử

a) x2 x = x.x – x.1= x(x 1)

-b) 5x2(x-2y) -15x(x-2y)

= 5x.x(x-2y) - 3.5x(x-2y)

= 5x(x- 2y)(x- 3)c)3(x-y)-5x(y- x)

A = -(-A)

Trang 28

- Gọi Hs lên bảng phân tích

=> x = 0 hoặc x - 2 =

0 Vậy x = 0 hoặc x = 2

x – 2 = 0 hoặc x – 3 = 0Vậy x = 2 hoặc x = 3

5x2+ 5x3+ x2y

= x2(2

5+ 5x + y)c) 14x2y- 21xy2+ 28x2y

= 7xy(2x - 3y + 4xy)d) 2

5x(y-1)- 2

5y(y-1)

=2

5(y-1)(x-1)e) 10x(x - y) - 8y(y - x)

= 10x(x - y) + 8y(x -

Bài 39/19 sgk :

a) 3x- 6y = 3(x - 2y)b) 2

5x2+ 5x3+ x2y

= x2(2

5+ 5x + y)c) 14x2y- 21xy2+ 28x2y

= 7xy(2x - 3y + 4xy)d) 2

5x(y-1)- 2

5y(y-1)

=2

5(y-1)(x-1)e) 10x(x - y) - 8y(y - x)

= 10x(x - y) + 8y(x - y)

= 2(x - y)(5x + 4y)

Trang 29

- Gv cho Hs thảo luận nhóm

IV/ Rút kinh nghiệm:

Trang 30

*Giáo viên: Bảng phụ Bài tập in sẵn

* Học sinh: Bài tập về nhà Thuộc các hằng đẳng thức đã học

Trang 31

- HS1: Thực hiện bài toán

a) 3x2y + 6xy2 = 3xy(x +2y)

b) 2x2y(x - y) - 6xy2(y - x) = 2x2y(x - y) + 6xy2(x

- y) = 2xy(x – y)(x+ 3y)

Trang 32

- Gv cho hs thảo luận

= (x - 2)(x + 2)c) 1- 8x3= 13- (2x)3

= (1- 2x)(1 + 2x + x2)

- Gv nhận xét Cách làm

như các ví dụ trên được

gọi là phân tích đa thức

Trang 33

- Gv yêu cầu Hs thảo luận

nhóm ?1 sgk/20

+ Trước khi PTĐTTNT

ta phải xem đa thức đó có

nhân tử chung không?

Nếu không có dạng của

nhân tử chung nào 

Biến đổi đa thức về dạng

a) x3+3x2+3x+1 = (x+1)3b) (x+y)2 - 9x2

= (x+y+3x)(x+y-3x)

?2 sgk/20:

1052-25 = 1052-52

= (105-5)(105+5) = 100.110

đó dưới dạng tích có thừa số là 4

- HĐT số 3

(2n+5)2-25 = (2n+5)2-52

= (2n+5+5)(2n+5-5)

= (2n+10).2n= 4n(n+5)(2n+5)2-254

2) Áp dụng:

Ví dụ: CMR(2n+5)2-254 mọi nZGiải:

(2n+5)2 - 25 = (2n+5)2 - 52

= (2n+5+5)(2n+5-5)

= (2n+10).2n

= 4n.(n+5)4Vậy (2n+5)2-254

Trang 34

- Gv yêu cầu Hs làm bài

43/20b,c,d sgk

* HS làm bài 43/2b,c,d

(theo nhóm)b) 10x-25-x2

= -(x2-2.5x+52) = -(x-5)2= -(x-5)(x-5)c) 8x3-1

8 = (2x)3-(1

2)3 = (2x-1

2)(4x2+x+1

4)d) 1

25x2-64y2= (1

5x)2(8y)2

= -(x-5)2= -(x-5)(x-5)c) 8x3-1

8 = (2x)3-(1

2)3 = (2x-1

2)(4x2+x+1

4)d) 1

25x2-64y2= (1

5x)2-(8y)2 = (1

5x-8y)(1

5x+8y)

Trang 35

- Gv yêu cầu Hs làm bài

toán 1 trên máy chiếu

Gv cho hs thảo luận

nhóm bài toán 2 trên máy

- Hs thảo luận làm bài

Bài toán 1: Tìm x biết:

x3 – 81x

= 0Giải:

x3 – 81x = 0x(x2 - 92) = 0x(x – 9)(x+9) = 0

x = 0 hoặc x – 9 = 0 hoặc x + 9 = 0Vậy x = 0 hoặc x = 9 hoặc x = - 9Bài toán 2:

A = 732 + 642 – 272 - 362 = (732 – 272 )+ (642 -

362) = (73 + 27).(73 - 27) + (64 + 36)(64 – 36) = 100 46 + 100.28 = 100.(46 + 28) = 100.74 = 7400

Trang 36

c Thái độ: - Cẩn thận trong làm bài

d Năng lực: Rèn luyện cho các em năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán

II CHUẨN BỊ :

Giáo viên: Bài Soạn  SGK  SBT  Bảng phụ

Học sinh :  Học thuộc bài  SGK  SBT Làm bài tập đầy đủ

10’ 1 Hoạt động 1: Kiểm tra

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3+ a3  3a2b + 3ab2  b3

= 2a(a2 + 3b2)

Giải :

= (872  272) + (732 

132) = (87  27)(87 + 27) + (73  13)(73 + 13)

Trang 37

 GV gợi ý cho HS với ví dụ

trên thì có sử dụng được hai

= 60 200 = 12000

 1HS đọc ví dụ

 Cả lớp suy nghĩ cùnglàm

Trả lời : Cả bốn hạng

tử của đa thức không

có nhân tử chung Đa thức cũng không có dạng hằng đẳng thức

Nên không sử dụng được

HS : đặt tiếp (x  3)(x + y)

 HS : thực hiện nhóm theo cách thứ hai(x2 + xy) + (3x  3y)

1 Ví dụ:

a) Ví dụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử

Trang 38

Hỏi: Hãy nêu ý kiến của

mình về lời giải của các

- 1 HS lên bảng giải

 1 vài HS nhận xét và

bổ sung

 Cả lớp quan sát đề bài ?2 bảng phụ

 HS trả lời: An làm đúng, bạn Thái và bạn

Hà chưa phân tích hết

vì còn có thể phân tíchtiếp được

 2HS lên bảng phân tích tiếp

Bài ?1 : Tính nhanh15.64+ 25.100 + 36.15 + 60.100

= (15.64 + 36.15) + (25.100 + 60.100)

= 15 (64 + 36) + 100 (25 + 60)

Trang 39

 HS1 : Làm tiếp Thái

 HS2 : Làm tiếp Hà

= x[x(x2 + 1)  9(x2 + 1)]

= x (x2 + 1) (x  9)+ (x  9) (x3 + x)

= (x  9) x (x2 + 1)12’ 4 Hoạt động 4: Luyện tập

 GV cho HS làm bài 50a tr

 HS : ghi đề bài vào vở

1 HS lên bảng

 HS : Không được vì quá trình phân tích tiếp không được

HS : Hoạt động theo nhóm

 Đại diện nhóm trình bày bài giải

 HS thực hiện tính nhanh

1 Phân tích đa thức thành nhân tử:

=( x22xy+y2)(z2 - 2zt + t2)

= (x-y)2 – (z – t)2

= (x  y + z  t)(x  y  z+ t)Bài 49a tr 22:

37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 +3,5.37,5

= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – (7,5.3,4 + 6,6.7,5) = 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6) = 37,5.10 – 7,5.10 = 10(37,5+7,5)

= 10.45 = 450Bài 50a tr 22:

Trang 40

22 SGK  1 HS lên bảng giải Tìm x biết :

x(x  2) + x  2 = 0(x – 2)(x + 1) = 0

x – 2 = 0 hoặc x + 1 = 0

x = 2 hoặc x = -12’ 5/ Hoạt động 5: Hướng dẫn học ở nhà

 Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử cần nhóm thích hợp

c Thái độ: Có thái độ hợp tác trong học tập

d Năng lực: Rèn luyện cho các em năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán

II Chuẩn bị của GV và HS:

- GV: Bảng phụ ghi bài tập 48, 49, 50 trang 22, 23 SGK, phấn màu, máy tính bỏ túi;

- HS: Ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, máy tính bỏ túi;

III Tổ chức hoạt động dạy và học:

1/ Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ ( 8 phút )

Định dạng
Số trang	105
Dung lượng	1,39 MB