Facebook: http://www.facebook.com/topper.vn
Website: topper.vn
TOPPER ACADEMY
23 Ngõ Huế, Hai Bà Trưng, Hà Nội
131 Nguyễn Ngọc Vũ, Cầu Giấy, Hà Nội
(04) 6657 4444 | 0977 111 657
TÀI LI U ÔN T P H C KÌ
- L P 11 -
MH11.1: HÀM S L NG GIÁC
Trang 3TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
TOPPER | 3
DẠNG 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
Tính
chẵn, lẻ Hàm số lẻ Hàm số chẵn Hàm số lẻ Hàm số lẻ
Sự biến
thiên
NB: ( ; );( ; )
π π
ĐB: ( ; )
2 2
π π
−
NB: (0; )π
ĐB: (−π;0) ĐB: 2 2;
−π π
Chú ý:
– Sự biến thiên của hàm số y = sin x ; y = cos x xét trên khoảng (−π π; )
Sự biến thiên của hàm số y = tan x xét trên khoảng ;
2 2
−π π
Sự biến thiên của hàm số y = cot x xét trên khoảng ( )0;π
– Hàm số y = sin (ax + b) hoặc y = cos (ax + b) có chu kì là T 2
a
π
=
Hàm số y = tan (ax + b) hoặc y = cot (ax + b) có chu kì là T
a
π
=
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Trang 4TOPPER | 4
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x
(a) Tập xác định: D = ℝ Hàm số có chu kì là T 2
2
π
– Ta có sin (–2x) = –sin 2x ⇒ hàm số y = sin 2x là hàm số lẻ
– Bảng biến thiên
– Vẽ đồ thị
Đồ thị hàm số đi qua các điểm
;0 ; ; 1 ;
−π −π −
(0 ; 0) ; ;1 ; ;0
π π
Hàm số y = sin 2x là hàm số lẻ nên nhận điểm O(0 ; 0) là tâm đối xứng
B – VÍ DỤ
Trang 5TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
TOPPER | 5
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y cos 3x
6
(a) Tập xác định: D = ℝ Hàm số có chu kì là T 2
3
π
=
– Ta có
cos 3x
6 cos 3x
6 cos 3x+
6
−π
− −
−
≠
⇒ hàm số y cos 3x
6
không chẵn, không lẻ
– Bảng biến thiên
– Vẽ đồ thị
Đồ thị hàm số đi qua các điểm 5
; 1 ; ;0 ;
− π − −π
18
π
;
;0 ; ; 1
π π −
Trang 6TOPPER | 6
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số
(a) y sin x
4
π
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số
(a) y tan2x= ; (b) y cot x
3
π
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số
(a) y 2sin3x= ; (b) y sinx cos x= +
C – BÀI TẬP CƠ BẢN
Trang 7TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
TOPPER | 7
DẠNG 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chú ý:
– Nếu x∈[a ; b], bạn dựa vào bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN của sin x, cos x trên [a ; b]
A ≥ +B) ≥
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
(a) y 2sinx 1= + ; (b) y = 3.sin 2x – 4.cos 2x + 1
(a) Ta có −1≤sinx 1≤ ⇔−2≤2sinx≤2 ⇔ − ≤1 2sinx 1 3+ ≤
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sinx 1= + là –1, đạt được khi sinx 1 x k2
2
π
= − ⇔ = − + π
giá trị lớn nhất của hàm số y 2sinx 1= + là 3, đạt được khi sinx 1 x k2
2
π
= ⇔ = + π
(b) Ta có 3.sin2x 4.cos2x=5.si− n x(2 − α), với cos 3; sin 4
⇒ −5≤3.sin2x 4.cos2x 5− ≤
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3sin2x 4 cos2x= − là –5, đạt được khi sin(x+ α = −) 1
⇔ + α = − + π ⇔ = −α − + π
giá trị lớn nhất của hàm số y 3sin2x 4 cos2x= − là 5, đạt được khi sin(x+ α =) 1
⇔ + α = + π ⇔ = −α + + π
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
(1) −1≤si xn ≤1 và −1≤cosx 1≤
a.sinx b.cos x+ = a +b sin(x+ α)
a b ≤a.sinx b.cos x a b
B – VÍ DỤ
Trang 8TOPPER | 8
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
(a) y sinx= + 3 cos x; (b) y = 2sinx 1 3− +
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
(a) y = 4 sin x 4 sinx 32 − + ; (b) y =sin x 2cos x 14 − 2 +
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên ;
6 3
π π
(a) y = 2sin x; (b) y sinx= + 3 cos x
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên ;3
6 4
−π π
(a) y = 2sin x 1
4
+ π+
; (b) y cos x 2sinx 2= 2 + +
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
(a) y cos x 2sinx 3
2cos x sinx 4
=
1 cos x y
sinx cos x 2
−
=
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y sin= 2015x cos+ 2016x
C – BÀI TẬP CƠ BẢN
D – BÀI TẬP NÂNG CAO
Trang 9TOPPER ACADEMY – “Yêu trò vô điều kiện”
MH11.1 – Hàm số lượng giác
TOPPER | 9
ĐÁP ÁN
DẠNG 1: Sự biến thiên của hàm số lượng giác
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1:
(a) y sin x
4
π
(b) y = cos 4x
Bài 2:
(a) y = tan 2x
(b) y cot x
3
π
Bài 3:
(a) y = 2sin 3x
(b) y = sinx cosx 2 sin x
4
π
Trang 10TOPPER | 10
DẠNG 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1:
(a) GTLN là 2 tại x = k2
6π + π; GTNN là –2 tại x = 5 k2
6
π
(b) GTLN là 4 tại x = k2
2
2
π
Bài 2:
(a) GTLN là 11 tại x = k2
2
π
6π + π hoặc x 5 k2
6
π
(b) GTLN là 2 tại x = k
2
π + π; GTNN là –1 tại x = kπ
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1:
(a) GTLN là 3 tại x =
3
π
; GTNN là 1 tại x =
6
π
(b) GTLN là 2 tại x =
6
π
; GTNN là –1 tại x =
3
π
Bài 2:
(a) GTLN là 3 tại x =
4
π
; GTNN là 1 tại x = 3
4
π
(b) GTLN là 4 tại x =
2
π
4 tại x = 6
π
−
Bài 3:
(a) Ta có y cos x 2sinx 3
2cos x sinx 4
=
− + ⇔ (y 2)sinx (1 2y)cos x+ + − =4y 3+ có nghiệm
⇔(y 2)+ 2+(1 2y)− 2≥(4y+3)2 ⇔11y2+24y 4+ ≤0
GTLN của y là 12 3 5
11
− +
; GTNN của y là 12 3 5
11
− −
(b) GTLN của y là 1; GTNN của y là 0
Bài 4: Ta có
2
2016 2
2015
2 2
sin x
sin cos x co
sin x
s x
≤
⇒ GTLN của y là 1 đạt được khi x k ; x k2
2
π
= π = + π