chuyên đề về hàm số

một nhánh của C Bài toán 3:Cho hàm số... b Biện luận theo m số nghiệm của vớiGiải:a Đồ thị Cb Xét phương trình với... Giải: qua gốc toạ độ nên có dạng :y = kx Phương trình hoành độ giao

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT

* Đồ thị (C1) : được vẽ bằng các bước:

+ Giữ lại đồ thị (C) nằm phía trên Oõx

+ Lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox

+ Hợp 2 phần đồ thị ta được đồ thị (C1):

2) Dạng 2:Từ đồ thị (C):y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C2):

với các ghi nhớ

* là hàm chẵn nên có đồ thị đối xứng qua Oy

* Ta vẽ đồ thị (C2) qua các bước:

+ Giữ lại phần đồ thị (C) bên phải Oy

+ Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại của (C)

+ Hợp 2 phần đồ thị ta có đồ thị (C2):

3) Dạng 3: từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C3):

bằng cách kết hợp dạng 1 và dạng 2

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau khi bỏ đi phần bên trái Oy Giữ nguyên phần bên phải, hợp của nó và phần lấy đối xứng là đồ thị (C2)

+ Lấy đối xứng tất cả các phần đồ thị (C2) vừa kết hợp nằm dưới trục Ox lên trên Ox

+ Giữ nguyên phần bên trên, lúc đó ta có đồ thị của hàm (C3):

4) Dạng 4: Ta xét trường hợp đơn giản

Từ đồ thị (C) : (giả sử a > 0) suy ra đồ thị (C4)

Qua các bước :

+ Vẽ (C), và bỏ đi nhánh đồ thị của (C) bên trái

tiệm cận đứng (d):

+ Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d):

vừa bỏ đi qua d

 Tương tự với a < 0 (ta có thể nhân tử và mẫu với –1)

 Tương tự với các đồ thị (C4) hay và các đồ thị hay

5) Dạng 5:Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đường cong biểu

diễn (C5):

hay (C5): qua các bước

+ Vẽ (C): y = f(x) và bỏ phần ở dưới trục Ox

+ Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xuông phía dưới trục Ox)

Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Suy ra đồ thị

Giải: Đồ thị (C)

Đồ thị (C1)

Bài toán 2: (Phép suy thứ hai)

Vẽ đồ thị Đồ thị (C2)

Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)

Vẽ đồ thị

Đồ thị (C3)

Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)

Vẽ đồ thị Đồ thị (C4)

Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)

Vẽ đồ thị

Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường:

Phương pháp : Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y= g(x)

Biện luận sự tương giao của (C1) với (C2)

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)

f(x) = g(x) f(x) – g(x) = 0 (1)

* Giải và biện luận phương trình (1)

* Kết luận : số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C1) với (C2)

- Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C1) cắt (C2)

- Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C1) tiếp xúc (C2)

Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có

hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)

Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4

(C) : y = x3 – 3x + 2

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)

x3 – 3x + 2 = m(x – 2) + 4

Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0 m = 9

Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4

Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2

Ta có

m < 0 : (2) vô nghiệm

m = 0 : (2) có nghiệm kép x = – 1

0 < m ≠ 9 : (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

- Kết luận:

m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm

m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại

1 điểm

0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm

m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại điểm (2; 4)

Bài toán 2: Cho hàm số y = (C)

Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng (D) y =

(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị (C)

(*) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 < x2 < – 2 V – 2 < x1 < x2

Kết luận : thì (D) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm

phân biệt thuộc cùng

một nhánh của (C)

Bài toán 3:Cho hàm số Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thị (C) và đối

xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1 Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1 Suy

ra A, B thuộc

đường thẳng (d’) y = –x + m

Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C)

x2 = (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)2x2 – (m + 1)x + m = 0 (*)

b) Viết phương trình (d) khi AB = 10Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

x2 – 2x – 3 = 2x + m

x2 – 4x – 3 – m = 0 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B

= 7 + m > 0

m > –7

Lúc đó gọi xA , xB là 2 nghiệm của (1) ta có

S = xA + xB = 4

P = xA xB = – 3 – ma) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc  f’(xA )f’(xB) = –1

(2 xA –2)(2 xB –2) = – 14P – 4S + 5 = 0

4(–3 –m) –16 + 5 = 0

m = (nhận vì m > –7)b) A, B thuộc (d) yA = 2 xA + m

yB = 2 xB + m

Ta có AB2 = 100 (xA – xB)2 + (yB – yA)2 = 100

(xA – xB)2 + (2 xA –2 xB)2 = 100(xA – xB)2 = 20

S2 – 4P = 20

16 + 4(3+m) = 20

m = – 2 (nhận vì m > –7)

Bài toán 5 : Cho hàm số

Tìm a để đường thẳng : y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại

2 điểm có hoành

độ trái dấuGiải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và :

cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu

(*) có 2 nghiệm phân biệt

* Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm

* Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)

* (D) đi qua điểm A nên : (yA – y0) = f’(x0)(xA – x0) (1)

Giải (1) tìm được x0, từ đó tìm được phương trình của (D)3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước

Giải:

tiếp tuyến tại M là (d)

Tiệm cận đứng của (C) là (d1) : x = 1

Tiệm cận xiên của (C) là (d2) :

Ta có :

Vậy M là trung điểm của AB

Giao điểm của 2 tiệm cận là

Vậy SIAB không phụ thuộc vào M

Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C)

Tìm tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Giải : Gọi M(x0; y0) : hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x0) =

Ta có Dấu “=” xảy ra khi x0 = – 1

Vậy Min k = – 12 M(–1; 16)

Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số

góc nhỏ nhất

Bài toán 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 (Cm)

Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao

cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)

x3 + mx2 + 1 = – x + 1x(x2 + mx + 1) = 0 (*)

Đặt g(x) = x2 + mx + 1 (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc

(nhận so với điều kiện)

Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 (H)

Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H) Gọi A1, B1,

C1 lần luợt là giao điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C Chứng minh rằng A1, B1, C1

1)Dạng 1: cho phương trình f(x m) = 0 (1)

* Đưa về dạng : g(x) = m

* Vẽ đồ thị (C) : y = g(x) và (D) : y = m

* Xét sự tương giao của (C) và (D) trên đồ thị theo tham sốm

* Kết luận : số giao điểm trên đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)

2)Dạng 2: f(x) = g(m)

* y = g(m) là đường thẳng luôn qua M(x0; y0) cố định

* y = g(m) là đường thẳng có hệ số góc khôâng đổi

* g(m) = f(m)

Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – 3x (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sốGiải: a) Đồ thị (C)

b)

Đặt t = sinx ,

Xét y = t3 – 3t với

Nhìn vào đồ thị (C) ta thấy

Bài toán 2: Cho hàm số (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sốb) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thứcGiải: a)Đồ thị (C)

1cos

1

cos)

(21

12

loại

Bài toán 3: Cho hàm số (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Biện luận theo m số nghiệm của:

Giải: a)

b) (*)

Xét hàm số với

Nhìn vào đồ thị ta thấy khi thì (d) cắt (C) tại 1

điểm có hoành độ

không âm

Vậy khi có nghiệm x = t2 = 0

(*) có nghiệm kép

thì (*) có 2 nghiệm thì () vô nghiệmBài toán 4:Cho hàm số (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị

b) Biện luận theo m số nghiệm của vớiGiải:a) Đồ thị (C)

b) Xét phương trình với

Nhìn vào đồ thị ta thấy

: (*) có 2 nghiệm: (*) có 1 nghiệm : (*) vô nghiệm

Bài toán 5: Cho hàm số (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Biện luận số nghiệm của phương trìnhGiải: a) Đồ thị (C)

b) (*)

Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (*) , ta có

Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1)

Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (d) :

(C) :

(d) là tiếp tuyến của (C) khi (*) có nghiệm kép

Vậy tiếp tuyến của (C) qua A(0;1) : y = –3x + 1

: phương trình vô nghiệmBài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình

Giải:

Đặt (d) :

Xét (C) :

* Dựa vào đồ thị ta có

: phương trình đã cho vô nghiệm : phương trình có 1 nghiệm

: phương trình có 2 nghiệmBài toán 7: Cho hàm số (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trìnhGiải: a) Đồ thị (C) :

b)

Nhìn vào đồ thị ta thấy :

Khi : (*) có 2 nghiệm kép

: (*) có 3 nghiệm ; 1 nghiệm kép x =

0

và 2 nghiệm đơn

: (*) có 4 nghiệm phân biệt : (*) có 2 nghiệm đơn

Vấn đề 5: Biện luận số đường cong đi qua diểm cho trước:

Phương pháp: cho đường (Cm) = f(x, m) và điểm M(x0; y0) chotrước Biện luận theo m số đường (Cm) đi qua M

* M(x0; y0) thuộc (Cm) y0 = f(x0, m)

* Biến đổi phương trình có ẩn m , và x0; y0 là tham số

Am + B = 0 (1) hay Am2 + Bm + C = 0 (2)

* Biện luận số nghiệm của phương trình (1) và (2) theo m Từ đó suy ra số(Cm) đi qua M

Bài toán 1: Cho hàm số (Cm)

Biện luận theo m số đường (Cm) đi qua điểm cho sẵn

Giải:

(*)

* Nếu thì (*) có 1 nghiệm

Vậy thì có một đương (Cm) đi qua M

* Nếu

- Nếu thì (*) vô= nghiệm

Vậy thì không có (Cm) đi qua M

- Nếu thì có vô số (Cm) đi qua

Nhận xét : M1, M2 chính là 2 điểm có định của (Cm)

Bài toán 2:Cho hàm số có đồ thị (Cm)

CMR luôn tìm được 2 giá trị của m để đồ thị (Cm)

đi qua M(x0; y0) với

(*) luôn có 2 nghiệm m

Vậy: có 2 đường (Cm) đi qua M(x0; y0) với x0 > 1

Vấn đề 6: Tìm điểm cố định của họ đường cong:

Toạ độ điểm cố định là nghiệm của hệ :

Kết luận : (Cm) luôn đi qua điểm M(2; 0) với mọi m

b) M(2; 0) là điểm cố định của(Cm) nên M(2; 0) vừa thuộc (Cm) vừa thuộc 0x

nên: x3 – (m + 1 )x2 – (2m2 – 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) = 0  (x – 2)[x2 – (m – 1)x – (2m2 – m)] = 0

Để (Cm) tiếp xúc với Ox thì g(x) = x2 – (m – 1)x – 2m2 + m

= 0 có nghiệm

x = 2 hoặc có nghiệm kép khác 2

Bài toán 2: cho đường cong (Cm): y = (m + 1)x3 – 2mx2 – (m – 2)x + 2m + 1

Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định khi m thay đổi

Giải : y = (m + 1)x3 – 2mx2 – (m – 2)x + 2m + 1

Bài toán 3: cho hàm số (Hm)

Chứng minh rằng (Hm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay

đổi ,ngoại trừ một vài giá trị m mà ta phải xác định

Giải: Gọi M (x0; y0) là điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua

M(x0; y0) không thuộc (Cm) (x3 – x)m + x + 1 – y ≠ 0 với mọi m

Toạ độ điểm cố định (nếu có) sẽ là nghiệm của hệ

Đểâ chứng minh (Cm) luôn qua 3 điểm cố định thẳng hàng ta cần chứng minh

(1) có 3 nghiệm phân biệt hay hàm số y = x3 – 3x2 – 6x + 1 (C) có hai giá trị

cực trị trái dấu

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 6 y’ = 0

Suy ra yCĐyCT =

Kết luận : (Cm) luôn qua 3 điểm cố định thược đường thẳng (d): y = 17x – 2

Vấn đề 7: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích):

Phương pháp: điểm M di động thoả các điều kiện cho

Bài toán 1: Cho hàm số

Gọi là đường thẳng qua gốc tạo độ và có hệ số góc k Với những

giá trị nào của k thì cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, O ? Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi

Giải: qua gốc toạ độ nên có dạng :y = kx

Phương trình hoành độ giao điểm của và (C) là :

Đặt

cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B,O g(x) có 2

nghiệm phân biệt khác 0

Vì xA, xB là nghiệm của g(x)

Gọi I là trung điểm của AB

Giới hạn :

Vậy tập hợp của I là đường thẳng có phương trình

Từ M vẽ 2 tiếp tuyến đến (C) vuông góc nhau

(1) có 2 nghiệm phân biệt

Vậy tập hợp các điểm thoả yêu cầu bài toán là đường tròn có phương trình

loại bỏ 4 giao điểm của đường tròn với 2 đường tiệm cận

Bài toán 3:Cho Parabol(Pm) Tìm quỹ tích đỉnhcủa (Pm)

Thế vào (2) , ta được :

Vậy quỹ tích đỉnh S của (P) :

Bài toán 4: Cho hàm số (Cm) :

Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị (Cm) của hàm số

Giải: TXĐ : D = R

Ta có

(Cm) có điểm uốn

Thế m = x vào (2) ta có :

Vậy quỹ tích của I là đường cong

Bài toán 5: Cho hàm số Định m để hàm số cócực đại, cực tiểu

Khi đó, hãy tìm quỹ tích của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị

m > 0 thì hàm số có CĐ – CT

Gọi M1, M2 thứ tự là toạ độ CĐ – CT , ta có