Chứng minh định lý bất biến dickson của steinberg

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI VIỆT ĐỨC CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN DICKSON CỦA STEINBERG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ... đại số Dickson đóng vai trò

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI VIỆT ĐỨC

CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN

DICKSON CỦA STEINBERG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiêncứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiêncứu nêu trong luận văn là trung thực, được cácđồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từngđược công bố trong bất kỳ một công trình nàokhác

Bùi Việt Đức

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu, xin gửi đến TS Nguyễn Đặng Hồ Hải lời cảm ơn sâu sắc về sựtận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt quá trình Thầy giảng dạy tạilớp Cao học K23 và nhất là trong quá trình tôi hoàn thành Luận văn này.Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy, cô khoa Toán của TrườngĐại học Sư phạm Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức

bổ ích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Huế

Chân thành cảm ơn các Anh, Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt làcác Anh, Chị chuyên ngành Đại số và lý thuyết số và cũng như tất cả bạn bècủa tôi đã luôn hỗ trợ tôi suốt quá trình tôi học tập

Cuối cùng tôi xin cảm ơn Bố, Mẹ và toàn thể gia đình tôi-những người đãđộng viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành Luận văn này.Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng Luận văn sẽ không tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong các thầy cô giáo cùng các bạn đánh giá, góp ý đểLuận văn được hoàn chỉnh hơn

Bùi Việt Đức

MỤC LỤC

1.1 Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường hữu hạn 61.2 Tác động của nhóm tuyến tính tổng quát lên đại số đa thức 81.3 Phát biểu định lý Dickson 111.4 Ví dụ minh họa với n = 1, 2 13

2 Chứng minh Định lý bất biến Dickson của Steinberg 142.1 Định lý của Steinberg 142.2 Hai bổ đề phụ trợ 152.3 Chứng minh mệnh đề (ar) và (br) của Định lý Steinberg 18

2.4 Chứng minh mệnh đề (cr) của Định lý Steinberg 21

LỜI MỞ ĐẦU

Cố định số nguyên tố p và xét đại số đa thức S := Fq[x1, , xn] trêntrường hữu hạn Fq với q là một lũy thừa của p Bằng cách đồng nhất nhómtuyến tính tổng quát G := GL(n, Fq) với nhóm các tự đẳng cấu tuyến tínhcủa không gian véc tơ V := Fqhx1, , xni, ta thu được một tác động củanhóm G lên đại số đa thức S

Đại số con SG gồm các đa thức trong S bất biến dưới tác động của G đượcxác định lần đầu tiên bởi L Dickson [1] vào những năm đầu thế kỉ 20 Cụthể, Dickson chứng minh rằng SG là đại số đa thức

SG = Fq[Qn,0, , Qn,n−1]trong đó Qn,r, 0 ≤ r ≤ n − 1, là các đa thức của các biến x1, , xn xác địnhbởi đẳng thức sau đây:

Fq[Qn,0, , Qn,n−1] được gọi là đại số bất biến Dickson của nhóm GLn(Fq),hay cho gọn là đại số Dickson của GLn(Fq)

Những công trình của Milgram–Man, Singer, Adams–Wilkerson, Rector,Lam, Mùi, và Smith–Switzer (xem các tài liệu tham khảo trong [6]) cho thấy

đại số Dickson đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết bất biến modular củanhóm tuyến tính tổng quát cũng như trong tô pô đại số.

Chứng minh nguyên thủy của Dickson là rất phức tạp Sau đó nhiều chứngminh khác được đề xuất, có thể kể đến các chứng minh của Ore (1933), củanhóm Bourbaki (1968) và của Wilkerson (1983)

Robert Steinberg, tác giả của biểu diễn Steinberg [4] nổi tiếng trong lýthuyết biểu diễn nhóm, đã đề xuất một chứng minh khác trong bài báo [5]cho định lý của Dickson Theo Steinberg, chứng minh này đơn giản hơn cácchứng minh đã có, và điểm đặc biệt là nó cho phép đồng thời kết luận SG làđại số đa thức cũng như khẳng định S là một mô đun tự do trên vành SG với

cơ sở gồm các đơn thức xi1

1 · · · xin

n trong đó 0 ≤ ir < qn− qr−1 với mọi r

Sự kiện S là một mô đun tự do trên SG là rất thú vị từ quan điểm của

lý thuyết biểu diễn nhóm tuyến tính tổng quát, bởi theo một kết quả của S.Mitchell, Fq ⊗SG S có cùng các nhân tử hợp thành với biểu diễn chính quy

Fq[G], và việc khảo sát Fq ⊗SGS như một biểu diễn modular của G hiện nayvẫn còn là một vấn đề mở

Với đề tài "Chứng minh Định lý bất biến Dickson của Steinberg", chúngtôi mong muốn tìm hiểu về các bất biến của nhóm tuyến tính tổng quát đồngthời tìm hiểu và làm sáng tỏ phép chứng minh của Steinberg cho định lý bấtbiến của Dickson Trong tương lai, khi điều kiện cho phép, chúng tôi cũngmong muốn sử dụng những kiến thức tìm hiểu ở luận văn này để nghiên cứu

về lý thuyết biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát

Luận văn này bao gồm hai chương

Chương 1 Đại số bất biến Dickson.

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày về nhóm tuyến tính tổngquát GLn(Fq) trên trường hữu hạn, tác động của GLn(Fq) lên đại số đa thức

Fq[x1, , xn] Sau đó chúng tôi phát biểu Định lý bất biến Dickson và minhhọa cho trường hợp n = 1, 2

Chương 2 Chứng minh Định lý bất biến Dickson của Steinberg

Trong chương này chúng tôi trình bày chứng minh của Steinberg dựa theobài báo [5] Trước hết chúng tôi phát biểu một kết quả tổng quát, gồm baphần, của Steinberg mà một trường hợp riêng của hai phần đầu chính là Định

lý Dickson Sau đó để trình bày chứng minh kết quả tổng quát này, chúng tôitrình bày hai bổ đề phụ trợ liên quan đến các bất biến Dickson Tiếp theochúng tôi trình bày chứng minh hai phần đầu của Định lý của Steinberg,dựa trên hai bổ đề phụ trợ và dựa trên kết quả sau trong lý thuyết mở rộngtrường:

(1) Mở rộng trường LG ⊂ L có bậc |G| trong đó G là một nhóm con hữuhạn của nhóm các tự đẳng cấu của trường L

Phần thứ ba của Định lý của Steinberg nói về tính độc lập đại số của mộttập các đa thức P1, , Pn trong Fq[x1, , xn] Điều này được chứng minhsau cùng dựa trên hai bổ đề phụ trợ và dựa trên sự kiện sau về bậc siêu việt:(2) Nếu mở rộng trường Fq(P1, , Pn) ⊂ Fq(x1, , xn) là một mở rộngđại số thì bậc siêu việt của Fq(P1, , Pn) trên Fq bằng n, và do đó P1, , Pn

là độc lập đại số trên trường Fq

CHƯƠNG 1

Đại số bất biến Dickson

Trong chương này, ta mô tả tác động của nhóm tuyến tính tổng quát GLn(Fq)lên đại số đa thức Fq[x1, , xn] cảm sinh bởi tác động tự nhiên của GLn(Fq)lên Fq-không gian véc tơ với cơ sở x1, , xn Sau đó, ta sẽ phát biểu định lýDickson mô tả tất cả các đa thức bất biến dưới tác động của nhóm GLn(Fq),

và nêu ví dụ minh họa cho các trường hợp n = 1, 2 Chứng minh của Định lýDickson bởi Steinberg sẽ được trình bày trong chương sau

Lưu ý rằng, vì trường hữu hạn Fq có đặc số p, nên ta có đẳng thức sau đây

(x + y)p = xp + yp,

và tổng quát hơn,

(x + y)pm = xpm + ypm,với mọi x, y ∈ Fq, và với mọi m ∈ N Điều này có được là do các hệ số nhịthức p

i



, 1 ≤ i ≤ p − 1, đều chia hết cho p

Định nghĩa 1.1.1 Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu GLn(Fq) là tập hợpcác ma trận vuông cấp n khả nghịch với hệ số trên trường hữu hạn Fq Tập

GLn(Fq) cùng với phép toán nhân ma trận là một nhóm, gọi là nhóm tuyếntính tổng quát cấp n trên trường hữu hạn Fq

Với n = 1, GL1(Fq) ∼= F×q nên GL1(Fq) có q − 1 phần tử Trong trường hợptổng quát, số phần tử của GLn(Fq) được cho bởi:

Mệnh đề 1.1.2 Nhóm GLn(Fq) có (qn− 1)(qn− q) (qn− qn−1) phần tử.Chứng minh Mỗi phần tử của GLn(Fq) có thể đồng nhất với một bộ có thứ

tự gồm n véc tơ cột a1, a2, , an độc lập tuyến tính trong không gian Fnq Vìvéc tơ a1 thuộc Fnq và khác véc tơ không nên có qn− 1 cách chọn a1

Tương tự, vì véc tơ a2 độc lập tuyến tính với a1 nên a2 không thuộc khônggian con của Fnq sinh bởi a1, như thế có qn− q cách chọn a2

Tiếp tục quá trình này, mỗi khi đã chọn được các véc tơ a1, , ai−1, ta sẽ

có qn− qi−1 cách chọn véc tơ ai vì ai không thuộc không gian con của Fnq sinhbởi a1, , ai−1

Mệnh đề được chứng minh

1.2 Tác động của nhóm tuyến tính tổng quát lên

gP (x1, x2, , xn) = P (g(x1), g(x2), , g(xn))với g(xi) =

Chứng minh Với 1 là ma trận đơn vị, ta có

1P (x1, x2, , xn) = P (1(x1), 1(x2), , 1(xn)) = P (x1, x2, , xn) ,

tức là ϕ (1, P ) = 1P = P Mặt khác ∀g = (aij)n.n, h = (bij)n.n ∈ GLn(Fq), tacó

là một tự đồng cấu tuyến tính của Fq[x1, , xn] Như thế, tác động này biến

Fq[x1, , xn] thành một mô đun phân bậc trên vành nhóm Fq[GLn(Fq)]

Ví dụ 1.2.4 Cho n = 1, khi đó nhóm tuyến tính tổng quát cấp 1 trêntrường Fq là GL1(Fq) = {(a)|a ∈ Fq×} Chẳng hạn với g = (a) ∈ GL1(Fq),

Nhóm tuyến tính tổng quát GL2(Fq) tác động lên đại số đa thức Fq[x1, x2]như sau:

Như vậy g(x12 + x1x2 + x22) = x12 + x1x2 + x22 với mọi g ∈ GL2(F2) Khi

đó ta nói rằng đa thức P = x12+ x1x2+ x22 là một đa thức bất biến dưới tácđộng của nhóm GL2(F2)

Định lý Dickson được phát biểu dưới đây mô tả tất cả các đa thức thuộc

Fq[x1, , xn] bất biến dưới tác động của nhóm GLn(Fq)

Fq[x1, xn]GLn (F q)

= Fq[I0, I1, , In−1],

trong đó Ir, 0 ≤ r ≤ n − 1, là đa thức của các biến x1, x2, , xn xác định bởicông thức sau đây:

Ir = [0, 1, · · · , ˆr, · · · , n]

[0, 1, · · · , n − 1] :=

x1 x2 xn

xq1 xq2 xqn

. · · · .

xq1r−1 xq2r−1 xqnr−1

xq1r+1

xq1n

xq2r+1

xqnn

x1 x2 xn

xq1 xq2 xqn

. .

xq1n−1 xq2n−1 xqnn−1

Nhận xét 1.3.2 1) Mặc dù các bất biến Ir được cho dưới dạng phânthức, trong chương sau ta sẽ thấy chúng thật sự là các đa thức thuộc

Fq[x1, , xn]

2) Các đa thức Ir được gọi là các bất biến Dickson của nhóm GLn(Fq) vàđại số Fq[I0, I1, , In−1] được gọi là đại số bất biến Dickson hay đại sốDickson của nhóm GLn(Fq) Vì Ir phụ thuộc cả vào tham số n, trongcác tài liệu sau này, người ta hay kí hiệu Ir thành Dn,r, để chỉ Dickson,hoặc Qn,r [6]

1.4 Ví dụ minh họa với n = 1, 2

xq1 xq2

xq12 xq22

... Ir gọi bất biến Dickson nhóm GLn(Fq) vàđại số Fq[I0, I1, , In−1] gọi đại số bất biến Dickson hay đại s? ?Dickson nhóm GLn(Fq)... bất biến Ir cho dạng phânthức, chương sau ta thấy chúng thật đa thức thuộc

Fq[x1, , xn]

2) Các đa thức Ir gọi bất biến. .. Dn,r, để Dickson, hoặc Qn,r [6]

1.4 Ví dụ minh họa với n = 1, 2

xq1