Phương trình lượng giác chọn lọc

Không thể áp dụng phương pháp dự đoán nhân tử thông thường, ta chuyển sang dùng phương pháp đoán “mới” bằng ý tưởng ban đầu là quay trục hệ trục Oxy một góc nào đó để đưa về hệ trục mới

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!

Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa!

Đừng bao giờ bỏ cuộc EM nhé!

Chị tin EM sẽ làm được!

Ngọc Huyền

MỘT SỐ BÀI PHÂN TÍCH LƯỢNG GIÁC CHỌN LỌC

Câu 1 Giải phương trình 11 10sin x 10cosx cos2x 2

1 cosx



 [Đề số 10– Chinh phục đề thi THPT quốc gia môn Toán] Điều kiện: cosx    1 x k2  Phương trình đã cho tương đương với:

+) Với

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là

Định hướng:

Ở bài toán này mình lại xin đề cập một thủ thuật mới khi giải phương trình

lượng giác

Nhẩm được hai nghiệm đẹp là và (lần lượt ứng với nhân tử

là (sinx + 1), (cosx + 1)), nhưng hai nhân tử này đều không khả quan (thực

hiện phép thử sẽ rõ) Không thể áp dụng phương pháp dự đoán nhân tử

thông thường, ta chuyển sang dùng phương pháp đoán “mới” bằng ý tưởng

ban đầu là quay trục hệ trục Oxy một góc nào đó để đưa về hệ trục mới

Ox’y’có thể dễ dàng đoán nghiệm hơn, sau đó dùng kĩ năng đoán nhân tử

trong hệ trục Ox’y’ Cuối cùng dùng liên hệ cung giữa hai trục tọa độ Oxy và

Ox’y’ để quy nhân tử trong hệ trục Ox’y’ về nhân tử trong hệ trục Oxy

Biểu diễn cặp nghiệm lên đường tròn lượng giác Trong bài toán này đó là hai điểm A’, B’ Ta chọn hệ trục Ox’y’ sao cho Ox’ chính là phân giác góc A’OB’ Lúc đó thì so với hệ trục Oxy ban đầu, hệ trục mới đã quay được góc

(theo chiều dương)

Trong hệ trục mới Ox’y’ thì điểm A’ biểu diễn cho nghiệm , còn điểm B’ biểu diễn cho nghiệm Như vậy, trong hệ trục Ox’y’ thì chúng ta có thể đoán nhân tử là cosx’ − = 0 (*)

Một điểm bất kì trên đường tròn lượng giác đều biểu diễn cho một giá trị lượng giác Thế nhưng ở hai hệ trục khác nhau thì các giá trị lượng giác mà điểm đó biểu diễn là khác nhau (ví dụ như điểm A’ biểu diễn cho giá trị  trong

hệ trục Oxy, nhưng nó lại biểu diễn giá trị trong hệ trục Ox’y’) Dựa vào điều này chúng ta có thể đưa ra liên

hệ các giá trị lượng giác được biểu diễn trong các trục tọa độ khác nhau, cụ thể trong bài toán này đó là

Như vậy để có được nhân tử với biến x thì chỉ cần thay liên hệ này vào (*), ta được:

cos − = 0  sinx + cosx + 1 = 0

Vậy (sinx + cosx + 1) chính là nhân tử mà ta cần dự đoán Việc còn lại của ta là thử phân tích nhân tử nữa mà thôi! Bài tập tương tự: Giải phương trình: sin2x – 9sinx + 9 – 6cos2x + 3cosx = 0

11 10sin x 10cos x (cos x sin x) 2 2cos x     

sin x 10sinx 9 cos x 8cosx

     sin x 10sinx 25 cos x 8cosx 162    2  

(sin x 5) (cos x 4)

9 sin x cos x 9 sin(x ) 1



1









x k2 2



   

x 2



4



  

4



4

 1

2

4



x' x  

x 4

 

1 2

x

O

x'

B’

A’

y'

Bài 2 Giải phương trình (1 − 2 sin x) cos x

(1 + 2 sin x)(1 − sin x)= √3 Điều kiện: sin x ≠ −1

2 và sin x ≠ 1 Phương trình tương đương với:

cos x − 2 sin x cos x = √3(1 − sin x + 2 sin x − 2 sin2x) (𝐐𝟏)

⟺ cos x − sin 2x = √3 + √3 sin x − 2√3 sin2x (𝐐𝟐)

⟺ −√3 sin x + cos x = sin 2x + √3(1 − 2 sin2x) (𝐐𝟑)

⟺ −√3

2 sin x +

1

2cos x =

1

2sin 2x +

√3

2 cos 2x

⟺ sin (x +5π

6 ) = sin (2x +

π

3) [

x +5π

6 = 2x +

π

3+ k2π

x +5π

6 = π − (2x +

π

3) + k2π

⟺ [

x =π

2− k2π

x = π

18+

k2π 3 (k ∈ Z)

Đối chiếu với điều kiện, ta thấy chỉ có họ nghiệm x π 2kπ

18 3

  thỏa mãn

Bình luận:

Bài toán trên là một bài toán phương trình lượng giác quen thuộc với sự xuất hiện của √3 và tất nhiên phương pháp √3 lại lên tiếng Đây là một trong 4 phương pháp giải phương trình lượng giác Nắm được, gặp bất kì bài nào

có dung phương pháp này ta đều giải được Mọi học sinh đều có thể nắm được … Thêm một tư duy giúp ta luôn luôn làm được chứ không phải ăn may làm đươc

Ý đồ biến đổi BT về dạng kiểu như:

Dạng đối xứng: sin a + √3 cos b = sin b + √3 cos b , …

Dạng không đối xứng: sin a + √3 cos a = 2 cos b, …

Sau đó chia cả 2 về cho 2

Dạng đối xứng: sin (a +π

3) = sin (b +

π

3) Dạng không đối xứng: sin (a +π

3) = cos b ⟺ sin (a +

π

3) = sin (

π

2− b)

Ở đây, a, b thường là x, 2x, 3x cùng lắm là 4x tức là có không nhiều hướng gây nhiễu cho chúng ta Thường thì tùy từng bài toán cụ thể, ta sẽ phát hiện ra nhanh a, b là gì Sau đó nhiệm vụ còn lại, ta biến đổi sao cho chỉ còn mỗi cung a, b là bài toán được giải quyết Việc biến đổi này sẽ không khó khăn nếu ta nắm vững công thức cơ bản được tóm tắt phần đầu

Nếu không dự đoán được a, b ta cũng có thể thử, không ra thì đổi hướng a, b khác Mất nhiều thời gian hơn nhưng kiểu gì cũng ra Cuối cùng, chuyển a, b sang 2 vế PT rồi chia 2

Dấu hiệu: Những bài giải PTLG mà xuất hiện √3 đều có thể giải được theo phương pháp này

Giải đáp:

Q1: Thấy ngoặc thì phá

Q2,Q3: Làm sạch chỉ còn cung x, 2x bậc 1

Các em luyện thêm một số bài sau:

a) sin x + cos x sin 2x + √3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3x)

b) sin x + cos x sin 2x + √3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3x)

c) sin x − sin 2x

(cos x − cos 2x) = √3

Bài 3: Giải phương trình tanx cos3x 2cos2x 1. ( ).

3 sin2x cosx

1 2sinx

 Điều kiện: hay

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là (k  ℤ)

Chú ý: Công thức nhân ba thường hay sử dụng trong việc phân tích nhân tử:

Bài 4 Giải phương trình: cos x(cos x 2sinx) 3sinx(sinx 2)

1 sin2x 1



 [Đề số 51 – Chinh phục đề thi THPT quốc gia môn Toán tập 2]

Định hướng: Tất nhiên điều kiện là không thể thiếu! Hình thức bài này cũng không xa lạ gì nữa, với các dấu ngoặc khá là “thừa” trong phương trình thì chúng chỉ nhắc ta phá nó ra mà thôi! Khi quy đồng và rút gọn được sin2x ở hai vế, thì ta cũng đủ tỉnh táo để dùng công thức để quy phương trình về phương trình ẩn

Lời giải:

Điều kiện: sin2x ≠ 1 Phương trình đã cho tương đương với:

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm:

Bài 5 Giải phương trình: 8 cos3x

2sin x

2 cosx

  

Định hướng: Thoạt nhìn qua thì nhiều bạn sẽ cảm thấy dạng hơi lạ do chứa căn thức Tất nhiên, tư duy thông thường của ta là bình phương hai vế lại giúp ta giải quyết hoàn toàn vấn đề, bởi cos3x có thể quy về được cosx, đồng thời khi bình phương lên thu được Chung quy lại phương trình đã cho có thể quy về phương trình một ẩn t = cosx

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

cosx 0 sinx

2

sin x(4cos x 3) 4cos x 3

3 cos x(2sin x 1)

1 2sin x



2

(sin x 1)(1 4sin x)

3 cos x(2sin x 1)

1 2sin x

1 sinx

1

  



 







 



, ,

5

        



 

       



sin3x 3sin x 4sin x sin x 3 4sin x    sin x 4cos x 1 sin x 2cos x 1 2cosx 1 

3

cos3x 4cos x 3cos x cos x 1 2sin x 1 2sin x    

cos x 1 sin x 

t sinx

cos x 2sin xcos x 3sin x 3 2 sin x sin2x 1    

2

2sin x 3 2 sin x 2 0  

( )

2 sinx

2 sinx 2 vô lí









4 5

4



    







   



4



sin x 1 cos x 

2

sinx 0 (1)

8 cos3x

4sin x (2)

2 cosx







 



(2)  (k  ℤ)

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm:

Bài 6 Giải phương trình (1 − cos x) cot x + cos 2x + sin x = sin 2x

(1 − cos x) cot x + cos 2x + sin x = sin 2x

Điều kiện: sin x ≠ 0, hay x ≠ kπ, k ∈ Z

Ý tưởng thông dụng nhất để giải bài toán giải phương trình lượng giác nói chung là phân tích nhân tử Tuy nhiên, việc phân tích nhân tử có yếu tố lượng giác là không đơn giản như ở phương trình đại số thông thường (có thể dung máy tính đoán nghiệm) Với phương trình lượng giác ta cũng có thể phân tích nhân tử thông qua việc đoán nghiệm với một vài bí quyết nho nhỏ

Như trong bài này, thử các giá trị đặc biệt ta thấy có các nghiệm π

4;

3π

4 ; −

π

4; −

3π

4 và

π 2 tức là (π

4+

kπ

2) và (

π

2+ k2π)

Đoán nhân tử chung: x =π

2+ k2π ⇔ sin x = 1 ⇔ sin x − 1 = 0 Thử tách lấy nhân tử (sin x − 1) ⇒ thất bại ⇒ chuyển hướng

x =π

4+

kπ

2 ⇔ 2x =

π

2+ kπ ⇔ cos 2x = 0 Thử tách nhân tử cos 2x ⇒ thành công Với điều kiện xác định, phương trình đã cho tương đương với

(1 − cos x) cos x

sin x + cos 2x + sin x = 2 sin x cos x

⇔ cos x − cos2x + cos 2x sin x + sin2x = 2 sin2x cos x

⇔ cos x (1 − 2 sin2x ) + cos 2x sin x − (cos2x − sin2x )

⇔ cos x cos 2x + cos 2x sin x − cos 2x = 0

⇔ cos 2x (cos x + sin x − 1) = 0

∗) cos 2x = 0 ⇔ x =π

4+

kπ

2 , thoản mãn

∗) cos x + sin x − 1 = 0 ⇔ cos (x −π

4) =

1

√2= cos

π

4⇔ x −

π

4= ±

π

4+ k2π ⇔ [

x = k2π, không thỏa mãn

x =π2 + k2π, thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x =π

4+

kπ

2 và x =

π

2+ k2π(k ∈ Z) Nhận xét: Việc đoán nghiệm (dùng máy tính ) để phân tích nhân tử trong phương trình lượng giác thường làm theo một số bước cơ bản sau:

1 Thử với các giá trị thông dụng: 0; π;π

2; −

π

2;

π

3;

2π

3 ;

−π

3 ;

−2π

3 ;

π

4;

3π

4 ;

−π

4 ;

−3π 4

2 Phân các nghiệm đoán được vào các họ nghiệm cơ bản Như ở bài trên ta đã chia các nghiệm

π

4;

3π

4 ; −

π

4; −

3π

4 và

π

2 vào các họ (

π

4+

kπ

2) và (

π

2+ k2π)

3 Đoán nhân tử chung: biến đổi tương đương để đưa về nhân tử chung, có thể tham khảo một số nhân tử chung thông dụng sau:

x =π

4+ kπ ⇔ tan x − 1 = 0 ⇔ sin x − cos x = 0

x =−π

4 + kπ ⇔ tan x + 1 = 0 ⇔ sin x + cos x = 0

x = kπ ⇔ sin x = 0

2

2 8cos x cosx 0

1

x arccos k2

8



   









x =π

2+ kπ ⇔ cos x = 0

x = ±π

3+ k2π ⇔ cos x −

1

2= 0

x = ±2π

3 + k2π ⇔ cos x +

1

2= 0 [

x =π6 + k2π

x =5π6 + k2π⇔ sin x −

1

2= 0 [

x =−π6 + k2π

x =−5π6 + k2π⇔ sin x +

1

2= 0

x =π

4+ k2π ⇔ sin x − 1 = 0

x =−π

4 + k2π ⇔ sin x + 1 = 0

x = k2π ⇔ cos x − 1 = 0

x = π + k2π ⇔ cos x + 1 = 0

Bước 4: Tách biểu thức đề bài cho để đưa về nhân tử chung Loại những trường hợp không thể phân tích được Đây là một phương pháp hay và có thể dùng để giải nhiều bài phương trình lượng giác cơ bản, bạn đọc nên luyện tập nhiều để thành thục Sau đây là một số bài tập tự luyện:

Giải phương trình lượng giác:

a) sin x cos 4x + 2 sin22x = 1 − 4 sin2(π

4−

x

2) b) cos3x + cos2x + 2 sin x − 2 = 0

c) tan

2x + tan x

tan2x + 1 =

1

√2sin (x +

π

4)

Một lần nữa, anh chị Lovebook muốn thốt lên:

Đừng bao giờ bỏ cuộc các em nhé Anh chị tin rằng các em sẽ làm được!