Tính bất khả quy của đa thức với hệ số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --- ---PHẠM THỊ THU TRANG TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

-PHẠM THỊ THU TRANG

TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

-PHẠM THỊ THU TRANG

TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2019

Líi c£m ìn

Tr÷îc ti¶n tæi xin gßi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u s›c nh§t tîi GS.TSL¶ Thà Thanh Nh n M°c dò r§t b“n rºn trong cæng vi»c, song ngay tłnhœng ng y ƒu ti¶n Cæ ¢ luæn t“n t…nh ch¿ b£o, h÷îng d¤n v ÷a ranhœng líi khuy¶n câ ‰ch gióp tæi ho n thi»n lu“n v«n n y

Tæi công xin gßi líi c£m ìn tîi c¡c thƒy, cæ c¡n bº khoa To¡n - Tin,tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, Ban gi¡m hi»u v c¡c çngnghi»p tr÷íng Trung håc phŒ thæng Ho nh Bç - T¿nh Qu£ng Ninhcòng c¡c b⁄n t“p th” lîp Cao håc To¡n K11D, ¢ khæng ch¿ trang bà chotæi nhœng ki‚n thøc bŒ ‰ch m cÆn luæn luæn gióp ï tæi, t⁄o i•u ki»ncho tæi trong thíi gian theo håc t⁄i tr÷íng

CuŁi còng, tæi xin ch¥n th nh b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n gia …nh, b⁄n b–,nhœng ng÷íi ¢ khæng ngłng ıng hº, ºng vi¶n, hØ træ v t⁄o måi i•u ki»ngióp tæi v÷æt qua nhœng khâ kh«n ” ho n thi»n lu“n v«n

2

Mð ƒu

T‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n tr¶n tr÷íng c¡c sŁphøc C v tr¶n tr÷íng c¡c sŁ thüc R ¢ ÷æc gi£i quy‚t tł th‚ k 19 thængqua ành lþ cì b£n cıa ⁄i sŁ Tuy nhi¶n, t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc vîih» sŁ nguy¶n tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q ‚n nay v¤n ang th¡ch thøc c¡c

Ch÷ìng 2 tr…nh b y c¡c ti¶u chu'n b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu

t Q li¶n quan ‚n c¡c gi¡ trà kh£ nghàch v gi¡ trà nguy¶n tŁ cıa a thøc vîih» sŁ nguy¶n Phƒn 2:1 tr…nh b y c¡c ti¶u chu'n v• sü li¶n quan giœagi¡ trà kh£ nghàch vîi t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc Phƒn 2:2 tr…nh b yv• mŁi quan h» giœa gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t kh£ quy C¡c k‚t qu£

ð hai phƒn n y công ÷æc vi‚t düa theo b i b¡o [11] cıa R Thangadurain«m 2007 Phƒn 2:3 tr…nh b y mºt ti¶u chu'n b§t kh£ quy mîi tr¶ntr÷íng Q c¡c sŁ hœu t li¶n quan ‚n a thøc câ c¡c h» sŁ nguy¶n t«ng dƒntheo ch¿ sŁ v câ h» sŁ cao nh§t nguy¶n tŁ ho°c nh“n ‰t nh§t mºtgi¡ trà nguy¶n tŁ K‚t qu£ cıa phƒn n y ÷æc vi‚t düa theo b i b¡o [8] cıa

A Jakhar v N Sangwan n«m 2018 Phƒn 2:4 tr…nh b y v• gi¡ trànguy¶n tŁ t⁄i Łi sŁ ı lîn v t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n.Nºi dung cıa phƒn n y ÷æc vi‚t tr¶n cì sð nºi dung b i b¡o [11] cıa R.Thangadurai n«m 2007

Trong lu“n v«n n y, c¡c ti¶u chu'n trong c¡c phƒn 2:1 v• gi¡ trà kh£nghàch v t‰nh b§t kh£ quy; phƒn 2:2 v• gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§tkh£ quy; phƒn 2:3 v• ti¶u chu'n mîi cho t‰nh b§t kh£ quy l nhœng k‚tqu£ ch÷a ÷æc tr…nh b y trong b§t cø lu“n v«n th⁄c s¾ n o tr÷îc ¥y.Hìn th‚, trong c¡c phƒn 1:1, 1:2, 2:4, m°c dò câ mºt sŁ k‚t qu£ ¢ quenbi‚t v ÷æc tr…nh b y trong mºt v i lu“n v«n tr÷îc ¥y (xem [1], [2]), nh÷ngc¡ch chøng minh v v‰ du hƒu nh÷ l mîi, do ch‰nh t¡c gi£ lu“n v«n tü t

‰nh to¡n °c bi»t n‚u trong lu“n v«n [2], Nguy„n V«n L“p chøng minh athøc x4 2x2 + 9 l b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n Zpvîi måi sŁ nguy¶n tŁ p b‹ng c¡ch sß döng ki‚n thøc v• nhâm, th… tronglu“n v«n n y chøng minh a thøc x4 + 1 b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng kh£quy tr¶n Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p b‹ng c¡ch sß döng ki‚n thøc v• tr÷ínghœu h⁄n

Th¡i Nguy¶n, ng y 25 th¡ng 5 n«m 2019

T¡c gi£ lu“n v«n

Ph⁄m Thà Thu Trang

4

Ch֓ng 1

Ti¶u chu'n Eisenstein v ti¶u chu'n

rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n

tŁ

Mºt a thøc vîi h» sŁ tr¶n mºt tr÷íng ÷æc gåi l b§t kh£ quy n‚u nâ câb“c d÷ìng v khæng ph¥n t‰ch ÷æc th nh t‰ch cıa hai a thøc câ b“cth§p hìn Mºt a thøc b“c d÷ìng vîi h» sŁ tr¶n mºt tr÷íng l kh£ quy n‚u nâ

l t‰ch cıa hai a thøc vîi b“c th§p hìn

Chó þ r‹ng t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc phö thuºc v o tr÷íng cì sð.Chflng h⁄n, a thøc x2 2 l b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng Q c¡c sŁ hœu t , nh÷ngkhæng b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng R c¡c sŁ thüc a thøc x2 + 1 b§t kh£ quytr¶n tr÷íng R nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng C c¡c sŁ phøc

T‰nh b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ phøc v tr¶n tr÷íng c¡c sŁ thüc ¢

÷æc l m rª nhí ành lþ cì b£n cıa ⁄i sŁ: Måi a thøc b“c d÷ìng vîi h» sŁphøc •u câ ‰t nh§t mºt nghi»m phøc V… th‚ c¡c a thøc b§t kh£ quytr¶n C l v ch¿ l c¡c a thøc b“c nh§t C¡c a thøc b§t kh£ quy tr¶n R

l v ch¿ l c¡c a thøc b“c nh§t ho°c a thøc b“c hai câ bi»t thøc ¥m C¥u häi ÷æc °t ra l khi n o a thøc f(x) ¢ cho l kh£ quy hay b§t

kh£ quy tr¶n Q? Cho ‚n nay, khæng câ i•u ki»n cƒn v ı n o câ th” ¡pdöng ÷æc cho t§t c£ c¡c a thøc, m ta ch¿ câ mºt sŁ ti¶u chu'n ” ki”m trat‰nh b§t kh£ quy cıa mºt sŁ tr÷íng hæp cö th”

Rª r ng måi a thøc b“c nh§t •u b§t kh£ quy tr¶n Q C¡c a thøc b“c hai

v b“c ba l b§t kh£ quy tr¶n Q n‚u v ch¿ n‚u nâ khæng câ nghi»m

hœu t Łi vîi a thøc b“c lîn hìn 3, n‚u a thøc câ nghi»m hœu t th… nâkhæng b§t kh£ quy Tuy nhi¶n i•u ng÷æc l⁄i khæng óng Chflng h⁄n, athøc (x2 + 1)2 khæng câ nghi»m hœu t , nh÷ng khæng b§t kh£ quy.

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr…nh b y hai ti¶u chu'n nŒi ti‚ng v• t‰nhb§t kh£ quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n düatheo b i b¡o [11] cıa R Thangadurai Phƒn thø nh§t d nh ” tr…nh b y Ti¶uchu'n Eisensrein v mºt sŁ mð rºng cıa nâ Mð rºng thø nh§t ÷æc ph¡t hi»nbði H Chao trong b i b¡o A Generalization of Eisenstein’s Criterion,Mathematics Magazine, Vol 47 (1974), 158-159 v mð rºng thø hai ÷æc

÷a ra bði S H Weintraub trong b i b¡o A mild generazation of Eisensteincriterion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol 141(2013), 1159-1160 Phƒn ti‚p theo tr…nh b y mºt trong nhœng ti¶u chu'nb§t kh£ quy phŒ bi‚n nh§t, â l ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁnguy¶n tŁ Ph¡t bi”u £o cıa ti¶u chu'n n y khæng cÆn óng nœa, chóngtæi ÷a ra mºt chøng minh chi ti‚t ” minh håa i•u n y

1.1 Ti¶u chu'n Eisenstein v mºt sŁ mð rºng

Trong möc n y, chóng tæi tr…nh b y l⁄i ti¶u chu'n Eisenstein v mºt sŁ

mð rºng li¶n quan v• t‰nh b§t kh£ quy cıa c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶ntr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t¿ Q ¥y l mºt trong nhœng ti¶u chu'n quenthuºc th÷íng ÷æc sß döng khi l m c¡c b i to¡n v• t‰nh b§t kh£ quy cıa athøc tr¶n Q

Chøng minh Gi£ sß f(x) kh£ quy tr¶n Q Theo BŒ • Gauss, tçn t⁄i bi”u

+ + a 1 x + a 0

Thæng th÷íng, Ti¶u chu'n Eisenstein khæng ¡p döng ÷æc trüc ti‚pcho a thøc f(x), m chóng ta câ th” ¡p döng cho a thøc f(x + a) vîi a lh‹ng sŁ n o â Chó þ r‹ng a thøc f(x) l b§t kh£ quy tr¶n Q n‚u

v ch¿ n‚u a thøc f(x + a) l b§t kh£ quy tr¶n Q vîi måi sŁ nguy¶n a Dov“y, chóng ta cŁ g›ng t…m h‹ng sŁ a vîi hy vång khi bi‚n Œi a thøcf(x + a) ta ÷æc mºt a thøc mîi thäa m¢n c¡c i•u ki»n cıa Ti¶u chu'nEisenstein D÷îi ¥y l mºt v‰ dö v• t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc chia ÷íngtrÆn thø p vîi p l mºt sŁ nguy¶n tŁ

1.1.2 V‰ dö 1 Cho p l sŁ nguy¶n tŁ Khi â a thøc chia ÷íng trÆn thø p

f(x) = xp 1 + xp 2 + + x + 1 l b§t kh£ quy tr¶n Q

Chøng minh a thøc f(x) = xp 1 + xp 2 + + x + 1 câ c¡c h» sŁ •u b‹ng 1n¶n khæng th” ¡p döng trüc ti‚p Ti¶u chu'n Eisenstein ” x†t t‰nh b§tkh£ quy cıa f(x)

7

Nh÷ v“y, thæng qua ti¶u chu'n Eisenstein, tł b i to¡n ban ƒu v• x†t t

‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc b“c n vîi h» sŁ nguy¶n, ta ÷a v• b i to¡nph¥n t‰ch n h» sŁ cıa a thøc mîi f(x + a), sau khi bi‚n Œi a thøc f(x +a) cƒn t…m ra ÷îc chung nguy¶n tŁ phò hæp cıa c¡c h» sŁ, trł h» sŁ caonh§t, cıa a thøc f(x + a) Hi”n nhi¶n, chóng ta cŁ g›ng bi‚n Œi a thøc ” t⁄o

ra a thøc mîi vîi h» sŁ lîn hìn, nh÷ng nhi»m vö sau â l t‰nh to¡n v ki”m trac¡c ÷îc nguy¶n tŁ chung cıa c¡c h» sŁ thäa m¢n

i•u ki»n trong Ti¶u chu'n Eisenstein Tuy nhi¶n, chóng ta ch÷a ch›cch›n v• sü tçn t⁄i cıa ph†p bi‚n Œi ” a thøc ban ƒu chuy”n th nh a thøcmîi câ th” ¡p döng ti¶u chu'n Eisenstein, tøc l ch÷a ch›c ¢ t…m ÷æc sŁnguy¶n a ” a thøc f(x + a) ¡p döng ÷æc Ti¶u chu'n Eisenstein øng vîimºt sŁ nguy¶n tŁ p n o â V‰ dö, ng÷íi ta ¢ ch¿ ra r‹ng a thøc x4 10x2+ 1 l b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng khæng t…m ÷æc sŁ nguy¶n a ” a thøc

(x + a)4 10(x + a)2 + 1b§t kh£ quy theo Ti¶u chu'n Eisenstein vîi mºt sŁ nguy¶n tŁ p n o â.Trong phƒn cuŁi cıa möc n y, chóng ta nh›c l⁄i mºt sŁ mð rºng cıa

Ti¶u chu'n Eisenstein Tr÷îc h‚t chóng ta nh›c l⁄i ti¶u chu'n b§t kh£ quycıa H Chao trong b i b¡o A Generalization of Eisenstein’s Criterion,Mathematics Magazine, Vol 47 (1974), 158-159

1.1.3 ành lþ 2 Cho f(x) = anxn + : : : + a1x + a0 l a thøc b“c n vîi h» sŁnguy¶n Gi£ sß p l mºt sŁ nguy¶n tŁ sao cho câ hai ch¿ sŁ t 6= k thäam¢n: p khæng l ÷îc cıa at, p l ÷îc cıa ai vîi måi i 6= t v p2 khæng l ÷îccıa ak Khi â n‚u f(x) l t‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ nguy¶n, th… mºttrong hai a thøc â câ b“c lîn hìn ho°c b‹ng j t k j

Chøng minh Xem [1].

Tr÷îc khi ÷a ra mºt sŁ v‰ dö minh håa cho vi»c ¡p döng ti¶u chu'ntrong ành lþ 2, chóng ta chó þ i•u ki»n v• nghi»m hœu t cıa a thøc vîih» sŁ nguy¶n nh÷ sau: N‚u r=s l ph¥n sŁ tŁi gi£n v l nghi»m cıa a thøcf(x) vîi h» sŁ nguy¶n, th… r ph£i l ÷îc cıa h» sŁ tü do v s l ÷îc cıa h» sŁcao nh§t

ành lþ tr¶n l mºt mð rºng khæng tƒm th÷íng cıa Ti¶u chu'n stein Chó þ r‹ng n‚u f(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n ph¥n t‰ch ÷æc th

Eisen-nh t‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ hœu t g(x) v h(x), th… nâ ph¥n t‰ch

÷æc th nh t‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ nguy¶n g1(x) v h1(x), trong âdeg g(x) = deg g1(x) v deg h(x) = deg h1(x), xem BŒ • Gauss ([3, ành

lþ 2.3.2]) V… th‚, khi t = n v k = 0, th… ành lþ tr¶n trð th nh Ti¶u chu'nEisenstein Khi t = 0 v k = n th… måi a thøc thäa m¢n i•u ki»n trongành lþ tr¶n v¤n l a thøc b§t kh£ quy tr¶n Q

(ii) p döng ành lþ 2 vîi t = 1, k = 4 v p = 2, ta suy ra r‹ng n‚u h(x)

l mºt a thøc vîi h» sŁ nguy¶n v l ÷îc cıa g(x), th… h(x) ph£i câ b“c lînhìn ho°c b‹ng 3 ho°c h(x) câ b“c nhä hìn ho°c b‹ng 1 D„ th§y r‹ng n‚ug(x) câ nh¥n tß b“c 1 th… nâ ph£i câ nghi»m hœu t , v nghi»m â ch¿

câ th” l 1; 1; 2; 2: Rª r ng t§t c£ c¡c sŁ tr¶n •u khæng l nghi»m cıa g(x),v… th‚ nâ khæng câ nh¥n tß b“c 1 Suy ra h(x) câ b“c 4 ho°c câ b“c 0.V… th‚ g(x) b§t kh£ quy tr¶n Q

S H Weintraub trong b i b¡o: A mild generazation of Eisensteincrite-rion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol 141(2013), 1159-1160 ¢ ÷a ra mæt mð rºng cıa Ti¶u chu'n Eisenstein, ÷æcph¡t bi”u nh÷ sau

1.1.5 ành lþ 3 Cho f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0 l a thøc b“c n vîi h» sŁnguy¶n Gi£ sß p l mºt sŁ nguy¶n tŁ sao cho p khæng l ÷îc cıa an, p

l ÷îc cıa ai vîi måi i 6= n v p2 khæng l ÷îc cıa ak vîi 0 k n 1 Gåi k0 l sŁb† nh§t trong c¡c sŁ k thäa m¢n i•u ki»n tr¶n Khi â n‚u f(x) = g(x)h(x) l t

‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ nguy¶n, th…

1.1.6 V‰ dö 3 a thøc f(x) = x4 14x2 + 4 l b§t kh£ quy tr¶n Q

Chøng minh p döng ành lþ 3 vîi n = 4, k0 = 2 v p = 2, ta suy ra r‹ng n‚uf(x) = g(x)h(x) l t‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ nguy¶n, th… g(x) ho°ch(x) câ b“c nhä hìn ho°c b‹ng 2 Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta gi£ sßh(x) câ b“c nhä hìn ho°c b‹ng 2 X†t tr÷íng hæp h(x) câ b“c 1 Khi â f(x)

câ nghi»m hœu t , v nghi»m â ch¿ câ th” l 1; 1; 2; 2; 4; 4: Rª

r ng t§t c£ c¡c sŁ tr¶n •u khæng l nghi»m cıa f(x), v… th‚ h(x) khæng th” câ b“c 1 Gi£ sß h(x) câ b“c 2 Theo BŒ • Gauss, ta câ th” vi‚t

x4 14x2 + 4 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)vîi a; b; c; d l c¡c sŁ nguy¶n çng nh§t h» sŁ c£ hai v‚ ta ÷æc

10

1.2 Ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ v b i

Cho n > 1 l mºt sŁ tü nhi¶n Kþ hi»u Zn l v nh c¡c sŁ nguy¶n modulo

n Khi â Zn l mºt tr÷íng (tøc l måi phƒn tß kh¡c 0 trong Zn •u câ nghàch

£o) khi v ch¿ khi n l sŁ nguy¶n tŁ Chflng h⁄n, Z5 l mºt tr÷íng, Z4 khæng

l tr÷íng Ta quy ÷îc vi‚t a thøc f(x) 2 Zp[x], vîi p

l sŁ nguy¶n tŁ, l a thøc thu ÷æc b‹ng c¡ch chuy”n h» sŁ cıa f(x) v otr÷íng Zp Chflng h⁄n, n‚u f(x) = 10x2 + 8, th… f(x) = 3x2 + 1 2 Z7[x].Ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau

1.2.1 ành lþ 4 Cho f(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n N‚u tçn t⁄i

sŁ nguy¶n tŁ p sao cho f(x) b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng Zp v deg f(x) = degf(x), th… f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q

Chøng minh V… a thøc f(x) b§t kh£ quy tr¶n Zp n¶n deg f(x) > 0: Suy

ra deg f(x) > 0 Gi£ sß f(x) kh£ quy tr¶n Q Theo BŒ • Gauss, f(x) câph¥n t‰ch f(x) = g(x)h(x) trong â g(x); h(x) 2 Z[x] v g(x); h(x) câ b“cnhä hìn b“c cıa f(x) Chó þ r‹ng f(x) = g(x)h(x) Do â deg f(x) = deg g(x)+ deg h(x): Rª r ng ta câ deg g(x) deg g(x) v deg h(x) deg h(x) Do â f(x)

ph¥n t‰ch ÷æc th nh t‰ch cıa hai a thøc g(x); h(x) câ b“c th§p hìn i•u n

y m¥u thu¤n vîi t‰nh b§t kh£ quy cıa f(x) tr¶n Zp

Ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ l mºt ti¶u chu'n r§thœu hi»u ” ki”m tra t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n Cânhœng a thøc câ th” ¡p döng trüc ti‚p ti¶u chu'n n y, chflng h⁄n vîi c¡c athøc b“c ba, ng÷íi ta th÷íng rót gån theo modulo mºt sŁ nguy¶n tŁ p rçiki”m tra a thøc trong Zp[x] câ nghi»m trong Zp hay khæng V‰ dö, athøc

f(x) = x3 + 591x2 + 3801 + 24240

l b§t kh£ quy tr¶n Q Th“t v“y, trong v nh Z2[x], a thøc f(x) = x3 + x2 + 1

khæng câ nghi»m trong Z2, v… th‚ a thøc f(x) b§t kh£ quy tr¶n Z2 Do

degf(x) = 3 = deg f(x), n¶n f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q theo ành lþ 1.2.1 Chó

þ r‹ng vi»c ki”m tra nghi»m hœu t cıa a thøc f(x) ð tr¶n l v§n • khæng kh£thi b‹ng c¡c cæng cö thæng th÷íng

1.2.2 V‰ dö 4 X†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc f(x) = 5x2 + 20x + 19:Chøng minh V… f(x) = 2x2 + 2x+ 1 2 Z3[x] khæng câ nghi»m trong Z3

v deg f(x) = 2 n¶n f(x) b§t kh£ quy tr¶n Z3 Rª r ng deg f(x) = deg f(x)

n¶n f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q theo ành lþ 1.2.1

1.2.3 V‰ dö 5 X†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc sau

g(x) = 6x4 + 10x3 9x2 + 11x + 1:

Chøng minh V… g(x) = x4 + x2 + x + 1 2 Z5[x] khæng câ nghi»m trong

Z5 n¶n nâ khæng câ nh¥n tß b“c mºt Gi£ sß g(x) kh£ quy tr¶n Z5 Khi â

g(x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)vîi a; b; c; d 2 Z5 çng nh§t h» sŁ ð hai v‚ cıa flng thøc n y ta ÷æc

a + c = 0; b + ac + d = 1; ad + bc = 1; bd = 1:

V… bd = 1 v vai trÆ cıa b; d l nh÷ nhau n¶n khæng m§t t‰nh tŒngqu¡t ta câ th” gi£ thi‚t (b; d) = (1; 1) ho°c (b; d) = (2; 3) ho°c (b; d) = (4;4) N‚u (b; d) = (1; 1) th… c¡c ph÷ìng tr…nh ƒu v cuŁi cho ta a + c = 0 v

a + c = 1, væ l‰ N‚u (b; d) = (2; 3) th… c¡c ph÷ìng tr…nh ƒu v cuŁi cho

ta a = 1; c = 4; v do â ph÷ìng tr…nh thø hai cho ta 4 = ac = 1, væ l‰.N‚u (b; d) = (4; 4) th… c¡c ph÷ìng tr…nh ƒu v cuŁi cho ta a + c= 0 v 4(a+ c) = 1, væ l‰ V… v“y h(x) b§t kh£ quy tr¶n Z5 V… deg h(x) = 4 =deg h(x) n¶n theo ành lþ 1.2.1 a thøc h(x) b§t kh£ quy tr¶n Q

i•u ng÷æc l⁄i cıa ành lþ 4 l khæng óng, ngh¾a l , n‚u f(x) b§t kh£quy tr¶n Q th… ch÷a ch›c nâ ¢ b§t kh£ quy tr¶n Zp vîi mºt sŁ nguy¶n tŁ

p n o â D Hilbert l ng÷íi ƒu ti¶n ch¿ ra v‰ dö v• mºt a thøc vîi h» sŁnguy¶n b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n Zp vîi måi sŁnguy¶n tŁ p Trong lu“n v«n th⁄c s¾ cıa Nguy„n V«n L“p (xem [2]) ¢ ÷a rachøng minh chi ti‚t r‹ng a thøc x4 2x2 + 9 l b§t kh£ quy tr¶n

12

Q nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p Chøngminh tr…nh b y trong [2] ph£i sß döng nhœng ki‚n thøc kh¡ s¥u v• lþthuy‚t nhâm.

Trong lu“n v«n n y, chóng tæi l m rª k‚t qu£ cıa D Hilbert b‹ng c¡chch¿ ra r‹ng a thøc x4 + 1 b§t kh£ quy tr¶n Q, nh÷ng khæng b§t kh£ quytr¶n Zp vîi måi p nguy¶n tŁ Chøng minh k‚t qu£ n y düa theo b i b¡o

[8] b‹ng c¡ch sß döng nhœng ki‚n thøc v• mð rºng tr÷íng V… th‚, tr÷îc h‚t chóng ta cƒn tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc v• mð rºng tr÷íng

1.2.4 ành ngh¾a 1 Cho K l mºt tr÷íng v F l mºt tr÷íng chøa K Khi â tanâi F l mæt mð rºng tr÷íng cıa K v ta vi‚t l F=K X†t F nh÷ mºt khænggian vec tì tr¶n tr÷íng K N‚u chi•u cıa K-khæng gian v†c tì F l n th… tanâi mð rºng tr÷íng F=K câ b“c n

Chflng h⁄n, cho K = Q v

F = Q[ 2] = fa + b 2 j a; b 2 Qg: pKhi â F l K-khæng gian v†c tì chi•u l 2 vîi mºt cì sð l f1; 2g V…

th‚ b“c cıa mð rºng F=K l 2

1.2.5 M»nh • 1 Cho K l mºt tr÷íng v f(x) 2 K[x] l mºt a thøcb§t kh£ quy tr¶n K Cho deg f(x) = n v l mºt nghi»m trong mºt mðrºng tr÷íng n o â cıa K Khi â

Cho K l mºt tr÷íng v f(x) 2 K[x] l a thøc câ b“c n Tr÷íng tŁi thi”u chøa

K v chøa ı n nghi»m cıa f(x) (luæn tçn t⁄i theo m»nh • tr¶n) ÷æc gåi l tr÷íng ph¥n r¢ cıa f(x) tr¶n K V‰ dö, cho K = R v f(x) = x2 + 1 Khi â

f(x) b§t kh£ quy tr¶nR C¡c nghi»m cıa f(x) l i v i Do â C l tr÷íng tŁi thi”u chøa R v chøa c¡c nghi»m cıa

f(x), nâi c¡ch kh¡c Cl tr÷íng ph¥n r¢ cıa f(x) tr¶n R Cho K = Q v p

f(x) = x2 2: Khi â Q[ 2] l tr÷íng tŁi thi”u chøa Q v c¡c nghi»m cıa f(x), do â

Chøng minh Vîi p = 2, rª r ng f(x) = x4 + 1 (x2 + 1)2 2 Z2[x] Suy ra athøc f(x) kh£ quy tr¶n Z2

Cho p 3 l sŁ nguy¶n tŁ b§t ký Khi â, p l sŁ l· Vi‚t p = 2k + 1, ta câ p2

1 = 4k(k + 1) l sŁ chia h‚t cho 8 Chó þ r‹ng n‚u n l ÷îc cıa

m vîi n; m l hai sŁ nguy¶n d÷ìng, th… xn 1 l ÷îc cıa xm 1 Suy ra

(x8 1) j (xp2 1 1):

Nh¥n c£ hai v‚ vîi x ta suy ra

x(x4 + 1)(x4 1) j (xp2 x):

14

V… th‚ f(x) = x4 + 1 l ÷îc cıa a thøc xp2 x Kþ hi»u Fp2 l tr÷íng

ph¥n r¢ cıa a thøc xp2 x tr¶n tr÷íng Zp (luæn tçn t⁄i theo M»nh ” 2)

Khi â Fp2 ch‰nh l t“p nghi»m cıa a thøc xp2 x trong mºt mð rºng

n o â cıa Zp (xem M»nh • 3) V… Fp2 câ p2 phƒn tß v Zp câ p phƒn tß n¶n Fp2 l Zp-khæng gian v†c tì chi•u 2

Ta chøng minh ành lþ b‹ng ph÷ìng ph¡p ph£n chøng

Gi£ sß f(x) = x4 + 1 b§t kh£ quy tr¶n K := Zp vîi sŁ nguy¶n tŁ p 3

n o â Ta cƒn t…m m¥u thu¤n

Gåi l mºt nghi»m cıa f(x) Khi â công l nghi»m cıa a thøc

xp2 x V… th‚ l phƒn tß cıa tr÷íng ph¥n r¢ Fp 2 cıa a thøc xp2 xtr¶n K °t K1 = K[ ] Khi â K1 l tr÷íng trung gian giœa K v Fp2 V… f(x) b§t kh£ quy tr¶n K v deg f(x) = 4, n¶n theo M»nh • 1, K1 l mºt khæng gian v†c tì câ chi•u b‹ng 4 tr¶n K Nh÷ v“y, khæng gian v†c tì con K1 l K- khæng gian v†c tì chi•u 4, trong khi â khæng gian v†c tì chøa K1 l Fp2 l⁄i l K- khæng gian v†c tì chi•u 2, i•u n y l væ lþ

1.2.9 Chó þ N«m 2005, E Diver, P A Leonard v K S Williams trong

b i b¡o Irreducible quartic polynomials with factorizations modulo p,Amer Math Monthly, 112, No.10, 876-890, ¢ ÷a ra i•u ki»n cƒn v ı cho

a thøc b“c 4 vîi h» sŁ nguy¶n l b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng kh£ quy tr¶n

Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p K‚t qu£ n y ¢ ÷æc Nguy„n V«n L“p tr…nh b yl⁄i trong lu“n v«n th⁄c s¾ cıa m…nh (xem [2]) Công n«m 2005, R.Guralnick, M Schacher, J Sonn trong b i b¡o Irreducible polynomialswhich are locally reducible everywhere ¢ ch¿ ra r‹ng, vîi måi hæp sŁ n

4, tçn t⁄i mºt a thøc b§t kh£ quy f(x) 2 Z[x] câ b“c n m kh£ quy tr¶ntr÷íng Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p

Möc ti¶u thø hai cıa ch÷ìng n y l tr…nh b y mºt ti¶u chu'n mîi v• t

‰nh b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng Q cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n sao cho c¡ch» sŁ t«ng dƒn theo b“c v câ h» sŁ cao nh§t nguy¶n tŁ ho°c nh“n ‰tnh§t mºt gi¡ trà nguy¶n tŁ

C¡c k‚t qu£ ð ch÷ìng n y mºt phƒn düa theo b i b¡o [11] cıa R.Thangadurai n«m 2007 v mºt phƒn ÷æc vi‚t düa theo b i b¡o [8] cıa A.Jakhar v N Sangwan n«m 2018: An irreducibility criterion for integerpolynomials, Amer Math Monthly, 125, 464-465

K‚t qu£ ch‰nh cıa Ch÷ìng 2 l ành lþ 6, ành lþ 7, ành lþ 8, ành lþ 9,ành lþ 10, ành lþ 11 v ành lþ 12

2.1 Gi¡ trà kh£ nghàch v t‰nh b§t kh£ quy

Cho f(x) = anxn + : : : + a1x + a0 câ b“c n vîi h» sŁ nguy¶n Kþ hi»u

sŁ lƒn a thøc f(x) nh“n gi¡ trà kh£ nghàch tr¶n t“p sŁ nguy¶n l u(f), tøc l

u(g) = 2 Th“t v“y, ta luæn câ g(x) > 0 vîi måi x Hìn nœa, g(x) = 1 khi vch¿ khi x= 0 ho°c x = 1.

N‚u f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i c¡c sŁ nguy¶n x = bi vîi i = 1; 2; : : : ; m,

Chøng minh Gi£ sß m > 3 v b 1 ; b 2 ; : : : ; b m l c¡c sŁ nguy¶n æi mºt ph¥n

bi»t sao cho f(bi) = 1 vîi måi i = 1; : : : ; m Khi â

f(x) = (x b1)(x b2) : : : (x bm)g(x) + 1vîi g(x) 2 Z[x] Gi£ sß bm+1 l sŁ nguy¶n sao cho f(bm+1) = 1 Khi â,

Do â, c¡c hi»u sŁ bm+1 bi l ÷îc cıa 2, v… th‚ nâ ch¿ câ th” l 1 ho°c

2 V… c¡c bil æi mºt ph¥n bi»t n¶n m 4: N‚u m = 4, th… ta câ

( 1)( 2)(1)(2)g(bm+1) = 2:

1Suy ra g(bm+1) =2, i•u n y l væ lþ Do â m 3: Tr÷íng hæp cÆn l⁄i ÷æc chøng minh t÷ìng tü.

Chóng ta câ th” xem chi ti‚t hìn M»nh • 4 trong mºt b i b¡o «ng

tr¶n t⁄p ch‰ nŒi ti‚ng Annals of Math xu§t b£n n«m 1993 cıa hai nhto¡n håc H L Dorwart v O Ore

2.1.2 M»nh • 5 N‚u f(x) câ b“c n v n 4, th… u(f) n

Chøng minh Gi£ sß u(f) > n, n 4: Khi â u(f) 5 Suy ra f(x) nh“n gi¡ trà 1

‰t nh§t 3 lƒn ho°c f(x) nh“n gi¡ trà 1 ‰t nh§t 3 lƒn Khæng m§t t‰nhtŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t f(x) nh“n gi¡ trà b‹ng 1 ‰t nh§t 3 lƒn Gi£ sßf(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn 3 lƒn Theo M»nh • 4, f(x) khæng nh“n gi¡ trà

1, suy ra f(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n lƒn, i•u n y l væ lþ v… deg f = n ( athøc câ b“c n câ nhi•u nh§t n nghi»m, suy ra a thøc b“c n nh“n còngmºt gi¡ trà t⁄i nhi•u nh§t n i”m) Do â f(x) nh“n gi¡ trà b‹ng 1 t⁄i óng 3 lƒn.Gi£ sß f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i m lƒn, th…

Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta gi£ thi‚t b1 < b2 < b3: Khi â ci b1; ci b2;

ci b3 l ba ÷îc kh¡c nhau cıa 2, v… th‚ mºt trong 3 ÷îc â ph£i l 2ho°c 2, v hai ÷îc cÆn l⁄i l 1 v 1 Gi£ sß øng vîi c1, mºt trong ba

÷îc â l 2 Khi â c1 b1 = 2, c1 b2 = 1 v c1 b3 = 1 N‚u øng

vîi c2, mºt trong c¡c ÷îc â công l 2 th… ta ph£i câ c2 b1 = 2 v do

â c2 = c1, væ lþ Suy ra øng vîi c2, mºt trong c¡c ÷îc â l 2 Suy ra

18

c2 b3 = 2, do â c2 = b2, væ lþ v… f(c2) = 1 trong khi â f(b2) = 1.Tr÷íng hæp øng vîi c1, mºt trong ba ÷îc b‹ng 2, ta l“p lu“n t÷ìng tü

v d¤n ‚n m¥u thu¤n V“y m»nh • ÷æc chøng minh.

2.1.3 M»nh • 6 N‚u f(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n câ b“c n th… ta luæn

câ u(f) 2n

Chøng minh Gåi m1 l sŁ lƒn f(x) nh“n gi¡ trà 1 v m2 l sŁ lƒn f(x) nh“n gi¡trà 1 Khi â u(f) = m1 +m2 Ta câ mi n v… a thøc f(x) 1 v a thøc f(x) + 1

•u câ khæng qu¡ n nghi»m V… th‚ u(f) 2n

ành lþ sau “y l k‚t qu£ ch‰nh cıa möc n y, ÷a ra mºt ti¶u chu'n b§tkh£ quy tr¶n Q cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n düa theo mŁi quan h» giœab“c cıa a thøc v sŁ lƒn nh“n gi¡ trà kh£ nghàch cıa a thøc R Thangaduraitrong b i b¡o Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are Integers,

«ng tr¶n t⁄p ch‰ Mathematics Newsletter th¡ng 9 n«m 2007, ð trang

30, ¢ ph¡t bi”u nh÷ sau

2.1.4 ành lþ 6 Cho f(x) l a thøc câ h» sŁ nguy¶n N‚u f(x) câ b“c n 8 v

f(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n=2 lƒn ho°c f(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n=2 lƒnth… f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q

Chøng minh Ta chøng minh ph£n chøng Gi£ sß f(x) khæng b§t kh£quy tr¶n Q Theo BŒ • Gauss, f(x) = g(x)h(x) trong â g(x) v h(x) l c¡cnh¥n tß khæng tƒm th÷íng cıa f(x), tøc l g(x) v h(x) •u l a thøc b“cd÷ìng vîi h» sŁ nguy¶n V… b“c cıa f(x) l tŒng cıa b“c cıa g(x) v h(x),n¶n khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t g(x) câ b“c m vîi m n=2

4 Theo gi£ thi‚t, f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(f) lƒn ho°c f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(f)

lƒn Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(f)

lƒn

Ta khflng ành g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(g) lƒn ho°c g(x) nh“n gi¡ trà

1 t⁄i u(g) lƒn N‚u g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i ‰t nh§t 4 lƒn ho°c g(x) nh“ngi¡ trà 1 t⁄i ‰t nh§t 4 lƒn th… khflng ành tr¶n suy ra ngay tł M»nh • 4.Gi£ sß ng÷æc l⁄i, tøc l g(x) nh“n gi¡ trà 1 nhä hìn 4 lƒn v công nh“ngi¡ trà 1 nhä hìn 4 lƒn Chó þ r‹ng u(g) u(f) v u(h) u(f) bði v… n‚u f(x)nh“n gi¡ trà 1 t⁄i x = a th… g(x) v h(x) công nh“n gi¡ trà 1 t⁄i x = a Do âtheo gi£ thi‚t ta câ u(g) u(f) > n=2: Suy ra u(g) 5 Khæng m§t t‰nhtŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i óng