Tính chất đối xứng của các nửa nhóm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THƯƠNG TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA CÁC NỬA NHÓM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016... BỘ GIÁO DỤC VÀ Đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA CÁC NỬA NHÓM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA CÁC NỬA NHÓM SỐ

Chuyên ngành: Toán đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG

Hà Nội – Năm 2016

Mục lục

1.1 Nửa nhóm số và vành nửa nhóm số 1

1.2 Một vài bất biến 3

1.3 Nửa nhóm số đối xứng 6

1.4 Nửa nhóm số giả đối xứng 7

1.5 Nửa nhóm số hầu đối xứng 9

2 Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi ba phần tử 12 2.1 Nửa nhóm số đối xứng sinh bởi ba phần tử có chiều nhúng bằng 3 12

2.2 Đặc trưng của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần tử 14 2.3 Cấu trúc của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần tử 17 2.4 Nửa nhóm số đơn 21

3 Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi bốn phần tử 23 3.1 Nửa nhóm số bất khả quy 23

3.2 Trường hợp H = ha, bi 27

3.3 Trường hợp H = ha, b, ci 29

3.4 Iđêan định nghĩa của nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi bốn phần tử 36

4 Một số lớp nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi nhiều phần tử 40 4.1 Nửa nhóm số sinh bởi dãy số học tổng quát 40

4.2 Phép dán của hai nửa nhóm số 45

4.3 Ứng dụng vào nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần tử 49

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khoáluận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận đượcnhững ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên.

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Thương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin camđoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm

ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồngốc

Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Thương

MỞ ĐẦU

Nửa nhóm số có liên quan đến các lĩnh vực khác nhau trong toán học Mỗinửa nhóm số có vành tương ứng Qua đó, tính chất của nửa nhóm số vàvành nửa nhóm số là tương ứng Mục đích của khoá luận này là trình bàylại những khái niệm cơ bản về nửa nhóm số và các định nghĩa, khái quátcủa nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng Nửa nhóm số lànhóm con của tập các số tự nhiên

Khoá luận gồm 4 chươngChương 1: Nửa nhóm số và vành nửa nhóm số

Chương 2: Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi ba phần tử

Chương 3: Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi bốn phần tử

Chương 4: Một số lớp nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi nhiều phần tử.Trong chương 1 gồm 5 phần, tôi trình bày các khái niệm về nửa nhóm

số, vành nửa nhóm số, các bất biến số quan trọng của các nửa nhóm số,các khái niệm cơ bản về nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đốixứng cùng các điều kiện tương đương đi kèm Tiếp theo trong chương 2,tôi nghiên cứu đặc trưng, cấu trúc của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi

ba phần tử và nửa nhóm số đơn Trong chương 3, tôi nghiên cứu mỗi nửanhóm số hầu đối xứng có thể được xây dựng bằng cách loại bỏ một sốphần tử sinh tối tiểu từ nửa nhóm số bất khả quy với cùng số Frobenius.Một vấn đề khó là khi nửa nhóm số có tập sinh tối tiểu có nhiều phần tử.Nếu các phần tử sinh đó có mối liên hệ ta có thể xét tính chất đối xứng,giả đối xứng cụ thể là tôi nghiên cứu nửa nhóm số sinh bởi dãy số họctổng quát và phép dán ở trong chương 4

Chương 1

Nửa nhóm số và vành nửa nhóm số

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm nửa nhóm số, vànhnửa nhóm số, các bất biến và các khái niệm cơ bản về nửa nhóm số đốixứng, giả đối xứng, hầu đối xứng cùng các điều kiện tương đương đi kèm

Ta kí hiệu N = {0, 1, 2, 3, 4, }

Định nghĩa 1.1 Một tập H ⊆ N được gọi là nửa nhóm số nếu thỏa mãn

các điều kiện sau

(1) 0 ∈ H;

(2) H + H ⊆ H

Định nghĩa 1.2 Cho H là nửa nhóm số Tập {a1, a2, , an} thuộc H

được gọi là một hệ sinh của H nếu với mọi phần tử x thuộc H đều cóbiểu diễn dạng x = λ1a1 + · · · + λnan, với λ1, λ2, , λn ∈ N Khi đó ta kíhiệu H = ha1, a2, , ani Một hệ sinh {a1, a2, , an} là tối tiểu của H nếu

ai ∈ ha/ 1, , ai−1, ai+1, , ani với i = 1, 2, , n

Bổ đề 1.3 Cho H = ha1, a2, , ani Khi đó

#(N\H) < ∞ khi và chỉ khi (a1, a2, , an) = 1

Chứng minh Chiều thuận nếu(a1, a2, , an) = d vớid > 1thì mọi phần

tử thuộcH đều chia hết chod, do đó#(N\H)vô hạn nên (a1, a2, , an) =

1 Ta chứng minh chiều đảo bằng phương pháp quy nạp theo n

Xét trường hợp H = ha, bi Nếu a = 1 hoặc b = 1 thì

H = {λ1a + λ2b|λ1, λ2 ∈ N} = N

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Do đó N\H = ∅ nên #(N\H) < ∞

Giả sử 1 < a < b Trước hết nhận xét rằng với mọi m ∈ Z thì m có biểudiễn duy nhất dạng m = ax + by, 0 ≤ y < a Thật vậy, vì (a, b) = 1

nên au + bv = 1 với u, v ∈ Z nào đó Suy ra m = amu + bmv Đặt

mv = aq + y với y, q ∈ Z, 0 ≤ y < a Ta có m = amu + baq + by =

ax + by với x = mu + bq Để chứng minh biểu diễn là duy nhất, giả sử

m = ax + by = ax0+ by0 với 0 ≤ y, y0 < a suy ra a(x − x0) = b(y0− y) Vì

(a, b) = 1 nên a là ước của | y − y0 | mà | y − y0 |< a nên y = y0 và do đó

x = x0

Vậy với mọi m ∈Z, m viết được duy nhất dạng m = ax + by, 0 ≤ y < a

Từ đó m ∈ H tương đương với x ≥ 0 Do đó số lớn nhất không thuộc H

phải là

a(−1) + b(a − 1) = ab − a − b

Đặt c = (a − 1)(b − 1) thì c − 1 = ab − a − b là số lớn nhất khôngthuộc H Như vậy với mọi m ≥ c thì m > c − 1 dẫn đến m ∈ H Vậy

d , ,

an−1

d i

Khi đó dx ∈ ha1, , an−1i nên m ∈ H Vì vậy #(N\H) ≤ c − 1 < ∞

Vậy #(N\H) < ∞ khi và chỉ khi (a1, a2, , an) = 1 Trong phần này ta chỉ xét nửa nhóm số mà thoả mãn điều kiện tươngđương trong Bổ đề 1.3 Quy ước từ giờ đến hết khoá luận, nửa nhóm sốluôn thoả mãn điều kiện tương đương đó

Nhận xét 1.4 Với mỗi nửa nhóm số H, ta xét k[th|h ∈ H] = (P

i∈H

λiti ∈k[t]} Do H là nửa nhóm số nên tập này là vành con của vành đa thứctrong đó k là một trường, t là biến

Định nghĩa 1.5 Cho H là nửa nhóm số Vành nửa nhóm số liên kết với

Định nghĩa 1.7 Cho H là nửa nhóm số và 0 6= a ∈ H Tập Apéry của

a trong H là Ap(H, a) = {h ∈ H|h − a /∈ H}

Tập Apéry có rất nhiều ứng dụng hữu ích trong các vấn đề về nửa nhóm

số Số phần tử của Ap(H, a) luôn là a Các phần tử được mô tả trong Bổ

đề khá hay như sau

Bổ đề 1.8 Cho H là nửa nhóm số và 0 6= a ∈ H, với mỗi 0 ≤ i ≤ a − 1

đặt w(i) = min{h ∈ H|h − i a} Khi đó

Ap(H, a) = {0 = w(0), w(1), , w(a − 1)}

Chứng minh Trước hết ta lấy h ∈ Ap(H, a) Theo định nghĩa h ∈ H,

a ∈ H nên tồn tại k ∈ N, i = 0, a − 1 sao cho h = ka + i Suy ra

h − i = (ka + i) − i = ka a Ngoài ra (k − 1)a + i = h − a /∈ H Nếu tồntại h0 = k0a + i với k0 < k do đó h0 + (k − 1 − k0)a = (k − 1)a + i ∈ H

suy ra mâu thuẫn với h − a /∈ H ở trên nên h là số nhỏ nhất thuộc H mà

h − i a Do đó h = w(i)

Ngược lại ta lấy w(i) = min{h ∈ H|h − i a} với 0 ≤ i ≤ a − 1 thì

w(i) = ka + i (k ∈ N, i = 0, a − 1) Giả sử wi − a ∈ H thì ka + i − a =(k − 1)a + i ∈ H Mà w(i) là nhỏ nhất suy ra điều giả sử là sai, cho nên

w(i) − a /∈ H Do đó

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

w(i) ∈ {h ∈ H|h − a /∈ H} với mọi i = 0, 1, , a − 1

Định nghĩa 1.9 Cho H là một nửa nhóm số Ta định nghĩa

(1) Số Frobenius của H: F(H) = max(Z\H)

(2) Tập các số giả Frobenius của H:

PF(H) = {x ∈ Z\H|x + h ∈ H, ∀0 6= h ∈ H}

(3) Số các phần tử của PF(H) gọi là kiểu của H: t(H) = #P F (H)

(4) Tập các khoảng trống của H: G(H) =N\H

(5) Giống của H: g(H) = #G(H)

(6) Số bội của H: e(H) = min(H\{0})

(7) Chiều nhúng của H: emb(H) = n, trong đó n là số phần tử của hệsinh tối tiểu của H

Ví dụ 1.10 H = h5, 7, 9i là nửa nhóm số sinh bởi 5, 7, 9 Khi đó ta có

H = {0, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 16, →}

Vì w(1) = min{h ∈ H|h − 1 5} = 16, w(2) = min{h ∈ H|h − 2 5} = 7,w(3) = min{h ∈ H|h − 3 5} = 18, w(4) = min{h ∈ H|h − 4 5} = 9

Do emb(H) bằng số phần tử của hệ sinh tối tiểu của H nên emb(H) = 3

Ta có nhận xét là F(H) ∈ PF(H) Thật vậy vì F(H) = max(Z\H) nênvới mọi h 6= 0 thì F(H) + h ∈ H Vậy F(H) ∈ PF(H)

Ta có thể tính toán số giả Frobenius bằng việc sử dụng tập Apéry Trướchết, cho H là nửa nhóm số, ta định nghĩa quan hệ ≤H trên H

x≤Hy nếu y − x ∈ H.Mệnh đề 1.11 Cho H là nửa nhóm số và 0 6= a ∈ H Khi đó

P F (H) = {w − a|w ∈ max≤HAp(H, a)},F(H) = max Ap(H, a) − a

Chứng minh Giả sử x ∈ PF(H) thì theo định nghĩa x /∈ H, x + h ∈ H

với mọi h ∈ H, h 6= 0 Suy ra x+a ∈ Ap(H, a)(dox+a ∈ H, (x+a)−a =

x /∈ H) Lấy w ∈ Ap(H, a)sao cho x+a≤Hw thìw −(x+a) = w −a−x ∈

H Khi đó tồn tại h ∈ H sao cho h = w − a − x nên w − a = h + x Nếu

h 6= 0 thì x + h ∈ H, mà w − a /∈ H mâu thuẫn cho nên h = 0, có nghĩa

là w − a = x Do đó x ∈ {w − a|w ∈ max≤HAp(H, a)}

Ngược lại, giả sử x ∈ {w − a|w ∈ max≤HAp(H, a)} thì từ w − a /∈ H tasuy ra x /∈ H Nếu w − a + h /∈ H với mọi h ∈ H thì w + h ∈ Ap(H, a).Điều này mâu thuẫn với w ∈ {max≤HAp(H, a)} suy ra w − a + h ∈ H

nên w − a ∈ PF(H) Do đó x ∈ PF(H)

Vậy PF(H) = {w − a|w ∈ max≤H Ap(H, a)}

Tiếp theo, ta chứng minh F(H) = max Ap(H, a) − a Thật vậy, tathấy max Ap(H, a) − a /∈ H Nếu x > max Ap(H, a) − a thì x + a >max Ap(H, a) suy ra x + a = ka + max Ap(H, a) với k > 0 Nói riêng,

x = (k − 1)a + max Ap(H, a) ∈ H Vậy F(H) = max Ap(H, a) − a Như vậy ta có một công thức khác để tính PF(H), F(H) một cách đơngiản hơn

Mệnh đề 1.12 Cho H là nửa nhóm số Khi đó 2g(H) ≥ F (H) + 1

Chứng minh Xét tập {0, 1, 2, , F(H)} với m ∈ {0, 1, 2, , F(H)}, taxét cặp (m, F(H) − m) Nếu m ∈ H thì rõ ràng F(H) − m /∈ H do

F(H) = max(Z\H) Nếu F(H) − m ∈ H tương tự thì ta cũng có m /∈ H

Ví dụ 1.13 Cho H = h3, 5, 7i = {0, 3, 5, 6, 7, } Ta có F (H) = 4,

Ap(H, 3) = {0, 5, 7} suy ra max≤HAp(H, 3) = {5, 7} Do đó PF(H) ={2, 4}, F(H) = 7−3 = 4, t(H) = 2.Trong Mệnh đề 1.11, tậpPF(H), F(H)

không phụ thuộc vào a nên ta tính thêm a=5, ta cóAp(H, 5) = {0, 6, 7, 3, 9}

suy ra max≤HAp(H, 5) = {9, 7} Do đó PF(H) = {2, 4}, F(H) = 9 − 5 =

4, t(H) = 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Chú ý 1.14 Cho H là nửa nhóm số Khi đó emb(H) ≤ e(H) Thật vậy,giả sử H = ha1, a2, , ani với e(H) = a1, emb(H) = n Ta có

Ap(H, a1) = {0, a2, a3, , an, } ≥ n

Mà #(Ap(H, a1)) = a1 nên a1 ≥ n, suy ra e(H) ≥ emb(H)

Ta nói rằng H có chiều nhúng tối đa nếu emb(H) = e(H)

Ta có đặc trưng cho các nửa nhóm số đối xứng thông qua các bất biến củanửa nhóm số đó trong các mệnh đề sau

Ap(H, a), wi − a /∈ H Do H đối xứng nên F(H) − (wi − a) ∈ H Do đó

wa − wi = wa − a − (wi − a) ∈ H Suy ra wa = wi + j với j ∈ H Nếu

j /∈ Ap(H, a) thì j − a ∈ H ta được wi + j − a ∈ H hay wa − a ∈ H vô

lý (do wa ∈ Ap(H, a)) Do đó wa = wi + wj (với j ∈ {0, , a − 1}) Mà

(3) ⇔ (1) Lấy x ∈ PF(H), giả sử x≤Hy với y /∈ H thì y − x ∈ H Nếu

y − x = t với t ∈ H, t 6= 0 thì x + t ∈ H, mà y /∈ H nên t = 0 suy

ra y = x Mà theo giả thiết PF(H) = {F(H)} thì F(H) = max≤H(Z\H)

tương đương với x /∈ H thì F(H) − x ∈ H Do đó H đối xứng

(1) ⇔ (5) Đẳng thức 2g(H) = F(H) + 1 hay g(H) = F(H) + 1

đương với {0, 1, , F(H)} có đúng một nửa số phần tử thuộc H chứng tỏ

Định nghĩa 1.17 Một nửa nhóm sốH được gọi là giả đối xứng nếuF(H)

là số chẵn và với mọi x ∈ Z\{F(H)

2 } thì hoặc x ∈ H hoặc F(H) − x ∈ H

Nếu H là giả đối xứng thì F(H)

2 + a ∈ Ap(H, a) Thật vậy ta giả sửF(H)

2 + a /∈ H Do H là giả đối xứng và F(H)

2 + a 6=

F(H)

2 nên F (H) −(F(H)

2 + a) ∈ H Suy ra

F(H)

2 − a + a ∈ H hay

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

F(H)

2 ∈ H, nói riêng F (H) ∈ H Vô lý Do đó F(H)

2 + a ∈ H. Mặt khácF(H)

wa−1− wi = wj với mọi 1 ≤ i ≤ a − 1

Hơn nữa wa−1 − wi 6= F(H)

H) Cho nên wi + wa−i = wa−1 với 1 ≤ i ≤ a − 1

(2) ⇒ (1) Lấy x ∈ Z sao cho x 6= F(H)

Do x 6= F(H)

2 nên k 6= 1 suy ra k > 2 Cho nên F(H)

2 + (k − 1)a =(F(H)

2 + a) + λa ∈ H với λ ≥ 0 tức là F(H) − x ∈ H.

Trường hợp 2: Nếu wi 6= F(H)

2 + a với 1 ≤ i ≤ a − 1 thìF(H) − x = F(H) − (wi − ka) = F(H) + a − wi + (k − 1)a

= wa−1 − wi+ (k − 1)a = wa−i+ (k − 1)a

F(H) là số chẵn tương đương với mọi x ∈ Z\{F(H)

2 } thì x ∈ H hoặc

VớiH là nửa nhóm số Ta định nghĩaL(H) = {x ∈ Z\H|F(H) − x /∈ H.}.Định nghĩa 1.19 Nửa nhóm số H được gọi là hầu đối xứng nếu L(H) ⊆PF(H)

Từ định nghĩa ta thấy H đối xứng khi và chỉ khi L(H) = ∅

H là giả đối xứng khi và chỉ khi L(H) = {F(H)

2 }

Do đó nửa nhóm số đối xứng và giả đối xứng là hầu đối xứng Vì vậy kháiniệm nửa nhóm số hầu đối xứng là tổng quát của khái niệm nửa nhóm sốđối xứng và giả đối xứng

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

F(H) − fi = fj(fj ∈ PF(H))

Lại vì f1 < f2 < · · · < ft = F(H) Do đó fi + ft−i = F(H) với mọi

1 ≤ i ≤ t − 1

(2) ⇒ (1) Giả thiết fi + ft−i = F(H) với mọi 1 ≤ i ≤ t − 1 Ta thấy

x ∈ PF(H) khi và chỉ khi F(H) − x ∈ PF(H) Nếu y /∈ PF(H) thì

F (H)−y /∈ PF(H) Khi đó tồn tại 0 6= h0 ∈ H sao choF(H)−y +h0 ∈ H/ Suy ra

F(H) − (y + h) + (h + h0) /∈ H

Dẫn đến F(H) − (y + h) /∈ PF(H) hay y + h /∈ PF(H) Chứng tỏ khi

y ∈ L(H)\PF(H) thì y + h ∈ L(H)\PF(H) Do đó y + h1 + h2 + · · · ∈L(H)\PF(H) Mà L(H) hữu hạn nên L(H) ⊆ PF(H) Vì vậy H là hầuđối xứng

(1) H = ha, bi đều là nửa nhóm số đối xứng Thật vậy, vì

H = {0, a, 2a, 3a, , (b − 1)a, ba, b, 2b, , (a − 1)b, },

nên Ap(H, a) = {0, b, 2b, , (a − 1)b} thỏa mãn wi+ wa+1−i = wa với

(4) H = ha, a + 1, , 2a − 1i = {0, a, →}

Ta có F(H) = a − 1, PF(H) = {1, , a − 2, a − 1}thỏa mãn điều kiệntương đương nên H là hầu đối xứng

Nếu a = 2 thì H = h2, 3i là đối xứng

Nếu a = 3 thì H = h3, 4, 5i, PF(H) = {1, 2} là giả đối xứng

Nếu a ≥ 4 thì t(H) > 2 nên không là giả đối xứng, không là đối xứng.Vậy (H) = {0, a, →} với a ≥ 4 không là giả đối xứng hoặc đối xứng

Trong trường hợp này kí hiệu H = hdha0, b0i, ci.

Ví dụ 2.2

(1) H1 = h4, 5, 6i do (4, 6) = 2, 5 ∈ h2, 3i nên H1 đối xứng ta viết là

H1 = h2h2, 3i, 5i H2 = h6, 10, 11i do (10, 6) = 2, 11 ∈ h5, 3i nên H2

đối xứng ta viết là H2 = h2h3, 5i, 11i.(2) H3 = h7, 10, 12i do (10, 12) = 2, 7 /∈ h5, 6i và (7, 10) = 1, (12, 7) = 1

nên H3 không đối xứng H4 = h9, 11, 13i do (11, 9) = 1, (11, 13) =

1, (13, 9) = 1 nên H4 không đối xứng

(3) Nếu H = ha, b, ci có (a, b) = 1, (a, c) = 1, (b, c) = 1 thì H không đốixứng.

Tiếp theo ta quan tâm đến trường hợp H = ha, b, ci không đối xứng.Mệnh đề 2.3 Nếu H = ha, b, ci không đối xứng thì t(H) = 2

Chứng minh

Đặt m = max{j| − c + ja /∈ H}

n = max{k| − c + ma + kb /∈ H}

z = −c + ma + nb.Theo cách đặt của n thì z = −c + ma + nb /∈ H

Do−c+(β +1)b /∈ H nênh−α < 0suy rah < α Tương tự−b+(k+1)c /∈

H suy ra α < h Mâu thuẫn, từ đó trong 2 số−c + (β + 1)b, −b + (k + 1)c

có ít nhất một số thuộc H Nếu −c + (β + 1)b ∈ H mà −c + βb /∈ H

thì ta suy ra β = max{j ∈ N| − c + jb /∈ H} Mà x + a ∈ H nên

−c + βb + (α + 1)a ∈ H suy ra α = max{i ∈ N| − c + βb + ia /∈ H}

Từ tất cả những điều trên suy ra t(H) = 2 Mệnh đề 2.4 Cho H = ha, b, ci là nửa nhóm số không đối xứng Khi đó

H là hầu đối xứng khi và chỉ khi H là giả đối xứng

Chứng minh

Dễ thấy nếu H là giả đối xứng thì H là hầu đối xứng Ngược lại nếu H là

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

hầu đối xứng và không đối xứng, theo Mệnh đề 2.3 thì t(H) = 2 Suy ra

2g(H) = F(H)+2nênF(H)là số chẵn Dẫn đến{F(H),F(H)

2 } ∈ PF(H)

Do đó PF(H) = {F(H),F(H)

2 } tức là H là giả đối xứng Bây giờ ta nghiên cứu H = ha, b, ci là nửa nhóm số giả đối xứng

2.2 Đặc trưng của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần

Mệnh đề 2.6 Nếu H = ha, b, ci là nửa nhóm số không đối xứng thì

(1) (α + α0)a = β0b + γc và α + α0 = min{n > 0|an ∈ hb, ci};

(2) (β + β0)b = αa + γ0c và β + β0 = min{n > 0|bn ∈ ha, ci};

(3) (γ + γ0)c = βb + α0a và γ + γ0 = min{n > 0|cn ∈ ha, bi}

Giả sử tồn tại 0 < δ < α + α0 sao cho γa = β00b + γ00c Khi đó tδa −

tβ00b+γ00c = 0 tức là Xδ− Yβ00Zγ00 ∈ IH hay

Xδ−Yβ00Zγ00 = (YβXα0−Zγ+γ0)P1+(Xα+α0−Yβ0Zγ)P2+(XαZγ0−Yβ+β0)P3

Điều này là không thể xảy ra vì 0 < δ < α + α0 Vì vậy

α + α0 = min{n > 0|an ∈ hb, ci}

Vìk[H]/(ta) ∼= k[X, Y, Z]/(IH, X) ∼= k[X, Y, Z]/(X, Yβ+β0, Yβ0Zγ, Zγ+γ0)

nênk[H]/(ta) ∼= k[Y, Z]/(Yβ+β0, Yβ0Zγ, Zγ+γ0), iđêan định nghĩa củak[H]/(ta)

sinh bởi định thức 2 × 2 của ma trận 0 Yβ Zγ

Yβ0 Zγ0 0

! Ta có

dimkk[Y, Z]/(Yβ+β0, Yβ0Zγ, Zγ+γ0) = (β + β0)(γ + γ0) − βγ0

= βγ + β0γ + β0γ0

Tiếp theo, ta tính dimkk[H]/(ta) chính là số phần tử của tập H − (a + H)

nên cũng là số phần tử của tập Ap(H, a), do đó dimkk[H]/(ta) = a Vìvậy ta có kết quả sau

Bổ đề 2.8 Cho H = ha, b, ci là nửa nhóm số không đối xứng

(1) Nếu β0b > αa (hay f0 > f) thì

(i) Với p, q, r ∈ N, f0− f + pa + qb + rc /∈ H khi và chỉ khi p < α, q <

β, r < γ.(ii) #{h ∈ H|f0− f + h /∈ H} = αβγ

(2) Nếu β0b < αa (hay f0 < f) thì

(i) Với p, q, r ∈ N, f − f0+ pa + qb + rc /∈ H khi và chỉ khi p < α0, q <

β0, r < γ0.(ii) #{h ∈ H|f − f0+ h /∈ H} = α0β0γ0.Chứng minh Ta chứng minh 1 suy ra i đúng Giả sửβ0b > αahayf0 > f

với p, q, r ∈ N Suy ra f0− f + αa = β0b ∈ H,

f0− f + βb = (β0b + βb) − αa = γ0c ∈ H,

f0− f + γc = (β0b + γc) − αa = α0a ∈ H

Do đó

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

f0− f + pa + qb + rc = β0b − αa + pa + qb + rc = (p − α)a + (q + β0)b + rc,

f0− f + pa + qb + rc = γ0c − βb + pa + qb + rc = pa + (q − β)b + (γ0+ r)c,

f0− f + pa + qb + rc = α0a − γc + pa + qb + rc = (α0+ p)a + qb + (r − γ)c.Suy ra nếu f0 − f + pa + qb + rc ∈ H thì p ≥ α hoặc q ≥ β hoặc r ≥ γ,

có nghĩa là nếu f0 − f + pa + qb + rc /∈ H thì p < α, q < β, r < γ

Ngược lại, giả thiết chop < α,q < β,r < γ, giả sửf0−f +pa+qb+rc ∈

H Khi đó tồn tạiu, v, w ∈ N sao chof0−f +pa+qb+rc = ua+vb+wc ∈ H

hay (β0b − αa) + pa + qb + rc = ua + vb + wc Do đó

(β0+ q − v)b = (α − p + u)a + (w − r)c

Do p < α, u ∈ N nên α − p + u > 0 Nếu β0+ q − v ≤ 0 thì (r − w)c =(α − p + u)a + (v − β0 − q)b thỏa mãn r − w ≥ γ + γ0 Mà r < γ, w ∈ N

nên r − w < γ < γ + γ0 mâu thuẫn nên

β0 + q − v > 0

Nếu w ≥ r thì r − w ≤ 0, mâu thuẫn Mệnh đề 2.6, do đó w < r Từ đó

(α−p+u)a = (β0+q−v)b+(r−w)c Theo Mệnh đề 2.6 thìα−p+u ≥ α+α0

suy ra u − p ≥ α0 Dẫn đến Xα−p+u− Yβ0+q−vZr−w ∈ IH mâu thuẫn (do

Chứng minh Giả sử β0b > αa thì f0 > f, mà PF(H) = {f, f0} nên

F(H) = f0 Khi đó với mọi h ∈ H thì f − h /∈ f0 − H nếu và chỉ nếu

f0− (f − h) /∈ H Thật vậy, ta có f − h /∈ f0− H, giả sử f0− (f − h) ∈ H.Suy ra tồn tại k ∈ H sao cho f0− (f − h) = k thì f − h = f0− k ∈ f0− H

(vô lý) cho nên f0 − (f − h) /∈ H Nếu ta có f0 − (f − h) /∈ H, giả sử

f − h ∈ f0 − H Suy ra tồn tại l ∈ H thoả mãn f − h = f0 − l thì

f0− (f − h) = l ∈ H (vô lý), cho nên f − h /∈ f0− H Do đó

#{h ∈ H|f0 − f + h /∈ H} = #{(f − H) ∩N\(f0 − H)}

Chứng minh Do H là giả đối xứng tương đương với 2g(H) = F(H) + 2

(theo Mệnh đề 1.18) Nếu β0b > αa thì 2g(H) − (F(H) + 1) = αβγ (theoMệnh đề 2.8) Suy ra αβγ = 1 Do đó α = β = γ = 1 Mệnh đề này thể hiện đặc trưng của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi 3phần tử

2.3 Cấu trúc của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần

tử

Trong phần này, giả sử H = ha, b, ci là nửa nhóm số giả đối xứng Với

f là số nguyên dương bất kì, ta phân loại các nửa nhóm số giả đối xứng

H = ha, b, ci với F(H) = f Ví dụ không có nửa nhóm số giả đối xứng

H = ha, b, ci với F(H) = 12 Như được đề cập trước, IH sinh bởi các địnhthức 2 × 2 của ma trận ở (2.1), ta giả sử α = β = γ = 1 Trong trườnghợp này ta có

a = β0γ0+ β0+ 1,

b = γ0α0 + γ0 + 1,

c = α0β0 + α0 + 1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Định lí 2.11 Cho H = ha, b, ci là nửa nhóm số giả đối xứng và IH sinhbởi các định thức 2 × 2 của ma trận X Y Z

Yβ0 Zγ0 Xα0

! Khi đó

{a, b, c} = {3, 12, 21} vô lý (do (a, b, c) = 1) Do đó không có nửa nhóm

số thỏa mãn Còn nếu {α0, β0, γ0} = {5, 2, 1} khi (α0, β0, γ0) = (5, 2, 1) thì

a = 5, b = 7, c = 16 nên H = h5, 7, 16i, khi (α0, β0, γ0) = (5, 1, 2) thì

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

2 + 1 chứa thừa số nguyên tố dạng 3k + 2 (k ≥ 1). 

Ví dụ 2.15 Cho f là bội của 12

2 + 1 = 85 =17.5.1 nênH = h11, 19, 103i Với F(H) = 108 thì f

2+ 1 = 55 = 5.11.1

nên H = h11, 13, 67i và H = h7, 23, 61i.(3) Điều ngược lại của Mệnh đề 2.14 không đúng Ví dụf = 1596thoả mãn

f

2 + 1 = 799 = 17.47.1 chứa thừa số 17 ≡ 2 (mod 3) Nhưng không

tồn tại giả đối xứng nào Thật vậy, nếu (α0, β0, γ0) = (17, 47, 1) thì

(a, b, c) = (95, 19, 817) nên a,b,c đều chia hết cho19 vô lý vì(a, b, c) =

1 Còn nếu(α0, β0, γ0) = (47, 17, 1) thì(a, b, c) = (35, 49, 847)nên a,b,cđều chia hết cho 17 cũng vô lý

Khif 6 12 thì ta luôn tìm được nửa nhóm số giả đối xứngH với F(H) = f

Còn khif là bội của12 thì không phải lúc nào ta cũng tìm được nửa nhóm

số giả đối xứng

Cho H = ha1, a2, , ani, e(H) = a1 Với i ∈ {1, , n} ta kí hiệu

δi = min{k ∈ N\{0}|kai ∈ h{a1, , an}\{ai}i}

Định nghĩa 2.16 H được gọi là nửa nhóm số đơn nếu

a1 = (δ2 − 1) + (δ3 − 1) + · · · + (δn− 1) + 1

Mệnh đề 2.17 Cho H = ha1, a2, , ani là nửa nhóm số đơn Khi đó

t(H) = n − 1 Do đó nếu H là nửa nhóm số đơn với n ≥ 3 thì H khôngđối xứng

Chứng minh Lấy λ ∈ N sao cho λ < δ2 thì λa2 luôn thuộc H Giả

sử λa2 − a1 thuộc H Suy ra λa2 − a1 = λ1a1 + · · · + λnan nên (λ −

λ2)a2 = (λ1 + 1)a1 + λ3a3 + · · · + λnan Mà δ2 = min{k ∈ N\{0}|ka2 ∈h{a1, , an}\{a2}i} dẫn đến điều giả sử là sai Suy ra λa2 − a1 ∈ H/ Dođó

λa2 ∈ Ap(H, a1) với mọi λ < δ2

Từ đó {0, a2, , (δ2 − 1)a2, , an, , (δn− 1)an} ∈ Ap(H, a1)

Lại có #{0, a2, , (δ2 − 1)a2, , an, , (δn− 1)an}

= (δ2 − 1) + (δ3 − 1) + + (δn − 1) + 1

= a1 (do H là nửa nhóm số đơn)

Mặt khác #(Ap(H, a1)) = a1 nên

Ap(H, a1) = {0, a2, , (δ2 − 1)a2, , an, , (δn− 1)an}

Khi đó PF(H) = {w − a1|w ∈ max≤HAp(H, a1)}

= {(δ2 − 1)a2 − a1, , (δn − 1)an− a1}

Suy ra t(H) = n − 1

Định lí 2.18 ChoH = ha, b, ci là nửa nhóm số được định nghĩa như trong(2.1), e(H) = a Khi đó H là nửa nhóm số đơn khi và chỉ khi β0 = γ = 1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Chứng minh

Ta có δ2 = min{k ∈ N\{0}|kb ∈ ha, ci}

δ3 = min{k ∈ N\{0}|kc ∈ ha, bi}.Theo Mệnh đề 2.6 có β + β0 = min{n ∈ N\{0}|bn ∈ ha, ci}

γ + γ0 = min{n ∈ N\{0}|cn ∈ ha, bi}

Khi đó H là nửa nhóm số đơn khi và chỉ khi a = (δ2 − 1) + (δ3 − 1) + 1

tương đương với βγ + β0γ + β0γ0 = β + β0 + γ + γ0 − 1 hay (β − 1)(γ −1) + (β0 − 1)(γ0 − 1) + (β0γ − 1) = 0 có nghĩa là (β − 1)(γ − 1) = 0,

(β0 − 1)(γ0 − 1) = 0 và β0γ − 1 = 0 khi và chỉ khi β0 = γ = 1 Định lý này thể hiện đặc trưng của nửa nhóm số đơn sinh bởi ba phần tử

DoH là nửa nhóm số nên#(N\H) < ∞suy ra#(N\(H ∪{F(H)})) < ∞.

Mà 0 ∈ H suy ra 0 ∈ H ∪ {F(H)} Giả sử a, b ∈ H ∪ {F(H)}, nếu