Định nghĩa 3.1. Nửa nhóm số được gọi là bất khả quy nếu nó không biểu diễn được thành giao của hai nửa nhóm số thực sự chứa nó.
Mệnh đề 3.2. Cho H là nửa nhóm số, H 6= N. Khi đó H∪ {F(H)} cũng là một nửa nhóm số.
Chứng minh.
DoH là nửa nhóm số nên#(N\H) < ∞suy ra#(N\(H∪{F(H)})) < ∞.
Mà 0 ∈ H suy ra 0 ∈ H ∪ {F(H)}. Giả sử a, b ∈ H ∪ {F(H)}, nếu a = F(H), b ∈ H thì a+ b ≥F(H) suy ra a+b ∈ H ∪ {F(H)}. Còn nếu a, b ∈ H thì a+b ∈ H nên a+b ∈ H ∪ {F(H)}.
Vậy H ∪ {F(H)} là một nửa nhóm số.
Định lí 3.3. Cho H là nửa nhóm số. Các điều kiện sau là tương đương (1) H là bất khả quy.
(2) H là lớn nhất trong tập tất cả các nửa nhóm số với số Frobenius F(H). (3) H là lớn nhất trong tập tất cả các nửa nhóm số mà không chứa số
Frobenius F(H).
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG
Chứng minh.
(1) ⇒(2) Gọi T là nửa nhóm số mà H ⊆T, F(T) = F(H). Khi đó H = (H ∪ {F(H)})∩T.
Thật vậy, nếu x ∈ H thì x ∈ (H ∪ {F(H)}) và x ∈ T (do H ⊆ T ). Suy ra x ∈ ((H ∪ {F(H)}) ∩ T). Ngược lại x ∈ ((H ∪ {F(H)}) ∩ T suy ra x ∈ (H ∪ {F(H)} và x ∈ T nên x ∈ H hoặc x = F(H) và x ∈ T Nếu x = F(H) thì x = F(T) suy ra x /∈ T mà x ∈ T vô lý nên x 6= F(H). Do đó x ∈ H nên H = (H ∪ {F(H)})∩T. Theo Mệnh đề 3.2 thì H ∪ {F(H) là nửa nhóm số, hơn nữa giả thiết T là nửa nhóm số nên H = T.
(2) ⇒(3) Gọi T là nửa nhóm số mà H ⊆T,F(H) ∈/ T. Khi đó A = T ∪ {F(H) + 1,F(H) + 2,→}
là nửa nhóm số chứa H với số Frobenius F(H). Thật vậy 0 ∈ A (do 0 ∈ T), #(N\A) < ∞ (do #(N\T) < ∞). Tiếp theo, giả sử a, b ∈ A. Nếu a, b ∈ T thì a + b ∈ T nên a + b ∈ A. Nếu a ∈ T, b = F(H) + i với i > 0 thì a+ b ≥ F(H) +i nên a+ b ∈ A. Hơn nữa ta thấy H ⊂ A (do H ⊂ T ⊂ A) và F(H) ∈/ T suy ra F(H) ∈/ A. Mà A là tập lớn nhất trong tập các nửa nhóm số với số Frobenius F(H), dẫn đến A = H do đó H = T.
(3) ⇒(1) Gọi H1, H2 là hai nửa nhóm số chứa H mà H = H1∩H2. Theo giả thiết H là lớn nhất trong tập tất cả các nửa nhóm số mà không chứa số Frobenius F(H) nên F(H) ∈ H1,F(H) ∈ H2 ta được F(H) ∈ H (vô lý). Suy ra H 6= (H1 ∩H2). Vây H là bất khả quy.
Bổ đề 3.4. Cho H là nửa nhóm số và giả sử tồn tại
h = max{x ∈ Z\H|F(H)−x /∈ H, x 6= F(H) 2 }.
Khi đó H ∪ {h} là nửa nhóm số với số Frobenius F(H).
Chứng minh. Thấy 0 ∈ H ∪ {h} (do H là nửa nhóm số). Đặt T = {x ∈ Z\H|F(H)−x /∈ H, x 6= F(H)
2 }.
Nếux ∈ T thìx /∈ H, x 6= F(H)
2 ,F(H)−x /∈ H. Màx = F(H)−(F(H)−
x) suy ra F(H)−(F(H)−x) ∈/ H. Mặt khác x 6= F(H)
2 nên F(H)−x6=
F(H)
2 .Suy ra F(H)−x ∈ T, điều đó có nghĩa là h ∈ T thì F(H)−h ∈ T.
Mà theo định nghĩa của h thì F(H)−h < h. Do đó h > F(H) 2 . Giả sử a, b ∈ H ∪ {h}. Xét các trường hợp
Nếu a, b ∈ H thì a+b ∈ H nên a+b ∈ H ∪ {h}.
Nếu a ∈ H, b = h, a 6= 0 thì giả sử a + h /∈ H. Do h > F(H) 2 nên a + h 6= F(H)
2 và a + h > h, dẫn đến F(H) − (a + h) ∈ H. Khi đó F(H)−(a+h) = t (với t∈ H) hay F(H)−h = t+a (vô lý)(do a, t ∈ H thì a+ t ∈ H,F(H) −h /∈ H). Trái với điều giả sử nên a+ h ∈ H cũng đồng nghĩa a+ b ∈ H ∪ {h}. Do đó
H ∪ {h} là nửa nhóm số.
Do 2h > F(H), giả sử 2h /∈ H thì F(H)−2h ∈ H, lúc nàyF(H) = 2h+t (t∈ H). Ta viết lại thành F(H)−h = h+t. Ở trên ta đã có F(H)−h ∈ T nên F(H) −h /∈ H có nghĩa là t+ h /∈ H. Mà F(H) −(t+ h) = h /∈ H, t+ h 6= F(H)
2 nên t + h > h thoả mãn định nghĩa h, điều này mâu thuẫn. Suy ra 2h ∈ H.
Vậy H ∪ {h} là nửa nhóm số với số Frobenius F(H). Mệnh đề 3.5. Nếu H là nửa nhóm số bất khả quy thì H đối xứng hoặc giả đối xứng.
Chứng minh. Giả sử tồn tại tại x ∈ Z\H sao cho F(H) −x /∈ H. Khi đó tồn tại h thoả mãn h = max{x ∈ Z\H|F(H)−x /∈ H, x 6= F(H)
2 } thì H ∪ {h} là nửa nhóm số với số Frobenius F(H) (vô lý) (do theo Mệnh đề 3.3 ta có H là bất khả quy khi và chỉ khi H là lớn nhất trong tập tất cả các nửa nhóm số với số Frobenius F(H)). Suy ra (với mọi x ∈ Z\H thì F(H)−x ∈ H) hoặc (với mọi x ∈ Z\H, x 6= F(H)
2 thì F(H)−x ∈ H).
Vậy H là đối xứng hoặc giả đối xứng.
Định lí 3.6. Cho H1 là nửa nhóm số. Khi đó H1 là hầu đối xứng khi và chỉ khi tồn tại nửa nhóm số bất khả quy H với F(H) = F(H1) sao cho H1 = H\A, trong đó A là tập các phần tử sinh tối tiểu của H thỏa mãn
Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THƯƠNG
A ⊂ [F(H)
2 ,F(H)], x+ y −F(H) ∈/ H1 với mọi x, y ∈ A. Trong trường hợp này ta có t(H1) = 2#(A) +t(H)(∗)
Chứng minh.
⇐ Giả thiết, tồn tại nửa nhóm số bất khả quy H với F(H) = F(H1) sao cho H1 = H\A, trong đó A là tập các phần tử sinh tối tiểu của H thỏa mãn A ⊂ [F(H)
2 ,F(H)], x+ y −F(H) ∈/ H1 với mọi x, y ∈ A. Giả sử h ∈ L(H1) phải chứng minh h ∈ PF(H1) tức h + t ∈ H1 với mọi 06= t∈ H1. Thật vậy, ta xét hai trường hợp của h như sau.
Nếu h = F(H)
2 thì giả sử tồn tại t 6= 0, t ∈ H1 sao cho h+t ∈ H1. Do H là bất khả quy nên H là đối xứng hoặc giả đối xứng, mà h = F(H)
2 . Ta được h ∈ PF(H) tức là h +t ∈ H nên ta có h+ t ∈ H\H1, đặt h+t = x với x ∈ A rút ra được t = x−h = x−F(H)
2 ∈ H1, dẫn đến 2(x− F(H)
2 ) = 2x−F(H) ∈ H1.
Mâu thuẫn với giả thiết x+y −F(H) ∈/ H1 với mọi x, y ∈ A điều giả sử là sai nên
với mọi 06= t ∈ H1 thì F(H)
2 + t∈ H1. Nếuh 6= F(H)
2 , h /∈ H∪ {F(H)
2 } thì do H là bất khả quy nên H là giả đối xứng suy ra F(H)−h ∈ H. Mà h ∈ L(H1) nên F(H1) −h /∈ H1. Theo giả thiết F(H) = F(H1) nên F(H)−h /∈ H1. Suy ra F(H)−h ∈ H\H1 tức là F(H)−h = x với x ∈ A rút ra được với h = F(H) −x. Giả sử t 6= 0, t ∈ H1 thì h + t /∈ H1 thì F(H) − x + t /∈ H1. Ta chưa biết được t 6= 0, t ∈ H1 thì h + t có thuộc H hay không nên ta giả sử F(H) + t−x ∈ H hay F(H) + t −x = y (y ∈ A) suy ra t= x+y −F(H) ∈ H1 (mâu thuẫn) Do đó
F(H) +t−x /∈ H.
Vẫn doH bất khả quy. NếuF(H)−x+t = F(H)
2 thìt = x−F(H)
2 ∈ H1 nên2x−F(H) ∈ H1.Còn nếu F(H)−(F(H)−x+t) ∈ H thìx−t ∈ H.
Mà x ∈ A, t ∈ H1 dẫn đến x = t. Cả hai đều vô lý do đó với mọi 0 6= t ∈ H1 thì h +t ∈ H1. Suy ra h ∈ PF(H1). Do đó H1 là hầu đối xứng.
⇒ Giả thiết H1 là hầu đối xứng. Đặt A = {x ∈ PF(H1)|F(H1)
2 < x <F(H1)}, H = H1 ∪ {A}.
Vì H1 là nửa nhóm số nên 0 ∈ H1, #(N\H1) < ∞ nên 0 ∈ H,
#(N\H) < ∞. Ta chứng minh H đóng với phép cộng. Thật vậy với mọi x, y ∈ H. Nếu x, y ∈ H1 thì x + y ∈ H1 nên x + y ∈ H. Nếu x, y ∈ A thì F(H1)
2 < x, F(H1)
2 < y. Suy ra F(H1) < x + y nên x+ y ∈ H. Còn nếu x ∈ H1, y ∈ A thì y ∈ PF(H1), x ∈ H tức là ta có y +x ∈ H1. Do đó H là nửa nhóm số, F(H) = F(H1).
Phải chứng minh tiếp phần tử của A là phần tử sinh tối tiểu của H. Thật vậy, giả sử tồn tạix ∈ A sao chox = y+z với mọi y, z ∈ H\{0}.
Nếu y, z ∈ H1 thì y+z ∈ H1 hay x ∈ H1 nên x /∈ A(mâu thuẫn). Nếu y, z ∈ A thì y + z > F(H1) nên x > F(H1) hay x ∈ H1 (mâu thuẫn).
Còn nếu y ∈ A, z ∈ H1 thì cũng mâu thuẫn.
Cuối cùng H là bất khả quy. Thật vậy H1 là hầu đối xứng tương đương với 2g(H1) = F(H1) + t(H1). Với mọi x ∈ PF(H1)\{F(H1)}
có F(H1) − x ∈ PF(H1) (do H1 là hầu đối xứng). Suy ra #(A) = t(H1)−e
2 (e = 1 nếu F(H) lẻ, e = 2 nếu F(H) chẵn). Mà g(H) = g(H1) − #(A). Do đó g(H) = F(H1) +t(H1)
2 − t(H1)−e
2 suy ra g(H) = F(H1) +e
2 = F(H) +e
2 . Vậy nên H là bất khả quy.