TRAN TUAN ANH Khoa Toén - Tin, BHKHTN ĐHQG TP.. Hồ Chí Minh Trước hết ta nhắc lại các dạng bất đẳng thức BĐT Cauchy hai số thường gặp: 2+?. Đẳng thức xảy ra khi khi và chi khi a = 6..
Trang 1
TRAN TUAN ANH (Khoa Toén - Tin, BHKHTN ĐHQG TP Hồ Chí Minh)
Trước hết ta nhắc lại các dạng bất đẳng thức
(BĐT) Cauchy hai số thường gặp:
2+?
Đẳng thức xảy ra khi khi và chi khi a = 6
Dạng 2 va < 22 via20,520 (2)
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a = ở
Bây giờ ta ứng dụng BĐT Cauchy hai số để
giải các bài toán sau đây
ÔBài toán 1 Cho a,0,c là các số thực
“ương sao cho a>e, b>c Chứng minh rằng
le(a=e)+ [e(B=)<va
Lời giải BĐT cần chứng minh tương đương với
Áp dụng BĐT (2) ta có
Cộng theo vế hai BĐT trên ta có điều cần
chứng minh Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi eae v
ba
'©Bài toán 2 Cho a, b là các số thực dương
2 œ1
Chứng minh rằng = Bs pars
Lời giải BĐT cần chứng mỉnh tương đương
với a*+b*>ab.|2(a2+ð2) „ hay (a+8)(a? +b?—ab)>Vab.|2ab(a? +82)
Ap dung céc BDT (1) va (2) taco
o<dabsit va
2ab+(a?+b?) (arab) coe te)
0<,/2ab(a? +b?) < 5
< a2+b?<2(a?+b2~a6)
Nhân theo về hai BĐT trên ta có BĐT cần
chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = ở > 0
ÖBài toán 3 Cho a, b là các số thực dương
Chứng mình rằng
© % 11(a+8)> 8 [221+b3)
a
Lời giải BĐT cần chứng minh tương đương với
#*+b*+1ab(a+b)>8ab.|2(a +b?)
hay (a+2)(2° +? +6a0)>8x|ab.[2ab(22+82) (3)
Áp dụng các BĐT (1) và (2) ta có
+8)”
2ab+(a? +5?)
Từ đó suy ra bắt đẳng thức (3) đúng nếu ta có