Từ đó ta có BĐT cần chứng minh.. Cuối cùng, mời các bạn áp dụng BĐT Cauchy hai sé dé giải quyết các bài toán sau đây.. Cho a,b,c là các số thực dương.
Trang 1
(a+b)(a? +b? +6ab) > 4Vab(a+b)
hay (a+b)Ì+4ab > 4Vab(a+6)
Ap dụng BĐT (2) ta có
(a+b) +4ab > 2.(a+b) 4ab = 4x[ab.(a+b)
Từ đó ta có BĐT cần chứng minh
a>0, b>0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {2ab=a?+b?
(a+b)=4ab
Tức là a=b>0
Bài toán 4 Cho a, b, c là các số thực
dương Chứng mình rằng
a : > € a+b+c
a?+b? bt+c? c?+a? =
Lời giải BĐT cần chứng minh tương đương với
a+b? b? +c? c++a 2
ab? be? ca: a+b+c
a+b? b+c? c}+a! 2
Áp dụng BĐT (1) ta có
ad)? ab a+b? erm
a+b? a?+b? ‘2(a? +b?)
ab? b
-
ee Bee 2" c+a? 2
Cộng theo về các bắt đẳng thức trên ta có bat
đẳng thức cần chứng minh
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = e > 0
€Bài toán 5 Cho a,b,c là các số thực
đương sao cho abc > \ Chứng minh rằng
a1~a1 bŠ —b? e3—e3
a+b+c? bi +c? +a?
c* +a? +b?
(Thi Olympic Toán quốc tế lần thứ 46 - năm 2005)
Lời giải BĐT cần chứng minh tương đương với
a5~a2 b5—b*
Ta | we) =e?
c+a?+b
aitb?+c? bS4+c2+a? ch +a7+b?
3
i 4
Tir abe > | và áp dụng BĐT (1) ta có
a" +b" +c —+h?+c? —+b‡+c!
Z l b? +c?
=
b? +c?
Do 4u?+v? >4uve> 4u?+v? >5 (w+vỷ nên
2a*+(b? +c?)}? =H (a? +b? +c’)
l _ 3(b? +c?)
Suy ra
a5+b2+c? ` 2(a?+b2+c?)?`
I 3c? +a?)
OM i 4c2+a? 2(a? +b‡ +c)?
l 3(a? +b?)
cš+a2+b} 2(a2+b2 +07)? `
Cộng theo về ba BĐT trên, ta được BĐT(4) Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b=c = 1 Cuối cùng, mời các bạn áp dụng BĐT Cauchy hai sé dé giải quyết các bài toán sau đây
Cho a,b,c là các số thực dương Chứng
minh rang
1) Néu at+b+c=1 thi
5 lóc t5 »"
2)(ab+c*\(bc+a*)(ca+b*)}>abc(a+b)(b+eÌ(c+a);
3) OS EL are ore Ss
b c a b+c a+b